精品解析：2026年宁夏回族自治区银川市第十五中学二模数学试题

银川市第十五中学2026年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 2. 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列运算错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式运算与二次根式的运算法则逐一判断选项即可找出错误运算． 【详解】对选项A：与是同类项，合并得，运算正确； 对选项B：单项式除法中，运算正确； 对选项C：，且算术平方根本身结果为非负数，，运算错误； 对选项D：根据积的乘方法则，，运算正确． 4. 如图，有A，B，C三个地点，且，B地在A地的北偏东方向，那么C地在B地的（　　）方向 A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 北偏西 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质和直角三角形的性质，属于基础题目，正确理解题意、求出的度数是解题的关键． 根据题意得出，确定，结合图形求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴C地在B地的北偏西的方向上． 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 9的立方根是3 B. 若，则 C. 的函数图象可由的函数图象向下平移3个单位长度得到 D. 点一定在第一象限 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：，9的立方根不是3，A错误； 选项B：当时，方程对任意都成立，不一定有，B错误； 选项C：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，向下平移3个单位长度得到，C正确； 选项D：，当时，点坐标为，在轴正半轴，不在第一象限，D错误． 6. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】设全等直角三角板的短直角边为，长直角边为，斜边为，根据图形特征逐一判断四边形的边长关系及角度即可． 【详解】解：设全等直角三角板的短直角边为，斜边为 ， 长直角边为， 图①，为斜边，为长直角边，  ，，  ，  四边形不是菱形； 图②，四条边均为直角三角形的斜边，  四条边长度均为，  四边形是菱形， 又 对角线长分别为和，不相等，  四边形不是正方形，符合题意； 图③，为斜边，长度为， 由图可知由两段短直角边拼接而成，  ，  ， 又四边形是平行四边形，  四边形是菱形，  ，  四边形不是正方形，符合题意； 图④，四条边均为直角三角形的斜边，  四条边长度均为，  四边形是菱形，  ，  四边形是正方形，不符合题意； 综上所述，是菱形但不是正方形的有②③． 7. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 8. 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中弧，，，的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算出前几个点的坐标，发现点的位置每4个一循环，且横纵坐标数值随下标增加呈现线性规律，由此确定的位置及坐标． 【详解】解：由图及题意可知，，，，， 圆心依次按，，，循环，半径依次增加1， 计算前几个点的坐标如下：，，，，，观察可知，点的位置每4个一循环， ， 在轴正半轴上，与，，符合同一规律， 观察，，的横坐标规律：横坐标为，横坐标为， （除以4余2）的横坐标为， 的横坐标为， 的坐标为． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 9. 计算_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，根据负整数指数幂的运算法则，计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 10. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式的有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵函数， ∴ ， 解得：． ∴自变量的取值范围是 ， 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 12. 如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查四棱柱，三视图，熟练掌握四棱柱的性质是解题的关键； 根据三视图得出棱柱底面菱形的对角线长分别为，，然后根据菱形的面积公式和棱柱的体积公式计算即可． 【详解】解：由三视图知，该几何体的形状是直四棱柱，棱柱底面菱形的对角线长分别为，． 所以棱柱的体积． 故答案为：48． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等， ∴， ∴． 14. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的实际应用，熟练掌握根据已知比例关系进行计算是解题的关键．根据题目中给出的黄金比关系（水面高度与瓶高的比约为），结合已知的长度，通过乘法计算得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，） 根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米． 【答案】33792 【解析】 【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D， 根据题意， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴由垂径定理可知：， ∴以为直径的圆的周长为， 故答案为：33792． 【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法． 16. 如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，若，则___________用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正六边形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据题意得出，,且，再利用相似三角形得出且，故，求出的值即可． 【详解】如图, 连接、， 设与的交点为点，三角形面积为， ∵且， ∴， ∴, ∴，即面积为， ∵与的高相同， ∴面积比，即， ∴ 则 则 ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式①：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：； 解不等式②：， 去分母：， 移项：， 解得：， 不等式组解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为；求值为 【解析】 【分析】先对分式括号内通分化简，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简代数式；再利用特殊三角函数值算出的数值，代入最简式求值． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 19. 已知四边形是矩形． （1）如图，在矩形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形，点分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示： （2）证明： 四边形是矩形， ， ， 是中点， ， 在和中： ， ， ， 又， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作线段 的垂直平分线，直线交 、 于、，再连接 、即可； （2）先利用矩形性质以及 中点条件证，得到，结合证四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直 ) 判定平行四边形为菱形． 【小问1详解】 解：以、为圆心，大于的相同长度为半径画弧，上下弧分别交于两点，过两交点作直线，直线交于、交于，连接、，即为所求图形． 【小问2详解】 略 20. 在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． （1）直接写出结果：36模___________；100模___________． （2）命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设（为正整数）； 则； 所以能被3整除， 即模． 命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； （3）证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】（1）； （2）该命题正确． 证明：若模，则除以余，设（是非负整数）， ， 除以余数为，即模，命题为真命题． （3）证明：模， 设（为非负整数）； 模， 设（为非负整数）， ， 能被3整除，余数为0，即模，得证． 【解析】 【分析】（1）根据“模”定义，即求正整数除以的余数； （2）由模，设（为非负整数），代入变形，整理成余数形式，求余数； （3）根据模的定义设、代数式，相加后因式分解，证明是3的倍数． 【小问1详解】 解：，故模； ，故模． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． （1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】（1），，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． （2）整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 【小问2详解】 解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 22. 自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．甲、乙两学校在九年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生成绩进行了整理和分析． 信息一：绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：A组：，B组：，C组：，D组：） 信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是：80，82.5，82.5，85，85.5，89，89.5，82.5，85． 信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表所示． 平均数 中位数 众数 甲校 83.2 a 82.5 乙校 80.6 81 80 （1）表格中___________． （2）扇形统计图中D组所在的圆心角度数为___________． （3）在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中，___________的排名更靠前？ （4）甲校准备从取得优异成绩的D组学生里选取成绩前四名的学生（前四名学生成绩相同，3名男生，1名女生）当中抽取2人参加市级比赛，请用列表或者画树状图的方法计算抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1） （2） （3）小华 （4） 【解析】 【分析】（1）先根据甲校频数直方图算出A、B、C组人数，再根据中位数定义，把20个成绩从小到大排序，取第10、11位数据的平均数得到中位数； （2）利用D组占比乘求扇形圆心角度数； （3）对比两人分数与各自学校中位数：分数中位数，排名靠后；分数中位数，排名靠前； （4）用列表法列举所有等可能抽取结果，统计一男一女的情况数，按概率公式计算． 【小问1详解】 解：甲校一共抽取20人，由频数直方图得，A组1人，B组3人，C组9人， C组数据从小到大排列为：80，82.5，82.5，82.5，85，85，85.5，89，89.5， 第10、11位数据都落在C组，数值分别为85和85.5， ． 【小问2详解】 解：乙校D组占比， 圆心角为． 【小问3详解】 解：甲校中位数，小明 ∴小明成绩在甲校排在中位数之后，名次靠后； 乙校中位数为，小华 ∴小华成绩在乙校排在中位数之前，名次靠前； 小华排名更靠前． 【小问4详解】 解：记男生为A、B、C，女生为D， 列表如下： A B C D A B C D 一共有12种等可能的结果，其中一男一女的情况有，，，，，，共6种情况， ∴抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率为． 23. 如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． （1）将水从加热到，水温每分钟上升_________； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； （3）请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； （4）请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）10 （2） （3）见解析 （4）13分钟 【解析】 【分析】（1）根据“升温速率=总温差÷总时间”计算即可， （2）设反比例函数解析式为，根据图象过点，利用待定系数法求出值即可， （3）根据求出的反比例函数解析式，取为800的因数且的整数值，计算对应的值，描点画图， （4）水温不低于包含两个阶段：加热阶段和降温阶段。分别令加热时的函数值和降温时的函数值，求出对应的时间范围，计算时间差． 【小问1详解】 解：由题意可知，水温从加热到用时分钟， 温度上升的总量为：， 水温每分钟上升：， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：在水温下降的过程中，设关于的函数表达式为， 由图象可知，当时，， 将代入，得： ． 解得， 在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：根据函数表达式，取为800的因数（且），寻找横、纵坐标均为整数的点： 当时，，点为， 当时，，点为， 当时，，点为， （注：答案不唯一，如等亦可） 函数图象为经过点以及上述三个点的平滑曲线（双曲线的一支），图象如下： 【小问4详解】 解：我们需要求水温的持续时间， ①在加热过程中： 设加热过程的函数表达式为， 图象过点和， ，解得， ， 令，解得，即， 所以在加热阶段，从第分钟开始水温不低于； ②在降温过程中： 函数表达式为， 令，解得，即， 所以在降温阶段，直到第分钟水温都不低于， 综上所述：水温不低于的时间段为， 持续时间为：（分钟）． 24. 如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 25. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． （3）点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将、代入求出抛物线解析式； （2）设，过作轴交于，用表示，利用二次函数的性质求点的坐标； （3）设，，，，分三种平行四边形对角线情况讨论求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过、， ∴， 解得：， ． 【小问2详解】 解：时，，， 设，代入，得， 设，过作轴交于，则， ， ， 当时，面积最大， ， ． 【小问3详解】 解：设，，，，分三种平行四边形对角线情况： ①当为对角线时，中点为， 根据平行四边形性质，同时也为中点， ∴， 整理第二个方程得，， 解得（舍去，与重合），， ∴，， ∴； ②当为对角线时，中点与中点为同一点， 同理可得，， 整理第二个方程得，， 解得(舍)，， ∴，， ； ③当为对角线时，中点与中点为同一点， ， 整理第二个方程得，， 解得， ∴当时，，此时； 当时，，此时， 综上，点坐标为或或或． 26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例】 （1）如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； 【证明】 （2）如图②，锐角中，，，，的面积为．求证：； 【迁移】 （3）如图③，锐角中，，，，是的平分线，求出的长； 【应用】 （4）如图④，中，，，，点D在边上，且，连接，的中点为点E，过点E作直线l与边，分别交于P，Q两点，且为锐角三角形，求的值． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （2）过点C作于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）过点C作于点E，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用三角形的面积公式求出的面积；利用（2）的结论得到的面积，解关于的方程即可得出结论； （4）利用勾股定理求得，，写出正弦值，由面积写出正弦值，根据与面积和等于面积推导即得． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为：9． （2）证明：过点C作于点D，如图， ，， ． ． ． ． （3）解：过点C作于点E，如图． ，， ，． ． 是的平分线，， ． 由（2）知：，． ， ， 故答案为：． （4）解：如图， ，，， ∴． ，． ， ，． 的中点为点E， ． ． 由（2）知：， ， ， ． ， ． ． ， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法与结论并熟练应用表示解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第十五中学2026年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算错误的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，有A，B，C三个地点，且，B地在A地的北偏东方向，那么C地在B地的（　　）方向 A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏东 D. 北偏西 5. 下列说法正确的是（ ）． A. 9的立方根是3 B. 若，则 C. 的函数图象可由的函数图象向下平移3个单位长度得到 D. 点一定在第一象限 6. 如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ②③ D. ①④ 7. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 8. 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中弧，，，的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 9. 计算_____． 10. 在函数中，自变量的取值范围是______． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为________． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为______． 14. 如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为______．（精确到） 15. 数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：，，，） 根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米． 16. 如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，若，则___________用含的代数式表示）． 三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知四边形是矩形． （1）如图，在矩形中，是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形，点分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 20. 在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． （1）直接写出结果：36模___________；100模___________． （2）命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设（为正整数）； 则； 所以能被3整除， 即模． 命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； （3）证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 21. 为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． （1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 22. 自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．甲、乙两学校在九年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生成绩进行了整理和分析． 信息一：绘制成了如下两幅统计图．（数据分组为：A组：，B组：，C组：，D组：） 信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是：80，82.5，82.5，85，85.5，89，89.5，82.5，85． 信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表所示． 平均数 中位数 众数 甲校 83.2 a 82.5 乙校 80.6 81 80 （1）表格中___________． （2）扇形统计图中D组所在的圆心角度数为___________． （3）在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中，___________的排名更靠前？ （4）甲校准备从取得优异成绩的D组学生里选取成绩前四名的学生（前四名学生成绩相同，3名男生，1名女生）当中抽取2人参加市级比赛，请用列表或者画树状图的方法计算抽到的学生恰好是1名男生1名女生的概率． 23. 如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． （1）将水从加热到，水温每分钟上升_________； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； （3）请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； （4）请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 24. 如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． （3）点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例】 （1）如图①，锐角中，，，作，垂足为D，则的面积为______； 【证明】 （2）如图②，锐角中，，，，的面积为．求证：； 【迁移】 （3）如图③，锐角中，，，，是的平分线，求出的长； 【应用】 （4）如图④，中，，，，点D在边上，且，连接，的中点为点E，过点E作直线l与边，分别交于P，Q两点，且为锐角三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $