第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以集合、逻辑用语、不等式为核心，整合跨模块应用与创新题型，强化数学抽象、逻辑推理及模型应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑用语|6题（如单选1、2，多选9）|集合运算、充要条件判断、新定义集合|集合为基础工具，逻辑用语连接概念与性质，形成“概念-判断-应用”链条| |不等式应用|7题（如单选3、6，解答15）|最值求解、实际应用、三角不等式|不等式与函数、三角结合，体现“性质推导-模型构建-运算求解”逻辑| |创新与综合|4题（如单选5、11，解答19）|新考法（传令兵问题）、凸集定义、排列逆对数|通过新情境考查知识迁移，发展数学眼光与创新意识|

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 2．（2026·北京大兴·三模）设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】函数图象关于轴对称，等价于该函数是偶函数．先根据求出参数应满足的条件，再判断两个命题之间的推出关系； 【详解】函数的图象关于轴对称，当且仅当对任意，都有 即 展开得即 上式对任意恒成立，则得，则有． 反过来，当该式成立时，，上述等式也恒成立，因此这是图象关于轴对称的充要条件． 若的图象关于轴对称，则． 所以“”是“的图象关于轴对称”的必要条件． 反之，若取，有，此时，显然其图象不关于轴对称，故充分性不成立. 综上，“”是“的图象关于轴对称”的必要不充分条件． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 4．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】A 【分析】根据数量积的定义及余弦定理，找到三边之间的关系，进而由余弦定理和基本不等式求解最值即可. 【详解】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 新考法5．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 6．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正余弦定理和三角恒等变换公式可得，结合正切两角和差公式可得，换元令，利用基本不等式可得最值. 【详解】由及，可得， 化简可得，由正弦定理边角互化可得， 则有，即， 所以，， ， 令，， 由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 此时. 所以的最大值为. 故选：D. 创新题7．（2026·北京丰台·三模）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，分别作出函数、和的图象，易得点，关于直线对称，进而得到；对于B，联立，结合零点存在定理得到，结合图象得到，结合的单调性及放缩法证明即可；对于C，利用基本不等式证明即可；对于D，联系，结合零点存在定理得到，构造函数，结合导数与单调性证明即可. 【详解】对于A，作出函数、和的图象， 因为和互为反函数，所以它们的图象关于直线对称. 直线与垂直，即关于直线对称， 所以交点，关于直线对称，所以，， 又在直线上，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，设，则单调递增， 因为，，所以由零点存在定理知，的零点在上， 所以，所以. 结合图象可知，，则，. 所以，故B错误. 对于C，易知，所以，故C正确； 对于D，由，得，设，， 则在上单调递增， 又，，所以. 因为，设，，则， 所以在上单调递增，所以，故D正确. 8．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过等式得出与的关系，然后构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 令，所以，因为恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，令， 所以，令， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值为， 即的最大值是，故C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·安徽·三模）已知集合是第一象限角，，则（  ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【分析】由题设，结合已知判断A、B，应用辅助角公式得、，结合前提描述及正弦函数的性质判断C、D. 【详解】由是第一象限角，， 所以间没有包含关系，且，A错，B对， 由，且，则，， 所以，则恒成立，C对， 由且， 所以，则，D错. 10．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 创新题11．（2026·河南郑州·一模）设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有，则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先明确每个不等式所表示的区域，再判断区域内任意两点的连线是否在区域内即可. 【详解】对于A：它表示的是一个菱形区域，任意两点的连线都在区域内，是凸集； 对于B：它表示的是椭圆及其内部，任意两点的连线都在椭圆内，是凸集； 对于C：它表示的是双曲线的两支及其外侧，分别取两支上的一点，连线会穿过中间空白区域，不是凸集； 对于D：它表示的是开口向上的抛物线及其内部，任意两点连线都在区域内，是凸集. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知集合 ，则__________． 【答案】 【分析】先分别化简集合A（求二次函数的值域）和集合B（解绝对值不等式），再计算两个数集的交集即可. 【详解】由， ， 所以 创新题13．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【分析】用列举法列出集合、，再根据所给定义列出即可判断. 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 14．（2026·安徽·模拟预测）若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 【答案】/ 【分析】利用不等式，结合基本不等式求解． 【详解】因 ≤， 当时，， 的最大值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（2026·山东青岛·三模） 记的内角，，的对边分别为，，. (1)求证：“”是“”的充要条件； (2)求的最大值. 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）充分性：要证若则，可利用正弦定理、正弦函数性质结合三角形内角的范围进行推导；必要性：要证若则，可利用余弦定理，结合三角形内角的范围以及三边关系进行推导； （2）因为，所以先将转化为，再利用三角恒等变换将式子化为只含一个角，最后根据三角函数的单调性求最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，. 若，因为，， 若，在单调递增，故； 若，则，， 因此，即，得，充分性成立， 反之，若，由余弦定理得， ，，，，； ，即； ，，在上单调递减，. 综上所述，“”是“”的充要条件.（5分） （2），，即. 又，，即，； ，，，，即； 当时，， 此时，. 令，； 则； 令，得，即或； ，，即； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，取得最大值，即. 的最大值为.（13分） 16．（15分）（2025·四川·模拟预测） 关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解二次不等式即可得到集合； （2）根据题意求出集合，再由“”是 “”的必要不充分条件，得到集合是集合的真子集，则，解不等式即可． 【详解】（1）不等式， 即，解得， ；（6分） （2）不等式， 即，解得， 所以集合， 又因为“”是 “”的必要不充分条件， 集合是集合的真子集， ，解得， 则实数的取值范围是．（15分） 17．（15分） 已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 【详解】（1）集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为；（6分） （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件．（15分） 18．（17分） 已知函数（为常数）且方程有两个实根为． （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式 【答案】（1）；（2）详见解析. 【分析】（1）把两根代入方程，即得解析式； （2）由题可得不等式等价为，按照进行分类讨论，得到解集. 【详解】（1）依题意， ， 解得 ；（6分） （2）由，可得， 整理得，又因为， 所以不等式等价为， 又， ①当时，， ∴， ∴或； ②当时，， ∴； ③当时， ∴， ∴或； 综上所述：当时，不等式解集为或； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或（17分） 创新题19．（17分）（2026·河南·三模） 给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】(1) ， (2)（i） ；（ii） 【分析】（1）根据集合及“逆对数”的定义，结合已知条件，写出，； （2）（i）方案一：按“去掉后逆对数的变化”分类，综合得出递推式；方案二：按的位置直接分类，综合得出递推式； （ii）插入，分类讨论逆对数的来源，建立递推关系，再构造等比数列求通项． 【详解】（1） ， ．（4分） （2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列， 且这两个数为， 若去掉中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于，之间或最后； 若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置， ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设，，则当的逆对数为1时， 前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数， 综上， ．（9分） （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于，或，之间或最后： 若去掉后逆对数为1，且为，则可能位于除最后与，之间的所有位置， ， 由（i）知 ， 又 ，则 ， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， ， ， 又 ，则 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ．（17分） 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B A C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由正弦定理，得，. 若，因为，， 若，在单调递增，故； 若，则，， 因此，即，得，充分性成立， 反之，若，由余弦定理得， ，，，，； ，即； ，，在上单调递减，. 综上所述，“”是“”的充要条件.（5分） （2），，即. 又，，即，； ，，，，即； 当时，， 此时，. 令，； 则； 令，得，即或； ，，即； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，取得最大值，即. 的最大值为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）不等式， 即，解得， ；（6分） （2）不等式， 即，解得， 所以集合， 又因为“”是 “”的必要不充分条件， 集合是集合的真子集， ，解得， 则实数的取值范围是．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）集合， 若存在，使得，只需集合在内有解， 即大于在内的最小值， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在内的最小值为， 所以，解得， 所以的范围为；（6分） （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）依题意， ， 解得 ；（6分） （2）由，可得， 整理得，又因为， 所以不等式等价为， 又， ①当时，， ∴， ∴或； ②当时，， ∴； ③当时， ∴， ∴或； 综上所述：当时，不等式解集为或； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或（17分） 19．（17分） 【解析】（1） ， ．（4分） （2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列， 且这两个数为， 若去掉中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于，之间或最后； 若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置， ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设，，则当的逆对数为1时， 前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数， 综上， ．（9分） （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于，或，之间或最后： 若去掉后逆对数为1，且为，则可能位于除最后与，之间的所有位置， ， 由（i）知 ， 又 ，则 ， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， ， ， 又 ，则 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ．（17分） 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京大兴·三模）设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 新考法5．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 6．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 创新题7．（2026·北京丰台·三模）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·安徽·三模）已知集合是第一象限角，，则（  ） A． B． C．， D．， 10．（2026·河南·模拟预测）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 创新题11．（2026·河南郑州·一模）设为坐标原点，若对于区域中任意两点，都有，则称为“凸集”，则下列不等式所表示的区域中，是凸集的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知集合 ，则__________． 创新题13．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 14．（2026·安徽·模拟预测）若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（2026·山东青岛·三模） 记的内角，，的对边分别为，，. (1)求证：“”是“”的充要条件； (2)求的最大值. 16．（15分）（2025·四川·模拟预测） 关于的不等式的解集记为．关于的不等式的解集记为． (1)求集合； (2)若“”是 “”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数（为常数）且方程有两个实根为． （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式 创新题19．（17分）（2026·河南·三模） 给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $