精品解析：江苏省扬州市邗江区美琪学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟考试数学试卷

九年级数学第三次模拟试卷 （总分150 时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2的相反数是（ ） A 2 B. －2 C. D. 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 平均数是4 C. 方差是1.6 D. 中位数是6 6. 如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 3，图中阴影部分的面积是（ ） A. π B. C. 2π D. 3π 7. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-1 B. k＞-1且k≠0 C. k＞1 D. k＜-1 8. 如图1是扬州南部城市快速通道的一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点的距离（）与时间（）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ） A. 甲车在立交桥上共行驶8 B. 从F口出比从G口出多行驶40 C 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为150 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 2026年扬州召开省运会，全省一共有近12800名运动员，将12800用科学记数法表示为______． 10. 分解因式：______． 11. 若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为______． 12. 当时，分式的值是______． 13 如图，，，______． 14. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为_____． 15. 圆锥的母线长为，侧面积为，圆锥的底面圆的半径为_____． 16. 如图，点在上，四边形是平行四边形，于点，交于点，则_____度． 17. 已知点A是反比例函数图像上的一点，点是点A关于y轴的对称点，当为直角三角形时，点A的坐标是__________． 18. 已知中，，，D为边一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取得最大值时长为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）化简：． 20. 解不等式组：，画出数轴并将解集在数轴上表示出来． 21. 为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对、、、四个厂家生产的同种型号的零件共件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图． （1）抽查厂家零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为_____； （2）抽查厂家的合格零件为_____件，并将图1补充完整； （3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家． 22. 有两把不同的锁和三只不同的钥匙，其中两只钥匙分别能打开这两把锁，第三只钥匙不能打开这两把锁，随机取出一只钥匙开任意一把锁， （1）若取其中的一只钥匙去开第一把锁，则打开的概率是 ． （2）请用列表或画树状图的方法求一次打开锁的概率． 23. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接、． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 24. 今年，中小学启动实施“足球进校园”，开设了“足球大课间”特色社团活动．某校打算用12000元购进某种品牌的足球供学生使用．经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了，这样购买的足球数量比原计划减少了20个，求足球原来的价格． 25. 如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的 切线于点E． （1）求证：AE⊥CE． （2）若AE＝，sin∠ADE＝，求⊙O半径的长． 26. 【操作发现】 如图1，点M是中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 27. 如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点． （1）若，求这个二次函数的表达式； （2）若为的比例中项． ①设这个二次函数的顶点为P，求的面积； ②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 如图，在菱形中，已知，对角线长12． （1）求菱形的周长； （2）动点P从点A出发，沿的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（） ①当恰好被平分时，试求t的值； ②连接，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，恰好是一个直角三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第三次模拟试卷 （总分150 时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故选：B ． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则即可计算判断. 【详解】A. ,故错误； B. 正确； C. 故错误； D. ，故错误； 故选B. 【点睛】此题主要考查幂的运算法则，解题的关键是熟知幂的运算方法. 4. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图中的俯视图，解题的关键是理解俯视图的定义，即从几何体正上方观察得到的平面图形，能准确反映几何体各层在水平面上的投影形状及位置关系．​ ​ 明确俯视图是从正上方观察几何体的投影；分析几何体结构，下层为长方体，上层正方体放在长方体正中间且宽度与下层一致；从上方观察时，上层正方体的俯视图与下层长方体中间部分重合，整体呈现为下层长方体的长方形轮廓．​ 【详解】​解：俯视图是从几何体正上方观察所得到的平面图形．​ 该几何体下层是长度较长的长方体，上层是正方体，且正方体放在长方体正中间，两者宽度相同．​从正上方观察时，上层正方体的投影完全落在下层长方体的投影范围内，俯视图呈现为下层长方体的长方形形状．​ 因此符合该特征的俯视图是选项 C．​ 故选：C．​ 5. 对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 平均数是4 C. 方差是1.6 D. 中位数是6 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、众数、方差等的概念计算即可得解． 【详解】A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确； B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确； C、S2= [（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2]=1.6，故此选项正确； D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误； 故选D． 【点睛】本题考查了1．众数；2．平均数；3．方差；4．中位数． 6. 如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 3，图中阴影部分的面积是（ ） A. π B. C. 2π D. 3π 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可． 【详解】∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=60°， ∴∠BOC=2∠A=120°， ∴图中阴影部分的面积= =3π． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-1 B. k＞-1且k≠0 C. k＞1 D. k＜-1 【答案】D 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】由已知得：k≠0且Δ=(-2)2-4k×(-1)=4+4k＜0， 解得：k＜-1， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键． 8. 如图1是扬州南部城市快速通道的一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且、、所对的圆心角均为．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出．其间两车到点的距离（）与时间（）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ） A. 甲车在立交桥上共行驶8 B. 从F口出比从G口出多行驶40 C. 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象在实际问题中的应用，涉及圆弧和直行道的行程问题，解题的关键是从函数图象中获取各段路程的行驶时间，结合速度计算路程及判断行驶路线． 由图象分析得出两车通过每段圆弧和直行道的时间；根据时间和速度计算各段路程长度；结合总时间和行驶路线特点，判断各选项的正确性，如计算甲车行驶总时间判断选项A，比较不同出口的路程差判断选项B，根据驶出时间判断行驶出口判断选项C，计算立交桥总长判断选项D． 【详解】解：由图象可知，两车通过弧时每段所用时间均为通过直行道时，每段用时为 因此，甲车所用时间为故A正确； 根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长之和，用时为则走故B正确； 根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C错误； 根据题意立交桥总长为D正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 2026年扬州召开省运会，全省一共有近12800名运动员，将12800用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此求解即可． 【详解】解：12800用科学记数法表示为． 故答案为：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 先将原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为______． 【答案】##八 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，根据多边形的内角与外角列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为， 根据题意，得：， 解得． 则这个多边形的边数是， 故答案为：． 12. 当时，分式值是______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，再将a的值代入求值即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故答案为：2025 13. 如图，，，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 若关于x、y二元一次方程组的解是，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，掌握二元一次的解的意义成为解题的关键 把代入得到关于a、b的二元一次方程组，求之可得a、b的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：把代入可得：，解得， ∴． 故答案为1． 15. 圆锥的母线长为，侧面积为，圆锥的底面圆的半径为_____． 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面半径，根据圆锥侧面积公式：，结合题意求解即可． 【详解】解：由圆锥的侧面展开图面积公式， 可得圆锥的底面圆的半径为：． 故答案为：． 16. 如图，点在上，四边形是平行四边形，于点，交于点，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，，得四边形是菱形，由，过点，可得是的垂直平分线，可求得，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， 即四边形是菱形， ∴， ∵，过点， ∴，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与特殊四边形的综合，掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质，垂直平分线的性质，圆周角的性质是解题的关键． 17. 已知点A是反比例函数图像上的一点，点是点A关于y轴的对称点，当为直角三角形时，点A的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数问题，关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．根据反比例函数的解析式和点在函数的图象上可求出点与点，由于为直角三角形解答即可． 【详解】解：如图： 点是点关于轴的对称点， ∴，， 轴； 因为为直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 因为点是反比例函数图象上的一点，设点坐标为，点的坐标为， 可得：， 解并检验得，（不合题意舍去） 所以点的坐标为， 故答案为：． 18. 已知中，，，D为边一点，且，以D为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当取得最大值时的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决此题的关键是明确当点、、在同一条直线上时，有最大值． 当点在线段延长线上时，取得最大值，画出图形，过点作于点，求出的长度，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进而可得的长． 【详解】解：当点在线段延长线上时，取得最大值．过点作于点，如图所示： ，， ， ， ∴， ，， ，， ， ∴在中，， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值． （1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的意义、二次根式的性质化简，然后再计算即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 20. 解不等式组：，画出数轴并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为 21. 为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对、、、四个厂家生产的同种型号的零件共件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图． （1）抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为_____； （2）抽查厂家的合格零件为_____件，并将图1补充完整； （3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家． 【答案】（1）； （2）；补图见解析 （3）合格率排在前两名的是、两个厂家 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，准确提取统计图中的信息是解题关键． (1)分别用和乘以厂家的零件数所占百分比即可得答案； (2)先求出厂家零件数，再根据厂家的零件数的合格率即可得出厂家的合格零件数，据此补全统计图即可； (3)分别求出四个厂家零件的合格率，比较即可得答案． 【小问1详解】 解：抽查厂家的零件为：（件）， 扇形统计图中厂家对应的圆心角为：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：抽查厂家的零件数为：（件）， ∵厂家的合格率为， ∴抽查厂家的合格零件为：（件）， 补全图1如图所示： 【小问3详解】 解：厂家合格率， 厂家合格率， 厂家合格率， 厂家合格率， ∵， ∴合格率排在前两名的是、两个厂家． 22. 有两把不同锁和三只不同的钥匙，其中两只钥匙分别能打开这两把锁，第三只钥匙不能打开这两把锁，随机取出一只钥匙开任意一把锁， （1）若取其中的一只钥匙去开第一把锁，则打开的概率是 ． （2）请用列表或画树状图的方法求一次打开锁的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用枚举法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率所求情况数与总情况数之比求解． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：（1）若取其中的一只钥匙去开第一把锁，则打开的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意列表得：   锁1 锁2 钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1） 钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2） 钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3） 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况有2种， 则随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是． 23. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接、． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用； （1）根据平行四边形性质得出，推出，根据证两三角形全等即可； （2）根据全等得出，，推出，根据，得出平行四边形，根据矩形的判定推出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是矩形．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 24. 今年，中小学启动实施“足球进校园”，开设了“足球大课间”特色社团活动．某校打算用12000元购进某种品牌的足球供学生使用．经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了，这样购买的足球数量比原计划减少了20个，求足球原来的价格． 【答案】足球原来的价格是100元/个 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，设足球原来的价格是x元/个，根据“该品牌足球单价比原来上涨了，这样购买的足球数量比原计划减少了20个”列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设足球原来的价格是x元/个，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解，且符合实际， 答：足球原来的价格是100元/个． 25. 如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的 切线于点E． （1）求证：AE⊥CE． （2）若AE＝，sin∠ADE＝，求⊙O半径的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接OA，如图，利用切线的性质得∠OAE=90°，再证明CD为△AOB的中位线得到CD∥OA．则可判断AE⊥CE； （2）连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD=3，接着证明∠OAD=∠ADE．从而在Rt△OAD中有sin∠OAD=，设OD=x，则OA=3x，利用勾股定理可计算出AD=2x，从而得到2x=3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长． 【详解】（1）证明：连接OA，如图， ∵OA是⊙O的切线， ∴AE⊥OA， ∴∠OAE=90°， ∵C，D分别为半径OB，弦AB的中点， ∴CD为△AOB的中位线． ∴CD∥OA． ∴∠E=90°． ∴AE⊥CE； （2）连接OD，如图， ∵AD=BD， ∴OD⊥AB， ∴∠ODA=90°， 在Rt△AED中，sin∠ADE=， ∴AD=3， ∵CD∥OA， ∴∠OAD=∠ADE． 在Rt△OAD中，sin∠OAD=， 设OD=x，则OA=3x， ∴AD==2x， 即2x=3，解得x=3， ∴OA=3x=， 即⊙O的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了解直角三角形． 26. 【操作发现】 如图1，点M是中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 【答案】【操作发现】（1）见解析；（2）；【类比探究】见解析． 【解析】 【分析】根据平行线的作图方法，三角形相似即可得到答案． 【详解】解：（1）过点M作，交于点N，则，如图所示： 解：（2）由（1）得：， ∴， ∴， ∵点M是中边的中点， ∴， ∴， 即； 故答案为：； 【类比探究】圆规取适当长度，在射线上依次截取，过点E作，交于点N，则，根据相似可得． 【点睛】本题考查了作图方法、三角形相似，灵活运用所学知识点是解题关键． 27. 如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点． （1）若，求这个二次函数的表达式； （2）若为的比例中项． ①设这个二次函数的顶点为P，求的面积； ②若M为y轴上一点，N为平面内一点，问：是否存在这样的M、N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；；②点N的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据，，可知，利用待定系数法可求出二次函数的表达式； （2）①根据为的比例中项，可推出，求出B、A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的表达式．点P的坐标可求，的面积可求． ②分两种情况讨论，再根据相似求出线段长度，再利用平移规律得到点N的坐标． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴， 把，代入得到 则有 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 ∴若设点A的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∵为的比例中项． ∴， ∵， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴，， 把，代入得到 则有 ， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 则有 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 过点P作y轴的平行线交于点Q， 则， ∴， ∴S=， ②存在，分两种情况． 情况一：如图2所示， 此时M于O重合， ∴． 情况二：如图3所示， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 解得， ∴， 线段可以从平移得到， 点B与点C为对应点，点M与点N为对应点， 点B向左移动个单位，向上移动3个单位得到点C， ∴点M到点N也是同样得平移规律， ∴）． 综上，点N的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形与二次函数的结合，找到相似三角形为解题的关键． 28. 如图，在菱形中，已知，对角线长12． （1）求菱形的周长； （2）动点P从点A出发，沿的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动时间为t（） ①当恰好被平分时，试求t的值； ②连接，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，恰好是一个直角三角形？ 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）连接交于O，由菱形的性质得出，，，，，在中，解直角三角形得到 ，即可求出菱形的周长； （2）①当点Q在边上时，设交于M，则，由得到，根据题意得：，，则，得出，解方程即可；当点Q在边上时，在上取点E，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，由此列出方程，求解即可解答； ②当点Q在边上时，若，与平行线的性质得出，则，由直角三角形的性质得出，即，求出t的值即可；若，作于N，则，，由直角三角形的性质得出，得出方程，解方程即可；当点Q在边上时，证出，即恒成立． 得出当时为直角三角形；即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴在中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①分两种情况讨论： 当点Q在边上时，设交于M，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据题意得：，，则， ∴， 解得： ； 当点Q在边上时，在上取点E，使得，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 此时，即点P与点Q均运动到点B，不合题意。 综上，当恰好被平分时， ②当点Q在边上时，若， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 若，如图3所示： 作于N，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在边上时，如图4所示： 根据题意得：，，， ∴， ∴， 作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，即H与P重合， ∴， 即恒成立． ∴当时都为直角三角形． 综上可得，当或时，恰好为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定及性质等知识，掌握分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $