专题01 平面向量基本定理、共线定理、等和线、极化恒等式（思维导图+4知识点+6大题型+综合通关）（暑假复习讲义）新高二数学人教A版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面向量基本定理、共线定理、等和线、极化恒等式 了内容导航 01复习目标一明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构一→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01用基底表示向量 题型02平面向量基本定理求参数 题型03平面向量共线定理 题型04平面向量共线定理的推论 题型05等和线问题 题型06极化恒等式解决数量积问题 04综合通关→综合演练， 梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕一预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 01 复习目标 常考考点 命题风向 1. 平面向量基本定理 1.理解基底的概念，用基底表示向量 2.向量共线 2. 平面向量基本定理的应用，求相关的参数问题 3.向量共线的推论 3. 向量共线的定义以及坐标表示 4.等和线 4.向量共线定理中的推论、等和线解决相应的参数问题 5.极化恒等式 5.极化恒等式解决数量积求解、数量积的最值范围问题 考情解码：理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义，会用这组基底来表示其他向 量；掌握两向量共线的性质及其判定方法，能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决 些平面向量的计算问题 02知识重构 ◇ 脉|络重|构 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如果名，马是同一平面内的两个不共线向量。 1、平面向 那么对于这一平面内的任一向量ā， 量基本定理 有且只有一对实数，，使ā=g+入2马 如果ā=乃(e),则a/1i: 定义 反之，如果ā/1仍且6≠0，则一定存在唯一的实数1，使ā=乃 2、平面向 量共线定理 若A、B、C三点共线台存在唯一的实数入，使相AC=B: 平面向量基本定理 ⊙存在唯一的实数元，使得OC=O+1: 推论 共线定理、等和线、 台存在唯一的实数2，使有0C=0-)0+0B: 极化恒等式 口存在2+4=1.使得0C=204+u0B 一般解题步骤： (1)确定单位线（当1+1=1时的等和线）； 3、等和线 (2)平移等和线，分折何处取得最值； (3)从长度比计算最值， 4、极化恒等式 设a,b是平面内的两个向量，则有ai-a+矿-石-矿] ◇ 重I点I梳理 知识点一平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果，已，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a,有且只 有一对实数元，，，使a=2e+元，已2，称2已+e2为g,e2的线性组合 注：其中，已，叫做表示这一平面内所有向量的基底；平面内任一向量都可以沿两个不共线向量，已2的方 向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.当基底？，2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面 直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础 【易错提醒】 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设ā，b是同一平面内的两个不共线向量， 若xa+yb=x,a+y,b,则 X=X2 y=y2 2、重要结论 设{g,6}是平面内一个基底，若a=2+,,, 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当22=0时，a与g共线； ②当21=0时，a与e共线： ③当21=元2=0时，a=0; 即时即练 1.(25-26高一下·重庆期中)设，，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是() A.e+2e,,e+3e, B.2g-6,E C.te;,e-e; D.e-2e;,3e-6e 2.(25-26高一下·广东江门期中)在ABC中，点D在边BC上，且满足BD=3DC,E为AD的中点， 则BE=() A.-5B+3C 8 D. 8 知识点二平面向量共线定理 1、两个向量平行的充要条件 符号语言：a/6台a=元6(6≠0) 坐标语言为：设非零向量a=(x,y),b=(x2,2),则a‖b台(&，y1)F入(，y2,或xy2-x2y1=0, 2、共线向量定理及其推论 1)定义：如果ā=b(∈R),则ā/b;反之，如果ā/b且b≠0，则一定存在唯一的实数1，使ā=b. (口诀：数乘即得平行，平行必有数乘). 2)若A、B、C三点共线台存在唯一的实数1，使得AC=1AB: 一存在唯一的实数1，使得OC=OA+λAB; 台存在唯一的实数1，使得OC=1-2)OA+λOB; 台存在入+u=1,使得OC=2OA+uOB. 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且BD=1DC(元本-1)，则向量D=4B+入AC.在 1+入 向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 掌握. D 【易错提醒】 平面向量共线定理推论：若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意点，且 PC=xPA+yPB,则A,B,C三点共线是x+y=I的充要条件. 证明：由x+y=1→A,B,C三点共线 由x+y=1得PC=xPA+yPB=xPA+(I-x)PB→PC-PB=x(PA-PB)→BC=xBA 即BC,BA共线，故A,B,C三点共线 证明：由A,B,C三点共线→x+y=1 由A,B,C三点共线得BC,BA共线，即存在实数x使得BC=入BA 故BP+PC=(BP+P)→PC=元PA+(I-)PB.令x=1,y=1-1,则有x+y=1 即时即练 1.(25-26高一下-江苏淮安阶段检测)已知向量G,马，不共线，且2g-e)/(+28),则实数元=（) A.1 B.-1 C.-4 D.4 2.(25-26高一下·陕西榆林阶段检测)已知向量与e,不共线， MW=6g+46P=-G-6,P0=6+6,则(） A.M,N,P三点共线 B.M,P,Q三点共线 C.M,N,Q三点共线 D.N,P,Q三点共线 知识点三等和线 1、定义：平面内一组基底OAOB及任一向量OP,OP=入OA+HOB(2,H∈R),若点P在直线AB上 或者在平行于AB的直线上，则入+H=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 线称为等和线， (1)当等和线恰为直线AB时，1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)： (3)当直线AB在点O与等和线之间时，k∈(1，+0)： (4)当等和线过O点时，-0： (5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图，P为△A0B所在平面上一点，过O作直线1/AB,由平面向量基本定理知： 存在x,y∈R,使得OP=xOA+yOB 下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值 ①若P∈I时，则射线OP与I无交点，由I/1AB知，存在实数，使得OP=入AB 而AB=OB-OA,所以OP=1OB-1OA,于是x+y=λ-=0 ②若PE1时， (i)如图1，当P在I右侧时，过P作CD/1AB,交射线OA,OB于C,D两点，则 △OCD~△OAB,不妨设△OCD与△OAB的相似比为k 由P,C,D三点共线可知：存在1∈R使得：OP=10C+(1-)0D=k20A+k(1-2)0B 所以x+y=k入+k(1-2)=k (i)当P在I左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图1作P关于O的对称点P,由()的 分析知：存在存在元eR使得：OP'=10C+(1-1)0D=k元0A+(1-1)0B 所以0P=-k元0A+-(1-1)0B,于是x+y=-k2+-k(1-)=-k 综合上面的讨论可知：图1中OP用OA,OB线性表示时，其系数和x+y只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过O作AB边的垂线'，设 OP' 点P在'上的射影为P,直线1交直线AB于点P,则k= (k的符号由点P的位置确定)，因此 只需求出OP]的范围便知x+y的范围 【易错提醒】 般解题步骤： (1)确定单位线（当入+4=1时的等和线）； (2)平移等和线，分析何处取得最值； (3)从长度比计算最值 即时即练 1.在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设AM=1AB+μAF,则入+u的 取值范围是() A.[1,5] B.2,4 C.[1,3] D.[1,4 知识点四极化恒等式 1、极化恒等式 设a,6是平面内的两个向量，则有a6=[a+6-a-列] 证明：(a+b)2=a2+62+2a.b,①(a-b)2=a2+62-2a.6,② 将两式相减可得a-万=[@+-a-],这个等式在数学上我们称为极化恒等式。 ①几何解释1（平行四边形模型）以AB,AD为一组邻边构造平行四边形ABCD,AB=a,AD=b,则 4C=a+6,8D=6-a,由a-6-4a+6-a-],得4B40-4C-BD). 即从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的} ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由 孤.而=4C2-BD)变形为孤.而=4C-BD)=44M2-48M),得而=AM-BM 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从 极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与 几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合， 【易错提醒】 1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数 量积，可利用极化恒等式进行转化求解 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： (I)取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在ABC中，若求AB.AC,取BC中点M,连接AM (2)利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即B.AC=A-BC (3)求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积 即时即练 1.如图，己知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界）， 则PC.PD的取值范围为() A.(0,16) B.[0,16] C.(0,4) D.0,4] 03 题型突破 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型01用基底表示向量 1.(25-26高一上安徽阜阳期末)在ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC.记AC=m,AD=元， 则AB=() A.3m-2n B.-2m+3i C.3m+2元 D.2m+3i 2.(25-26高一下·山东济南阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是线段CD,BE的中点， 则A正=() D B亚+而 4 C. 34B-】AD 2 D.-0 2 3.(24-25高一下·河南·期末)在平行四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，则AG=() A.名6+名0B.+号0C孤+号而D.号丽+D 6 3 3 4.在梯形ABCD中，BC=2AD,AC与BD交于点O,记BA=a,BO=b,则BC=() A.3a-2b B.-2a+3b C.3ā+2b D.2a+3b 5.(24-25高一下天津期末)在平行四边形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，AE=4ED,DF=FC ,AF与BE相交于点G,记BA=a,BC=五，则BG=() A9a-9 15。-12方 15a+2五 C.9a+9 D. 15_12 - 1919 【易错警示】 如果，e,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量云，有且只有一对实数入，入2， 使a=1e+1e2 ●●。●。●●●9●090●e●●s●●●●●。●●●8ss。s●●●09.0e90●0●s0●●0●●0●●e。●0s●●●es0●8e09●90●●。0●●●●0●●●05e●。 题型02平面向量基本定理求参数 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.己知点G为ABC的重心，若BG=元BC+4AG,则2-μ=() A.0 B.1 c D.3 2.在ABC中，点D是线段BC上一点，若BD=入BC,AD=AB+3AC,则实数1：() 4 A.4 B D 3.(25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯期中)在平行四边形ABCD中， AM=MB,BN=2NC,AP=xAB+(1-x)AD,x∈R.若AP∥MN,则x=() A.g D月 4.在ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE=2EA,若AB=1AD+uBE,则元+u的值为() A.7 B. c D.4 【易错警示】 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设a,b是同一平面内的两个不共线向量， 若xa+yb=x,a+y,b,则 X=X2 乃=y2 2、重要结论 设{日，6}是平面内一个基底，若a=入，+元已， ①当入2=0时，a与e共线： ②当入1=0时，a与e共线； ③当21=元2=0时，a=0: 00sa●●●●e0600●0●0●●e●000●●e。0●●●00●●se080000●9●000●e00●0。●00●●0000.00●●●●00●●e●●●●00●●0.00。 题型03平面向量共线定理 1.(25-26高一下安徽阶段检测)已知向量m=(3,-1),n=(1,2),p=(-2,4),若(2m+n)/(p-k列， 则实数k的值() 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.7 9 B. 7 19 C.-2 D.2 2.(25-26高下山东济宁期中)已知m,万是不共线的向量，且AB=3m-2元，BC=2m+i,CD=m-3n, 则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 3.(25-26高下河南漯河期中)设{6，e2}为平面向量的一组基底，且0A=2e+e,,0B=ke+3, OC=4e+5e,,若A,B,C三点共线，则k=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高一上北京期末)已知向量ā=(5，-2)，b=（-4,-3),且a+b与ā+(22-1)b方向相反，则实 数的值为() A.1或号 B.1成号 C.1 D 5.已知OA=(1,2),OB=(4,1),OC=(3+t,3-),若点A,B,C能构成三角形，则实数t不能取的值为() A. B.-2 c. 6.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,若3OA+OC=3OD+OB,则四边形ABCD一定是() A.矩形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形 【易错警示】 1、定义：如果a=元b(2∈R),则ā/b;反之，如果ā/b且b≠0，则一定存在唯一的实数1，使ā=b. (口诀：数乘即得平行，平行必有数乘)· 2、若A、B、C三点共线台存在唯一的实数1，使得AC=入AB; 题型04平面向量共线定理的推论 1,(24-25高一下湖南岳阳期末)如图，在ABC中，AN=2NC,P是BN上一点，若AP=tAB+AC ,则实数t的值为() 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B. c.4 D. 6 2. (25-26高一下广东深圳期中)在平行四边形ABCD中，=a,AD=万，BM=2BC,AN=4B, 用向量a,飞来表示D0,则下列结论正确的是() D M A0-Bm-a-9C0-g- D.D0-2a-5万 147 95 116 3.(24-25高一下江苏南京期末)在△ABC中，点0满足C0=OB,过点0的直线分别交直线AB,AC于 不同的两点E,F,设AB=xAE,AC=yAF,则x+y=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.在平行四边形ABCD中，G为ABC的重心，满足AG=xAB+yAD(x,y∈R),则x+y=() A B C.1 D.-1 5.(25-26高一下·河南南阳·阶段检测)在ABC中，D为AB上一点且满足AD=3DB.若P为线段CD上 一点，且平-丽+C,为正实数，测时+的最小值为 【易错警示】 平面向量共线定理推论：若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意点，且 PC=xPA+yPB,则A,B,C三点共线是x+y=I的充要条件. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：由x+y=1→A,B,C三点共线， 由x+y=1得PC=xPA+yPB=xPA+(I-x)PB→PC-PB=x(PA-PB)→BC=xBA 即BC,BA共线，故A,B,C三点共线 证明：由A,B,C三点共线→x+y=1. 由A,B,C三点共线得BC,BA共线，即存在实数x使得BC=入BA 故BP+PC=2(BP+P→PC=入PA+(1-)PB.令x=元，y=1-1,则有x+y=1 题型05等和线问题 1.在ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=AB+μAC(2,H∈R), 则入+u的取值范围是() A[对 C.[0, D.[1,2] 2. (24-25高一下·山东济南·阶段检测)如图，△BCD与ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一 点（含边界），且AP=入AB+μAC,则入+u的取值范围为( D B A.[1,3 B.[1,2] C.2,3] D.1,4 3.(24-25高一下·江西南昌期中)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组 对边分别平行，点A,B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界）， 若OP=xOA+y0B,则x十y的取值范围是() 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.[-6, B.[1.5] c.[-5,5] D.[5,9 4.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且AD=1,点P是△BCD(含边界) 的动点，设0P=10C+μ0D,则2+4的最大值为 B D 5。在ABC中，而=DC,正=丽，点F为△ADC内《包括边界)任意一点，若F=2丽+uD, 其中2，u∈R,则元-2μ的取值范围是 【易错警示】 一般解题步骤： (1)确定单位线（当入+4=1时的等和线）； (2)平移等和线，分析何处取得最值； (3)从长度比计算最值 题型06极化恒等式解数量积问题 1.己知正方形ABCD的边长为2，EF为该正方形内切圆的直径，点P在正方形ABCD的边上运动，则 PE.PF的最大值为() A. B.1 C.2 D.2 2.在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2AB=2BC=2,点P为梯形ABCD四条边上的 一个动点，则PAPB的取值范围是() a34[3 C.【-l,4 n 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高一下·安微阜阳·阶段检测)如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4,AD=3,其上方是一个 以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则PPB的取值范围为() D A.[9,21 B.[13,25] c.[i3,5] D.[5,21 4.(25-26高一下·重庆万州阶段检测)如图，点M,N在边AC上，以MN为直径的半圆与等腰直角三角 形ABC的直角边都相切，BA=BC=2,P是ABC所在平面内一点，则PM.PN的最小值为() A.-2 B.-1 c D.0 5.(24-25高一下.北京朝阳·期中)已知A、B是单位圆0上的两点(O为圆心)，∠A0B=120°，点C是 线段AB上不与A、B重合的动点MN是圆O的一条直径，则CM.CN的取值范围是() A. B c.-.0 6.如图，正六边形的边长为25，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运 动，动点A、B在圆0上运动且关于圆心O对称，则MMB的最大值为() B A.9 B.10 C.11 D.12 【易错警示】 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数 量积，可利用极化恒等式进行转化求解 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： (1)取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在ABC中，若求AB.AC,取BC中点M,连接AM (2)利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即AB.AC=AM_BC 41 (3)求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积 04 综合通关 1.若A1,2),B(2,m),C(5,m+1三点共线，则实数m的值为() A B. C.1 D.3 2.(25-26高一下·江苏南京期中)在ABC中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则AE=() A.4B-4C B.C C.-44d D.孤+C 3.(25-26高一上安徽期末)在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且 4AE=EC,则DE:（) A.AB-2AD B.348-1AD 3 2 2 C.24B-AD 3 D.-0 4.(25-26高一下·重庆阶段检测)已知a=k,3),b=(1,k-2),keR,则测k=3”是“向量ā，洪线”的 () A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.充要条 件 5.(25-26高一下·河南·阶段检测)在ABC中，CD为AB边上的中线，E为CD上一点，且CD=CE, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若A花=AB+2AC,则1=() 2 6 A.2 B.2 C.3 D.4 6.在ABC中，若BD=uBC,AD=24C+AB,则2+：（） 5 A B.g C.1 D. 19 7.在口ABCD中，BE=EC,CF=2FD,若AC=1AE+μAF,则实数入+u等于() A写 c D名 8.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 BE=2EF,则EF=() 言c+厨 B 13 13 D. c+厨 9.(25-26高一下·安微蚌埠·阶段检测)在ABC中，BC边上的中线为AD,AD的中点为E,过点E的一 条直线与AB,AC分别交于点F,G.若AF=AB,AG=uAC(2,u>0),则() A.2+u=1 C.μ=4 1 D.2=4 10.(25-26高一下·山东青岛期中)在矩形ABCD中，M,N分别为BC,CD的中点，若 AC=AM+μBN,则元+μ=() A B.1 c. 11.(25-26高一下·安徽宿州阶段检测)在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交射线AB, AC于不同的两点M,N.设B=m4M,AC=n(m>0,n>0),则上+上的最小值() m n 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.4 C.22 D.8 12.(25-26高一下·海南海口阶段检测)如图，在四边形ABCD中，M为AB中点，且 AB=2,MC=MD=CD=1,若点N在线段CD(端点除外)上运动，则NA.NB的取值范围是() D M B a.B.「P0） c[别 n.[o 13.如图，△BCD与ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点（含边界），且 AP=入AB+μAC(2,H∈R),则入+u的取值范围是() A.[0, B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4 14.如图所示，正方形ABCD的边长为1，点A,D分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则 OC.OB的最大值是() A.1 B.2 C.3 D.4 15.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形ABCD中， LABC=120°，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若 DP=DA+uDC,则2+u的最大值为() 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.5 B.3 e 16.如图所示，点P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，点B是AC的中点，BE=2OB,且 Op=xOA+yOB(x,y∈R). B ①当CP=2PE时，x=； ②x-y的最大值为· 17.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使DE=CD,若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆 弧（不超出正方形）上的任一点，设向量AP=入AB+μAE,则入+4的最小值为 最大值为 D 18.(25-26高一下·河北保定·期中)已知点P为边长为2的等边ABC外接圆⊙O上的一个动点，则 PA.PB的取值范围是 05 错题留痕 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01 平面向量基本定理、共线定理、等和线、极化恒等式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 用基底表示向量 题型02 平面向量基本定理求参数 题型03 平面向量共线定理 题型04 平面向量共线定理的推论 题型05 等和线问题 题型06 极化恒等式解决数量积问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 平面向量基本定理 2. 向量共线 3. 向量共线的推论 4. 等和线 5. 极化恒等式 1. 理解基底的概念，用基底表示向量 2. 平面向量基本定理的应用，求相关的参数问题 3. 向量共线的定义以及坐标表示 4. 向量共线定理中的推论、等和线解决相应的参数问题 5. 极化恒等式解决数量积求解、数量积的最值范围问题 考情解码： 理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义，会用这组基底来表示其他向量；掌握两向量共线的性质及其判定方法，能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题 知识点一 平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. 注：其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 【易错提醒】 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 即时即练 1．（25-26高一下·重庆·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意，结合共线的向量的判定方法，以及基底的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 2．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 .    知识点二 平面向量共线定理 1、两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. 2、共线向量定理及其推论 1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 【易错提醒】 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明：由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明：由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 即时即练 1．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）已知向量，不共线，且，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为，则存在实数，使得， 整理得：，因为向量，不共线，根据平面向量基本定理，得方程组： ，解得 2．（25-26高一下·陕西榆林·阶段检测）已知向量与不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故A错误； 对于B，因为，所以，又， 所以，且点为公共点，故三点共线，故B正确； 对于C，因为，所以，又， 所以不存在常数，使得，即三点不共线，故C错误； 对于D，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故D错误. 知识点三 等和线 1、定义：平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1）当等和线恰为直线AB时，k=1； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，； （3）当直线AB在点O与等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，k=0； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 【易错提醒】 一般解题步骤： （1）确定单位线（当时的等和线）； （2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 即时即练 1．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    知识点四 极化恒等式 1、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 【易错提醒】 1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数量积，可利用极化恒等式进行转化求解. 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： （1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在中，若求.，取中点，连接. （2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即. （3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 即时即练 1．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 题型01 用基底表示向量 1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）在中，点在边上，且．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ． 2．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 3．（24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，运用向量的加减数乘运算，将用向量表示即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，则点G为 的三等分点， 即， 则． 故选：C. 4．在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用梯形相似比，可得，再用向量的减法运算，可得，再化简代换即可得解. 【详解】 由梯形ABCD中，，可得， 即，则， 因为，，所以， 故选：B. 5．（24-25高一下·天津·期末）在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，利用平行线分线段成比例可推导得到，结合向量加法和数乘运算可求得结果. 【详解】作，交于点，   ，，， ，， . 故选：C. 【易错警示】 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 题型02 平面向量基本定理求参数 1．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 2．在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的线性运算得，结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以． 故选：D． 3．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得. 设， 因为， 而 所以，解得. 4．在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 【易错警示】 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 题型03 平面向量共线定理 1．（25-26高一下·安徽·阶段检测）已知向量，，，若，则实数的值（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算和两向量平行的充要条件列式计算求解 【详解】因为，， 又，所以，解得. 2．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理依次判断即可. 【详解】对于A，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故A错误； 对于B，，因此， 又因为向量与有一个公共点，因此三点共线，故B正确； 对于C，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故C错误； 对于D，， 若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故D错误； 3．（25-26高一下·河南漯河·期中）设为平面向量的一组基底，且，，，若A，B，C三点共线，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可得存在，使，据此可得答案. 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以存在，使，即， 因为是平面向量的一组基底，所以.故选C. 4．（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可. 【详解】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 5．已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 6．在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 【易错警示】 1、定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 题型04 平面向量共线定理的推论 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 2．（25-26高一下·广东深圳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【详解】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 4．在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质得到，再利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，设与相交于点，为的重心， 可得为的中点，， 所以 ， 又， 所以，则. 故选：C. 5．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）在中，为上一点且满足．若P为线段上一点，且为正实数），则的最小值为_______． 【答案】 【分析】先根据向量线性运算及三点共线的充要条件推导与的等量关系，再利用基本不等式的“1的代换”求目标式的最小值． 【详解】由得，即， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立． 【易错警示】 平面向量共线定理推论：若点互不重合，是三点所在平面上的任意点，且，则三点共线是的充要条件. 证明：由三点共线. 由得. 即，共线，故A，B，C三点共线. 证明：由三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故.令，则有. 题型05 等和线问题 1．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 【详解】解：由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一下·山东济南·阶段检测）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 3．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：    (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 4．如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解. 【详解】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H， 则，且， ，， 所以. 故答案为：. 5．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】构造“等和线”解题，作，连接，则，对应的，作与平行的直线，点在同一直线上时，相等，求出过和的直线对应的“和”，即可得所求范围． 【详解】构造“等和线”解题，作， 连接，则， 所以， 显然对应的， 作出的一系列平行线，对应的 对应的， 过点对应的等和线，过点对应的“等和线：， 所以的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若是不共线向量，，则共线，由此可得，当点在与平行的直线上时，对应的相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 【易错警示】 一般解题步骤： （1）确定单位线（当时的等和线）； （2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 题型06 极化恒等式解决数量积问题 1．已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解. 【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 2．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 3．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 4．（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）如图，点在边上，以为直径的半圆与等腰直角三角形的直角边都相切，是所在平面内一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】取MN的中点为点O，通过作适当的辅助线求出圆的半径，然后利用极化恒等式进行求解. 【详解】设为的中点，作垂直于BC于点D，OE垂直于AB于点E，则四边形OEBD为正方形， 设，在中, ， 即，解得， 则， ， 当且仅当与重合时等号成立，所以的最小值为. 5．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，利用向量的运算可以将转化为，进而得解. 【详解】∵，∴点在线段上，且， ∴ ， ∵，∴. 故选：A 6．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 【易错警示】 1、适用范围 极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数量积，可利用极化恒等式进行转化求解. 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题 2、使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： （1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在中，若求.，取中点，连接. （2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即. （3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积. 1．若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得. 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 2．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解 【详解】因为是的中点，所以； 又是的中点，根据向量中点性质：， 将代入得： . 3．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 4．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知，，，则“”是“向量，共线”的（    ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【详解】若，则，，此时，所以向量，共线． 所以“”是“向量，共线”的充分条件． 若向量，共线，则，解得或． 所以“”不是“向量，共线”的必要条件． 因此“”是“向量，共线”的充分不必要条件． 5．（25-26高一下·河南·阶段检测）在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值. 【详解】， 则，，解得 6．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 7．在中，，，若，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量的基本定理用表示出，，然后联立求解即可. 【详解】 如图所示：由于，， 所以，， 所以，所以. 故选：C 8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得出，结合平面向量的线性运算可得出关于、的表达式. 【详解】因为在“赵爽弦图”中，若， 所以 ， 所以，所以，所以. 故选：B. 9．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理和共线向量定理的推论求解可得. 【详解】由题意可得． 因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以． 又因为，所以， 所以，消去，可得．    10．（25-26高一下·山东青岛·期中）在矩形中，，分别为，的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】在矩形中，由分别为的中点，得， 解得，因此， 而，且向量不共线，则， 所以. 11．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（     ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】先根据向量的性质得到，再使用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由于是的中点，故. 而点在直线上，故， 从而， 当且仅当等号成立. 12．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】由 因为，所以是正三角形， 在中，， ， 在上，， ，则取值范围是 13．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故选：C.    14．如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，将的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值. 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 15．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果． 【详解】 如图，设，，设P是直线EF上一点， 令，则， ，又，所以 因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值， 设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1， 连接MP，连接并延长使之与EF交于点， 过M作，垂足为N， 因为，设，则， ， 则，由，得， 故的最大值为． 故选：D． 16．如图所示，点是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，点B是AC的中点，，且． ①当时，______； ②的最大值为______． 【答案】 －1 【分析】根据题意作出图形，利用向量的线性运算及平行四边形的性质，结合图形即可求解. 【详解】①由题意可知，作出图形如图所示 因为点B是AC的中点， 所以,即, 因为， 所以, 因为， 所以, 所以， 所以当时，. ②过作交于,过作交的延长线于,如图所示 因为四边形是平行四边形， 所以. 又； 所以，； 由图形看出，当与重合时，； 此时取最大值，取得最小值 所以的最大值为. 故答案为：；. 17．如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 18．（25-26高一下·河北保定·期中）已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】利用恒等式，将与建立联系，再通过的范围求的取值范围. 【详解】连接并延长交于，同时交圆于，由等边的性质知是的中点，且， ， ， 当点P在圆上运动时，P位于C处时，有最大值为； 当P位于Q处时，有最小值为； 所以， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $