第02讲 正数与负数11大题型（暑假预习讲义）新七年级数学苏科版

第02讲 正数与负数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正负数的定义 题型2 相反意义的量 题型3 正负数的实际应用 题型4 正负数的多结论正误问题 题型5 正负数的规律排列问题 题型6 有理数的概念 题型7 0的意义 题型8 有理数的分类 题型9 带“非”字的有理数 题型10 算筹中的正负数问题 题型11 正数与负数的综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正负数的定义 相反意义的量 有理数的概念与分类 带“非”字的有理数 1.识别正负数，能用其表示生活中具有相反意义的量; 2.明晰0既非正数也非负数，掌握有理数完整分类; 3.会把有理数规范整理，区分整数与分数范畴; 4.初步建立数感，运用有理数表示实际数量情境。 学习重点：正负数的定义、相反意义的量、有理数的分类。 学习难点：准确辨别相反意义的量，灵活选用正负进行标注、理清有理数分类边界，分清整数、分数包含范围、理解 0 的特殊属性，易误将 0 归为正数或负数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正数与负数的基本概念 定义：正数，像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 定义：负数，像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 即时即练 1．在实数，，0，6中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在、、、中，负数有___________个． 3．有下列各数：3，，，，，，0，．其中，负数有_______个． 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 即时即练 4．正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 5．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为______． 6．弹簧振子是物理学中研究简谐振动规律的理想化模型，在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作___________cm． 知识点03 整数与分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 即时即练 7．有理数，，，，4中整数有__________，负分数有__________． 8．在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 9．下列说法不正确的是（   ） A．不是分数 B．0是整数 C．不是整数 D．是既是负数又是整数 知识点04 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【注意事项】 1、忽略基准标准值，正负偏离基准才是误差，勿颠倒大小； 2、取值范围书写易漏等号，± 对应两端都包含临界数值； 3、计算最值时加减混淆，最大值 = 标准 + 误差，最小值 = 标准 - 误差； 4、判断合格只看数值区间，不可单独只看正误差或负误差； 5、实际单位统一，标准与误差单位不一致直接计算易出错； 即时即练 10．某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为克，下列取出的乒乓球中哪些是合格的？（    ） A．2.06克 B．3克 C．2克 D．2.72克 11．机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为_____． 知识点05 有理数的定义 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数； 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．（2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 知识点06 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 即时即练 13．把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{         } (2)分数集合：{            } (3)非负整数集合：{            } (4)非负有理数集合：{            } 14．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 15．将下列各数按照分类，填入下面对应的大括号内： ，，，，，0，，12，，，（7和8之间依次多一个0）． 整数集合：{_______…} 正有理数集合：{_______…} 分数集合：{_______    } 题型1 正负数的定义 【例1】下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【易错警示】 大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数。切勿将带“+”号的数全当正数、带“−”号的数全当负数。 【变式1】下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【变式2】在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【变式3】我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 题型2 相反意义的量 【例2】某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为，如果比标准质量多表示为，那么比标准质量少表示为（） A． B． C． D． 【易错警示】 相反意义的量需属性相同、意义对立、带具体数值，不可仅凭词义判断。注意同类数量才可对应，避免单位不同、无数值、意义不相反的错误判定。 【变式1】一种袋装食品的标准净重为200 g，如果把净重205 g记为 g，那么净重198 g应记为________g． 【变式2】如图为小明微信账单，其中，收到微信红包元显示“”．则扫码付款元，在阴影处显示的是______． 【变式3】下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 题型3 正负数的实际应用 【例3】如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【变式2】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【变式3】阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 题型4 正负数的多结论正误问题 【例4】下列说法中正确的（   ） A．带有“”号的数是负数 B．表示没有温度 C．0是最小的正数 D．0既不是正数，也不是负数 【易错警示】 多结论判断题易混淆0、正数、负数概念，常误判带符号的数的属性。需紧扣定义逐一验证，杜绝以偏概全，忽略特殊数字0的特例导致结论出错。 【变式1】关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【变式2】下列说法正确的个数是（    ） ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】以下哪个选项的说法不准确(    ) A．属于负数、分数，同时也是有理数 B．0并非正数，也非负数，但属于整数 C．是负数和整数，然而并非有理数 D．0为正数与负数的界限 题型5 正负数的规律排列问题 【例5】将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【变式1】在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【变式2】某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作________分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是________分． 【变式3】所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 题型6 有理数的概念 【例6】下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【变式1】下列7个数：（每两个1之间依次多一个5），其中有理数有_____个． 【变式2】列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 【变式3】阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题： （1）是________循环小数（填“纯”或“混”） （2）的循环节是________． 题型7 0的意义 【例7】四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【变式1】关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【变式2】下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【变式3】下列说法：①在一个正数的前面加上负号“-”，该正数就变成了负数；②不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数；③0是正数和负数的分界点；④0只表示没有；⑤数2没有符号．其中正确的是________（填序号）． 题型8 有理数的分类 【例8】把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【变式1】在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【变式2】把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【变式3】把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 题型9 带“非”字的有理数 【例9】在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【变式2】在数中，非负有理数有___________个． 【变式3】下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 题型10 算筹中的正负数问题 【例10】中国古代数学著作《九章算术》中记载了正负数的概念及运算法则，称为“正负术”．现用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若算筹（此算筹为红色）表示的数是，则算筹（此算筹为黑色）表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示＋238，“”表示．由此可知“”表示的数是（    ） A．6028 B． C．6208 D． 【变式2】成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是中国古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位，百位，万位数用纵式表示：十位，千位，十万位数用横式表示：“0”用空位来代替，以此类推，如：数3306用算筹表示成．用算筹 表示的数是________． 【变式3】算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 题型11 正数与负数的综合问题 【例11】已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 【变式1】如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【变式2】小光一边吃零食一边看风景日历，这时妈妈凑了过来，说：“小光，我们一起来研究日历好吗？日历中可是充满了奥秘呀！”小光一听要探索奥秘，立刻来了精神，因为小光最喜欢探究性的问题了，可是从哪儿入手研究呢？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 小光任意翻开了一张日历，如表所示．经过一番观察，小光发现：日历中每一横行相邻的数字都相差1，而每一竖列相邻的数字都相差7．同学们，你们发现了吗？妈妈告诉小光，有了这个发现，就可以解决日历中的所有问题了． 同学们，小光的妈妈说得对吗？解决有关日历中的问题，还需要哪些数学知识呢？ 【变式3】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 1．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 2．刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 6．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 7．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为______斗． 8．在，，1，0，，，，，23，中， 整数是_________________； 正有理数是_________________； 负有理数是_________________． 9．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 10．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 11．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 12．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 13．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 14．一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 15．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 16．学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 正数与负数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正负数的定义 题型2 相反意义的量 题型3 正负数的实际应用 题型4 正负数的多结论正误问题 题型5 正负数的规律排列问题 题型6 有理数的概念 题型7 0的意义 题型8 有理数的分类 题型9 带“非”字的有理数 题型10 算筹中的正负数问题 题型11 正数与负数的综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正负数的定义 相反意义的量 有理数的概念与分类 带“非”字的有理数 1.识别正负数，能用其表示生活中具有相反意义的量; 2.明晰0既非正数也非负数，掌握有理数完整分类; 3.会把有理数规范整理，区分整数与分数范畴; 4.初步建立数感，运用有理数表示实际数量情境。 学习重点：正负数的定义、相反意义的量、有理数的分类。 学习难点：准确辨别相反意义的量，灵活选用正负进行标注、理清有理数分类边界，分清整数、分数包含范围、理解 0 的特殊属性，易误将 0 归为正数或负数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正数与负数的基本概念 定义：正数，像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 定义：负数，像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 即时即练 1．在实数，，0，6中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据“负数小于0”的定义逐一判断给定数即可得到结果． 【详解】解：∵负数是小于的实数， 对给出的数逐一判断：，是负数；，是负数；既不是正数也不是负数；，是正数；∴一共有个负数． 2．在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 【详解】解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 3．有下列各数：3，，，，，，0，．其中，负数有_______个． 【答案】4 【分析】本题考查了负数的概念，掌握小于零的数为负数是解题的关键． 将每一个数分别和0比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，，，，， ，，，为负数；3，，为正数；0既不是正数，也不是负数； 负数有4个． 故答案为：4． 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 即时即练 4．正负数在日常生活中有着广泛的应用．若存入银行300元记作元，则从银行取出150元记作______元． 【答案】 【详解】解：存入银行元记作元， 从银行取出元记作元． 5．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握正负数的实际意义． 根据正负数的意义，误差是相对于标准净重的，比标准重记为正数，比标准轻记为负数． 【详解】解：， 故食品净重记为， 故答案为：． 6．弹簧振子是物理学中研究简谐振动规律的理想化模型，在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作___________cm． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解题意；因此此题可根据正负数的意义及题意直接进行求解即可． 【详解】解：弹簧振子从自然状态向左压缩，记作． 故答案为：． 知识点03 整数与分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 即时即练 7．有理数，，，，4中整数有__________，负分数有__________． 【答案】 0，，4 ， 【分析】本题考查了有理数的分类．根据有理数的分类，整数包括正整数、负整数和零，负分数是负的有理数且不是整数进行依次判断即可求解． 【详解】解：整数有：0，，4； 负分数有：，； 故答案为：0，，4；，． 8．在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 【答案】 ，2，13，0 ， 【分析】本题主要考查整数和负分数的定义；根据整数和负分数的定义，整数包括正整数、负整数和零；负分数是负的有理数且不是整数．逐个判断给定数即可得出答案． 【详解】解：在给定的数中，是负整数，属于整数； 是负小数，属于负分数； 2是正整数，属于整数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 13是正整数，属于整数； 0是整数，既不是正数也不是负数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 转化为，是负分数； 是正分数，既不是整数也不是负分数． 因此，整数有，2，13，0；负分数有，． 故答案为：，2，13，0；，． 9．下列说法不正确的是（   ） A．不是分数 B．0是整数 C．不是整数 D．是既是负数又是整数 【答案】A 【分析】根据有理数的基本定义判断即可． 【详解】解：A、既是负数又是分数，原说法错误，本选项不符合题意； B、0是整数，正确，本选项符合题意； C、不是整数，正确，本选项符合题意； D、是既是负数又是整数，正确，本选项符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类是解题关键． 知识点04 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【注意事项】 1、忽略基准标准值，正负偏离基准才是误差，勿颠倒大小； 2、取值范围书写易漏等号，± 对应两端都包含临界数值； 3、计算最值时加减混淆，最大值 = 标准 + 误差，最小值 = 标准 - 误差； 4、判断合格只看数值区间，不可单独只看正误差或负误差； 5、实际单位统一，标准与误差单位不一致直接计算易出错； 即时即练 10．某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为克，下列取出的乒乓球中哪些是合格的？（    ） A．2.06克 B．3克 C．2克 D．2.72克 【答案】D 【分析】先根据标准质量及误差得出符合题意的范围，再判断答案即可． 【详解】解：∵乒乓球的标准质量为2.7克，且误差为， ∴， 所以乒乓球合格的范围是， 可知2.72克符合题意． 11．机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，找到数值大于的零件数即可得到答案． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴只有和误差大于， ∴不合格的零件有2个， 故选：B． 12．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为_____． 【答案】 【分析】根据具有相反意义的量可知把超过标准质量的记作正数，则比标准质量少的应记作负数． 【详解】解：把食品净重记为， 把超过标准质量的记作正数， 比标准质量少的应记作负数， 比标准质量少， 应记作． 知识点05 有理数的定义 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数； 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．（2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 知识点06 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 即时即练 13．把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{         } (2)分数集合：{            } (3)非负整数集合：{            } (4)非负有理数集合：{            } 【答案】(1) (2) (3)0，2005 (4) 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：分数集合：； （3）解：非负整数集合：； （4）解：非负有理数集合：． 14．把下列有理数填入相应的数集内： ，，，，，，，， (1)正数集合｛ …｝ (2)负数集合｛ …｝ (3)整数集合｛     …｝ (4)非负有理数集合｛ …｝ 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)，， (4)，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类， （1）根据正数的定义，逐一分析各数即可； （2）根据负数的定义，逐一分析各数即可； （3）根据整数的定义，逐一分析各数即可； （4）非负有理数是正有理数和零的统称，据此即可获得答案． 【详解】（1）解：正数集合｛，，，…｝ （2）负数集合｛，，，，，…｝ （3）整数集合｛，，，…｝ （4）非负有理数集合｛，，，，…｝ 15．将下列各数按照分类，填入下面对应的大括号内： ，，，，，0，，12，，，（7和8之间依次多一个0）． 整数集合：{_______…} 正有理数集合：{_______…} 分数集合：{_______    } 【答案】 整数集合：， 正有理数集合：， 分数集合：． 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据整数、正有理数、分数的定义，进行分类即可． 【详解】解：，是无理数， 整数集合：， 正有理数集合：， 分数集合：． 题型1 正负数的定义 【例1】下列各数中，属于负数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：A、，是正数，不符合要求； B、，是负数，符合要求； C、0既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，是正数，不符合要求． 【易错警示】 大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数。切勿将带“+”号的数全当正数、带“−”号的数全当负数。 【变式1】下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 【变式2】在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． 【变式3】我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 【答案】 【分析】本题考查负数的概念，根据负数是指小于零的数，通常带有负号，逐个判断即可． 【详解】解：，，，， 即负数有，，个数为， 故答案为：． 题型2 相反意义的量 【例2】某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为，如果比标准质量多表示为，那么比标准质量少表示为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目对正偏差的规定，即可推出负偏差的表示方法。 【详解】∵题目规定比标准质量多记为正，即比标准多表示为， ∴比标准质量少是与“比标准质量多”相反的意义，应该记为负， 因此比标准质量少表示为． 【易错警示】 相反意义的量需属性相同、意义对立、带具体数值，不可仅凭词义判断。注意同类数量才可对应，避免单位不同、无数值、意义不相反的错误判定。 【变式1】一种袋装食品的标准净重为200 g，如果把净重205 g记为 g，那么净重198 g应记为________g． 【答案】 【分析】用正负数表示具有相反意义的量，以标准净重200 g为基准，超过标准净重记为正，低于标准净重记为负，计算实际净重与标准净重的差值即可求解． 【详解】解：由题意可知，以200 g为标准， 超过200 g的部分记作正数，低于200 g的部分记作负数， ， 因此净重198 g应记为g． 【变式2】如图为小明微信账单，其中，收到微信红包元显示“”．则扫码付款元，在阴影处显示的是______． 【答案】 【详解】解：扫码付款元，在阴影处显示的是． 【变式3】下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)否 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 题型3 正负数的实际应用 【例3】如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． 【变式1】某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【答案】29.92 【详解】解：由题意可得，该零件的实际直径为：． 【变式2】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 【变式3】阅读下列材料并解答问题． 素材 为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年级一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 任务1 （1）求这8筐花生的实际重量分别为多少千克？ 任务2 （2）在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年级一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子15千克，请你帮七年级一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【答案】 （1）① ②③④ ⑤ ⑥⑦ ⑧ （2）669元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． （1）根据正负数的意义解题即可； （2）分别算出销售额和成本即可． 【详解】解：（1）∵每筐以为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数， ∴筐号①的实际重量为：； 筐号②的实际重量为：； 筐号③的实际重量为：； 筐号④的实际重量为：； 筐号⑤的实际重量为：； 筐号⑥的实际重量为：； 筐号⑦的实际重量为：； 筐号⑧的实际重量为：； （2）销售额为：元， 成本为：元， ∴获利元． 题型4 正负数的多结论正误问题 【例4】下列说法中正确的（   ） A．带有“”号的数是负数 B．表示没有温度 C．0是最小的正数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【分析】根据所学的相关知识解答即可． 本题考查了有理数的相关知识，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：A. 带有“”号的数不一定是负数，错误，不符合题意；     B. 表示温度为0，错误，不符合题意； C. 没有最小的正数，错误，不符合题意；     D. 0既不是正数，也不是负数，正确，符合题意； 故选：D． 【易错警示】 多结论判断题易混淆0、正数、负数概念，常误判带符号的数的属性。需紧扣定义逐一验证，杜绝以偏概全，忽略特殊数字0的特例导致结论出错。 【变式1】关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：B选项中 0不是正数． 【变式2】下列说法正确的个数是（    ） ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了有理数，根据有理数的分类、有理数的意义分别进行解答即可． 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，故①正确； ②0既不是正数，也不是负数，故②错误； ③一个整数不是正的，就是负的，还有一个0，故③错误； ④分数只有正、负两种情况，故④正确， 则正确的是①④，共2个； 故选：B． 【变式3】以下哪个选项的说法不准确(    ) A．属于负数、分数，同时也是有理数 B．0并非正数，也非负数，但属于整数 C．是负数和整数，然而并非有理数 D．0为正数与负数的界限 【答案】C 【分析】本题考查了有理数、正数、负数及整数的定义与分类；解题的关键是依据“有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，负数小于0，正数大于0，0既不是正数也不是负数”的定义，逐一判断各选项表述的准确性． 先明确核心定义：有理数包含整数和分数，0是整数且为正负数的界限，负整数属于有理数；再分别分析各选项：判断A中是否符合负数、分数、有理数的分类；B中0的属性是否正确；C中是否为有理数；D中0作为正负数界限的表述是否准确，进而找出说法不准确的选项． 【详解】解：A、，属于负数；，属于分数；分数是有理数的一部分，故该选项说法准确，不符合题意； B、0既不大于0也不小于0，故非正数也非负数；0属于整数范围，该选项说法准确，不符合题意； C、，属于负数且是负整数；而整数是有理数的子集，故是有理数，该选项“并非有理数”的表述不准确，符合题意； D、正数大于0，负数小于0，故0是正数与负数的界限，该选项说法准确，不符合题意； 故选：C． 题型5 正负数的规律排列问题 【例5】将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2 028个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)正数； (2)B、D； (3)正数，A． 【分析】本题考查了数字规律问题，找出题中数字排列规律是解题的关键． （1）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （2）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （3）因为，根据规律，即得答案． 【详解】（1）解：由数字排列规律可知：A是正数，B是负数，C是正数，D是负数．每4个数一循环， 所以在A处的数是正数； （2）解：由（1）可知，负数排在B，D的位置上； （3）解：， 根据（1）中数字排列规律可知，第2 028个数是正数，排在对应A的位置上． 【变式1】在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【答案】四 【分析】根据所给的排列规律，利用列表法，重新排列发现规律，据此可解决问题． 本题考查实数的排列规律，能发现每8个数一循环且每行4个数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 【变式2】某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作________分，小兰的成绩记作分，她的实际得分是________分． 【答案】 88 【分析】本题考查了正数、负数的应用，熟练掌握其意义是解题的关键． 【详解】解：平均成绩为95分，把平均成绩记为0分， ，超出3， 故记作：； 小兰的成绩记作分，她的实际得分是， 故答案为：，88． 【变式3】所有分数组成分数集合，所有负数组成负数集合．如图所示的阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数分类，正确把握相关定义是解题关键．直接利用负分数的定义分析得出答案． 【详解】解：阴影部分表示负分数，选项中只有C符合题意． 故选：C． 题型6 有理数的概念 【例6】下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（包括有限小数、无限循环小数）是解题的关键．根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，包括有限小数、无限循环小数），逐一判断这8个数是否为有理数． 【详解】解：：分数，是有理数； ：整数，是有理数； ：分数，是有理数； （每两个2之间依次多一个6）：无限不循环小数，不是有理数； ：有限小数，是有理数； ：整数，是有理数； ：无限不循环小数，不是有理数； ：无限循环小数，是有理数． 有理数有，共6个． 故答案为：6． 【变式1】下列7个数：（每两个1之间依次多一个5），其中有理数有_____个． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的定义，熟知整数和分数统称有理数是关键； 根据整数和分数统称有理数解答即可． 【详解】解：有理数是：，共5个； 故答案为：5． 【变式2】列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的定义，0的意义，有理数分为正有理数，0和负有理数，有理数又分为整数和分数，0既不是正数，也不是负数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①有限小数和无限循环小数都是有理数，原说法正确； ②0是非负有理数，原说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，原说法错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，原说法正确． ∴说法正确的有①②④，共3个， 故答案为：3． 【变式3】阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题： （1）是________循环小数（填“纯”或“混”） （2）的循环节是________． 【答案】 纯 24 【分析】本题考查了新定义，循环小数等知识，认真读题，理解题意是解题关键． （1）根据纯循环小数和混循环小数的概念判断即可； （2）根据循环节的概念判断即可； 【详解】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数， 故答案是：纯； （2）的循环节是24， 故答案为：24． 题型7 0的意义 【例7】四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可． 【详解】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意． 【变式1】关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【变式2】下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】2 【分析】本题考查了正数和负数、0的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键． 根据0的意义逐项判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个． 故答案为：2． 【变式3】下列说法：①在一个正数的前面加上负号“-”，该正数就变成了负数；②不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数；③0是正数和负数的分界点；④0只表示没有；⑤数2没有符号．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了正数、负数和的基本概念，熟练掌握正负数的定义，数的分类边界，的含义及数的符号表示，然后逐一分析每个选项． 【详解】解：① 在一个正数前面加上负号 “-” ，该正数就变成了负数，比如前面加负号变为，故①正确； ②既不是正数也不是负数，所以不是正数的数可能是负数或，不是负数的数可能是正数或，故②错误； ③大于负数，小于正数，是正数和负数的分界点，故③正确； ④不仅仅是表示没有，在实际生活中，比如，并不表示没有温度，故④错误； ⑤数的符号是 “” ，只是通常省略不写，并非没有符号，故⑤正确； 故答案为：①③. 题型8 有理数的分类 【例8】把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 【详解】解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 【变式1】在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每个数，即可作答． 【详解】解：是负整数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数； 即，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； π是无理数，不属于有理数； 是负循环小数，属于负有理数； 0是非负整数，不属于负有理数； 是负有限小数，属于负有理数； 6.3是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； 2022是正整数，属于非负整数，不属于负有理数； 故负有理数有、、，共3个；非负整数有0、2022，共2个； 故答案为：3，2． 【变式2】把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【答案】(1)8.5，0.3，12， (2)0，12， (3)，， 【分析】根据正数、整数、负分数的定义，对给出的数逐一判断，归类填入对应集合即可，大于0的数为正数，整数包含正整数、0、负整数，小于0的分数为负分数，有限小数属于分数. 【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 【变式3】把下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多一个），． 负数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 负有理数集合：{_____________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）； 0.3，，，，，2.3%； ，，；0.3，，，，0，，，10，2.3% 【分析】本题考查有理数的分类．熟悉负数为小于的数，分数包括有限小数、无限循环小数和可以化为分数的百分数，负有理数既是负数又是有理数的数，有理数是整数和分数的统称，小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解：负数集合：{，，，（每相邻两个之间依次多一个）}； 分数集合：{0.3，，，，，2.3%}； 负有理数集合：{，，}； 有理数集合：{0.3，，，，0，，，10，2.3%}． 题型9 带“非”字的有理数 【例9】在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负分数，不符合要求； 是分数，不符合要求； 是非负整数，符合要求； 是非负整数，符合要求； 是负整数，不符合要求； ∴符合条件的非负整数共个． 【变式1】下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【答案】C 【分析】有理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于零的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意； C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意； 【变式2】在数中，非负有理数有___________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查非负有理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义． 非负有理数是指0和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理数，根据非负有理数的定义即可求解． 【详解】解：在数中，非负有理数是，共6个． 故答案为：6． 【变式3】下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 【答案】(1)，，， (2)15，0 (3)，0 【分析】本题考查有理数的概念，掌握好有理数的定义是关键． 非负有理数是指大于或等于零且能表示为两个整数之比的数；非负整数是指大于或等于零的整数；非正整数是指小于或等于零的整数．根据给定数字，逐一判断其类型并分类． 【详解】（1）解：非负有理数有 ，，，； （2）解：非负整数有15，0； （3）解：非正整数有，0． 题型10 算筹中的正负数问题 【例10】中国古代数学著作《九章算术》中记载了正负数的概念及运算法则，称为“正负术”．现用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若算筹（此算筹为红色）表示的数是，则算筹（此算筹为黑色）表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是正负数的应用，解题关键是理解题意． 根据正负数的意义即可得出答案． 【详解】解：根据题意，黑色算筹表示负数，横放的算筹表示十位数，竖放的算筹表示个位数， 算筹（此算筹为黑色）表示的数是． 故选：． 【变式1】中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示＋238，“”表示．由此可知“”表示的数是（    ） A．6028 B． C．6208 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据题中新定义求解即可． 【详解】 解：由题意得，“”表示的数是， 故选：D． 【变式2】成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是中国古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位，百位，万位数用纵式表示：十位，千位，十万位数用横式表示：“0”用空位来代替，以此类推，如：数3306用算筹表示成．用算筹 表示的数是________． 【答案】6322 【分析】本题主要考查了有理数的表示，根据题意可知，所求算筹表示的是一个四位数，千位数字是6，百位数字是3，十位数字是2，个数数字是2，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，算筹表示的是6322， 故答案为：6322． 【变式3】算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键． （1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． 【详解】（1） 解：算筹所表示的数是3875． 故答案为：3875； （2） 解：用算筹表示下列各数： （3）解：用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 题型11 正数与负数的综合问题 【例11】已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题与抽屉原理，分析整数的奇偶性并运用抽屉原理是解题的关键． 通过，b，的奇偶性进行分类讨论：①若，b，全为奇数或全为偶数；②若，b，既有奇数又有偶数，则必有两个数同为奇数或同为偶数；以此证明无论，b，的奇偶如何组合，代数式，，中至少有一个是整数，即可判断． 【详解】解：∵，b，是整数， ∴分两种情况讨论： ①若，b，全为奇数或全为偶数，则，，均为偶数， ∴，，均为整数. ②若，b，既有奇数又有偶数，根据抽屉原理，必有两个数同为奇数或同为偶数， 设这两数为和，则为偶数， ∴为整数，即三个代数式中至少有一个为整数； 综上，，，中至少有一个是整数． 故选：C． 【变式1】如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 【变式2】小光一边吃零食一边看风景日历，这时妈妈凑了过来，说：“小光，我们一起来研究日历好吗？日历中可是充满了奥秘呀！”小光一听要探索奥秘，立刻来了精神，因为小光最喜欢探究性的问题了，可是从哪儿入手研究呢？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 小光任意翻开了一张日历，如表所示．经过一番观察，小光发现：日历中每一横行相邻的数字都相差1，而每一竖列相邻的数字都相差7．同学们，你们发现了吗？妈妈告诉小光，有了这个发现，就可以解决日历中的所有问题了． 同学们，小光的妈妈说得对吗？解决有关日历中的问题，还需要哪些数学知识呢？ 【答案】不对，见解析 【分析】本题考查了日历中的规律问题．熟练掌握日历表格是解题的关键． 根据日历的排列结构，每月每周天数解答． 【详解】小光的妈妈说得不对， 解决有关日历的问题还需要知道日历中的日期都是正整数，每周7天，以及每个月的天数（28、29、30或31天）等． 【变式3】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【详解】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为：， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为：，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 1．下面对生活中数据的估计，最合适的是（   ） A．一瓶矿泉水约为500毫升 B．七年级学生1000米跑合格成绩为60秒 C．一张数学试卷的面积约为20平方米 D．一本七年级数学教科书的质量约为15克 【答案】A 【分析】本题主要考查了数学常识，熟练掌握一些基本的数学常识是解题关键．根据生活经验、对长度单位、容积单位、质量单位和时间单位和数据的大小的认识，对各个选项进行分析，找出最合理的即可． 【详解】解：A、一瓶矿泉水约为500毫升，则此项合适，符合题意； B、七年级学生1000米跑合格成绩约为180秒，则此项不合适，不符合题意； C、一张数学试卷的面积约为20平方分米，则此项不合适，不符合题意； D、一本七年级数学教科书的质量约为350克，则此项不合适，不符合题意； 故选：A． 2．刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 3．下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数． 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 4．下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误， 故（1）不符合题意； 没有最小的整数， 故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数， 故（3）符合题意； 自然数包括0， ∴自然数一定是正整数错误， 故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数， 故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数， 故（6）不符合题意； 零食整数但不是正数， 故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数， 故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0， 故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 5．如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】A 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 6．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 7．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为______斗． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用． 根据正负数表示具有相反意义的量，增加记为正值，减少则记为负值． 【详解】解：由题意可知，益实一斗（增加1斗）记为斗，因此损实七斗（减少7斗）应记为斗． 故答案为：． 8．在，，1，0，，，，，23，中， 整数是_________________； 正有理数是_________________； 负有理数是_________________． 【答案】 ，1，0，23 ，1，，，23 ，， 【分析】本题考查了整数、正有理数、负有理数的概念，解题的关键是明确各数集的定义，区分有理数与无理数． 依据整数（正整数、0、负整数）、正有理数（正的整数、分数、有限/无限循环小数）、负有理数（负的整数、分数、有限/无限循环小数）的定义，逐一筛选所给数． 【详解】解：①整数是：； ②正有理数是：； ③负有理数是：． 故答案为：①；②；③． 9．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 10．下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 11．算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是______ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可， 【详解】解：要解决这道题，我们结合算筹的摆法规则和图形来逐步分析： 1，明确算筹的数位与摆法规则 数位交替规则：个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式以此类推；零的表示：用空格表示；负数表示：在个位数上画斜线表示负数． 2，逐位解析的每一位 千位（横式）：图形为≡，对照横式表格，≡对应数字3，因此千位是3． 百位（纵式）：图形为，对照纵式表格，对应数字6，因此百位是6． 十位（横式）：图形为⊥，对照横式表格，⊥对应数字7，因此十位是 7．个位（纵式，带斜线）：图形为，对照纵式表格，对应数字2，且个位画斜线表示负数，因此个位2． 3，组合各位数字 将千位、百位、十位、个位的数字组合起来，得到这个数是． 故答案为：． 12．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． (1)在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ (2)你能将这些数字进行分类吗？ (3)在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字的分类（计数、测量、标号与排序）、整数与分数的概念，以及数在实际生活中的应用，熟练掌握数字的分类方法和整数、分数的定义是解题的关键． （1）先从题干描述中逐一提取出现的所有数字，再根据计数、测量、标号与排序的定义，对每个数字的用途进行判断和归类． （2）依据整数和分数的数学定义，对提取出的所有数字进行整数与分数的划分． （3）结合实际生活中的具体数学问题，举例说明仅用整数和分数无法满足需求，从而论证数系需要扩展． 【详解】（1）解：老师刚才描述中出现了：、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，没有属于标号与排序的数字； （2）解：按整数和分数分类：整数有、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 13．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【答案】正数集合：，，，，；负数集合：，，，，；整数集合：，，，，，；分数集合：，，，，；自然数集合：6，0，， 【分析】本题考查了有理数的分类，正确理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类求解即可． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 负数集合：，，，，，； 整数集合：，，，，，，； 分数集合：，，，，，； 自然数集合：6，0，，，． 14．一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 【答案】(1) 表格见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据每天的体温变化计算即可； （2）根据平均数的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：，，，，； 表格如下： 时间 体温变化 实际体温 _________ _________ _________ _________ _________ （2）解：平均体温为：． 15．如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【答案】对准的数是；先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格，刻度线表示为． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为． 16．学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【答案】(1)比个少做个引体向上 (2) (3)多在课余时间加强锻炼 【分析】本题考查正负数的实际应用； （1）根据题意得到“”的实际意义解答即可； （2）先找出成绩优秀人数，然后计算优秀率解答即可； （3）根据表格中数据提出合理建议即可． 【详解】（1）解：“”表示的意义是比个少做个引体向上， 故答案为：比个少做个引体向上； （2）解：达到优秀的有3人， ∴优秀率为， 答：这组男生引体向上的成绩优秀率是； （3）解：建议：多在课余时间加强锻炼． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $