精品解析：上海市七宝中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

七宝中学2025学年第二学期高二数学期末考试 出卷人：李佳伟 审卷人：汤华翔 一、填空题（共12小题，6*4+6*5=54分） 1. 设集合，，用列举法表示______． 2. 已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则__________. 3. 随机变量服从正态分布，若，则_________. 4. 已知，，，那么____________． 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 6. 已知函数，则__________. 7. 已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，则，的方差为__________. 8. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 9. 衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果.如果樟脑丸放置的时间（天数）和剩余的体积的关系式为（其中常数，是1颗新丸的体积），1颗新丸放置30天后，剩余的体积变为原来的，且樟脑丸之间互不影响，那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果，则应该在衣柜里一次性放置至少______颗樟脑丸. 10. 已知，其中，若存在使得，则k的最大值为________． 11. 已知集合，其中且，记，且对任意，都有，则的值是___________. 12. 设，不等式对所有的成立，则的最大值是______. 二、选择题（共4小题，4*2+5*2=18分） 13. 若a>b，则下列不等式正确的是（ ） A. B. a3>b3 C. a2+1>b2>1 D. ac2>bc2 14. 在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该省考生数学成绩的中位数为75分 B. 若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分 C. 从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人 D. 若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5. 15. 一枚质地均匀的骰子连续投掷n次，设事件M：点数既有奇数又有偶数，事件N：出现点数为偶数的次数不超过1次．有以下两个命题：①若，则M与N互斥；②若，则M与N相互独立．则（ ） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②均为假命题 16. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④. A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 三、解答题（共5小题，14*3+18+18=78分） 17. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数a的取值范围． 18. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）已知函数，若对任意，存在，使方程成立，求实数的取值范围. 19. 为了解短视频输入法的选词逻辑，随机选取某博主短视频的1500条弹幕作为样本语料库A，其中汉字“最”一共出现了40次，统计“最”字与其后紧跟字词的搭配情况，数据如表： “最”与其后面一个字词的搭配情况 频数 “最好” 8 “最新” 5 “最后” 3 “最爱” 2 其他 a 假设用频率估计概率. （1）求a的值，并估计该博主弹幕里“最”字出现的概率； （2）在语料库A中随机抽取3个“最”字，设其中搭配“最好”的次数为，求的分布列、数学期望和方差； （3）另选取该博主800条弹幕作为语料库B进行统计，“最”字出现了32次，其中“最厚”出现了2次，若输入拼音“zuihou”时，结合两个语料库的频率判断，“最后”和“最厚”中哪一个词语应该排在输入法更靠前的位置？（结论不要求证明） 20. 函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． （1）求证：为奇函数； （2）当a变化时，求函数不动点个数； （3）若存在，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 21. 已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，其中 对给定的整数m，n（其中记 （1）当时，求集合 （2）若且不是3的倍数，证明：； （3）从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2025学年第二学期高二数学期末考试 出卷人：李佳伟 审卷人：汤华翔 一、填空题（共12小题，6*4+6*5=54分） 1. 设集合，，用列举法表示______． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. 已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的数据求出样本的中心点，结合经验回归方程过样本中心点即得. 【详解】由，得， 则，所以. 故答案为： 3. 随机变量服从正态分布，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 则. 故答案为： 4. 已知，，，那么____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 6. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，令，得，进而求值即可. 【详解】函数， 则，所以， 所以， 则， ， 所以. 故答案为： 7. 已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，则，的方差为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】先求出数据的方差后再利用方差的性质可得新数据的方差. 【详解】数据的方差， 所以数据的方差为. 故答案为： 8. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】30 【解析】 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得， 由题知应为6的整数倍， 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 9. 衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果.如果樟脑丸放置的时间（天数）和剩余的体积的关系式为（其中常数，是1颗新丸的体积），1颗新丸放置30天后，剩余的体积变为原来的，且樟脑丸之间互不影响，那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果，则应该在衣柜里一次性放置至少______颗樟脑丸. 【答案】4 【解析】 【分析】根据所给关系式，先由30天后剩余的体积变为原来的，可得，可设设120天后1颗新丸剩余的体积为原来的，则有，联立可得，即可得解. 【详解】由樟脑丸放置的时间（天数）和剩余的体积的关系式为， ┄①， 设120天后1颗新丸剩余的体积为原来的， 则┄②， 由①②联立可得：， 所以， 可得，所以至少需要， 故答案为：. 10. 已知，其中，若存在使得，则k的最大值为________． 【答案】49 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，结合即可求出答案. 【详解】二项式的通项为，， 二项式的通项为，， ，， 若，则为奇数，此时，， 得，由，可得，即，， 又为奇数，的最大值为49. 11. 已知集合，其中且，记，且对任意，都有，则的值是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两端区间和的关系分三种情况讨论：在左边，在和之间，在右边三种情况，根据单调性可得的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可. 【详解】①当时，区间在的右侧，且在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，此时 ②当，即时，在和之间.因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，即，因为，故.因为此时在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，满足，此时 ③当，即时，在右边.此时在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，不满足. 综上所述，有或 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题. 12. 设，不等式对所有的成立，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，题意有，，再写出，三式消去后即得的不等关系后可得结论． 【详解】令，，则，于是 ① ② ③ 由①+②-③，得，故. 此时. 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查二次函数的性质．解题关键是由不等式恒成立，写出几个式子消去参数．本题考查了转化与化归思想． 二、选择题（共4小题，4*2+5*2=18分） 13. 若a>b，则下列不等式正确的是（ ） A. B. a3>b3 C. a2+1>b2>1 D. ac2>bc2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合特殊值法和函数单调性，即可求解. 【详解】对于A，令a=1，b=﹣1，满足a>b，但，故A错误， 对于B，∵f（x）=x3在R上单调递增， 又∵a>b， ∴f（a）>f（b），即a3>b3，故B正确， 对于C，令a=0，b=﹣2，满足a>b，但a2+1>b2>1不成立，故C错误， 对于D，当c=0时，ac2=bc2，故D错误. 故选：B. 14. 在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该省考生数学成绩的中位数为75分 B. 若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分 C. 从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人 D. 若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5. 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项． 【详解】由频率分布直方图知中位数在上，设其为，则， 解得，A错； 要全省的合格考通过率达到，设合格分数线为，则，，B正确； 由频率分布直方图优秀的频率为，因此人数为，C正确； 由频率分布直方图得平均分为，考试数学成绩的平均分约为70.5,D正确． 故选：A. 15. 一枚质地均匀的骰子连续投掷n次，设事件M：点数既有奇数又有偶数，事件N：出现点数为偶数的次数不超过1次．有以下两个命题：①若，则M与N互斥；②若，则M与N相互独立．则（ ） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】应用互斥事件定义及独立事件概率乘积公式结合独立重复试验判断即可. 【详解】设事件M：点数既有奇数又有偶数，事件N：出现点数为偶数的次数不超过1次． ①若，一次点数是奇数一次点数是偶数是，则M与N不互斥，①为假命题； ②若，，， 所以， 则M与N相互独立，②为真命题； 16. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④. A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先对函数分别求导，通过对的取值进行讨论，得出函数的最大值，即可求出，由数形结合思想可知，当直线经过点时，与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，通过比较和的大小，即可判断①错误，②正确；再利用指数和对数恒等式证明④正确，再利用反证法可判断③错误. 【详解】根据题意，由，得，令，解得， 同理，由，得，令，解得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时，函数有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 又函数和有相同的最大值，得，即，解得. 则两个函数图像如图所示，由数形结合思想可知，当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设， 则，，可知，所以，故①错误，②正确； 又，则，即， 又，，又当时，函数单调递增，所以， 又，即， 又，，又当时，函数单调递减，所以， 所以，，所以，即，故④正确； 如果成立，则，所以，即，所以，与矛盾，所以不成立，故③错误. 故选：A. 三、解答题（共5小题，14*3+18+18=78分） 17. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解分式不等式和一元二次不等式，再利用集合的交并补运算计算即得； （2）由题意得集合是集合的真子集，借助于数轴表示得到不等式组，解之即得. 【小问1详解】 由，可得，解得，即， 当时，即，解得， 即，故. 于是 【小问2详解】 由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集. 因，由可知， 故得，解得. 故实数的取值范围为. 18. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）已知函数，若对任意，存在，使方程成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得到，计算，再验证即可. （2）确定值域的包含关系，得到，，计算，考虑和两种情况，根据均值不等式计算最值得到答案. 【小问1详解】 为偶函数，则，即，解得， 故， ，满足条件. 【小问2详解】 设集合A为的值域，集合B为的值域，则， ，，，， ，，，， 最大值为或，或，，故， ，即在上有解， 在上有解，， 当时，，在上无解，舍去. 当时，得在上有解， 即在有解，得， ，当且仅当时，等号成立. 故，解得， 综上所述：. 19. 为了解短视频输入法的选词逻辑，随机选取某博主短视频的1500条弹幕作为样本语料库A，其中汉字“最”一共出现了40次，统计“最”字与其后紧跟字词的搭配情况，数据如表： “最”与其后面一个字词的搭配情况 频数 “最好” 8 “最新” 5 “最后” 3 “最爱” 2 其他 a 假设用频率估计概率. （1）求a的值，并估计该博主弹幕里“最”字出现的概率； （2）在语料库A中随机抽取3个“最”字，设其中搭配“最好”的次数为，求的分布列、数学期望和方差； （3）另选取该博主800条弹幕作为语料库B进行统计，“最”字出现了32次，其中“最厚”出现了2次，若输入拼音“zuihou”时，结合两个语料库的频率判断，“最后”和“最厚”中哪一个词语应该排在输入法更靠前的位置？（结论不要求证明） 【答案】（1），“最”字出现的概率估计为； （2） 0 1 2 3 ，. （3）“最后”应该排在输入法更靠前的位置 【解析】 【分析】（1）根据表中数据即可求得的值，再根据古典概型的概率求解即可； （2）确定，根据二项分布的概率及期望、方差公式求解即可； （3）计算语料库A、B中“最后”和“最厚”出现的概率，比较大小，可得结论. 【小问1详解】 由题意，得， 估计该博主弹幕里“最”字出现的概率为. 【小问2详解】 由题意，在语料库A中随机抽取3个“最”字，搭配1个“最好”出现的概率为， 则，即，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以，. 【小问3详解】 由题意知，样本语料库A中，在出现的“最”字的情况下，出现“最后”的频率为， 样本语料库B中，在出现的“最”字的情况下，出现“最厚”的频率为， 由于，则输入拼音“zuihou”时，“最后”应该排在输入法更靠前的位置. 20. 函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． （1）求证：为奇函数； （2）当a变化时，求函数不动点个数； （3）若存在，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】（1），故， 其中，则， 其中的定义域为，故为奇函数. （2）当时，函数没有不动点；当时，函数有1个不动点；当时，函数有2个不动点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，结合（2）中的单调性得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，令，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解， 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. 【小问3详解】 当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数的一个不动点，所以在时有解， 即在时有解， 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 且趋向于时，趋向于， 所以只需满足，即. 故a的取值范围是. 21. 已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，其中 对给定的整数m，n（其中记 （1）当时，求集合 （2）若且不是3的倍数，证明：； （3）从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过 【答案】（1） （2）若，则所求证结论显然成立； 若，则对任意的， 由题意得且， 则． 设中有个等于，有个等于2， 则． 因此 所以若不是3的倍数则即． （3）记＂从集合中随机取出一个函数属于＂为事件，则所求概率记为， 则. 下面计算： 由题意得，集合中共有个不同函数， 设中有个等于，有个等于2，则． 解方程组，得． 由于， 故当不能被3整除或时或时，上述方程组无解，此时； 当能被3整除且时，方程组有解，此时符合题意的函数共有个，因此． 下面计算： 对函数，若它也满足，则， 而． 因此，三者中有一个等于2，两个等于，所以共有种可能． 因此． 因此 由前面分析可知当不能被3整除或时或时，成立； 当能被3整除且时，． 由于，因此， 所以． 综上所述，从集合中随机取出一个函数， 它既属于又属于的概率不超过． 【解析】 【分析】（1）根据定义，分类讨论即可； （2）分和讨论即可； （3）根据条件概率公式得，然后再计算和即可. 【小问1详解】 当时，定义域为，，， 因为，所以， 由，，则， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $