专题05 立体几何初步（期末复习讲义）高一数学下学期人教B版

专题05 立体几何初步（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 空间几何体的结构特征 题型二 斜二测画法及其计算 题型三 几何体展开图的最短路径问题 题型四 简单几何体的表面积与体积 题型五 共点、共线、共面问题证明 题型六 线面位置关系的命题判断 题型七 空间平行关系的证明 题型八 空间垂直关系的证明 题型九 异面直线所成角的求解 题型十 直线与平面所成角的求解 题型十一 平面与平面所成角的求解 题型十二 空间距离的求解 题型十三 几何体的外接球与内切球 题型十四 几何体中的动点探索问题 题型十五 空间几何体中的截面问题 题型十六 空间几何体翻折问题综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 斜二测画法与直观图面积计算 能熟练运用斜二测画法绘制平面、空间图形的直观图，掌握原图与直观图的面积换算公式并完成计算 基础小题高频考点，易错点为记错线段缩放规则、混淆原图与直观图的面积比例关系 空间几何体的概念、分类与结构特征 能准确区分棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，辨析各类几何体的组成要素与结构特点 选择、填空常考概念辨析题，易错点为混淆棱台、圆台的判定条件，误判几何体类型 空间几何体的表面积与侧面积计算 能熟记柱、锥、台、球的表面积、侧面积公式，结合几何体特征完成相关运算 计算类核心考点，题型灵活，易错点为遗漏底面面积、混淆侧面展开图对应公式 祖暅原理与空间几何体的体积计算 能理解祖暅原理的含义，熟练运用柱、锥、台、球的体积公式求解体积 必考计算题型，大小题目均有涉及，易错点为台体公式记忆出错、高的取值判断失误 平面的基本事实及推论 能掌握平面三条基本事实与三个推论，运用其证明点共线、线共面、多点共面问题 证明题基础考点，多结合平行、关系证明综合考查，易错点为定理条件使用不完整 空间点、直线、平面的位置关系 能准确判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，规范使用数学符号表示 基础概念题高频考点，常以判断正误形式命题，易错点为忽略异面直线的定义与特征 空间平行关系（线线、线面、面面平行） 能运用平行关系的判定定理与性质定理，完成平行的证明与推理 期末解答题核心考点，常分步推理证明，易错点为判定定理条件缺失、推理逻辑不严谨 空间垂直关系（线线、线面、面面垂直） 能掌握垂直关系的判定与性质定理，求解线面角、二面角，完成垂直类证明 重点拔高考点，常结合角度计算综合命题，易错点为二面角、线面角的范围判断错误 知识点01 空间几何体与斜二测画法 一、斜二测画法 空间几何体的______常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相______的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使______(或______)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中______于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度______， 平行于轴的线段，长度为原来的______ 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成______或______； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度______；平行于轴的线段长度变为原来的______． 二、直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为______，即原图面积是直观图面积的______倍， ②直观图面积是原图面积的______倍. 知识点02 构成空间几何体的基本元素 一、平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用______来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成______，且横边长等于其邻边长的______倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成______线 图示 平面的特点 ①平面是______的； ②平面是______延展的没有边界的； ③平面是没有______的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“______”或“______”； ②直线与平面的位置关系只能用“______”或“______” 二、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b ______ 相交关系 图示 符号 语言 ______ ______ 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 ______ 三、直线与平面垂直 1．线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有______，则称直线与平面垂直（或是平面的一条______，是直线的一个______），记作，其中为______。 2．点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的______。 3．线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上______到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上______到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 知识点03 多面体与旋转体 一、多面体 1、多面体的定义：一般地，由若干个______多边形所围成的封闭几何体称为多面体。 2、多面体的有相关概念： （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面； （2）多面体的棱：相邻两个面的______称为多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的______称为多面体的顶点； （4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是______的线段； （5）多面体的体对角线：连接不在同一个______上的两个顶点的线段； （6）截面：一个几何体和一个______相交所得到的平面图形（包括它的内部） 2、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的______，称这样的多面 体为凸多面体 正多面体：各个面都是______的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体。 二、棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相______，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相______的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的______，他们都是______； （3）相邻侧面的______叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的______叫做棱柱的顶点。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向______形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱______于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是______的直棱柱． 平行六面体：底面是______的四棱柱． 三、棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个______的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个______面叫做棱锥的侧面； （3）相邻______的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为______的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 四、棱台 1、定义：用一个______与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的______叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的______叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是______； （3）各侧棱的______交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 五、旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线______产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的______（或它的长度）。 （3）底面：______于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：______于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过______的平面所得到的截面。 六、圆柱、圆锥、圆台 1.圆柱 定义：以______的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体叫做圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）______于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）______于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，______与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且______的圆面； （2）母线有______条，都平行与轴； （3）轴截面为______。 2.圆锥 定义：以______的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的______旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是______； （2）圆锥的______与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3.圆台 1、第一种定义：用______于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以______垂直于底边的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径______且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为______。 4.球 定义：半圆以它的______所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 5.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 ______ ______ 表面积公式 ______ ______ ______ 知识点04 祖暅原理与几何体的体积 一、祖暅原理 1．祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2．祖暅原理的含义：加在两个______平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个 ______的面积总相等，那么这两个几何体的______一定相等。 3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 二、柱、锥、台、球的体积 几何体 体积 柱 ______(S为底面面积，h为高) 锥 ______(S为底面面积，h为高)， 台 ______ (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 ______ (为球的半径) 知识点05 平面的基本事实与推论 一、平面的基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 二、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点06 空间中的平行关系 一、平行直线与等角定理 1.空间平行线的传递性 ①文字语言：平行于______直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线______ 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应______，那么这两个角______或______． ②符号语言：,______或______ 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角______或______； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）______。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 二、异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不______也不______的直线。 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3.空间四边形 顺次连接______的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的______顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接______的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 三、直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果______的一条直线和这个平面______的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 四、直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的______和这个平面相交，那么这条直线就和______平行 五、平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条______直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条______直线； ②证明着两条相交直线分别______于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 六、平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的______平行 其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的______一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段______． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段______． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点07 空间中的垂直关系 一、异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作____________，则与所成的______(或______) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作______. 二、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条______直线垂直，那么该直线与此平面垂直 三、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 ______于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的______一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条______于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面______. 四、直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______ 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面______或______，它们所成的角是0°的角 取值范围 五、二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③____________， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 六、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 七、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直 题型一 空间几何体的结构特征 解｜题｜技｜巧 熟练掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的定义、组成部分和典型结构特点，明确各类几何体的判定条件。判断时重点区分易混几何体，棱台与圆台要求上下底面平行相似、所有侧棱延长后交于一点，棱柱侧棱互相平行，棱锥侧棱汇聚于同一个顶点，也可借助常见实物、模型举反例排除错误选项。 例1．（多选）下列结论错误的是（    ） A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 变式1-1．下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-2．（多选）下列关于多面体的说法错误的是（   ） A．是正棱锥是四面体是正四面体} B．是正棱柱是平行六面体是正方体} C．有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台 D．存在八面体，其八个面都是等边三角形 变式1-3．下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 题型二 斜二测画法及其计算 解｜题｜技｜巧 使用斜二测画法作图时，原图形中平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度缩短为原来的二分之一，坐标轴夹角画成或。进行面积换算时牢记核心比例，原图形面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图形面积的倍，利用该关系快速完成面积互算与相关求值。 例2．已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 变式2-1．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（    ） A．12 B． C．6 D． 变式2-3．已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________. 题型三 几何体展开图的最短路径问题 解｜题｜技｜巧 解决此类问题的核心思路是化立体为平面，将圆柱、圆锥、棱柱等立体图形沿着棱或母线剪开，展开为平面图形。依据平面内“两点之间线段最短”的原理，连接起点与终点得到最短路径，最后结合勾股定理、特殊三角形性质计算线段长度即可。 例3．如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 变式3-1．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 变式3-2．正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 变式3-3．已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 题型四 简单几何体的表面积与体积 例4．已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 变式4-1．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 变式4-2．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（   ） A．9π B．12π C．16π D．36π 变式4-3．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体上下底面平行，且均为扇环形．现有一个如图所示的曲池，其中，，，是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，，则该曲池的体积为__________；表面积为__________． 题型五 共点、共线、共面问题证明 例5．在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（    ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 变式5-1．（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 变式5-2．如图，已知：，，，，，求证：．    变式5-3．空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 题型六 线面位置关系的命题判断 解｜题｜技｜巧 熟记空间内直线与直线、直线与平面、平面与平面的所有位置关系，以及异面直线、平行、相交、垂直的定义与性质。遇到判断正误类题目，优先借助正方体、长方体等基础几何体举例验证，正面证明困难时可通过举反例快速推翻错误命题。 例6．（多选）已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若共面，共面，则共面 变式6-1．（多选）设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 变式6-2．（多选）下列命题正确的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点 D．若直线上有无数个点不在平面内，则 变式6-3．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 题型七 空间平行关系的证明 例7．如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 变式7-1．（多选）在正四棱台中，（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 变式7-2．（多选）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 变式7-3．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 题型八 空间垂直关系的证明 例8．是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 变式8-1．（多选）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 变式8-2．如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，，分别为，，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 变式8-3．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P为BC的中点. (1)证明：A1B//平面APC1； (2)证明：平面APC1⊥平面BCC1B1. 题型九 异面直线所成角的求解 解｜题｜技｜巧 统一采用平移法求解异面直线所成角，在空间选取合适的点，将两条异面直线平移至相交状态，形成对应的夹角。异面直线所成角的取值范围为，若平移后得到钝角，则取其补角作为最终结果，最后在构造出的三角形中，利用边长关系计算角度大小。 例9．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 变式9-2．在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式9-3．如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是__________． 题型十 直线与平面所成角的求解 解｜题｜技｜巧 先过直线上一点作平面的垂线，找到直线在平面内的射影，斜线和其射影所形成的锐角就是直线与平面所成角。按照定义区分特殊情况，直线垂直平面时夹角为，直线平行平面或在平面内时夹角为，结合直角三角形的边角关系完成角度计算。 例10．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 变式10-1．在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 变式10-2．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 变式10-3．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 题型十一 平面与平面所成角的求解 例11．如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 变式11-1．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 变式11-2．如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 变式11-3．如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 题型十二 空间距离的求解 解｜题｜技｜巧 空间距离包含点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面四类，解题核心是统一转化为点到平面的距离。过定点向对应平面作垂线段，垂线段长度即为所求距离；当直线与平面、两个平面互相平行时，可在直线或平面上任取一点，转化为点面距离计算。 例12．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______．    变式12-1．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 变式12-2．已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 变式12-3．如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 题型十三 几何体的外接球与内切球 例13．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 变式13-1．已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 变式13-2．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 变式13-3．在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 题型十四 几何体中的动点探索问题 例14．如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 变式14-1．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 变式14-2．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 变式14-3．如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 题型十五 空间几何体中的截面问题 例15．如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 变式15-1．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．    变式15-2．在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 变式15-3．如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 题型十六 空间几何体翻折问题综合 例16．如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为． (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥的体积． 变式16-1．在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 变式16-2．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.    (1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点； (2)求点C到平面BED的距离. 变式16-3．如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·重庆·期中）已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（2025·26高一下·河南·期末）如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·26高一下·浙江杭州·期中）（多选）关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 5．（2025·26高一下·广东广州·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果保留） (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（结果保留） 6．（2025·26高三·上海·一轮复习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 7．（2025·26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 8．（2025高三·全国·专题练习）在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    9．（2025·26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是四边形所在平面外的一点，为的中点，四边形是且边长为的菱形，为正三角形，且平面平面．求证： (1)平面； (2)． 10．（2025高二下·福建·学业考试）如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求：    (1)若，求三棱柱体积． (2)若是中点，求证：平面． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·河北沧州·期中）已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是_______ 2．（2025·26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离. 3．（2025·26高一下·河北石家庄·期中）如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 4．（2025·26高一下·河北·期中）如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2025·26高二下·浙江金华·阶段检测）（多选）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 3．在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为_____． 4．（2025·26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何初步（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 空间几何体的结构特征 题型二 斜二测画法及其计算 题型三 几何体展开图的最短路径问题 题型四 简单几何体的表面积与体积 题型五 共点、共线、共面问题证明 题型六 线面位置关系的命题判断 题型七 空间平行关系的证明 题型八 空间垂直关系的证明 题型九 异面直线所成角的求解 题型十 直线与平面所成角的求解 题型十一 平面与平面所成角的求解 题型十二 空间距离的求解 题型十三 几何体的外接球与内切球 题型十四 几何体中的动点探索问题 题型十五 空间几何体中的截面问题 题型十六 空间几何体翻折问题综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 斜二测画法与直观图面积计算 能熟练运用斜二测画法绘制平面、空间图形的直观图，掌握原图与直观图的面积换算公式并完成计算 基础小题高频考点，易错点为记错线段缩放规则、混淆原图与直观图的面积比例关系 空间几何体的概念、分类与结构特征 能准确区分棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，辨析各类几何体的组成要素与结构特点 选择、填空常考概念辨析题，易错点为混淆棱台、圆台的判定条件，误判几何体类型 空间几何体的表面积与侧面积计算 能熟记柱、锥、台、球的表面积、侧面积公式，结合几何体特征完成相关运算 计算类核心考点，题型灵活，易错点为遗漏底面面积、混淆侧面展开图对应公式 祖暅原理与空间几何体的体积计算 能理解祖暅原理的含义，熟练运用柱、锥、台、球的体积公式求解体积 必考计算题型，大小题目均有涉及，易错点为台体公式记忆出错、高的取值判断失误 平面的基本事实及推论 能掌握平面三条基本事实与三个推论，运用其证明点共线、线共面、多点共面问题 证明题基础考点，多结合平行、关系证明综合考查，易错点为定理条件使用不完整 空间点、直线、平面的位置关系 能准确判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，规范使用数学符号表示 基础概念题高频考点，常以判断正误形式命题，易错点为忽略异面直线的定义与特征 空间平行关系（线线、线面、面面平行） 能运用平行关系的判定定理与性质定理，完成平行的证明与推理 期末解答题核心考点，常分步推理证明，易错点为判定定理条件缺失、推理逻辑不严谨 空间垂直关系（线线、线面、面面垂直） 能掌握垂直关系的判定与性质定理，求解线面角、二面角，完成垂直类证明 重点拔高考点，常结合角度计算综合命题，易错点为二面角、线面角的范围判断错误 知识点01 空间几何体与斜二测画法 一、斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 二、直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 知识点02 构成空间几何体的基本元素 一、平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 二、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 三、直线与平面垂直 1．线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足。 2．点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的距离。 3．线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 知识点03 多面体与旋转体 一、多面体 1、多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。 2、多面体的有相关概念： （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面； （2）多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点； （4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段； （5）多面体的体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段； （6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部） 2、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，称这样的多面 体为凸多面体 正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体。 二、棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 三、棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 四、棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 五、旋转体 1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体。 2、旋转体的相关概念 （1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。 （2）高：在轴上的边（或它的长度）。 （3）底面：垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （4）侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。 （5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。 （6）轴截面：通过轴的平面所得到的截面。 六、圆柱、圆锥、圆台 1.圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体叫做圆柱。 （1）旋转轴叫做圆柱的轴； （2）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； （3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； （4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 2.圆锥 定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 （1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； （2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； （3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。 【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形； （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线； （3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。 （4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。 3.圆台 1、第一种定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。 2、第二种定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面； （2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点； （3）轴截面为等腰梯形。 4.球 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。 （1）球心：半圆的圆心叫做球的球心； （2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径； （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。 5.旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 知识点04 祖暅原理与几何体的体积 一、祖暅原理 1．祖暅原理的内容：幂势既同，则积不容异。 2．祖暅原理的含义：加在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个 截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等。 3．应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。 二、柱、锥、台、球的体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 知识点05 平面的基本事实与推论 一、平面的基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 二、三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点06 空间中的平行关系 一、平行直线与等角定理 1.空间平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 二、异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线。 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 三、直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 四、直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 五、平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条相交直线； ②证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 六、平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点07 空间中的垂直关系 一、异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 二、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 三、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 四、直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 五、二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 六、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 七、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 题型一 空间几何体的结构特征 解｜题｜技｜巧 熟练掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的定义、组成部分和典型结构特点，明确各类几何体的判定条件。判断时重点区分易混几何体，棱台与圆台要求上下底面平行相似、所有侧棱延长后交于一点，棱柱侧棱互相平行，棱锥侧棱汇聚于同一个顶点，也可借助常见实物、模型举反例排除错误选项。 例1．（多选）下列结论错误的是（    ） A．过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 【答案】BCD 【详解】在如图所示的平行六面体中， 侧面及侧面都是矩形，且平面及平面都与底面ABCD垂直，故D错误； 截面可能为矩形，故A正确； 将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误； 侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误． 变式1-1．下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，长方体是底面为矩形的直四棱柱； 因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱是特殊的长方体，①说法正确； 对于②棱台是由棱锥用平行于底面的平面截取而来，只有正棱台的侧棱才相等，一般的棱台侧棱长不一定相等，所以这个说法错误； 对于③面数最小的多面体是三棱锥（四面体）它有4个面，所以多面体至少有4个面，这个说法正确. 变式1-2．（多选）下列关于多面体的说法错误的是（   ） A．是正棱锥是四面体是正四面体} B．是正棱柱是平行六面体是正方体} C．有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台 D．存在八面体，其八个面都是等边三角形 【答案】ABC 【详解】是正棱锥是四面体是正三棱锥}，A选项错误； 是正棱柱是平行六面体是正四棱柱}，B选项错误； 有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体不一定是棱台，需要满足侧棱的延长线交于一点，C选项错误； 存在八面体，正八面体由八个全等正三角形构成，D选项正确； 变式1-3．下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④⑤ 【详解】①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台，错误；②它们的底面为圆面错误；③④⑤正确． 题型二 斜二测画法及其计算 解｜题｜技｜巧 使用斜二测画法作图时，原图形中平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度缩短为原来的二分之一，坐标轴夹角画成或。进行面积换算时牢记核心比例，原图形面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图形面积的倍，利用该关系快速完成面积互算与相关求值。 例2．已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【答案】 【详解】由题可知，则， 从而，所以， 还原直观图可得原平面图形为平行四边形，如图所示， 则， 所以， 所以原平面图形的周长为. 故答案为：. 变式2-1．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 变式2-2．已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题设， 又， 所以. 变式2-3．已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________. 【答案】4 【详解】过作轴，垂足为，过作轴，交轴于点， 易知为等腰直角三角形，由， 得，所以， 故的边上的高为. 题型三 几何体展开图的最短路径问题 解｜题｜技｜巧 解决此类问题的核心思路是化立体为平面，将圆柱、圆锥、棱柱等立体图形沿着棱或母线剪开，展开为平面图形。依据平面内“两点之间线段最短”的原理，连接起点与终点得到最短路径，最后结合勾股定理、特殊三角形性质计算线段长度即可。 例3．如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【答案】 【详解】将平面与平面沿直线翻折为一个平面（如下图所示），将原问题转化为平面问题. 本题所求必在下图所示的图中，从而连接，为线段上的一个动点（不含端点）， 则，当且仅当在线段上时等号成立， ，则四边形为正方形， 由可得， 则， 所以的最小值为. 变式3-1．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 变式3-2．正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【答案】 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为． 所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面． 将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的一边为，另一边为． 所以，此时的最短路程为． 比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此． 所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 变式3-3．已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为， 圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则， 在中，由余弦定理可得，所以， 因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 题型四 简单几何体的表面积与体积 例4．已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 变式4-1．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 变式4-2．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（   ） A．9π B．12π C．16π D．36π 【答案】B 【详解】由题意可知，圆锥的母线长，高， 可得圆锥的底面半径：， 根据圆锥体积公式得：. 变式4-3．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体上下底面平行，且均为扇环形．现有一个如图所示的曲池，其中，，，是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，，则该曲池的体积为__________；表面积为__________． 【答案】 【详解】根据弧长公式可知，，， 因为的长度为的长度的2倍，故，可得：； 因为，解得， 根据扇环面积公式可计算“曲池”的底面的面积：， 则； 因为，则的面积为； ，则的面积为； 侧面与的面积为； 两底面面积为：， 故表面积为 题型五 共点、共线、共面问题证明 例5．在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（    ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】A 【详解】由，则平面，由，则平面， 同理可得平面，由平面平面，则. 故选：A. 变式5-1．（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 变式5-2．如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 变式5-3．空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）， ∥ ∥ ∥，所以四点共面； （2）∥，且，， ， 四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD , 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面， ， EH，FG，BD三线共点. 题型六 线面位置关系的命题判断 解｜题｜技｜巧 熟记空间内直线与直线、直线与平面、平面与平面的所有位置关系，以及异面直线、平行、相交、垂直的定义与性质。遇到判断正误类题目，优先借助正方体、长方体等基础几何体举例验证，正面证明困难时可通过举反例快速推翻错误命题。 例6．（多选）已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若共面，共面，则共面 【答案】AC 【详解】已知表示空间中三条不同的直线， 若，则，A选项正确； 若，则可以相交，平行或异面，B选项错误； 若，则，C选项正确； 若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误. 变式6-1．（多选）设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误; 若，，则，选项B正确; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确. 变式6-2．（多选）下列命题正确的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．若直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点 D．若直线上有无数个点不在平面内，则 【答案】AB 【详解】选项A：两两相交且不共点的三条直线有3个不重合的交点，首先两条相交直线可确定一个平面， 第三条直线与前两条直线的两个交点都在该平面内，故第三条直线也在这个平面中， 因此三条直线确定唯一平面，A正确. 选项B：根据线面平行的定义，直线与平面平行即与没有公共点， 因此与内的任意一条直线都不存在公共点，B正确. 选项C：两个平面相交时，公共部分是一条直线，直线上有无限个点，因此它们有无限个公共点，C错误. 选项D：若直线与平面相交，仅交点在内，其余无数个点都不在内，此时不平行于，D错误. 变式6-3．（多选）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】BC 【详解】连接，记，连接. 若平面，则，则，，不符合题意，A错误，B正确. 菱形的边长为，设的中点为，连接，. 在，中，分别有，. 若平面平面，则，，. 因为，所以存在点，使得平面平面，C正确，D错误. 题型七 空间平行关系的证明 例7．如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）正方体中，平面平面， 所以棱长即为点到平面的距离. 所以. （2）证明：正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 变式7-1．（多选）在正四棱台中，（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】BC 【详解】对于A，显然，可知四点共面，而，故与相交，A错误； 对于B，由平面，平面平面，得平面，B正确； 对于C，由平面，平面平面，平面平面，得，由平面，平面知平面，C正确； 对于D，取的中点，中点，若平面平面，则平面， 但由知与相交，而平面，则与平面相交，矛盾，D错误．    变式7-2．（多选）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面， 由于平面，所以平面，A选项正确. B选项，连接，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以, 因为分别是的中点，所以， 所以，所以B选项正确. C选项，由于分别是的中点，所以， 由于平面,平面， 所以平面，C选项正确. D选项，由于，，， 所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 变式7-3．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 【答案】(1)在正方形中，在平行四边形中， ∵平面，平面，且平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面，且， ∴平面平面. (2)取与交点为，则，连接. ∴平面平面， ∵平面，且平面， ∴，在平行四边形中， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴M是线段的中点. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型八 空间垂直关系的证明 例8．是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 【答案】(1)如图，连接， 因为矩形中，为的中点，故与相交于点， 且为的中点， 是的中点，故， 因为平面，平面，所以平面；    (2)因为SD⊥平面，平面，所以⊥， 四边形为矩形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变式8-1．（多选）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故选项A正确； 选项B：因为平面，平面， 所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点， 所以，即， 因为，平面， 所以平面，故选项B正确； 选项C：因为平面，平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为于点，，平面， 所以平面，故选项C正确； 选项D：平面平面，平面，于点， 假设平面平面，则必有平面， 因为平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 因为平面，则必有， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点， 又于点，则， 因为是圆的直径， 且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. 变式8-2．如图，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，，，分别为，，的中点． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，，，，， ，平面的法向量为， ，平面， 平面． （2），， ， ，，， ，． 平面， 平面． 变式8-3．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P为BC的中点. (1)证明：A1B//平面APC1； (2)证明：平面APC1⊥平面BCC1B1. 【答案】(1) 连接，交于点，则是的中点。 又是的中点，可得， 因为平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得平面. (2)正三棱柱的侧棱垂直于底面，因此底面， 因为底面，所以， 又底面是正三角形，是中点，因此， 因为，且平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面，又平面，根据面面垂直的判定定理， 可得平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型九 异面直线所成角的求解 解｜题｜技｜巧 统一采用平移法求解异面直线所成角，在空间选取合适的点，将两条异面直线平移至相交状态，形成对应的夹角。异面直线所成角的取值范围为，若平移后得到钝角，则取其补角作为最终结果，最后在构造出的三角形中，利用边长关系计算角度大小。 例9．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将直四棱柱补成正六棱柱， 连接，，显然， 则即为直线与所成的角或其补角． 设，则， 又， 则， 解得， 又， ， 则为正三角形，从而， 则直线与所成的角为． 变式9-1．正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【详解】设，线段的中点为， 因为为正方形，所以为中点，则是的中位线，则， 因为，所以、全等， 则，则，则， 故异面直线与所成角的大小为. 变式9-2．在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 变式9-3．如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是__________． 【答案】/ 【详解】平面，与底面线面角为，， 中，，, 是中点，直角三角形斜边中线：, ，, 取中点，连接，是中位线：， 就是异面直线所成角（或补角）， ,则是等边三角形， 为中点，, 在中，， 所以， 所以异面直线和所成角的余弦值是. 题型十 直线与平面所成角的求解 解｜题｜技｜巧 先过直线上一点作平面的垂线，找到直线在平面内的射影，斜线和其射影所形成的锐角就是直线与平面所成角。按照定义区分特殊情况，直线垂直平面时夹角为，直线平行平面或在平面内时夹角为，结合直角三角形的边角关系完成角度计算。 例10．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 变式10-1．在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 在长方体中，，，， 所以平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 变式10-2．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 【答案】 【详解】取线段的中点，易知平面， 则直线与平面所成角， 则， 在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时， 故的最大值为. 变式10-3．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)连接，如下图所示 因为，分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 因为， 所以， 即直线与平面所成的角为. 题型十一 平面与平面所成角的求解 例11．如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 【答案】2 【详解】取线段的中点，连接， 因为是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为二面角为，所以， 则是边长为的等边三角形，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中， 所以二面角的正切值为. 变式11-1．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正四棱锥为，底面为正方形，侧面为等腰三角形，记为底面中心， 则底面，底面，故， 则为侧棱与底面所成角， ，设，则底边长， 侧棱长， 取中点，连接，由为等腰三角形可得， 故即为该四棱锥侧面与底面的二面角的平面角， ， 又底面，底面， ，是直角三角形， ． 变式11-2．如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)取PD的中点E，连接ME，CE，如图. ∵M为PA的中点， ∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， ∴，. ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面. (2)如图，连接， ∵，O是的中点， ∴， 由菱形知，又，PO，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点B作于点F，连接DF，OF. ∵平面PAC，平面PAC， ∴. ∵，BD，平面BDF，. ∴平面BDF， ∴，. ∴为二面角的平面角. ∵，，PC，PA，OF共面， ∴， ∵O是AC的中点， ∴F是PC的中点， 又∵， ∴，， ∴. ∵F是PC的中点，又， ∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为. 变式11-3．如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 题型十二 空间距离的求解 解｜题｜技｜巧 空间距离包含点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面四类，解题核心是统一转化为点到平面的距离。过定点向对应平面作垂线段，垂线段长度即为所求距离；当直线与平面、两个平面互相平行时，可在直线或平面上任取一点，转化为点面距离计算。 例12．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______．    【答案】 【详解】 在三棱锥中，因为，， 所以为等腰直角三角形，且. 因为为的中点，所以. 又， 所以点在平面上的射影为的外心，即点， 所以平面. 在中，. 对于异面直线与所成角： 因为分别为的中点， 所以，且. 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 因为平面，平面， 所以. 在中，. 所以. 即异面直线与所成角的正弦值为. 对于点到平面的距离： 取的中点，连接. 因为分别为的中点，所以. 又，所以. 因为，为中点， 所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面，且交线为. 在平面内，过点作于点，则平面. 线段的长度即为点到平面的距离. 在中，，， . 由等面积法可得， 即. 因为为的中点，点在平面上， 所以点到平面的距离为点到平面距离的倍， 即.    变式12-1．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 变式12-2．已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. （3）解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 变式12-3．如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明如下： 连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. (2) (3)存在符合题意的点， 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 【点睛】本题以长方体为载体，先通过菱形性质与线面垂直判定证明线线垂直，再利用面面垂直确定线面角，最后结合等体积法与线段比例关系探究存在性问题，核心是立体几何中垂直关系的转化与体积比的代数化处理. 题型十三 几何体的外接球与内切球 例13．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 变式13-1．已知三棱锥的外接球的半径为2，底面是边长为3的正三角形，，若球心在三棱锥的内部，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的外接圆半径，又三棱锥的外接球半径， 设该三棱锥的高为，所以，即，得， 所以三棱锥的体积. 变式13-2．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【答案】或 【详解】如图所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即． 因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（图1）或（图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 变式13-3．在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】/ 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    题型十四 几何体中的动点探索问题 例14．如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【分析】 【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 变式14-1．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   变式14-2．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式14-3．如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 在正方形中，， 因为平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，则， 则，又， 在中，. 即与平面所成角的正弦值为. （3）存在实数，使得平面，理由如下： 取中点，连接， 由（2）可知，因为，， 所以， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 故存在实数，使平面． 题型十五 空间几何体中的截面问题 例15．如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 【答案】 【详解】延长交于，延长交于， 连接交于，连接交于， 连接， 所得到的五边形就是截面． 变式15-1．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____．    【答案】 【详解】取中点，因为为中点，故， 因为，分别是，的中点，所以， 由正方体性质可得，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 延长，与直线交于点，与直线交于点， 连接，交于点，连接，交于点， 则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 记的交点为，则， 由已知，所以， 所以， 故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为.    变式15-2．在棱长为1的正方体中，E、F分别为AB、BC的中点，则过点、E、F的平面截正方体所得的截面周长为______． 【答案】 【详解】由、为、的中点，得， 又，，则为平行四边形，， 过作，设，，则， 可得，， 连接、，设，，连接、， 可得过点、、的平面截正方体所得的截面为五边形， 因为，，则，， 可得，，， 所以截面周长为. 变式15-3．如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 题型十六 空间几何体翻折问题综合 例16．如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为． (1)证明：平面平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）分别为的中点，，， 平面，平面， 平面，平面， 又，平面， 平面平面. （2）取的中点，连接， ，，为等边三角形，， 又，所以，为等腰直角三角形， ，； 二面角是直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，平面， 即为与平面所成角， ，解得； 在中，由余弦定理得， 即，解得， 为线段上靠近点的四等分点， ， . 变式16-1．在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 变式16-2．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.    (1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点； (2)求点C到平面BED的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接、，如图，    依题意，在中，，则， 而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且， 因为平面，且，则有，且， 从而得四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 则平面，所以直线EC与平面ABD没有公共点； （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面所以平面 因为，于是得平面， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则等腰底边上的高，， 而，设点C到平面BED的距离为d， 由得， 即，解得， 所以点C到平面BED的距离为1 变式16-3．如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)，，， 将沿折叠，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）∵平面，平面， ∴，， 二面角的平面角为， 由为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·重庆·期中）已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确； 选项B，若，，则或，故B错误； 选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确； 选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确. 2．（2025·26高一下·河南·期末）如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得轴且，轴且， 所以四边形为边长为的正方形， 所以四边形的面积为． 3．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，，因为，所以即为和所成角， 因为，， 由勾股定理得，， 因此. 故选：D． 4．（2025·26高一下·浙江杭州·期中）（多选）关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】BD 【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误； 若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 5．（2025·26高一下·广东广州·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长． (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果保留） (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）该半球的直径为，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为，， 该“浮球”的体积是. （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为，所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：克. 6．（2025·26高三·上海·一轮复习）已知在正方体中，分别为、的中点，，．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以在一个平面内，即四点共面． 7．（2025·26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为，故，而，所以， 故，而平面，平面，故平面. （2）因为，故四边形为直角梯形， 故其面积为， 而平面，故为四棱锥的高， 故，而，故， 而，故的面积与直角梯形的面积之比为， 故，故. 8．（2025高三·全国·专题练习）在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【详解】因为在梯形ABCD中，， ，，P为AB的中点， 所以是正三角形，且，，则四边形DPBC为平行四边形， 所以，所以，所以，所以O为AC的中点， 又因为，所以，又，，平面ABC，平面，所以平面ABC， 又因为平面，所以平面平面ABC． 9．（2025·26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是四边形所在平面外的一点，为的中点，四边形是且边长为的菱形，为正三角形，且平面平面．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)如图，连接，，∵四边形是菱形且， 是正三角形，为的中点，． 又平面平面，且平面平面， 平面，平面． (2)由（1）可知，为正三角形，为的中点， ，又，，平面， 平面，又平面，． 【详解】（1）略 （2）略 10．（2025高二下·福建·学业考试）如图，三棱柱中，底面是正三角形，平面．求：    (1)若，求三棱柱体积． (2)若是中点，求证：平面． 【答案】(1) (2) 根据线面垂直的判定定理，只需证明垂直于平面内的两条相交直线. 因为是正三角形，是中点，由正三角形三线合一得； 又平面，平面，因此. 由于，且平面，因此平面. 【分析】 【详解】（1）已知平面，因此三棱柱的高， 底面是边长为的正三角形，其面积， 三棱柱体积公式为，代入得. （2）略. 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·河北沧州·期中）已知四棱台的两底面均为长方形，且上下底面中心的连线与底面垂直，若，棱台的体积为，则该棱台的表面积是_______ 【答案】 【详解】设棱台的上底面的面积为，下底面的面积为， 由棱台的上下底面相似且，得，，， 设棱台的高为，由，解得，    由上下底面中心的连线与底面垂直，得，且四棱台的四条侧棱长相等， 而，则侧棱， 因此等腰梯形的高为，， 等腰梯形的高为，， 所以该四棱台的表面积为. 2．（2025·26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. (1)证明：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接交于点，连接. 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故. 因为平面，平面，所以平面. （2）设点到平面的距离为. 因为为正三角形，为的中点，所以，且. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以.因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，. 所以的面积. 又的面积. 由可得，即， 解得.所以点到平面的距离为. 3．（2025·26高一下·河北石家庄·期中）如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． (1)求证：平面； (2)已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； (3)求的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3). 【分析】 【详解】（1）在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面； 由，得四边形为平行四边形，， 而，则四边形为平行四边形， 而平面，平面，因此平面， 又平面， 则平面平面，而平面， 所以平面. （2）； 由（1）知平面，而平面平面，平面， 所以. （3）依题意，平面， 则 ， 所以的体积为. 4．（2025·26高一下·河北·期中）如图，在三棱锥中，，，分别为侧棱，，上异于端点的点，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上取靠近点的三等分点，连接，则在线段上是否存在点，使，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． (2)存在，点是线段上靠近点的三等分点． 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：存在．点是线段上靠近点的三等分点． 理由如下： 连接，显然与相交，设交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 所以在线段上存在点，使得． 由可得，且． 设， 如图，在平面内，有，即，， 又因为， 所以有， 所以点是线段上靠近点的三等分点． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 2．（2025·26高二下·浙江金华·阶段检测）（多选）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由三条侧棱两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外接球也就是补成的长方体的外接球， 则外接球直径，故A正确； 选项B，由三棱锥的体积，得， 化简，得，故B正确； 对于C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体， 则直线与所成角为记为，与所成角为记为，与所成角为记为， 则，，，则， 故C错误； 对于D，直线与平面、平面、平面所成角分别为， 则， 故 ，故D正确. 3．在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】如图，设分别与的延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，则截面为五边形． 不妨设正方体的棱长为3， 由相似易得，即． ，即， 结合，可知四边形为平行四边形，， 又， 所以在顶点处的内角的余弦值为， 故答案为：. 4．（2025·26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；② 【分析】 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $