专题01 三角函数（期末复习讲义）高一数学下学期人教B版

专题01 三角函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 任意角与弧度制概念 题型二 弧长与扇形面积问题 题型三 三角函数定义 题型四 同角三角函数关系式的应用 题型五 利用诱导公式化简求值 题型六 求三角函数的性质 题型七 利用三角函数的性质求参数 题型八 三角函数的最值与值域 题型九 三角函数性质的综合问题 题型十 根据函数图象求解析式 题型十一 三角函数图象变换过程 题型十二 三角函数模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与终边相同的角 能将正角、负角换算到0°～360°范围内判断象限，规范书写终边相同角的集合，依据条件筛选指定范围内的对应角。 试卷开篇基础小题，命题常结合负角、超大正角设置陷阱，易错点是负角未加周角化简直接判定象限。 弧度制换算与扇形弧长、面积计算 能熟练完成角度、弧度双向换算，精准套用弧度制下弧长与面积公式，解决半径、圆心角、弧长互求的扇形应用题。 选择填空高频出题，命题贴近课本基础题型，易错点是计算时角度弧度混用、扇形面积两个公式混淆错用。 任意角三角函数定义与符号判定 能依托终边上点的坐标结合r的计算求解三个三角函数值，依托象限符号口诀快速判定任意三角函数式的正负符号。 全章节基础性考点，各类题型频繁穿插考查，易错点是x、y坐标对应函数写错、二三象限符号判断出错。 同角三角函数平方关系、商数关系应用 能利用两组基本关系式完成知一求二、代数式化简，根据角所在象限取舍开方结果，规避隐含定义域限制条件。 计算核心考点，小题、解答第一问频繁考查，命题常隐藏角的范围，易错点是开方忽略象限直接取正值、忽略正切分母不为零。 三角函数诱导公式化简与求值 能依托“奇变偶不变，符号看象限”口诀，分步化简任意角三角函数，熟练完成大角度、负角度的三角函数求值运算。 三角函数计算必备工具，常和同角公式综合命题，易错点是k取值奇偶判断失误、符号看错导致结果出错。 正弦、余弦、正切函数图像与性质 能结合函数图像梳理定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间，准确辨析三个函数对称轴与对称中心的区别。 期末重难点，选择填空+解答题双重考查，易错点是误写正切函数对称轴、书写单调区间遗漏。 图像平移伸缩变换 能分步梳理先平移后伸缩、先伸缩后平移两种变换路径，精准计算不同顺序下的平移长度，写出变换后的解析式。 试卷中档易错小题，期末必考难点，命题侧重变换顺序辨析，易错点是伸缩后平移量忘记除以、混淆x与。 知识点01 角的推广 一、任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按______方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的______和______． “角”或“”可以简记成“______”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向______且旋转量______，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按______方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为______．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是______． ④角的减法可以转化为角的______． 二、象限角和终边相同的角 1．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与______重合，角的始边与______重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是______；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合______，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与______的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以______ 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以______ 是第四象限角，所以 ·示例：判断角所在象限 判断是第几象限角。 解：先将角化为范围内：， 是第三象限角，因此是第三象限角。 ·示例：写出终边相同的角 写出与终边相同的角的集合。 解：所有与终边相同的角可表示为：{。 【易错点】 ①负角要先加再判断象限，不能直接看数字。 ②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。 ③终边在坐标轴上的角不属于任何象限，不是象限角。 知识点02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的______，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号______表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：______（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、______（弧度制） ·示例：角度与弧度互化 把化为弧度，把化为角度。 解：，。 ·示例：扇形弧长与面积 已知扇形半径，圆心角，求弧长和面积。 解：弧长，面积。 知识点03 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的______叫做的正弦,记作,即 余弦 点的______叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的______叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为______,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的______位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：______象限正,______象限负； 余弦：______象限正,______象限负； 正切：______象限正,______象限负． 简记口诀：______ ·示例：由终边上点求三角函数 已知角终边经过点，求。 解：，则， 所以：，，。 ·示例：判断三角函数符号 判断的符号。 解：是第二象限角，第二象限余弦为负，故符号为负。 知识点04 单位圆与三角函数线 1．单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中,坐标满足______的点构成的集合,角α的终边与单位圆相交于点,如图,则,则角α的终边与单位圆的交点为______． 2．三角函数线 三角函数线：如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为过点作单位圆的切线交的延长线(或反向延长线)于点.单位圆中的有向线段别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作 ·示例：用三角函数线比较大小 当时，比较与。 解：由三角函数线可知：正弦线，正切线，显然，即。 ·示例：利用三角函数线判断符号 为第二象限角，判断、符号。 解：正弦线向上为正，余弦线向左为负，故，。 知识点05 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:______. （2）商数关系:______. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切______恒成立,而仅对______成立. ·示例：已知正弦求余弦、正切 已知，且是第二象限角，求、。 解：由，， 因为第二象限余弦为负，故，。 ·示例：化简三角式子 化简。 解：原式。 知识点06 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，______，，其中 诱导公式二：，______，，其中 诱导公式三：，______，，其中 诱导公式四：______，．，______，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇______偶______，______看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． ·示例：利用诱导公式求值 求。 解：公式：， 故。 ·示例：化简式子 化简。 解：，， 所以原式。 知识点07 三角函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 知识点08 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. ·示例：先平移后伸缩 由得到。 步骤：①左移：②横坐标缩为： ·示例：先伸缩后平移 由得到。 步骤：①横坐标缩为：②左移： 题型一 任意角与弧度制概念 解｜题｜技｜巧 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 例1．与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则是第________象限角． 变式1-2．设函数的图象经过定点，则以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 题型二 弧长与扇形面积问题 解｜题｜技｜巧 （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 例2．一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 变式2-1．若一个扇形的圆心角的弧度数为，弧长为10，则该扇形的半径为_____． 变式2-2．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 变式2-3．广东工匠将传统工艺与西洋审美融合，制造出专供外销的折扇，扇面多采用纸本彩绘，结合丝绸织锦等材料，工艺精巧.已知某折扇如图所示，其中扇环部分的外弧线的长为51 cm，内弧线的长为24 cm连接外弧与内弧两端的线段长均为18 cm，则该扇环的面积为 _____ ，所对应的扇形的圆心角的弧度数为 __________    题型三 三角函数定义 解｜题｜技｜巧 1．求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 2．判断三角函数值正负的2个步骤 ①定象限：确定角所在的象限； ②定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 例3．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 变式3-1．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 变式3-2．已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（多选）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 题型四 同角三角函数关系式的应用 解｜题｜技｜巧 1．知一求二 ①已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； ②已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 2．三角齐次化的处理 ①对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. ②对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 3．和差、乘积的的知一求二 ①，，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. ②求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 例4．已知，且，则（   ） A． B． C．2 D． 变式4-1．在中，记，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-2．已知角的终边经过点，若，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 变式4-3．已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 题型五 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 例5．已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，则___________． 变式5-3．（多选）若，则角的取值范围可能为（    ） A． B． C． D． 题型六 求三角函数的性质 例6．（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 变式6-1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．为偶函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 变式6-3．的单调递减区间为______． 题型七 利用三角函数的性质求参数 例7．（多选）已知函数（，）的最小正周期为，其图象关于直线对称，则（   ） A． B．在区间上单调递增 C．点是的图象的一个对称中心 D．在区间上的值域为 变式7-1．若为偶函数，则______ 变式7-2．若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型八 三角函数的最值与值域 例8．下列直线中，与函数的图象不相交的是（    ） A． B． C． D． 变式8-1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)求的最大值． 变式8-3．已知函数，. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最小值. 题型九 三角函数性质的综合问题 例9．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 变式9-2．已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十 根据函数图象求解析式 解｜题｜技｜巧 (1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. ②待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 变式10-1．（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 变式10-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 （   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．图象的对称中心为 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 变式10-3．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ）    A． B． C． D． 题型十一 三角函数图象变换过程 例11．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式11-1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 变式11-2．（多选）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，下列说法中正确的有（     ） A．与有相同的最小值 B．与有相同的最小正周期 C．与有相同的对称中心 D．与都在上单调递增 变式11-3．若函数的图象为曲线，则（   ） A．曲线关于点对称 B．将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C．将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D．将曲线（多选）上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 题型十二 三角函数模型 例12．（多选）如图，质点P和Q从单位圆O上同时出发且按顺时针做匀速圆周运动.点P的起始位置坐标为，角速度为，点Q的起始位置坐标为，角速度为，则（   ） A．起始位置 B．在末，点Q的坐标为 C．在末，的面积为 D．在末，点P，Q在单位圆上第一次重合 变式12-1．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 变式12-2．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时(图3中点) 开始计时，点距离水面的高度可以用函数表示.下列结论正确的有（ ） A．点所满足的函数表达式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时10秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 变式12-3．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高一下·北京·期中）将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·26高一上·北京·期中）第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 4．（2025·26高一下·上海·期中）已知函数,，则函数的最小值为___________________ 5．（2025·26高一下·江西上饶·期中）已知，则__________. 6．（2025·26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 7．（2025·26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 8．（2025·26高一下·上海·期中）已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2025·26高一下·山东潍坊·期中）（多选）如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（   ） A． B． C．涂色区域周长为 D．涂色区域面积为 10．（2025·26高一下·上海·期中）已知点，将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB，则B的坐标是______； 11．（2025·26高一下·河南南阳·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 12．（2025·26高一下·江西宜春·阶段检测）已知函数的部分图象如图. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； (3)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（2025·26高一下·上海宝山·期中）设，函数，若函数与的图象有且仅有3个不同的公共点，则a的取值范围是______ 14．（2025·26高一下·北京·期中）已知为常数，，关于的方程有以下四个结论： ①当时，方程有且只有1个实数根； ②存在实数，使得方程有4个实数根； ③使得方程有实数根的的取值范围是； ④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么． 其中，所有正确结论的序号是___________． 15．（2025·26高一下·北京·期中）已知函数，其中.请从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，使为确定的函数，并完成下列两个问题. (1)求的值； (2)若，都有恒成立，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分 16．（2025·26高一下·广东茂名·期中）已知函数的最小正周期为，最大值为，. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 任意角与弧度制概念 题型二 弧长与扇形面积问题 题型三 三角函数定义 题型四 同角三角函数关系式的应用 题型五 利用诱导公式化简求值 题型六 求三角函数的性质 题型七 利用三角函数的性质求参数 题型八 三角函数的最值与值域 题型九 三角函数性质的综合问题 题型十 根据函数图象求解析式 题型十一 三角函数图象变换过程 题型十二 三角函数模型 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与终边相同的角 能将正角、负角换算到0°～360°范围内判断象限，规范书写终边相同角的集合，依据条件筛选指定范围内的对应角。 试卷开篇基础小题，命题常结合负角、超大正角设置陷阱，易错点是负角未加周角化简直接判定象限。 弧度制换算与扇形弧长、面积计算 能熟练完成角度、弧度双向换算，精准套用弧度制下弧长与面积公式，解决半径、圆心角、弧长互求的扇形应用题。 选择填空高频出题，命题贴近课本基础题型，易错点是计算时角度弧度混用、扇形面积两个公式混淆错用。 任意角三角函数定义与符号判定 能依托终边上点的坐标结合r的计算求解三个三角函数值，依托象限符号口诀快速判定任意三角函数式的正负符号。 全章节基础性考点，各类题型频繁穿插考查，易错点是x、y坐标对应函数写错、二三象限符号判断出错。 同角三角函数平方关系、商数关系应用 能利用两组基本关系式完成知一求二、代数式化简，根据角所在象限取舍开方结果，规避隐含定义域限制条件。 计算核心考点，小题、解答第一问频繁考查，命题常隐藏角的范围，易错点是开方忽略象限直接取正值、忽略正切分母不为零。 三角函数诱导公式化简与求值 能依托“奇变偶不变，符号看象限”口诀，分步化简任意角三角函数，熟练完成大角度、负角度的三角函数求值运算。 三角函数计算必备工具，常和同角公式综合命题，易错点是k取值奇偶判断失误、符号看错导致结果出错。 正弦、余弦、正切函数图像与性质 能结合函数图像梳理定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间，准确辨析三个函数对称轴与对称中心的区别。 期末重难点，选择填空+解答题双重考查，易错点是误写正切函数对称轴、书写单调区间遗漏。 图像平移伸缩变换 能分步梳理先平移后伸缩、先伸缩后平移两种变换路径，精准计算不同顺序下的平移长度，写出变换后的解析式。 试卷中档易错小题，期末必考难点，命题侧重变换顺序辨析，易错点是伸缩后平移量忘记除以、混淆x与。 知识点01 角的推广 一、任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 二、象限角和终边相同的角 1．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 ·示例：判断角所在象限 判断是第几象限角。 解：先将角化为范围内：， 是第三象限角，因此是第三象限角。 ·示例：写出终边相同的角 写出与终边相同的角的集合。 解：所有与终边相同的角可表示为：{。 【易错点】 ①负角要先加再判断象限，不能直接看数字。 ②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。 ③终边在坐标轴上的角不属于任何象限，不是象限角。 知识点02 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） ·示例：角度与弧度互化 把化为弧度，把化为角度。 解：，。 ·示例：扇形弧长与面积 已知扇形半径，圆心角，求弧长和面积。 解：弧长，面积。 知识点03 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦,记作,即 余弦 点的横坐标叫做的正弦,记作,即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数,记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和所在终边上的位置无关,而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正,三四象限负； 余弦：一四象限正,二三象限负； 正切：一三象限正,二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 ·示例：由终边上点求三角函数 已知角终边经过点，求。 解：，则， 所以：，，。 ·示例：判断三角函数符号 判断的符号。 解：是第二象限角，第二象限余弦为负，故符号为负。 知识点04 单位圆与三角函数线 1．单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中,坐标满足的点构成的集合,角α的终边与单位圆相交于点,如图,则,则角α的终边与单位圆的交点为． 2．三角函数线 三角函数线：如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM,垂足为过点作单位圆的切线交的延长线(或反向延长线)于点.单位圆中的有向线段别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作 ·示例：用三角函数线比较大小 当时，比较与。 解：由三角函数线可知：正弦线，正切线，显然，即。 ·示例：利用三角函数线判断符号 为第二象限角，判断、符号。 解：正弦线向上为正，余弦线向左为负，故，。 知识点05 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. ·示例：已知正弦求余弦、正切 已知，且是第二象限角，求、。 解：由，， 因为第二象限余弦为负，故，。 ·示例：化简三角式子 化简。 解：原式。 知识点06 三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． ·示例：利用诱导公式求值 求。 解：公式：， 故。 ·示例：化简式子 化简。 解：，， 所以原式。 知识点07 三角函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 知识点08 三角函数的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. ·示例：先平移后伸缩 由得到。 步骤：①左移：②横坐标缩为： ·示例：先伸缩后平移 由得到。 步骤：①横坐标缩为：②左移： 题型一 任意角与弧度制概念 解｜题｜技｜巧 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 例1．与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以与终边相同； 根据终边相同角的性质，与终边相同的角的集合为： 故选：D. 变式1-1．已知，则是第________象限角． 【答案】三 【详解】因为，所以与终边相同，是第三象限角. 变式1-2．设函数的图象经过定点，则以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得，故点，在内的角为， 由终边相同的角的表示，得． 故选：B． 变式1-3．已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C 题型二 弧长与扇形面积问题 解｜题｜技｜巧 （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 例2．一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】由题意得，解得，则， 故选：D. 变式2-1．若一个扇形的圆心角的弧度数为，弧长为10，则该扇形的半径为_____． 【答案】6 【详解】设该扇形的半径为r，因为扇形的圆心角的弧度数为，弧长为10， 所以，解得． 变式2-2．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则． ， 当且仅当时取等号， 故最大值为25，此时，． 故扇形圆心角的弧度数． 所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2. 故选：C 变式2-3．广东工匠将传统工艺与西洋审美融合，制造出专供外销的折扇，扇面多采用纸本彩绘，结合丝绸织锦等材料，工艺精巧.已知某折扇如图所示，其中扇环部分的外弧线的长为51 cm，内弧线的长为24 cm连接外弧与内弧两端的线段长均为18 cm，则该扇环的面积为 _____ ，所对应的扇形的圆心角的弧度数为 __________    【答案】 【详解】    依题意可得弧的长为，弧的长为， 设扇形的中心角的弧度数为则，则， ,因为，所以， 所以该扇形的中心角的弧度数，， 利用平方差公式得， ，两式相加， 代入， 所以 故答案为：， 题型三 三角函数定义 解｜题｜技｜巧 1．求任意角的三角函数值的2种方法： 方法一：根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值. 方法二:①取点:在角的终边上任取一点,(与原点不重合); ②计算;③求值:由求值. 2．判断三角函数值正负的2个步骤 ①定象限：确定角所在的象限； ②定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 例3．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【详解】由题意得：， 所以，解得. 变式3-1．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【详解】由，得或，又， 所以，即角是第四象限的角. 故选:D. 变式3-2．已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得：，此时，恒过定点， ，， . 故选：D. 变式3-3．（多选）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为角的终边经过点， 所以，，，的正负无法判断，，． 题型四 同角三角函数关系式的应用 解｜题｜技｜巧 1．知一求二 ①已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； ②已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 2．三角齐次化的处理 ①对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的. ②对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值. 3．和差、乘积的的知一求二 ①，，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. ②求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 例4．已知，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，可得， 即，所以，即， 因为，可得，所以. 故选：C. 变式4-1．在中，记，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为是三角形内角，因此. 若，结合可得，此时，因此充分性成立； 若，结合可得或， 当时，，因此必要性不成立. 综上，是的充分不必要条件. 变式4-2．已知角的终边经过点，若，则（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】因为，且角的终边经过点， 所以且点在轴的上方，所以，即. 由任意角三角函数的定义可知，， 所以，所以， 即，所以，所以，所以. 故选：B. 变式4-3．已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为是方程（为常数）的两个根， 所以， 由， 得，解得； （2）由（1）得， 又，， 所以，所以， 所以. 题型五 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角 ②“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角 ④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 例5．已知，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则． 因为，所以． 若，则，即． 故“”是“”的充分不必要条件． 变式5-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以. 变式5-2．已知，则___________． 【答案】 【详解】由诱导公式可得：，， ，， 原式可化简为：， 分子分母同除以得：，代入， 得： 变式5-3．（多选）若，则角的取值范围可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意得 两边平方得，化简得 因此角为第二或第四象限角． 若角为第二象限角，则，，； 若角为第四象限角，则，，． 故选：BD． 题型六 求三角函数的性质 例6．（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【详解】对于A，的最小正周期为，故正确； 对于B，令，解得， 即的对称轴为，当时，为，故正确； 对于C，令，解得， 即的对称中心为，不存在使得，故错误； 对于D，令，解得（）， 即的单调递增区间为（）， 当时，递增区间为，由于， 故在上单调递增，在上单调递减，故错误. 故选：AB 变式6-1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】周期是，且在区间上为先减后增，A错误； 周期为，B错误； 周期是，且在区间上为减函数，C错误； 周期是，在区间上为增函数，D正确. 故选：D 变式6-2．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A． B．为偶函数 C．图象的对称中心为 D．的定义域为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由，得. 对于，由，得， 所以其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，即为奇函数，故B错误； 对于C，由，得， 所以图象的对称中心为，故C正确； 对于D，令，得， 所以的定义域为，故D正确. 故选：ACD. 变式6-3．的单调递减区间为______． 【答案】 【详解】令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增，在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 题型七 利用三角函数的性质求参数 例7．（多选）已知函数（，）的最小正周期为，其图象关于直线对称，则（   ） A． B．在区间上单调递增 C．点是的图象的一个对称中心 D．在区间上的值域为 【答案】BCD 【详解】选项A：由函数（，）的最小正周期为， 得,又图象关于直线对称， 故， 故,即，又， 故，故A错误； 选项B：由A的推导得，又， 得，故，结合原正弦函数的单调性得在区间上单调递增，故B正确； 选项C：由A的推导得， 故点是的图象的一个对称中心，故C正确； 选项D：由，得，故， 故，故，故D正确. 故选：BCD 变式7-1．若为偶函数，则______ 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以， 解得，因为，所以或， 当时，，， 当时，，， 综上所述，. 变式7-2．若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 变式7-3．若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的最小正周期为， 由于函数在上至少有五个不同的零点， 故需满足，即， 即的最小值为， 故选：B 题型八 三角函数的最值与值域 例8．下列直线中，与函数的图象不相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数中，，解得， 函数的定义域为， 显然，因此直线与函数的图象相交， 直线与函数的图象不相交，A不是，C是； 函数的值域为，因此直线，与函数的图象都相交，BD不是. 故选：C 变式8-1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的值域为. 对于函数，真数为正数，即真数的范围是， 令，则函数的值域等价于函数的值域， 根据对数函数的性质知是增函数， 由对数函数的图象和性质知的值域为， 即函数的值域为. 变式8-2．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)求的最大值． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）函数， 所以 整理得，解得或． （2）因为， 设，则，化为， 则为二次函数，开口向下，对称轴为， 所以当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 所以当时，的最大值； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为． 变式8-3．已知函数，. (1)求的单调递增区间； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)（） (2) 【分析】 【详解】（1）设，∵，的单调递增区间是，， ∴由，，解得，， ∴函数的单调递增区间为（）. （2）∵，∴， ∴由余弦函数的性质， 当，即时，的最小值为，此时， ∴当时，在区间上的最小值为. 题型九 三角函数性质的综合问题 例9．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 要使该图象关于原点对称，则，，所以，， 又，所以当时，取得最大值，最大值为． 故选：A 【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题. 变式9-1．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】函数，设函数的最小正周期为T， 由可得，（）， 所以，即， 又函数在上存在零点， 且当时，，所以≥，解得， 综上，的最小值为4. 变式9-2．已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的最小正周期为， 所以曲线的一条对称轴为， 所以， 设零点从小到大依次为，其中， 有，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 变式9-3．已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设函数的最小正周期为， 因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 题型十 根据函数图象求解析式 解｜题｜技｜巧 (1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. ②待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由图可知，，，， 又图象过，，，解得， 又，故令时，. ，. 故选：D. 变式10-1．（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】ACD 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 可得,结合，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，,则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 变式10-2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 （   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．图象的对称中心为 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】AC 【详解】由图可知，，， 所以，所以. 又因为，所以， 则，即 又，所以. 综上，. 对于A，，故A正确. 对于B，因为，所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误. 对于C，，整理得，所以图象的对称中心为，故C正确. 对于D，，故D错误. 变式10-3．已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图设函数的部分图像与轴的交点为，    由图可知，所以， 所以点与点关于点对称， 设，则，解得， 因为将函数函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，且图象关于原点对称， 所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图象与轴最近的交点平移到坐标原点即可，由图可知此点为， 所以， 故选：B. 题型十一 三角函数图象变换过程 例11．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】因， 故只需要将的图像向左平移个单位长度即得的图象. 变式11-1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（   ） A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】D 【详解】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到,不符合要求； D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确. 故选：D 变式11-2．（多选）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，下列说法中正确的有（     ） A．与有相同的最小值 B．与有相同的最小正周期 C．与有相同的对称中心 D．与都在上单调递增 【答案】ABD 【详解】的图象向左平移个单位得到的函数是， A选项，最小值为，最小值为，所以A选项正确； B选项，最小正周期值为，最小正周期值为，所以B选项正确； C选项，令，解得对称中心为，其中， 令，解得对称中心为，其中，所以两者的对称中心不一样，所以C选项错误； D选项，当时，，此时单调递增，，所以单调递增，所以D选项正确. 变式11-3．若函数的图象为曲线，则（   ） A．曲线关于点对称 B．将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C．将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D．将曲线（多选）上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 【答案】ABC 【详解】根据正弦型函数的对称中心可判断A；根据三角函数的图象变换，可判断B、C、D. 对于A：因为，所以曲线关于点对称，故A正确； 对于B：将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线，故B正确； 对于C：将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线，故C正确； 对于D：将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线，与选项D中曲线的方程不符，故D错误． 故选：ABC. 题型十二 三角函数模型 例12．（多选）如图，质点P和Q从单位圆O上同时出发且按顺时针做匀速圆周运动.点P的起始位置坐标为，角速度为，点Q的起始位置坐标为，角速度为，则（   ） A．起始位置 B．在末，点Q的坐标为 C．在末，的面积为 D．在末，点P，Q在单位圆上第一次重合 【答案】ACD 【详解】由题设，起始位置时，，则末质点的坐标为，质点的坐标为， 对于A，起始位置，故A正确； 对于B，在末，的坐标为，故B错误； 对于C，因的面积为， 当时，的面积为，故C正确； 对于D，若，重合，则，，故，， 又，故，故在末，点，在单位圆上第一次重合，故D正确. 故选：ACD. 变式12-1．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 【答案】B 【详解】， 令，则，所以， 解得，由于，则或， 所以在这段时间，实验室需要降温， 即在一天时间内实验室需要降温的时长为小时. 变式12-2．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时(图3中点) 开始计时，点距离水面的高度可以用函数表示.下列结论正确的有（ ） A．点所满足的函数表达式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时10秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【详解】中的，，， 则，解得， 当时，，解得， ，，，故选项A错误； 设，则，即， 则，解得， 则的最小值为，即点第一次到达最高点需要用时秒，故选项B正确； 点再次接触水面需要用时（秒），故选项C正确； 当时，，点距离水面的高度为米，故选项D错误. 变式12-3．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看作单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中.若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为 ，，，且，，则__________，在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于的总时间为______ 【答案】 【详解】由题意得，． 故函数的周期为，所以， 则，又位移的大小即，由， 得，即， 所以，或， 解得，或，． 故总时间为：． 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移的大小小于的总时间为． 故答案为：， 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 2．（2025·26高一下·北京·期中）将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】根据三角函数图象平移“左加右减”的规则，将函数的图象向左平移个单位后，可得：. 充分性：当时，，对于任意，都有，故是奇函数，充分性成立. 必要性：若是奇函数，则对于任意，恒成立，即，化简可得，即，解得，满足条件的不一定为，必要性不成立. 综上，“”是“是奇函数”的充分不必要条件. 3．（2025·26高一上·北京·期中）第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 因为，所以弓形的面积为. 4．（2025·26高一下·上海·期中）已知函数,，则函数的最小值为___________________ 【答案】 【详解】因为函数在上为增函数，故该函数的最小值为. 5．（2025·26高一下·江西上饶·期中）已知，则__________. 【答案】/0.6 【详解】. 6．（2025·26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 【答案】 【详解】设，定义域为， 因为， 所以为奇函数，又， 所以， 所以． 7．（2025·26高一下·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 8．（2025·26高一下·上海·期中）已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 【答案】 【详解】将代入可得，则， 又，解得， 将代入，可得， 则，即，， 又结合的部分图象可知，其最小正周期， 即，，又，解得， 则最小正周期为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2025·26高一下·山东潍坊·期中）（多选）如图所示，半径为1和3的两圆外切于点P，且直线为其公切线，则（   ） A． B． C．涂色区域周长为 D．涂色区域面积为 【答案】BC 【详解】解：由题可知，过作， 则，，，故A错误； ， ，故B正确； ，则，， 涂色区域周长为，故C正确； ，， 涂色区域面积，故D错误． 10．（2025·26高一下·上海·期中）已知点，将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB，则B的坐标是______； 【答案】 【详解】设以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，射线为终边的角为， 射线为终边的角为，则， 由点，得， 则， 又，点，所以点的坐标为. 11．（2025·26高一下·河南南阳·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【详解】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 12．（2025·26高一下·江西宜春·阶段检测）已知函数的部分图象如图. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； (3)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由图象可知， 设函数的最小正周期为， 由函数的图像，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以函数的解析式为. （2）函数的图象先向右平移个单位长度， 得到，的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，（纵坐标不变）， 得到函数的图象，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或， 所以方程的较小的三个正根从小到大排列分别是， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（2025·26高一下·上海宝山·期中）设，函数，若函数与的图象有且仅有3个不同的公共点，则a的取值范围是______ 【答案】 【详解】函数与的图象有且仅有3个不同的公共点， 即方程有3个不同的根，也即方程有3个不同的根， 因，则在上有3个不同的根， 又，，则，或，或， 依题意，需使，即a的取值范围是. 14．（2025·26高一下·北京·期中）已知为常数，，关于的方程有以下四个结论： ①当时，方程有且只有1个实数根； ②存在实数，使得方程有4个实数根； ③使得方程有实数根的的取值范围是； ④如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么． 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【详解】由可得，令，所以方程变为， 所以关于的方程有根问题就转化为与交点个数的问题， 对于①，当时，方程变为，则，则设方程的两根为， 则， 则如图所示，与的图象有个交点，故①错误； 对于②，因为方程的对称轴为，所以当， 即时，方程有两个不相等的实根， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象有个交点， 所以方程有个实数根，故②正确； 对于③，当时，方程为，则， 则如图所示，与的图象有个交点，故③不正确； 对于④，当时，方程为，解得， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象有个交点， 故关于的方程有个实根， 当时，方程为，解得， 则如图所示，与的图象有个交点，与的图象没有交点， 故关于的方程有个实根，综上，方程的根可以有1个，也可以有3个，故④正确. 15．（2025·26高一下·北京·期中）已知函数，其中.请从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，使为确定的函数，并完成下列两个问题. (1)求的值； (2)若，都有恒成立，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分 【答案】(1)条件①：无解；条件②： (2)条件②： 【分析】 【详解】（1）选择①：因为，，又，则无解. 选择②：因为，， 所以为函数最大值，为函数最小值， 由为函数最大值，得，，解得， 又因为，所以. （2）由（1）知 因为，所以 当，即时，； 当，即时，. ，都有恒成立，则， 又，所以实数的范围为. 16．（2025·26高一下·广东茂名·期中）已知函数的最小正周期为，最大值为，. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）的最小正周期为，,， 的最大值为，， ，， ，，， 令，解得， 的对称中心为； （2），函数的图象向左平移个单位长度， 得到， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 得到， 则， 设，解得，解得， 因为函数在区间上有两个不同的零点， 则这两个函数在上有两个不同的交点， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， ，，， 则，解得， 则实数m的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $