精品解析：江苏泰州市四校2026年春学期九年级阶段学情调查数学试题

2026年春学期九年级第三次学情调查数学试题 （考试时间： 120分钟 满分： 150分） （请注意：所有试题的答案均填写在答题纸上．答案写在试卷上无效） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】A．该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，运算结果正确，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 3. 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查个家长，结果有个家长持反对态度，则下列说法正确的是( ) A. 调查方式是普查 B. 该校只是个家长持反对态度 C. 样本是个家长 D. 该校约有的家长持反对态度 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽查与普查的定义以及用样本估计总体解答即可． 【详解】解：．共2500个学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误，不符合题意； ．在调查的400个家长中，有360个家长持反对态度，该校只有个家长持反对态度，故本项错误，不符合题意； ．样本是360个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误，不符合题意； ．该校约有的家长持反对态度，本项正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，解题的关键是掌握这些是基础知识． 4. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形都相似 B. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C. 三角形的重心是三角形三条高线的交点 D. 连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形相似判定，三角形特殊点的概念，中点四边形的性质，只需逐个判断各选项的正误即可得到答案． 【详解】对各选项逐一判断： A ．等腰三角形中，30°的角可以是顶角，也可以是底角，两种三角形内角不对应相等，所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误． B ．三角形的内心是角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，故本选项错误． C ．三角形的重心是三角形三条中线的交点，三角形三条高线的交点是垂心，故本选项错误． D ．连接平行四边形的对角线，根据三角形中位线定理，可得新四边形的两组对边分别平行于原平行四边形的两条对角线，即新四边形两组对边分别平行，因此连接平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故本选项正确． 5. 五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由个正五边形、个正六边形组成（如图①所示）．如图②，边长相等的正六边形和正五边形叠放一起，是正六边形的对角线，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先使用正多边形的内角公式求出正五边形与正六边形的内角，结合正六边形的对称性和四边形的内角和，求出． 【详解】解：如图， ∵，， ∴正六边形的一个内角为，正五边形的一个内角为， ∴， ∵是正六边形的对角线， ∴由正六边形的对称性可得，， ∴． 6. 如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A. 3 B. 4 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象确定运动停止的时间，结合直角三角形角的性质求出的长，用表示出和的长，利用三角形面积公式建立与的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值 【详解】解：设， 在中，，， ，. 点、的速度均为1， 点到达终点需秒，点到达终点需秒. ， 点先到达终点. 由图可知，运动总时间为秒， ， ， 解得， ， 由题意得：，，则， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， ，且， 当时，． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卡上） 7. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x>0 【解析】 【详解】由题可由题可知，要使得函数有意义：必须满足不等于0，x大于0．故答案为x>0 8. 2026年，我国载人登月工程稳步推进，月球到地球的距离大约 384000千米，数据384000用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 若 ，则_____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】先根据平方运算求出的所有可能值，再根据立方根的定义求出的值，最后分情况计算的结果即可. 【详解】解：由，得或  由， 两边同时立方得  当时，； 当时，． 11. 如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，勾股定理与勾股定理的逆定理，正确理解题意得到所求的概率即为阴影分别面积与网格长方形面积的比值是解题的关键． 12. 已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围． 【详解】解：由一次函数的图象不经过第三象限， 则经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴有， 解得：， 故答案为：． 13. 如图是一个正方体的平面展开图，若还原成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，求代数式的值，相反数．注意正方体的空间图形，从相对面入手分析，解决问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定，，的相对面，再根据“相对面上的两个数互为相反数”求出，，的值，然后求解即可． 【详解】解：由正方体的表面展开图得， 和是相对面，和是相对面，和是相对面， 相对面上的两个数互为相反数， ，，， ． 故答案为：． 14. 在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】弦在圆中对应两条不同的弧，分别为劣弧和优弧，根据弧长公式分别计算两条弧的长度即可. 【详解】解：已知的半径，弦所对的圆心角为，弧长公式为，其中为弧所对的圆心角度数，为圆的半径.当所求弧为劣弧时， 当圆心角，代入公式得； 当所求弧为优弧时，圆心角， 代入公式得. 综上：弧长为或 15. 如图， 已知D点为中点，E点在线段上，， 过点C作，垂足为点F， 若，， 则___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点H；使，连接．证明，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长到点H；使，连接． ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ，， ． 16. 两个全等的和如图所示， 其中，，，将绕点B旋转的过程中，直线与相交于点 M，的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正切的定义可得，由勾股定理求出，由全等三角形的性质可得，，，证明得出，设与交于点，证明出，从而可得点、、、四点共圆，且为圆的直径，是以为直径的圆的一条弦，所以当为圆的直径时值最大． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设与交于点， ∵，，，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为圆的直径， ∴是以为直径的圆的一条弦， ∴当为圆的直径时值最大，为． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上） 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解 ：原式 ； 【小问2详解】 解 ：， 整理得   方程两边同乘得   移项合并得， 解得  检验：当时，， 因此是分式方程的增根， 原分式方程无解 18. 某校为了解九年级学生对“日常垃圾分类”相关知识的掌握程度，随机抽取40名九年级学生，将其分为2组，每组20人，进行了一次调研测试，并把学生掌握情况分为5类： 其中“完全不了解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分．现把2个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 a 4 3 第2组 0 b （1）请补全第1小组得分条形统计图， （2）第2小组“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为 ． （3）根据上述图表填空： ， ． （4）若该校九年级有900名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． 【答案】（1）解：得3分的人数为：； 故第1小组得分条形统计图补全如下： （2） （3）分1分 （4）270人 【解析】 【分析】（1）根据频数之和等于20，求得得分为3分的人数，补全统计图即可； （2）根据圆心角的度数等于乘以所占百分比，求解即可． （3）根据平均数，中位数的定义解答即可． （4）利用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：第2小组“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为：． 【小问3详解】 解：根据题意，得（分）， 根据题意，得0分的人数为（人）；1分的人数为（人）；2分的人数为（人）；3分的人数为（人）；4分的人数为（人）； 故中位数是第10个，第11个数据的平均数， 故（分）． 【小问4详解】 解：根据题意，得（人）． 答：九年级学生掌握情况是“应用”的人数为270人． 19. 某校九年级准备选拔2名男生和3名女生参加运动会志愿者工作．本次学生志愿者工作一共设置了三个岗位，分别是A：秩序维护员、B：联络员、C：检录员． （1）若要从这5名志愿者中随机选取一位作为秩序维护员，选到女生的概率为 ． （2）若这两位男生都从三个岗位中随机选择一个，请你用画树状图或列表法求出他们恰好选择同一个岗位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，根据结果求解概率即可． 【小问1详解】 解：∵5名志愿者中有3名女生， ∴随机选取一位作为秩序维护员，选到女生的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一岗位的情况有3种， ∴两人恰好选择同一个岗位的概率为． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数解析式，根据待定系数法求得一次函数解析式，再求得点A的坐标，最后得出反比例函数解析式； （2）求得的长，即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数（k≠0）的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点 ∴把代入，得，解得， 把代入，得； 把代入，得，解得； 【小问2详解】 解：过，点A作轴，垂足为H，如图所示： ， ， ∵一次函数的图像与y轴交于点B， 即当时，， ， ∴， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数，熟练求出函数解析式是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，，，交于点．从①②选项中选择一个作为条件，再从③④选项中选择一个作为结论，使之成立．你选择的条件是 ，结论是 （填序号），并证明你的结论． ①；②； ③四边形是矩形；④ 四边形是菱形． 【答案】解：选择的条件是②，结论是④， 证明：∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】选择的条件是②，结论是④，证明，，易证四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形． 【详解】略 22. 如图，过外一点A作的切线，切点为点B，为的直径，点D为上一点，且，连接， ，线段交直径于点E，交于点 F，连接． （1）求证：； （2）若 求半径的长． 【答案】（1）证明：是的切线，切点为点B， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）证明， ，结合，得到 即可得证； （2）连接， 证明，设，则；得，，证明，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 为的直径， ， 根据同弧所对的圆周角相等，得， ， ， ， ， ， ， ， 设，则； 是的切线，切点为点B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得， 解得， ， 故半径的长为． 23. 某工厂承接了一批书架制作任务，组装1个竖式三层书架需4张A型板材和3张B型板材，组装1个横式双层书架需4张A型板材和5张B型板材． （1）若有A型板材64个，B型板材68个，材料恰好用完，问：可制作竖式三层书架和横式双层书架各多少个？ （2）已知1个竖式三层书架的利润为40元，1个横式双层书架的利润为60元，若该工厂制作两种书架共20个，且竖式三层书架不少于12个，求该工厂能获得的最大利润． 【答案】（1）可制作竖式三层书架6个，横式双层书架10个 （2）960元 【解析】 【小问1详解】 解：设可制作竖式三层书架个，横式双层书架个， ， 解得， 则可制作竖式三层书架6个，横式双层书架10个； 【小问2详解】 解：设可制作竖式三层书架个，横式双层书架个， 则总利润为，， 当获利最大时，，此时利润为960元． 24. 某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围60米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图1所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图2，机器人（其高度忽略不计）在点P处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为20米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点E处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点 F处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长． （结果精确到0.1，参考数据： 【答案】测试物体移动的距离的长约为米． 【解析】 【分析】由题意可得米，米，，，通过勾股定理求出米，再求米，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：由题意可得，米，米，，， 由勾股定理得：（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：测试物体移动的距离的长约为米． 25. 按要求解题： （1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则的度数为 ； （2）小明手中有一张长方形纸片，． ①如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； ②如图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A， B分别落在点， 处，若，求的长． 【答案】（1） （2）①解：作的角平分线，交于点 M，交于点N，则M，N即为所求； ； ②9 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，得，，根据折叠的性质，得，求解即可； （2）①延长，，两线交于点O，作的角平分线，交于点 M，交于点N，求解即可； ②根据题意，得，得到，即，根据题意，得． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， 根据折叠的性质，得， ， 解得； 【小问2详解】 解：①略 ②解：矩形中，， ，，， ， ， ， 根据折叠的性质，得，， ， ， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 26. 已知二次函数 （1）若一次函数（n为常数，且）与该二次函数交于x轴上的同一点，求a的值． （2）求证：无论a取任何实数，抛物线恒过定点，求该定点坐标． （3）该二次函数的顶点在某个确定函数上吗？如果在，请求出该函数，若不在，请说明理由． （4）该二次函数与x轴的两个交点为，，若、均为整数，求a的值． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴当，即时，无论a取任何非零实数，等式都成立， 当时，，即定点坐标为， 故无论a取任何实数，抛物线恒过定点，该定点坐标为； （3）在，该函数为 （4）或 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数与轴的交点为，再将代入，计算即可得出结果； （2）将二次函数的解析式变形为，令，由此计算即可得出结果； （3）求出该二次函数的顶点坐标为，即顶点横坐标，顶点纵坐标，由可得，将代入，计算即可得出结果； （4）令，则，由题意可得、为方程的解，由一元二次方程根与系数的关系可得，，则，从而可得，整理可得，结合、均为整数，求出或或或，分情况计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，令，则， ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点为， ∵一次函数（n为常数，且）与二次函数交于x轴上的同一点， ∴将代入得， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：该二次函数的顶点在某个确定函数上， ∵ ∴该二次函数的顶点坐标为，即顶点横坐标，顶点纵坐标， 由可得， 将代入得 ， ∴确定函数为； 【小问4详解】 解：在中，令，则， ∵该二次函数与x轴的两个交点为，， ∴、为方程的解， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴、为整数， ∴或或或， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，a的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期九年级第三次学情调查数学试题 （考试时间： 120分钟 满分： 150分） （请注意：所有试题的答案均填写在答题纸上．答案写在试卷上无效） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查个家长，结果有个家长持反对态度，则下列说法正确的是( ) A. 调查方式是普查 B. 该校只是个家长持反对态度 C. 样本是个家长 D. 该校约有的家长持反对态度 4. 下列语句叙述正确的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形都相似 B. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C. 三角形的重心是三角形三条高线的交点 D. 连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 5. 五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由个正五边形、个正六边形组成（如图①所示）．如图②，边长相等的正六边形和正五边形叠放一起，是正六边形的对角线，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A. 3 B. 4 C. 4 D. 8 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卡上） 7. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 8. 2026年，我国载人登月工程稳步推进，月球到地球的距离大约 384000千米，数据384000用科学记数法表示为_____________． 9. 因式分解___________ 10. 若 ，则_____________． 11. 如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______ 12. 已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是_________． 13. 如图是一个正方体的平面展开图，若还原成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则的值为___________． 14. 在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 15. 如图， 已知D点为中点，E点在线段上，， 过点C作，垂足为点F， 若，， 则___________． 16. 两个全等的和如图所示， 其中，，，将绕点B旋转的过程中，直线与相交于点 M，的最大值是___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上） 17. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 18. 某校为了解九年级学生对“日常垃圾分类”相关知识的掌握程度，随机抽取40名九年级学生，将其分为2组，每组20人，进行了一次调研测试，并把学生掌握情况分为5类： 其中“完全不了解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分．现把2个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 a 4 3 第2组 0 b （1）请补全第1小组得分条形统计图， （2）第2小组“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为 ． （3）根据上述图表填空： ， ． （4）若该校九年级有900名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． 19. 某校九年级准备选拔2名男生和3名女生参加运动会志愿者工作．本次学生志愿者工作一共设置了三个岗位，分别是A：秩序维护员、B：联络员、C：检录员． （1）若要从这5名志愿者中随机选取一位作为秩序维护员，选到女生的概率为 ． （2）若这两位男生都从三个岗位中随机选择一个，请你用画树状图或列表法求出他们恰好选择同一个岗位的概率． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 21. 如图，在四边形中，，，，交于点．从①②选项中选择一个作为条件，再从③④选项中选择一个作为结论，使之成立．你选择的条件是 ，结论是 （填序号），并证明你的结论． ①；②； ③四边形是矩形；④ 四边形是菱形． 22. 如图，过外一点A作的切线，切点为点B，为的直径，点D为上一点，且，连接， ，线段交直径于点E，交于点 F，连接． （1）求证：； （2）若 求半径的长． 23. 某工厂承接了一批书架制作任务，组装1个竖式三层书架需4张A型板材和3张B型板材，组装1个横式双层书架需4张A型板材和5张B型板材． （1）若有A型板材64个，B型板材68个，材料恰好用完，问：可制作竖式三层书架和横式双层书架各多少个？ （2）已知1个竖式三层书架的利润为40元，1个横式双层书架的利润为60元，若该工厂制作两种书架共20个，且竖式三层书架不少于12个，求该工厂能获得的最大利润． 24. 某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围60米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图1所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图2，机器人（其高度忽略不计）在点P处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为20米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点E处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点 F处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长． （结果精确到0.1，参考数据： 25. 按要求解题： （1）如图1，将长方形折叠，使落在对角线上，折痕为，点C落在点处，若，则的度数为 ； （2）小明手中有一张长方形纸片，． ①如图2，点E在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在所在直线上，折痕设为点M，N分别在边，上），利用直尺和圆规画出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； ②如图3，点F在这张长方形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点A， B分别落在点， 处，若，求的长． 26. 已知二次函数 （1）若一次函数（n为常数，且）与该二次函数交于x轴上的同一点，求a的值． （2）求证：无论a取任何实数，抛物线恒过定点，求该定点坐标． （3）该二次函数的顶点在某个确定函数上吗？如果在，请求出该函数，若不在，请说明理由． （4）该二次函数与x轴的两个交点为，，若、均为整数，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $