专题11-11 立体几何初步中的线面角、二面角问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第四册）

专题11立体几何初步中的线面角、二面角问题 题型1 直线与平面所成角 2 题型2 定义法求二面角 5 题型3 三垂线法求二面角 7 题型4 垂面法求二面角 11 题型5 补形法 15 题型6 补角法 17 题型7 射影法 18 知识点一.直线与平面所成的角 1.直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。 2.由定义可知：斜线与平面所成角的范围为具体操作方法： ①在直线 上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面α引（通常都是找+证明）垂线A0；②连接斜足与垂足MO； ③则斜线与射影MO所成的角△AMO，就是直线与平面所成角. 知识点二.二面角 1.二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫二面角的棱． 2.二面角的平面角定义：过二面角棱上一点分别在两个半平面内引垂线，两垂线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． 如图，点0是二面角α- l- β的棱l上一点，MO，NOβ，且OM⊥l, ON⊥I，则∠MON即为二面角α-l-β的平面角. 2.二面角的求法 （1）定义法：按定义把二面角画出来. （2）垂线法：过其中一个面a内一点P向另外一个面β引垂线，得垂足Q，再过点Q向两个面的交线引垂线得另一垂足0，连接0P，则POQ即为所求的二面角（如下图所示）. 题型1 直线与平面所成角 【例题1】（2023·高一课时练习）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________． 【变式1-1】1．（2023·全国·高一专题练习）正方体中，直线与平面所成角大小为______． 【变式1-1】2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为________ 【变式1-1】3．（2023·高一课时练习）如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为___________. 【变式1-1】4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 【变式1-1】5．（多选）（2023·全国·高一专题练习）如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（    ） A． B． C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为 D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为 【变式1-1】6．（2023·全国·高一专题练习）如图的四面体中，所以棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为______. 【变式1-1】7．（2023春·全国·高一专题练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 【变式1-1】8．（2023春·全国·高一专题练习）如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，. (1)求直线与平面所成角正弦值； (2)求点到平面的距离. 题型2 定义法求二面角 【方法总结】利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，在二面角α-l-β的棱上任取一点0，以0为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）. 【例题2】（2023春·全国·高一专题练习）在长方体中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】1．（2023·全国·高一专题练习）如图，若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为______. 【变式2-1】2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【变式2-1】3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点. (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小. 【变式2-1】4．（2023·高一单元测试）如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面. (1)证明：平面 (2)求证：平