黑龙江佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二下学期第三次月考数学试题

**基本信息** 以社会热点与数学思维为载体，融合统计应用、函数探究与立体几何，通过碳音球偏好分析、函数极值证明等题，体现用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、命题否定、函数单调性、期望|基础概念与基本运算结合，如第5题摸球期望考查概率应用| |多选题|3/18|线性回归、命题判断、函数性质|选项分层设计，如第9题线性回归结论辨析，考查数据观念| |填空题|3/15|随机变量、回归残差、排列组合|第13题残差计算结合预测，体现数据分析能力| |解答题|5/77|统计案例（列联表、分布列）、立体几何（二面角）、函数极值证明|第17题以碳音球热点设计统计问题，第19题函数极值三问层层递进，考查逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年度第二学期第三次月考试卷 高二数学学科 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知命题:，，则该命题的否定是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中,在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 5．从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分. 按照规则从容器中任意摸取2个球，所得分数的期望为（    ） A． B．3 C． D． 6．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 7．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 8．若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．y与x具有正的线性相关关系 B．经验回归直线一定经过点 C．若该大学某女生身高增加2cm，则其体重约增加1.7kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可以判断其体重必为58.79kg 10．下列命题正确的是（    ） A．已知，则 B．若，，且，则A，B相互独立 C．若随机变量，则 D．二项展开式的所有项的系数和为 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值 B．当时，的图象在点处的切线方程是 C．当时，函数有2个零点 D．若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若随机变量且，则________. 13．已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为且当x=9时，残差为-0.1．则当x=11时，y的预测值为___________． x 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 14．把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里，其中编号为1-5号的盒子，每个盒子至多放1个球，编号为6-7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有___________种. 四、本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)已知函数在区间上的最小值为－4，求. 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 17．羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? (2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． (3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18．已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求的值和抛物线的准线方程； (2)直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 19．已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C A D D D ABC BC 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】集合，，则 2．D 【分析】根据命题的否定判断即可. 【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：. 3．D 【分析】直接根据基本初等函数的性质判断可得. 【详解】一次函数为上的减函数，指数函数为上的减函数， 二次函数在区间上是减函数，在区间上单调递增； 幂函数为定义域上的增函数， 故选：D. 4．C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 5．A 【详解】得2分的概率为，得3分的概率为， 得4分的概率为， 则得分数的期望为. 6．D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 7．D 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 8．D 【分析】对求导分析函数单调性得到最大值，得到函数取最大值时的，进而建立关于的方程并求解. 【详解】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 即， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 9．ABC 【分析】根据回归方程，分析相关性判断A，由回归方程的实际意义、性质判断B、C、D. 【详解】由经验回归方程为知，y随x的增大而增大，所以y与x具有正相关关系，故A正确. 由最小二乘法建立回归方程的过程知，经验回归直线一定经过样本中心点，故B正确. 利用经验回归方程可以估计因变量，但只是预测值，故C正确，D不正确， 故选：ABC 10．BC 【分析】对于A，由组合数性质或即可求得的值，对于B，使用条件概率公式后可得，即A，B相互独立，对于C，由题意得，根据二项分布概率公式即可求解，对于D，令即可求二项展开式所有系数和. 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，令则有二项展开式的所有项的系数和为，故D错误. 故选：BC. 11．AD 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可判断A，利用导数的几何意义，即可判断B，根据函数的单调性和最值，讨论，即可判断C，构造函数，利用导数判断函数在区间的单调性，可得在区间恒成立，再根据函数的单调性和最值，即可判断D. 【详解】，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的最小值为，故A正确； 当时，，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，故B错误； 由A可知，函数的最小值为，当时，，此时函数没有零点，故C错误； 设， 则 ， 当时，，所以，单调递增，且， 所以时，， 即，， 若，，不妨设， 即，， 且由A可知，在区间单调递增，所以，即，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是D选项，属于极值点偏移问题，问题的关键是构造函数，结合导数判断函数的单调性. 12．0.6/ 【分析】利用正态分布对称性求解. 【详解】因为随机变量且， 所以， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 13． 【分析】经验回归直线方程过样本点的中心，所以把代入，结合残差公式联立方程组可求得的值，再代入求解即可. 【详解】由已知得，所以，① 又因为时，残差为-0.1，故，② 联立①②得；所以经验回归直线方程为， 所以，当时，． 14．98 【分析】解法一：利用分类加法计数原理分类计算可求得结论.解法二：用表示个分配指标，现考虑符合题意的一种放法：第1､2两个盒子各放1个球，第3､4､5､6盒子不放球，第7个盒子放3个球，这个放法可用符号表示为.进而可得，利用展开式中的系数可求得结论. 【详解】解法一：1-5号盒共放0个球，即5个球放入6-7号盒子，有种放法； 1-5号盒共放1个球，有种放法； 1-5号盒共放2个球，有种放法； 1-5号盒共放3个球，有种放法； 1-5号盒共放4个球，有种放法； 1-5号盒共放5个球，有1种放法，所以共有种放法. 解法二：用表示个分配指标，现考虑符合题意的一种放法： 第1､2两个盒子各放1个球，第3､4､5､6盒子不放球，第7个盒子放3个球， 这个放法可用符号表示为. 考虑母函数 ， 从第一､二个括号中各取，从第三､四､五､六个括号中各取，从第七个括号中取， 然后相乘，即得到展开式中的一个项， 此项的系数即为满足题意的分配名额的方案数. 从上分析可见，满足题意的名额分配的方案与多项式展开式中项正好一一对应， 故多项式的展开式中项的系数即为满足题意的名额分配的方案数. 又， 其中， 所以满足题意的分配方案数为98. 故答案为：98. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）由一元二次不等式求解可得； （2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得. 【详解】（1）当时，， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或. （2）开口向上，对称轴， 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 又，所以舍去； 当即时，最小值为，解得， 综上，. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 17．(1) 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关 (2) 0 1 2 3 (3) 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）利用超几何分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； （3）根据全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得列联表如下： 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 ， 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关． （2）依题意男性羽毛球爱好者偏好碳音球的抽取人， 偏好天然羽毛球的抽取人， 则的可能取值为，，，， 则，， ，， 则的分布列为, 0 1 2 3 所以的数学期望为： ； （3）记事件A为：抽取的人偏好碳音球：事件B为：抽取的人性别为男性， 则， 由全概率公式得， 则，即此人为男性的概率为. 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 故抛物线的标准方程为： （2）由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 19．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知有两个不同的实根，即方程有两个不同实根，令，通过求导求出的单调性，结合图象即可求出答案； （2），通过求导求出的单调性，即可求出答案； （3）函数，证明出，再证明在上单调递减，从而得到，结合第（2）问即可求出答案. 【详解】（1）由题意知． 因存在两个不同的极值点，故有两个不同的实根， 即方程有两个不同实根． 令，则． 令，因恒成立，故在上单调递减． 又，故： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，且． 又，，当，， 要使直线与图象有两个不同交点，必须满足． 当时，易知函数存在两个不同的极值点，符合题意， 故实数的取值范围是． （2）， ， 令， 所以单调递增，又， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 因此在处取得最大值，． 即的最大值为． （3）由（1）知．不妨设． 因在上递增，上递减，且，故必有． 构造函数， 当时，，即恒成立． 因为，所以．又，故． 因为，且在上单调递减， 所以，即． 当时，，此时，故在上单调递减． 由于，故． 于是． 由（2）知，当时，． 因为，所以． 综上可得，，原命题得证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $