精品解析：2026年江苏省扬州市邗江区部分校九年级考前自测数学试题

2026年九年级中考三模考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟 ） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. 5a2+3a2＝8a4 B. a3•a4＝a12 C. a+2b＝2ab D. a5÷a2＝a3 4. 某学校数学社团15名同学积极参加“一日捐”捐款活动，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（ ） 捐款数额（元） 10 20 30 50 100 人数 2 4 5 3 1 A. 众数是100元 B. 极差是20元 C. 中位数是30元 D. 平均数是30元 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD=35°，∠ACB=45°，则∠BAD等于（ ） A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 6. 如图，在中，，根据作图痕迹可得的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 2019年5月28日，我国“科学”号远洋科考船在最深约为的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林．将11000用科学记数法表示为_____． 10. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 11. 分解因式：________． 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 13. 若，则的值为_____． 14. 已知扇形的圆心角为120°，半径等于6，则用该扇形围成的圆锥的底面半径为_________． 15. 如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 17. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为_____． 18. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图像的顶点坐标是；②当时，函数图像截x轴所得的线段长度大于3；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图像经过两个定点．其中正确的结论有_____．（填序号） 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算与化简： （1）计算； （2）化简：． 20. 解不等式组，并写出它的最大负整数解． 21. 育人中学开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题． （1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 ______度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？ 22. 在一个不透明的盒子里装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字，0，1，2，这些卡片除数字外都一样，将卡片搅匀． （1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到数字0的概率是 ； （2）先从盒子中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的纵坐标，利用画树状图或列表的方法，求点A落在第二象限的概率． 23. “绿水青山就是金山银山”，为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队整治1800米所用的时间与乙工程队整治1200米所用的时间相等．求甲工程队每天整治河道多少米？ 24. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE． （1）若OE＝3，求EF的长； （2）判断四边形AECF的形状，并说明理由． 25. 如图，已知在中，，的平分线交边于点．以上点为圆心作，使经过点和点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，劣弧的长为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）． 26. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； （2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使； （3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； （4）在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 27. 综合实践 问题情境：校园为优化夜间操场照明，在操场上方架设高空射灯投射装置，灯光在地面形成的照明边界轮廓可近似看作抛物线． 建立如图1所示的平面直角坐标系，该抛物线解析式为，灯光与地面（x轴）交于点和点B，灯光发射口在y轴上的点C处，且发射口高度． （1）直接写出抛物线的解析式及直线的解析式； （2）如图2，该抛物线的顶点D为射灯最高照射点位，为监测灯光边界的地下延伸范围，在边界点A处布设地下预埋激光探测线，其解析式为，探测线与抛物线在第四象限交于点E，求的度数． （3）若点P是该抛物线上任意一点，作轴垂足为点Q，直线交直线于F，再过点F作x轴的垂线垂足为R，为安装照明感应监控设备，要求线段最短，求此时点P的坐标及的最短长度． 28. 为丰富校园数学实践活动，某数学兴趣小组开展线段勾股分割探究活动，现定义如下： 如图1，点M，N在线段上，若以线段为边恰好能组成一个直角三角形，则称点M，N为线段的勾股分割点． （1）如图1，M，N为线段的勾股分割点，且，则 ； （2）如图2，在平行四边形中，点E在边上，，F为边上一动点，分别交于点M，N，当点M，N为线段的勾股分割点时，求与的数量关系； （3）如图3，中，，延长到点M，延长到点N，使点A，B恰好是线段的勾股分割点（），过点M，N分别作的平行线交于点P． ①的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考三模考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟 ） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数为． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 3. 下列运算正确的是（　　） A. 5a2+3a2＝8a4 B. a3•a4＝a12 C. a+2b＝2ab D. a5÷a2＝a3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法，求出每一式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、结果是8a2，故本选项错误； B、结果是a7，故本选项错误； C、不能合并，故本选项错误； D、结果是a3，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了整式的运算，关键是熟记合并同类项法则，同底数幂相乘除的法则，正确应用即可求解，比较简单． 4. 某学校数学社团15名同学积极参加“一日捐”捐款活动，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（ ） 捐款数额（元） 10 20 30 50 100 人数 2 4 5 3 1 A. 众数是100元 B. 极差是20元 C. 中位数是30元 D. 平均数是30元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵捐款30元的人数最多，为5人， ∴众数是30元，A错误； ∵数据最大值是100元，最小值是10元， ∴极差为（元），B错误； ∵15个数据的中位数是第个数据，前个数据均不大于20，第7到第11个数据均为30， ∴第8个数据是30，即中位数为30元，C正确； ∵总捐款额为（元）， ∴平均数为（元），不等于30元，D错误． 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD=35°，∠ACB=45°，则∠BAD等于（ ） A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得∠ACD=∠ABD=35°，然后可得∠BCD=80°，进而根据圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：∵∠ABD=35°， ∴∠ACD=∠ABD=35°， ∵∠ACB=45°， ∴∠BCD=80°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∴∠BAD=100°， 故选A． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角是解题的关键． 6. 如图，在中，，根据作图痕迹可得的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线的定义及三角函数求解． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图知，平分， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，然后在求解即可． 【详解】， ． ， ． AB为直径， ． 在中， ∵， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键． 8. 如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作于点H，由题意得，；易得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点H， ∵，四边形是矩形， ∴，，，， ∴点E、F在反比例函数图象上， ∴，， ∴，， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， ∴，， 由折叠知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上） 9. 2019年5月28日，我国“科学”号远洋科考船在最深约为的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林．将11000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】将11000用科学记数法表示为：．故答案为． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 10. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—公式法的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 13. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴， ． 14. 已知扇形的圆心角为120°，半径等于6，则用该扇形围成的圆锥的底面半径为_________． 【答案】2 【解析】 【详解】分析：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程进行计算即可． 详解：扇形的圆心角是120°，半径为6， 则扇形的弧长是：=4π， 所以圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π， 设圆锥的底面半径是r， 则2πr=4π， 解得：r=2. 所以圆锥的底面半径是2. 故答案为2. 点睛：本题考查了弧长计算公式及圆锥的相关知识.理解圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是解题的关键. 15. 如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据函数图像以及P点坐标即可解答． 【详解】解：由P点坐标以及函数图像可知，当时，y的取值范围是． 16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，延长交于点D， 由题意得， ∴，， ∴， 即 即小孔O到的距离为． 17. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为_____． 【答案】4或10﹣2． 【解析】 【分析】分两种情况：①当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得：，，证出，得出； ②当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得：，，，求出，证明，得出比例线段，可求出答案 【详解】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示： 由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠PAM＝∠PAN＝30°， ∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°， ∴AN＝AM＝4； ②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示： 设AN＝x， 由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°， ∵AB＝6， ∴BM＝AB﹣AM＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ，， ∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°， ∴∠BPM＝∠DNP， ∴△PDN∽△MBP， ，即， ， ， 解得：或（不合题意舍去）， 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 18. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图像的顶点坐标是；②当时，函数图像截x轴所得的线段长度大于3；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图像经过两个定点．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据特征数定义得到函数解析式，依次利用二次函数的顶点性质，图象与x轴交点计算，二次函数增减性，定点判定方法对四个结论逐一验证即可． 【详解】解：由特征数定义，得函数解析式为 ， ①当 时，，则函数解析式为， 整理得，顶点坐标为，不是，故①错误； ②令，则，因式分解得，解得， 截x轴所得线段长度为（ 时，绝对值可去掉）， 化简得， 因为，所以， 故长度大于，②正确； ③二次函数对称轴为直线， 当 时，，抛物线开口向下， 化简对称轴得，即对称轴在直线左侧，开口向下时对称轴右侧y随x增大而减小， 故时y随x增大而减小，③正确； ④整理函数得， 令，解得或，代入得对应y值为和， 故不论m取何值，函数都经过两个定点和，④正确； 综上，正确的结论为②③④． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算与化简： （1）计算； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组，并写出它的最大负整数解． 【答案】不等式组的解集为x≤−5；最大负整数解为-5 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解不等式x＋5≤0，得x≤−5， 解不等式，得：x≤−3， 则不等式组的解集为x≤−5， 所以不等式组的最大负整数解为−5． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 育人中学开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题． （1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为________ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 ______度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？ 【答案】（1）40% ， 144；（2）补图见解析；（3）估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约100人． 【解析】 【分析】（1）利用100%减去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜欢A项目的人数所占的百分比；所在扇形统计图中对应的圆心角度数用360°×40%即可； （2）根据频数=总数×百分比可算出总人数，再利用总人数减去D、C、B三部分的人数即可得到A部分的人数，再补全图形即可； （3）利用样本估计总每个体的方法用1000×样本中喜欢踢毽子的人数所占百分比即可． 【详解】解：（1）100%﹣20%﹣10%﹣30%=40%， 360°×40%=144°； （2）抽查的学生总人数：15÷30%=50， 50﹣15﹣5﹣10=20（人）．如图所示： （3）1000×10%=100（人）． 答：全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人． 22. 在一个不透明的盒子里装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字，0，1，2，这些卡片除数字外都一样，将卡片搅匀． （1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到数字0的概率是 ； （2）先从盒子中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的纵坐标，利用画树状图或列表的方法，求点A落在第二象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，共有4张卡片，数字0只有1张，直接利用概率公式计算； （2）先由树状图列出所有可能的坐标，再找出第二象限的点，计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，总卡片数为 ，数字为0的卡片有  张， 从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到数字0的概率是． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 共12种等可能的结果，其中点A在第二象限的结果有：共2种 ∴点A落在第二象限的概率为． 23. “绿水青山就是金山银山”，为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队整治1800米所用的时间与乙工程队整治1200米所用的时间相等．求甲工程队每天整治河道多少米？ 【答案】900米 【解析】 【分析】设甲工程队每天整治河道x米，则乙工程队每天整治河道米，根据时间相等列出分式方程即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天整治河道x米，则乙工程队每天整治河道米， 依题意，得 ， 解这个方程，， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：甲工程队每天整治河道900米． 24. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE． （1）若OE＝3，求EF的长； （2）判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】（1）6 （2）菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）只要证明即可得到结果； （2）先判断四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论； 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线， ， ， ， 在和中， ， ． ， ， ． 故EF的长为． 【小问2详解】 由（1）可得，， 四边形ABCD是平行四边形， ， ∴四边形AECF是平行四边形， 又， ∴平行四边形AECF是菱形． 【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键． 25. 如图，已知在中，，的平分线交边于点．以上点为圆心作，使经过点和点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，劣弧的长为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1）直线与相切．理由如下： 证明：连接． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的平分线，，可证得，进而有，即与相切； （2）由劣弧的长为，解得圆心角，与劣弧所围成的阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵劣弧的长为， ∴， 解得，即, ∵， ∴， ∴， ， 阴影部分的面积 答：阴影部分的面积为． 26. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； （2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使； （3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； （4）在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 （4）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． （1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可； （2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可； （3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可； （4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可． 【小问1详解】 如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作； 【小问2详解】 如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作； 【小问3详解】 如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作； 【小问4详解】 如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作． 27. 综合实践 问题情境：校园为优化夜间操场照明，在操场上方架设高空射灯投射装置，灯光在地面形成的照明边界轮廓可近似看作抛物线． 建立如图1所示的平面直角坐标系，该抛物线解析式为，灯光与地面（x轴）交于点和点B，灯光发射口在y轴上的点C处，且发射口高度． （1）直接写出抛物线的解析式及直线的解析式； （2）如图2，该抛物线的顶点D为射灯最高照射点位，为监测灯光边界的地下延伸范围，在边界点A处布设地下预埋激光探测线，其解析式为，探测线与抛物线在第四象限交于点E，求的度数． （3）若点P是该抛物线上任意一点，作轴垂足为点Q，直线交直线于F，再过点F作x轴的垂线垂足为R，为安装照明感应监控设备，要求线段最短，求此时点P的坐标及的最短长度． 【答案】（1）， （2） （3）或， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解二次函数与一次函数的解析式； （2）首先求出顶点D的坐标，连接，过D作轴于M，由点D、C、A的坐标易得，求得，的值，从而求得的正切值，同理可求得与的正切值相等，即这两个角相等，由此即可求得的度数； （3）连接，易得四边形为矩形，则有，当时，最短，由为等腰直角三角形可求得最短长度，且点F是的中点，由此得其坐标，由点P与点F的纵坐标相同，代入抛物线解析式中求得点P的横坐标，从而得点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将B、C两点坐标代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点， 连接，过D作轴于M，设直线与y轴交点，如图2， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵直线与y轴交点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，最短， ∵， ∴为等腰直角三角形，此时F为线段的中点， ∴最短长度，， ∵轴， ∴P点纵坐标也为3， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或， ∴的最短长度为． 28. 为丰富校园数学实践活动，某数学兴趣小组开展线段勾股分割探究活动，现定义如下： 如图1，点M，N在线段上，若以线段为边恰好能组成一个直角三角形，则称点M，N为线段的勾股分割点． （1）如图1，M，N为线段的勾股分割点，且，则 ； （2）如图2，在平行四边形中，点E在边上，，F为边上一动点，分别交于点M，N，当点M，N为线段的勾股分割点时，求与的数量关系； （3）如图3，中，，延长到点M，延长到点N，使点A，B恰好是线段的勾股分割点（），过点M，N分别作的平行线交于点P． ①的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②直接写出面积的最大值． 【答案】（1）或4 （2）与的数量关系为或； （3）①是定值4；② 【解析】 【分析】（1）分两种情况，是斜边；是斜边，利用勾股定理即可求解； （2）由平行四边形的性质得，，即；分三种情况：；；；对前两种情况可得，进而求得用表示，即可求得与的数量关系；对于最后一种情况，可求得，利用消元思想得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断方程无实数解； （3）①连接，将绕点P逆时针旋转得，将绕点P逆时针旋转得，连接．只要证明，再得到四边形是平行四边形即可； ②过C作于V，过P作于U，根据三角形面积公式可得结论． 【小问1详解】 解：若是斜边，则； 若是斜边，则； 即的长为或4； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ①若， 即， ∴， 解，得， ∴， ∴， 即， 此时； ②若， 即， ∴， 解，得， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴； ③若，则， 把代入并整理得， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵， ∴关于未知数的一元二次方程无实数解， 此种情况不存在； 综上，与的数量关系为或； 【小问3详解】 解：①如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 将绕点P逆时针旋转得，将绕点P逆时针旋转得，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点A，B恰好是线段的勾股分割点，且， ∴， ∴， ∵将绕点P逆时针旋转得， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即是定值； ②如图3，过C作于V，过P作于U， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， ∴， ∴的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $