精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2022-2023学年高二下学期第三次月考数学试题

2022-2023学年度高二第二学期第三次月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. “吸烟有害健康”，那么吸烟与健康之间（ ） A. 正相关 B. 负相关 C. 无相关 D. 不确定 2. 已知随机变量服从正态分布，若﹐则实数a的值等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 3. 的展开式中，含的项的系数是（ ） A. －40 B. 40 C. －80 D. 80 4. 若数列的通项公式，则此数列（ ） A. 是公差为-3的等差数列 B. 是公差为-2的等差数列 C. 是公差为3的等差数列 D. 是首项为3的等差数列 5. 某医院安排甲､乙等名医生到个社区去义诊，每个社区至少安排名医生，且每名医生只到个社区义诊，则甲､乙被安排在同一个社区义诊的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.76 D. 0.95 8. 甲乙两个盒子中有若干个大小相同的球，甲盒子中有4个红球和2个白球，乙盒子中有3个红球和1个白球，同时从甲乙盒子中各取出两个球，并进行交换，交换后，记乙盒中红球个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若样本数据，，，的样本方差为3，则数据，，，的方差为7 B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关 C. 对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立 D. 若，则取最大值时 10. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（ ） A B C. 展开式中常数项为 D. 展开式中含的项为 12. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若方程有两个不等的实数根，则 B. C. 若仅有一个极值点，则实数 D 当时，恒成立 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 5名同学从左向右站成一排，已知甲站在正中间，则乙不站在最右端的概率是________. 14. 已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：2，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为_____． 15. 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份 1 2 3 4 用水量 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则等于___ 16. 若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； （2）若广告支出为10万元，销售额应为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）求甲恰好正确完成两个面试题的概率； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 19. 如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 20. 2021年4月份以来新冠病毒变种“德尔塔”在全球肆虐，该病毒特征是传染性更强、更快、发病率高，某传染病研究所为研究新冠疫苗对新冠病毒变种“德尔塔”的有效性，在某疫区随机抽取100名居民，对其新冠疫苗接种情况和新冠病毒“德尔塔”感染情况进行调查与检测，对调查数据进行统计与分析得到列联表如下. 没有感染德尔塔病毒 感染德尔塔病毒 合计 未完成疫苗接种 15 63 完成疫苗接种 2 合计 50 100 （1）根据题意补充上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”是否有效； （2）从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层，用分层抽样方法抽取10个样本，再从这10个样本中随机抽取3人，这3人没有完成疫苗接种的人数为，求的分布列与数学期望. 附：. 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 21. 已知椭圆的离心率为，且过点，过的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若以为直径的圆过椭圆右焦点，求直线的方程. 22. 已知函数（）． （1）当时，讨论的单调性； （2）若对任意，恒成立，求整数a的所有取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度高二第二学期第三次月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. “吸烟有害健康”，那么吸烟与健康之间（ ） A. 正相关 B. 负相关 C. 无相关 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合生活常识，即可判断和选择. 【详解】因为吸烟有害健康，故吸烟和健康有关系； 且吸烟越多，对健康伤害越大，故吸烟和健康是负相关关系. 故选：B. 2. 已知随机变量服从正态分布，若﹐则实数a的值等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可 【详解】根据正态分布的对称性可得与关于对称，故，解得 故选：A 3. 的展开式中，含的项的系数是（ ） A. －40 B. 40 C. －80 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】在展开式的通项公式中令的次数为即可求解. 【详解】展开式的通项为．令，得，则含的项的系数是． 故选：C. 4. 若数列的通项公式，则此数列（ ） A. 是公差为-3的等差数列 B. 是公差为-2的等差数列 C. 是公差为3的等差数列 D. 是首项为3的等差数列 【答案】B 【解析】 【分析】结合求出和，逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，只有B项符合. 故选：B 5. 某医院安排甲､乙等名医生到个社区去义诊，每个社区至少安排名医生，且每名医生只到个社区义诊，则甲､乙被安排在同一个社区义诊的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将名医生分配到个社区分为两种情况，分别计算出两张情况的分配方案数，加和可得总体方案数；确定甲、乙被安排在同一社区的方案数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】将名医生分配到个社区有两种情况： 第一种情况是个社区分配名医生，另个社区分配名医生，有种不同的分配方案； 第二种情况是每个社区分配名医生，有种不同的分配方案； 将名医生分配到个社区去义诊，共有种不同的分配方案； 其中甲､乙被安排在同一个社区义诊的方案有种，所求概率． 故选：D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求得，通过赋值求得，再求即可. 【详解】因为， 故可得， 令，则，故， 则. 故选：. 7. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.76 D. 0.95 【答案】C 【解析】 【分析】记所求事件：利用，结合互斥事件的概率加法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品为事件， 则，， 记事件：从该地市场上买到一个合格灯泡，则， 所以. 故选：C. 8. 甲乙两个盒子中有若干个大小相同的球，甲盒子中有4个红球和2个白球，乙盒子中有3个红球和1个白球，同时从甲乙盒子中各取出两个球，并进行交换，交换后，记乙盒中红球个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得随机变量取值为，求得相应的概率，利用期望的公式，即可求解. 【详解】依题意，取值为， 其中表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出2个红球，可得； 表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球或者甲盒中取出1个红球和1个白球且乙盒中取2个红球，； 表示甲盒中取出数出1个红球和1个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球或者甲盒中取出2个红球且乙盒中取出2个红球，； 表示甲盒中取出取出2个红球且乙盒中取出1个红球和1个白球， ， 所以. 故选：C. 二、多选题：（9-12题，每题5分，部分答对得2分，共计20分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若样本数据，，，的样本方差为3，则数据，，，的方差为7 B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关 C. 对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立 D. 若，则取最大值时 【答案】BC 【解析】 【分析】根据方差的性质可判断A；根据变量x，y的线性回归方程的系数，可判断B；利用条件概率及独立事件的定义可判断C；根据二项分布概率公式可判断D. 【详解】对于A，数据，，…，的方差为，所以A错误； 对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确； 对于C，由，得，所以事件A与事件B独立，所以C正确； 对于D，由，即， 解得或，所以D错误． 故选：BC． 10. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两点分布性质可知，根据数学期望和方差计算公式可判断AB正误；根据均值和方差的性质可判断CD的正误. 【详解】解：随机变量服从两点分布且，， 对于A，，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（ ） A. B. C. 展开式中常数项为 D. 展开式中含的项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设且求n、a，再由二项式展开式通项求常数项和含的项，即可判断各项正误. 【详解】由题意知：当时， 又展开式中只有第6项的二项式系数最大，即， 所以，可得且，即，A正确. 所以且，则，B正确； 由上的展开式通项为， 故当时常数项为，C错误； 当时，D正确. 故选：ABD 12. 已知，，下列说法正确的是（ ） A. 若方程有两个不等的实数根，则 B. C. 若仅有一个极值点，则实数 D. 当时，恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】将A中问题转化为与有两个交点的问题，利用数形结合的方式可得A错误； 分别求得，采用作商法可比较出大小，知B正确； 当时，利用导数可确定仅有一个极值点，满足题意，可知C错误； 将D中问题转化为证明，利用导数可求得，由此可得D正确. 【详解】对于A，，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 当时，；当时，， 则图象如下图所示： 若方程有两个不等的实数根，则与有两个交点， 由图象可知：，A错误； 对于B，由知：，，， 则，故；，故； ，正确； 对于C．， 若仅有一个极值点，则仅有一个变号零点， ； 当没有变号根时，则与至多一个交点， ，在上单调递减，在上单调递增， ，， 当是方程的一根时，则不是的极值点，且， 取，则在单调递增， 又，， 故，使，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，又， 在上有一变号零点，即仅有一个极值点，符合题意； ，C错误； 对于D，要证，只需证，即证， 取，则． 在上单调递减，在上单调递增，， 即，D正确． 故选：BD. 【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到方程根的个数的求解、根据极值点个数求参数范围、不等式的证明等知识；求解方程根的个数的基本思路是将问题转化为两个函数交点个数的求解，从而利用数形结合的方式来判断；证明不等式的基本思路是将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数求得函数最值，进而证得结论. 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分） 13. 5名同学从左向右站成一排，已知甲站在正中间，则乙不站在最右端的概率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用条件概率公式以及排列组合求解. 【详解】记“甲站在中间”为事件A，“乙不站在最右端”为事件B， 则，， 所以. 故答案为: . 14. 已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：2，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式可求解得出. 【详解】设表示中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车， 则，，，， 则由全概率公式，可知一辆车中途停车修理的概率为. 故答案为： 15. 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份 1 2 3 4 用水量 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则等于___ 【答案】 【解析】 【分析】首先求出x，y的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】：（1+2+3+4）＝2.5，（4.5+4+3+2.5）＝3.5， 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a， 故a＝． 故答案为 点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题 16. 若方程，其中，则方程的自然数解的个数为__________. 【答案】28 【解析】 【分析】依据隔板法去求解即可. 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 四、解答题：（本大题共6小题，共计70分） 17. 某种产品的广告支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应关系： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； （2）若广告支出为10万元，销售额应为多少？ 参考公式：线性回归方程，其中，. 【答案】（1） （2）82.5万元. 【解析】 【分析】第（1）问，利用参考公式分别求出和即可； 第（2）问，将x=10代入（1）中线性回归方程预测销售额. 【小问1详解】 解：由已知，， ， ， ， ∴， ∴， ∴关于的线性回归方程为：. 【小问2详解】 由（1）中回归方程，当时，（万元） 因此，若广告支出为10万元，销售额约为82.5万元. 18. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）求甲恰好正确完成两个面试题的概率； （2）求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得： 设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ； 【小问2详解】 设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是． ，， ，． 应聘者乙正确完成题数的分布列为 19. 如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，是的中点，为的中点，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，设，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由求解. 【小问1详解】 证明：因为为三棱柱， 所以平面是平行四边形， 又交于点，所以是的中点． 又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 解：在直三棱柱中，平面，又， 所以、、两两互相垂直， 所以以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，，，， 所以，，，． 设平面的一个法向量为， 则，所以， 不妨令，则， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 不妨令，则． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 20. 2021年4月份以来新冠病毒变种“德尔塔”在全球肆虐，该病毒特征是传染性更强、更快、发病率高，某传染病研究所为研究新冠疫苗对新冠病毒变种“德尔塔”的有效性，在某疫区随机抽取100名居民，对其新冠疫苗接种情况和新冠病毒“德尔塔”感染情况进行调查与检测，对调查数据进行统计与分析得到列联表如下. 没有感染德尔塔病毒 感染德尔塔病毒 合计 未完成疫苗接种 15 63 完成疫苗接种 2 合计 50 100 （1）根据题意补充上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”是否有效； （2）从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层，用分层抽样方法抽取10个样本，再从这10个样本中随机抽取3人，这3人没有完成疫苗接种的人数为，求的分布列与数学期望. 附：. 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，是； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可补全列联表，根据公式计算的值，再结合表中的数值，进行判断即可； （2）根据分层抽样，得抽取的10人中，完成新冠疫苗接种的为7人，没有完成新冠疫苗接种的为3人，则随机变量的可能取值为0，1，2，3，再根据概率的计算公式求出每个取值所对应的概率，列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 由题知，列联表为 没有感染德尔塔病毒 感染德尔塔病毒 合计 未完成疫苗接种 15 48 63 完成疫苗接种 35 2 37 合计 50 50 100 ∴. ∵， ∴有的把握认为完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”有效. 【小问2详解】 由题知，从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层抽取的10人中，完成新冠疫苗接种的为7人，没有完成新冠疫苗接种的为3人， ∴的可能取值为0，1，2，3， ∴， ， ∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. 21. 已知椭圆的离心率为，且过点，过的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若以为直径的圆过椭圆右焦点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案. （2）设直线方程为：，，联立直线与椭圆得到，再根据求解即可. 【详解】（1）由题意可知，解得. 所以椭圆方程为 （2）由题意可知直线斜率必然存在，设为，故直线方程为：. 设 由得其中，解得. 由韦达定理可知： ，， 因为以为直径的圆过点， 所以，即. 所以. 化简得：，解得. 故直线方程为 22. 已知函数（）． （1）当时，讨论的单调性； （2）若对任意，恒成立，求整数a的所有取值． 【答案】（1）函数在上是减函数，在上也是减函数； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，构造函数利用导数可判断函数的正负，即得； （2）当时，，构造函数，可得整数，当时，，利用导函数求最小值，进而可得. 【小问1详解】 当时，， ∴， 设，， ∴， 当时，，单调递增，，故， 当时，，单调递减，，故， ∴函数在上是减函数，在上也是减函数； 【小问2详解】 当时，等价于， 令，因为， ∴，又，， ∴整数； 当时，等价于， ， 设，则， ∴当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又， ∴存在唯一的实数，使得，即， ∴当时，，当时，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故当时，， 因，， ∴，又， ∴， 故整数， 综上所述，整数a的所有取值为. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$