河北省衡水市第九中学2025-2026学年九年级下学期模拟考试数学试卷

**基本信息** 立足中考三轮冲刺，以工地手推车、古代织布问题等真实与文化情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，梯度设计凸显数学抽象、推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数估算、加权平均数、平行线性质|古代织布问题（题6）体现文化传承，河上建桥最短路径（题5）培养空间观念| |填空题|7/21|分式方程应用、圆的圆周角、二次函数交点|正六边形变扇形（题17）考查空间观念，折叠问题（题15）强化几何直观| |解答题|7/69|三角形全等、统计图表分析、圆的切线证明|平行四边形中垂直平分线综合题（题24）考查推理能力，统计概率题（题19）培养数据意识|

河北省衡水市第九中学2025-2026学年九年级下学期模拟考试数学试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上． 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．估算的值（　　） A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．无法确定 2．为促进学生德智体美劳全面发展，某学校规定学生的学期音乐总成绩满分为100分，其中课堂表现占20%，乐器演奏测试成绩占30%，音乐创作测试成绩占50%．小红的三项成绩（百分制）依次为95，85，80，则小红这学期的音乐成绩总分是（　　） A．88 B．90 C．86 D．85 3．工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝86°，则∠3的度数为（　　） A．104° B．128° C．130° D．156° 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．古代有一织布问题：用一匹布去量一根竹竿的长，布还剩余3尺；将布对折再量竹竿，则竹竿还剩余2尺，问竹竿长多少尺？可设竹竿长为x尺，布长为y尺，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C，D，E，F，G，H都是格点．连接BG交DC于点P，则△DGP的面积是（　　） A． B． C． D． 9．如果实数m、n（mn≠﹣1）分别满足4m2+2026m﹣3＝0，3n2﹣2026n﹣4＝0，则的值等于（　　） A． B． C． D．2026 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，D是AB的中点，E，F分别在边BC，AC上，若△DEF为等边三角形，则等边△DEF的边长为（　　） A．2 B． C． D．4 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程：__________． 12．一组数据 3，3，4，4，x，5，6 的平均数是 4，则这组数据的中位数是． 13．如图，点A、B、C、D在⊙O上，．若∠ABC＝140°，则∠ADB＝　 　 °． 14．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是 2 和﹣4，若二次函数y＝ax2+bx+c+n（n＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（5，0），则另一个交点坐标是． 15．如图，将一张长方形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG，折痕EF与折痕AG交于点Q，连接QB，QH．若∠BAH＝α，则∠BQH＝　 　 （用含α的式子表示）；若BE＝BH，AB＝2，则GC的长为　 　 ． 16．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+4b+3c⩽0；③对于自变量x的任意一个取值，都有；④在﹣3＜x＜﹣2 中存在一个实数x0，使得，其中结论错误的是 （只填写序号）． 17. 如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为_____． 三、解答题（共7小题，满分69分） 18．如图，已知点A、E、F、C在同一条直线上，CD＝AB，DE＝BF，AE＝CF，求证：DC∥AB． 19．某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中∠α的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 20．关于 x 的一元二次方程 x2+3x+2 ＝ 0 有两个实根 x1，x2．（1）判断方程根的情况．（2）若 x1+x2＝﹣3，求 x1•x2的值． 21．已知y与x+3成反比例，且其函数图象经过点（﹣6，﹣3）．求y与x的函数关系式． 22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若，BE＝10，求DA的长． 23. 如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：AM2＝MF.MH （2）若BC2＝BD.DM，求证：∠AMB＝∠ADC． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE. (1)求证：△AGE≌△BGF； (2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由． 一．选择题（共10小题） 1．估算的值（　　） A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．无法确定 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查估算无理数的大小．要估算的范围，需找到两个连续整数，使得这两个整数的平方分别小于和大于10． 2．为促进学生德智体美劳全面发展，某学校规定学生的学期音乐总成绩满分为100分，其中课堂表现占20%，乐器演奏测试成绩占30%，音乐创作测试成绩占50%．小红的三项成绩（百分制）依次为95，85，80，则小红这学期的音乐成绩总分是（　　） A．88 B．90 C．86 D．85 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查加权平均数的计算．根据加权平均数公式，需将各项成绩乘以对应的权重后相加． 3．工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝86°，则∠3的度数为（　　） A．104° B．128° C．130° D．156° 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质求出∠A的度数，再由平角的定义求出∠AEF的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、完全平方公式以及积的乘方．需要根据相应的运算法则对每个选项进行判断． 5．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离． 6．古代有一织布问题：用一匹布去量一根竹竿的长，布还剩余3尺；将布对折再量竹竿，则竹竿还剩余2尺，问竹竿长多少尺？可设竹竿长为x尺，布长为y尺，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．关键是根据布和竹竿长度的关系，找出两个等量关系列出方程组． 7．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及根据解集确定参数范围．先分别解出两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集来确定m的取值范围． 8．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C，D，E，F，G，H都是格点．连接BG交DC于点P，则△DGP的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长BG交网格线于点K，连接CK，则CK＝2，CK∥DG，根据△DPG∽△CPK，可得DP＝2CP，从而得到，即可求解． 9．如果实数m、n（mn≠﹣1）分别满足4m2+2026m﹣3＝0，3n2﹣2026n﹣4＝0，则的值等于（　　） A． B． C． D．2026 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查根与系数的关系以及等式变形．先将3n2﹣2026n﹣4＝0两边同时除以﹣n2得到，可发现m和是方程4x2+2026x﹣3＝0的两个根，再根据根与系数的关系求解． 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，D是AB的中点，E，F分别在边BC，AC上，若△DEF为等边三角形，则等边△DEF的边长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】延长FD至点G，使得DG＝DF，连接GB． 易证三角形ADF全等于三角形BDG，所以BG＝AF，同时易得BG垂直于BC 连接EG，易证角GEF＝90°，可以证明三角形GBE与三角形ECF相似． 相似比是：1． 设CF＝x，则BEx，BG＝AF＝6x，CE＝8x 在利用CE＝BG解方程即可解得x，进一步根据勾股定理即可求EF． 11. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程：__________． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，列出方程即可. 【解答】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据题意有： . 故答案为 【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系. 11. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程：__________． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，列出方程即可. 【解答】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据题意有： . 故答案为 【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系. 12．一组数据 3，3，4，4，x，5，6 的平均数是 4，则这组数据的中位数是． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查中位数的计算．先根据平均数求出x的值，再将数据从小到大排序，进而确定中位数． 13．如图，点A、B、C、D在⊙O上，．若∠ABC＝140°，则∠ADB＝　20　 °． 【答案】20． 【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得∠ADC＝180°﹣140°＝40°，再根据圆心角、弧、弦的关系即可得出答案． 14．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是 2 和﹣4，若二次函数y＝ax2+bx+c+n（n＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（5，0），则另一个交点坐标是． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及根的对称性．先根据已知的一元二次方程的根确定抛物线对称轴，再根据抛物线的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标． 15．如图，将一张长方形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG，折痕EF与折痕AG交于点Q，连接QB，QH．若∠BAH＝α，则∠BQH＝　2α　 （用含α的式子表示）；若BE＝BH，AB＝2，则GC的长为　．　 ． 【答案】2α，． 【分析】由轴对称图形的性质可知：EF，AG分别垂直平分AB，BH，，则有AQ＝BQ＝QH，然后根据三角形外角的性质可进行求解；设BF与AG交于点P，则有，进而根据三角函数可进行求解． 16．已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+4b+3c⩽0；③对于自变量x的任意一个取值，都有；④在﹣3＜x＜﹣2 中存在一个实数x0，使得，其中结论错误的是 （只填写序号）． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及相关性质．根据函数经过的点以及函数值的正负判断a、b、c的正负，进而分析各个结论． 17. 如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3， ∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12， ∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=18． 故答案为18． 【点睛】本题考查正多边形和圆；扇形面积的计算． 18．如图，已知点A、E、F、C在同一条直线上，CD＝AB，DE＝BF，AE＝CF，求证：DC∥AB． 【答案】∵AE＝CF， ∴AF＝CE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SSS）， ∴∠A＝∠C， ∴DC∥AB． 【分析】由条件可先证明△ABF≌△CDE，根据全等三角形的性质可得∠A＝∠C，可证得AB∥CD． 19．某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中∠α的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用参加B组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数． （2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加A，B，C，E组的学生人数，可求出参加D组的学生人数，补全条形统计图即可；用360°乘以参加A组的学生所占的百分比，即可求出∠α的度数． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 20．关于 x 的一元二次方程 x2+3x+2 ＝ 0 有两个实根 x1，x2．（1）判断方程根的情况．（2）若 x1+x2＝﹣3，求 x1•x2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．对于一元二次方程 ax2+bx+c ＝ 0（a≠0），根的判别式为Δ ＝ b2﹣4ac，当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0 时，方程没有实数根．根据韦达定理，在方程 ax2+bx+c ＝ 0（a≠0）中，两根 x1、x2有 x1+x2，x1•x2＝ ． 21．已知y与x+3成反比例，且其函数图象经过点（﹣6，﹣3）．求y与x的函数关系式． 【答案】． 【分析】先根据反比例关系设出函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，求出待定系数，进而得到y与x的函数关系式． 22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若，BE＝10，求DA的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠DCO＝90°，则可得出结论； （2）设OA＝OB＝2x，OD＝3x，证明△DCO∽△DEB，由相似三角形的性质得出，求出OC的长，则可求出答案． 23. 如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：AM2＝MF.MH （2）若BC2＝BD.DM，求证：∠AMB＝∠ADC． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由于AD∥BC，AB∥CD，通过三角形相似，找到分别于，都相等的比，把比例式变形为等积式，问题得证． （2）推出∽，再结合，可证得答案. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∴即． （2）∵四边形是平行四边形， ∴，又∵， ∴即， 又∵, ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 24. 如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE. (1)求证：△AGE≌△BGF； (2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEG=∠BFG， ∵EF垂直平分AB， ∴AG=BG， 在△AGE和△BGF中， ∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG， ∴△AGE≌△BGF（AAS）； (2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下： ∵△AGE≌△BGF， ∴AE=BF， ∵AD∥BC， ∴四边形AFBE是平行四边形， 又∵EF⊥AB， ∴四边形AFBE是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可； （2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $