学易金卷：高二数学下学期期末真题重组卷（上海专用，沪教版选修一+选修二全部：直线+圆锥曲线+空间向量及其应用+数列+导数+计数原理+概率统计）

**基本信息** 沪教版高二下期末真题重组卷，融合多区期末真题，覆盖选择性必修一、二核心内容，梯度设计合理，突出空间观念、数据意识与逻辑推理，适配高二学段综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/48|直线垂直、二项式系数、正方体异面角、统计百分位数等|基础与中档结合，如第3题正方体异面角考查空间观念| |选择题|4/18|方程化简、事件关系、抛物线与圆相切、函数极值点判断|概念辨析与逻辑推理，如14题事件关系考查推理意识| |解答题|5/78|数列证明与单调性、统计应用、立体几何面面角、导数切线、椭圆综合|综合性强，如18题结合频率分布直方图与茎叶图考查数据意识，21题椭圆综合考查模型观念与创新意识|

2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数学·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1. 2 2. 3. 4. 10.2 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 题号 13 14 15 16 答案 B C D A 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分） （1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为......................................................................7分 （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以...............................................................................................................................................................14分 18．（本题14分） （1）由茎叶图知，得分在的频数分别为， 由频率分布直方图知，得分在的频率为，因此， ，由，得， 所以； 各组的平均数分别是54.5，65，75，85，93.5，相应的频率分别是0.16，0.3，0.4，0.1，0.04， 所以估测本次竞赛学生成绩的平均数.........................................................................7分 （2）设在内的人数分别是，抽取的人数分别是 ， 由，解得； 由，解得， 所以从这8名学生的成绩中随机抽取2名，至少1名学生的成绩在的概率是.......................................................................................................................................................14分 19．（本题14分） （1）因为且， ， 所以， 因此与共面；........................................................................................................................................4分 （2）以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量是 则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为；............................................................8分 （3），， 从而点到平面的距离为， 由可化简得，， 设与平面所成角为， 则， 令，则 ，（当时取等号）， 所以， 因为时，严格增， 所以当时，与平面所成的角取得最大值， 此时，即时， 与平面所成的角取得最大值.................................................................................................................14分 20．（本题18分） （1）依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即.....................................................................................4分 （2）方程，令函数， 则关于的方程解的个数，即为直线与函数图象交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，， 当时，直线与函数图象有2个交点，原方程有2个解； 当时，直线与函数图象有1个交点，原方程有1个解； 当时，直线与函数图象无交点，原方程有0个解...............................................10分 （3）假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线....................................................................................18分 21．（本题18分） （1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为．....................................................................................................................................4分 （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值．............................................................................................10分 （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．................................................................................18分    2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 .: : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 O 在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 : .… 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) 1.(2025高二下·上海宝山期末)己知直线：x+2y=m和l,:x+(-3)y=2互相垂直，则实数m= 2.（2025高二下·上海青浦·期末)（2-x)°的展开式中含x项的系数为 O 3.(2025高二下·上海青浦·期末)在正方体ABCD-AB,C1D中，E为AB的中点，则异面直线EB,与AD所 成角的大小为 4.(2025高二下·上海嘉定·期末)某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm)的样本数据在7~12cm之间，其 : : 茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是」 : 78 8 6 9 9 6 778 : 1 10 02 6 112 7 5.(2025高二下·上海杨浦期末)在集合1,2,3,4,5}中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个 : 数成等差数列的概率是 6.(2025病=下-上海青浦期末)在数列a3中，4=子：421=a-10u≥2)，则4 7.(2025高二下-上海浦东新期末)设函数f(x)=-9x2+6x-a,若函数有且只有一个零点，则实数a : 的取值范围是」 : 8。②25商二下上海浦东新期未)如图。风、￡是椭圆G:产+芳-1与双前线： -y=1的公共 焦点，A、B分别是C、C,在第二、四象限的公共点，若四边形AEBF为矩形，则C的离心率是 试题第1页（共4页） .: .: ⊙学科网·学易金卷做赶機：就限是 B 9.(2025高二下上海青浦期末)已知点P为椭圆了+”=1上任意一点，Br为圆N:(K-12+少=4的任 43 意一条直径，则PE.PF的取值范围是 10.（2025高二下·上海嘉定·期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C1D中，点P是对角线AC1上 的动点（点P与点A、C不重合），则直线A4与BP所成角的取值范围是· 0 B P 11.(2025高二下·上海浦东新·期末)已知随机变量X~N(2,4),4,b是正实数，满足P(X≥a=P(X≤2b), 则2+3的最小值为 a b 12.(2025高二下·上海青浦·期末)已知A,B,C是抛物线y2=2px上三点，其中A(2,2),直线AB,AC是圆 (x-2)+y2=2的两条切线，则直线BC的方程为· 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.(2025高二下·上海崇明·期末)方程Vx-1)2+y2x+1川可以化简为（) A.y2=2x B.y2=4x C.x2=2y D.x2=4y 14.(2025高三下上海松江期未)若事件A、8满足P(4n8)-名P)-号P(®)-子，则A与 B的关系是() A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.互斥且相互独立 15.（2025高二下·上海静安·期末)圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的 方程是() A.x2+y2-x-2y+1=0 B.2+-x-2y-1=0 4 C.x2+y2+x-2y+1=0 D.2+2-x-2y+1=0 4 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做怒卷：限美是鲁幕 16.(2025高二下·上海金山期末)已知f(x)=sinx+lnr,将y=f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序 排列，得到数列{x},对于正整数n有如下两个命题：甲：(n-1)π<xn<nπ；乙： (2-1)π (2n+1)π 2 恒成立；则() A.甲正确，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲错误，乙错误 三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分） 17.(本题14分)(2025高二下·上海宝山期末)已知数列{a}中，4=1,4=20-1+1(n≥2)：数列{b}为 等差数列，且满足：b=1,b+2=4。 (1)求证：数列{a+}为等比数列，并写出数列{a}的通项公式： (2)令cn=2log2(an+1)-nb.,若数列{cn}为严格减数列，求实数的取值范围. 18.（本题14分)（2025高二下·上海松江·期末)为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次“数学应用 能力竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分 100分)作为样本（样本容量为n)进行统计，按照[50,60），[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率 分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50,60），[90,100]的数据)，如图所示. 个频率/组距 0.040 X 0.016 0.010 y 5060708090100成绩/分 茎叶图 512345678 6 7 6 34 (I)求样本容量和频率分布直方图中x,y的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；（备注：当没有提供每个 数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值) (2)在[60,70)，[70,80)[80,90)内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求 至少1名学生的成绩在[70,80)的概率. 19.（本题14分)（2025高二下·上海宝山期末)如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别 试题第3页（共4页） 为BDCC:的中点，点G是平面ADDA上的点. D : C A F D C E B (I)若点G是AD的中点，证明：GF与AB、AD共面； 米 (2)求平面ADG与平面BDF所成的锐二面角的大小： (3)诺点G满足DG=D1+uD丽(ue[Q,》,且点G到平面BDr的距离为y 试确定点G的位置，使 3 得GE与平面BDF所成的角取得最大值 游 游 T+四8·x=(/咩纪（半饰的漂球T0)(8路）0配 (1)求曲线y=f(x)+8(x)在x=1处的切线： S (2)设a∈R,试根据a的不同取值，讨论关于x的方程f()=g(x)+a解的个数； (3)与曲线y=f(x)y=g(x)均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由， 21.(本题18分》(2025宽=下上海金山期未)已知药圆C若+芳-1(a>60)的长轴为0，稀圆的 离心率e=3 ,左右焦点分别记作R、耳，且M=1,过耳、分别作直线、☑交椭圆于AB、CD 世 (B,C在x轴上方)，且川2： (1)求此椭圆方程. ..0 (2)当直线l的斜率k与直线BC的斜率飞都存在时，求证：k·k为定值. (3)求四边形AED面积的最大值. :0 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数__________. 【答案】2 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 2．（2025高二下·上海青浦·期末）的展开式中含项的系数为_____. 【答案】 【详解】因为含展开式的通项为，所以含项的系数为. 故答案为：. 3．（2025高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_____. 【答案】 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故所成角的大小为 故答案为：. 4．（2025高二下·上海嘉定·期末）某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______． 【答案】10.2 【详解】由题知，样本数据有， 共个，则， 则这组数据的第百分位数为. 故答案为： 5．（2025高二下·上海杨浦·期末）在集合中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是________． 【答案】/ 【详解】在集合中任取3个不同的数，共有种， 选出三个数成等差数列有：这四种选法； 故这三个数成等差数列的概率是， 故答案为： 6．（2025高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则______. 【答案】/0.8 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 7．（2025高二下·上海浦东新·期末）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由可得， 依题意，直线与函数的图象有且仅有一个交点. 因，由可得或，由可得， 即函数在上单调递增；在上单调递减， 故函数在时取得极大值，即； 当时取得极小值，即， 且当时，，当时，，如图所示.    由图可得，要使直线与函数的图象有且仅有一个交点， 需使或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（2025高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________.    【答案】/ 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 9．（2025高二下·上海青浦·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 10．（2025高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 11．（2025高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量，是正实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】由题意得随机变量， 且由正态分布性质得， 因为，所以， 由正态分布性质得，而， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 12．（2025高二下·上海青浦·期末）已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为_____. 【答案】 【详解】 点在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为， 又直线，是圆的两条切线， 设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径，则， 所以，解得，则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和抛物线的方程，得，由， 得，得，直线的方程为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 14．（2025高二下·上海松江·期末）若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 【答案】C 【详解】因为，. 又因为 ，所以有 ， 所以事件 与 相互独立，不互斥也不对立. 故选：C. 15．（2025高二下·上海静安·期末）圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆心坐标为,则由所求圆与抛物线的准线及x轴都相切可得 所以，故圆心为半径所以圆心在抛物线上,并与抛物线的准线及x轴都相切的圆方程为即，所以D选项是正确的 16．（2025高二下·上海金山·期末）已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 导函数，令，得， 所以函数的极值点为函数与函数的图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与函数的图象， 如图所示：    由图象可知，在区间内，函数与函数的图象有且仅有1个交点， 则，所以命题甲正确； 表示两点与间距离， 由图象可知，随着n的增大，两点间距离越来越近， 即恒成立，故乙命题正确； 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2). （2）根据增数列得对任意正整数都成立，化简后可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为........................7分 （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以.........................14分 18．（本题14分）（2025高二下·上海松江·期末）为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次 “数学应用能力竞赛” . 为了解参加本次竞赛学生的成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩( 得分取正整数， 满分100分 )作为样本 (样本容量为)进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)， 如图所示.       (1)求样本容量和频率分布直方图中的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；(备注:当没有提供每个数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.) (2)在内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求至少1名学生的成绩在的概率. 【答案】(1)，70.46 (2) 【详解】（1）由茎叶图知，得分在的频数分别为， 由频率分布直方图知，得分在的频率为，因此， ，由，得， 所以； 各组的平均数分别是54.5，65，75，85，93.5，相应的频率分别是0.16，0.3，0.4，0.1，0.04， 所以估测本次竞赛学生成绩的平均数.........................7分 （2）设在内的人数分别是，抽取的人数分别是 ， 由，解得； 由，解得， 所以从这8名学生的成绩中随机抽取2名，至少1名学生的成绩在的概率是.........................14分 19．（本题14分）（2025高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)时，与平面所成的角取得最大值. 【分析】（1）计算出，得到与共面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而利用夹角余弦公式得到平面与平面所成的锐二面角的大小； （3）在（2）基础上，根据点到平面的距离得到方程，求出，设与平面所成角为，计算出，此时，结合正弦函数单调性得到结论. 【详解】（1）因为且， ， 所以， 因此与共面；.........................4分 （2）以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量是 则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为；.........................8分 （3），， 从而点到平面的距离为， 由可化简得，， 设与平面所成角为， 则， 令，则 ，（当时取等号）， 所以， 因为时，严格增， 所以当时，与平面所成的角取得最大值， 此时，即时， 与平面所成的角取得最大值..........................14分 20．（本题18分）（2025高二下·上海崇明·期末）已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)存在，有2条. 【详解】（1）依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即.........................4分 （2）方程，令函数， 则关于的方程解的个数，即为直线与函数图象交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，， 当时，直线与函数图象有2个交点，原方程有2个解； 当时，直线与函数图象有1个交点，原方程有1个解； 当时，直线与函数图象无交点，原方程有0个解.........................10分 （3）假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线.........................18分 21．（本题18分）（2025高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为．........................4分 （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值．........................10分 （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．........................18分    2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分) 1.（2025高二下·上海宝山期末)己知直线：x+2y=m和：x+(m-3)y=2互相垂直，则实数= 2.(2025高二下·上海青浦期末)(2-x)°的展开式中含x3项的系数为. 3.(2025高二下·上海青浦期末)在正方体ABCD-AB,C1D中，E为AB的中点，则异面直线EB与AD所 成角的大小为 4.(2025高二下·上海嘉定·期末)某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm)的样本数据在7~12cm之间，其茎 叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是 78 8 6 9 9 1 6 778 10 0 2 6 112 7 5.(2025高二下·上海杨浦·期末)在集合1,2,3,4,5}中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数 成等差数列的概率是一· 1 6.(2025高二下.上海青浦期末)在数列a}中，4=-4aa1=a1-1(m≥2)，则as一 7.（2025高二下上海浦东新期末)设函数∫冈)=-x+6-a,若函数有且只有一个零点，则实数a 1/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 取值范围是 8.（2025高二下·上海浦东新期未)如图，、乃是椭圆℃：号+广 +=1与双曲线C:5少三1豹公共 焦点，A、B分别是C、C,在第二、四象限的公共点，若四边形ABF为矩形，则C的离心率是 9.(2025高二下-上海青浦期未)己知点P为椭圆+上-1上任意一点，B那为圆N:(K-1+少=4的任 43 意一条直径，则PE.PF的取值范围是 10.(2025高二下·上海嘉定·期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C1D中，点P是对角线AC1上的 动点（点P与点A、C1不重合)，则直线AA与BP所成角的取值范围是一 D B 11.(2025高二下·上海浦东新·期末)已知随机变量X~N(2,4),a,b是正实数，满足P(X≥a)=P(X≤2b), 则子的设小道为 12.(2025高二下·上海青浦·期末)己知A,B,C是抛物线y2=2px上三点，其中A(2,2),直线AB,AC是圆 (x-2)+y2=2的两条切线，则直线BC的方程为一· 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13.(2025高二下·上海崇明期末)方程V(x-1)2+y2=x+1川可以化简为() A.y2=2x B.y2=4x C.x2=2y D.x2=4y 2/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 14.(2025高=下上海松江期末)若事件A、日满足P(4n8)-名P(4)-子P()-,则A与 B的关系是() A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.互斥且相互独立 15.（2025高二下·上海静安·期末)圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方 程是() A.x2+y2-x-2y+1=0 B.x2+y2-x-2y- 4 C.x2+y2+x-2y+1=0 0 D.x2+y2-x-2y+ 16.(2025高二下·上海金山期末)已知∫(x)=sinr+hx,将y=∫(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排 列，得到数列{x},对于正整数n有如下两个命题：甲：(-1)π<xn<r;乙： (21 (2n+1)π 恒成立：则() 2 A.甲正确，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲错误，乙错误 三、解答题（本大题共有5题，第1719题每题14分，第2021题每题18分，满分78分） 17.（本题14分)(2025高二下·上海宝山期末)己知数列{4}中，4=1,4=24-1+1(n≥2)：数列{b}为 等差数列，且满足：b=1,b+2=4. (1)求证：数列{a+}为等比数列，并写出数列{a}的通项公式： (2)冷Cn=元log2(a+1)-b,若数列{cn}为严格减数列，求实数元的取值范围 3/7 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(本题14分)(2025高二下·上海松江·期末)为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次“数学应用 能力竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100 分)作为样本（样本容量为n)进行统计，按照[50,60），[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布 直方图，并作出部分样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50,60），「90,100]的数据)，如图所示 个频率/组距 0.040 0.016 0.010 O 5060708090100成绩/分 茎叶图 512345678 6 1 934 (1)求样本容量和频率分布直方图中x,y的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数：（备注：当没有提供每个 数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值) (2)在[60,70)，[70,80)，[80,90)内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求 至少1名学生的成绩在[70,80)的概率. 4/7 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 19.（本题14分)(2025高二下·上海宝山期末)如图，棱长为2的正方体ABCD-ABC1D中，E、F分别 为BDCC的中点，点G是平面ADDA上的点 D C A 6 D B (I)若点G是AD的中点，证明：GF与AB、AD共面： (2)求平面ADG与平面BDF所成的锐二面角的大小： (B)若点G满足DG=DA+uD丽(2，u∈[O,),且点G到平面BDF的距离为 试确定点G的位置，使 3 得GE与平面BDF所成的角取得最大值. 5/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 20.（本题18分)(2025高二下·上海崇明期末)己知f)=1血x,g()=x+1. 4 (1)求曲线y=f(x)+8(x)在x=1处的切线： (2)设a∈R,试根据a的不同取值，讨论关于x的方程f()=g()+a解的个数： (3)与曲线y=f(x人y=8(x)均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由. 6/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.（本题18分)(2025商=下上海金山明未)已知稀圆C+号-1a~b:0)的长架为Mv,肠圆的疼 心率e=5,左右焦点分别记作R、R,且MN=1,过A、R分别作直线、马交椭圆于AB、CD (B,C在x轴上方)，且W仍； (1)求此椭圆方程. (2)当直线l的斜率k与直线BC的斜率k都存在时，求证：k·k2为定值. (3)求四边形A乃D面积的最大值. 7/7 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.1 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7- 12题每题5分) 2 47 拓 3 0 阳 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15 16题每题5分) 13[A][B][C]D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 个频率/组距 0.040 茎叶图 0.016 12345678 0.010 6 P 5060708090100成绩/分934 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) E、 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数__________. 2．（2025高二下·上海青浦·期末）的展开式中含项的系数为_____. 3．（2025高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_____. 4．（2025高二下·上海嘉定·期末）某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______． 5．（2025高二下·上海杨浦·期末）在集合中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是________． 6．（2025高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则______. 7．（2025高二下·上海浦东新·期末）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 8．（2025高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________.    9．（2025高二下·上海青浦·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 10．（2025高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 11．（2025高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量，是正实数，满足，则的最小值为___________. 12．（2025高二下·上海青浦·期末）已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 14．（2025高二下·上海松江·期末）若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 15．（2025高二下·上海静安·期末）圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A． B． C． D． 16．（2025高二下·上海金山·期末）已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 18．（本题14分）（2025高二下·上海松江·期末）为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次 “数学应用能力竞赛” . 为了解参加本次竞赛学生的成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩( 得分取正整数， 满分100分 )作为样本 (样本容量为)进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)， 如图所示.       (1)求样本容量和频率分布直方图中的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；(备注:当没有提供每个数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.) (2)在内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求至少1名学生的成绩在的概率. 19．（本题14分）（2025高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 20．（本题18分）（2025高二下·上海崇明·期末）已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 21．（本题18分）（2025高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末真题重组卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版选择性必修一&选择性必修二 一、填空题（1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分） 1．（2025高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数__________. 2．（2025高二下·上海青浦·期末）的展开式中含项的系数为_____. 3．（2025高二下·上海青浦·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_____. 4．（2025高二下·上海嘉定·期末）某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据在7~12cm之间，其茎叶图如图所示（整数部分作为茎，小数部分作为叶），则该样本数据的第75百分位数是______． 5．（2025高二下·上海杨浦·期末）在集合中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是________． 6．（2025高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则______. 7．（2025高二下·上海浦东新·期末）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 8．（2025高二下·上海浦东新·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________.    9．（2025高二下·上海青浦·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 10．（2025高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 11．（2025高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量，是正实数，满足，则的最小值为___________. 12．（2025高二下·上海青浦·期末）已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．（2025高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 14．（2025高二下·上海松江·期末）若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 15．（2025高二下·上海静安·期末）圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A． B． C． D． 16．（2025高二下·上海金山·期末）已知，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（    ） A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误 三、解答题(本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分) 17．（本题14分）（2025高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 18．（本题14分）（2025高二下·上海松江·期末）为增强学生的数学应用能力，学校举行了一次 “数学应用能力竞赛” . 为了解参加本次竞赛学生的成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩( 得分取正整数， 满分100分 )作为样本 (样本容量为)进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出部分样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)， 如图所示.       (1)求样本容量和频率分布直方图中的值，并估测本次竞赛学生成绩的平均数；(备注:当没有提供每个数据的精确值，只提供了它们所在的区间时，为计算平均数，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.) (2)在内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，从这8名学生中随机抽取2人，求至少1名学生的成绩在的概率. 19．（本题14分）（2025高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 20．（本题18分）（2025高二下·上海崇明·期末）已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 21．（本题18分）（2025高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $