专题04 复数（期末复习讲义）高一数学下学期人教B版

专题04 复数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 复数的实虚部及分类 题型二 复数的几何意义 题型三 复数的四则运算 题型四 复数的高次方计算 题型五 复数的模 题型六 复数相等 题型七 复数范围内方程的根 题型八 与复数模有关的最值 题型九 复数三角形式的运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念与分类 能熟记复数的定义、虚数单位的性质，准确区分实数、虚数、纯虚数 基础必考小题，易错点为混淆纯虚数的判定条件，忽略实部为0且虚部不为0的要求 计算复数相等的条件 能利用复数相等的充要条件求解参数的值 高频基础题型，常结合参数求值命题，易错点为实数范围内等式对应系数匹配出错。 复数的几何意义 能理解复平面的构成，会求复数的共轭复数与模，掌握共轭复数的基本性质 选择、填空高频考点，常结合几何位置、模长计算考查，易错点为虚轴、实轴概念混淆，模长计算失误 复数的四则运算 能熟练进行复数加、减、乘、除运算，掌握运算律并规范计算步骤 核心计算考点，各类题型均会涉及，除法运算易出错，是主要失分点 复数加减法的几何意义 能结合平面向量知识，理解并运用复数加减运算的几何含义解题 中档题型，多以选择题形式出现，常结合模长、距离综合考查 复数的三角形式及相关概念 能区分复数代数形式与三角形式，理解辐角、辐角主值的定义 常规考点，侧重概念辨析，易错点为辐角主值的取值范围记忆错误 复数三角形式的乘除、乘方运算及几何意义 能运用三角形式的运算法则计算，理解乘除运算对应的几何变换规律 综合拔高考点，部分试卷会结合旋转、伸缩问题命题，公式与几何变换易混淆 知识点01 复数的概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 知识点02 复数的几何意义 一、复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 二、复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 知识点03 复数的运算 一、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 二、复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即）对应. 三、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 知识点04 复数的三角形式及其运算 一、复数的三角形式 一般地,任何一个复数都可以表示成的形式．其中,是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角． 规定,满足条件的辐角叫做辐角的主值,通常记为,即. 叫做复数的三角表示式,简称三角形式．为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式． 二、复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义 1．运算法则． 设的三角形式分别是)． 复数的乘法 复数的乘方 复数的除法 2．几何意义． 复数对应的向量分别为． （1）复数乘法的几何意义． 两个复数相乘时,如图,把向量绕点O按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． （2）复数除法的几何意义． 两个复数相除时,如图,把向量绕点O按顺时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按逆时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是商．这是复数除法的几何意义． 题型一 复数的实虚部及分类 解｜题｜技｜巧 对于复数，为实部，为虚部，虚部不包含虚数单位。 依据定义划分类型：为实数，为虚数，且为纯虚数。解题时先将式子整理成标准代数形式，再结合分类条件列式求解参数，注意判定纯虚数必须同时满足两个条件。 【例1】已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为______. 【答案】 【详解】由复数为纯虚数，可得，解得， 所以，则复数的虚部为. 故答案为： 【例2】已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为________． 【答案】 【详解】∵复数的实部为2， ∴，即． 则， 当且仅当，即，时取等号， ∴所求最小值为． 故答案为：． 【变式1-1】已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由复数， 当复数为实数时，，解得：或. （2）由复数， 当复数为纯虚数时，，解得：. 【变式1-2】若是纯虚数，则实数的值为（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则. 【变式1-3】已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则_____. 【答案】/ 【详解】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 故答案为：. 题型二 复数的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数与复平面内点、向量一一对应，轴是实轴，轴是虚轴，除原点外虚轴上的点均表示纯虚数。复数的共轭复数，二者对应点关于实轴对称，可结合平面直角坐标系知识分析点的位置、对称关系与动点轨迹。 【例3】在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 【答案】 【详解】记为复平面的原点，由题意得，，． 设，则，． 由题意知，，所以，解得， 故点对应的复数为． 故答案为：. 【例4】在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【变式2-1】复数在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以z在复平面内对应点的坐标为. 【变式2-2】已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意知，所以，故. 所以实数的取值范围是 【变式2-3】当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第二象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第二象限． （2）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第四象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第四象限． 题型三 复数的四则运算 【例5】已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 【例6】已知，，且，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 结合，得，解得. 【变式3-1】已知复数z满足，则_______. 【答案】 【详解】复数z满足，则有， 所以. 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则， ， 所以. 【变式3-3】如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合图形，写出复数，，，再计算化简，求出其共轭复数，最后根据模的定义求模即可得到答案． 【解答】由图可得，，， 则，则， 所以． 题型四 复数的高次方计算 解｜题｜技｜巧 虚数单位的乘方具有周期为4的规律：，，，。计算复数高次幂时，先把复数化为最简形式，再将指数除以4，根据余数对应得出结果，也可分组凑出简化运算。 【例7】复数 ______ ． 【答案】 【详解】因为，且，，所以 ． 【例8】计算__________． 【答案】 【详解】 ． 【变式4-1】（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 【变式4-2】计算：__________. 【答案】 【详解】由虚数单位的幂次周期性，得，，，， 因此. 则 代入化简得，， 故原式. 【变式4-3】若，则_______. 【答案】0 【详解】已知， 所以 . 题型五 复数的模 【例9】已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 又因为，所以， 所以，即， 所以，所以. 故选：D. 【例10】已知复数满足，则______. 【答案】 【详解】设，则， 所以， 所以， 所以，故. 【变式5-1】已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式5-2】已知复数满足，，则__________． 【答案】 【详解】设（且），则，. 因为，由复数相等的定义得①. 又因为，所以，， 化简整理得②，将②代入①得，解得或. 当时，则，所以，不符合题意； 当时，则，所以，. 【变式5-3】若复数（），则的最大值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】已知，则， ， 因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即最大值为3. 题型六 复数相等 【例11】已知复数z满足，则（ ） A．i B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即， 设，，则， 可得，， 则， 可得，解得，所以. 【例12】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 【变式6-1】已知为虚数单位，复数满足，则_________． 【答案】 【详解】设，则， 所以， 根据复数相等可得，故，即，故. 【变式6-2】已知复数满足，则（   ） A．i B． C．0或i D．0或 【答案】C 【详解】解法一：设，，因为， 所以， 可得，即有， 解得且或且，所以或. 解法二：因为，由， 可得，所以或， 设，，由，得， 解得且，即，所以或. 【变式6-3】已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 题型七 复数范围内方程的根 解｜题｜技｜巧 复数范围内一元二次方程恒有两个根，实系数一元二次方程若存在虚根，则两根互为共轭复数。解题可结合共轭复数性质、韦达定理以及复数相等条件联立计算，不要套用实数范围内判别式判断根的规则。 【例13】若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则. 所以. 【例14】已知复数满足. (1)求； (2)若是方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由得，所以； （2）若是方程的一个根， 由实系数一元二次方程复数根的共轭性可知是方程的另一根， 由韦达定理可得，解得， 所以. 【变式7-1】已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】因为是方程的根， 所以 ，化简得： ， 整理得： ， 所以，解得， 因此. 【变式7-2】已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【详解】法一：因复数是关于的方程的根， 则其共轭复数也是方程的根， 所以由韦达定理得. 法二：因为复数是关于的方程的根， 所以， 解得. 【变式7-3】已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由， 因为为纯虚数，所以，解得. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根， 将代入方程，得， 则， 所以，解得. 题型八 与复数模有关的最值 解｜题｜技｜巧 可采用代数法与几何法解题，代数法设，把模转化为代数式结合函数、不等式求最值；几何法将模转化为平面内两点间距离，利用圆、直线等几何图形特征分析，几何法在轨迹类最值问题中更加简便。 【例15】已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【答案】/ 【详解】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． 【例16】已知且，则的最大值是______________． 【答案】 【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为. 【变式8-1】已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 【变式8-2】已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. 【变式8-3】已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 题型九 复数三角形式的运算 解｜题｜技｜巧 复数三角形式做乘法、乘方、除法运算时，遵循“模运算、辐角同步运算”规则：乘法模相乘、辐角相加，除法模相除、辐角相减，乘方运用棣莫弗定理。运算后需把辐角调整至主值范围，三角形式更适合复杂乘除、乘方运算。 【例17】设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 【例18】设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 【答案】32； 【详解】因为 ， 所以复数的模为32，辐角的主值为． 故答案为：32；． 【变式9-1】在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复数乘法的几何意义，复数对应的向量绕原点顺时针旋转后， 所得向量对应的复数为，即. 因此，，分子分母同乘，得. 【变式9-2】（多选）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确；，B错误； 依题意方程的个根在复平面内对应的点九等分单位圆， 已知是其中一个根，则个根的幅角依次为， 即根为， 当时，有，C正确； 当时，有，D正确. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·四川乐山·阶段检测）（ ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【详解】对于任意复数（其中）， 其模的定义为：， 则. 2．（2025·26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知，则“”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，为纯虚数，故充分性成立； 当为纯虚数时，，解得，故必要性成立． 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件． 3．（2026·河南驻马店·三模）已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， . 4．（2026·山东烟台·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】方法一： 由，又因为， 可得，所以. 方法二： 设方程的两根为，由，可知， 因为，所以. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】设，则， 解得，，计算得，所以， 所以，所以虚部为4. 6．（2025·26高一下·河北唐山·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以， 故向量对应的复数为，其模为. 7．（2025·26高一下·广东江门·期中）已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知复数， 则， 所以的虚部为. 8．（2025·26高一下·黑龙江绥化·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（     ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】BCD 【详解】因为， 则的虚部为，故A错误； 因为，为纯虚数，故B正确； 因为， 所以，故C正确； 因为， 所以，在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故D正确． 9．（2025·26高一下·广东江门·期中）（多选）已知复数（），，若为纯虚数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．在复平面内对应的点为 【答案】AC 【详解】由题意得，， 因为为纯虚数，所以，解得，A正确； 此时，，故B错误；C正确； ，在复平面内对应的点为，故D错误. 10．（2025·26高一下·广东广州·期中）已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C． (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值． 【答案】(1) (2) 点坐标为， 【分析】 【详解】（1）由已知条件可得，，， 所以，则，故； （2）由平行四边形的性质可得，已知， 设，则，于是有， 解得，即，进而有， 所以. 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以，解得， 所以． 2．（2025·26高一下·安徽六安·期中）（多选）关于非零复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A．必为实数 B．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 C． D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】ACD 【详解】设，为实数，则. 选项A：，是实数，因此必为实数，A正确； 选项B：复平面内，对应点为，对应点为，两点关于实轴对称，不是虚轴对称，B错误； 选项C：，是非零复数，故不同时为0，因此，C正确； 选项D：设 是方程的根，即满足： ， 对等式两边同时取共轭： ，展开化简左边得 ， 代入实系数性质 ，得. 因此必是该方程的根，D正确. 3．（2025·26高一下·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 4．（2025·26高一下·河北保定·阶段检测）已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，，，， 所以. 所以. （2）， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得. 即实数的取值范围是. （3）由（1）得，则. 由复数模的公式，得. 所以当时，取得最小值， 即，所以的最小值为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（多选）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】A.若取，，满足，但，，不能比较大小，故A错误； B. 若，则，故B正确； C.设，，, 则， ， ，所以，故C正确； D. 若取，，满足，但此时，，故D错误. 2．（2023·24高一下·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即， ． 故选：D． 3．（2026·新疆·二模）（多选）已知复数z满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确； 对于C，由，得，因此，C错误； 对于D，由，得，因此， 则，D正确. 4．（2026·江苏·模拟预测）（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A选项，，， ，，所以，A 选项正确. 对于B选项，，所以， ，所以, 因为和是任意角，所以，故B选项错误. 对于C选项，，，所以，， 因此，故C选项错误. 对于D 选项，，，因此，故D选项正确. 故选AD. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 复数的实虚部及分类 题型二 复数的几何意义 题型三 复数的四则运算 题型四 复数的高次方计算 题型五 复数的模 题型六 复数相等 题型七 复数范围内方程的根 题型八 与复数模有关的最值 题型九 复数三角形式的运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念与分类 能熟记复数的定义、虚数单位的性质，准确区分实数、虚数、纯虚数 基础必考小题，易错点为混淆纯虚数的判定条件，忽略实部为0且虚部不为0的要求 计算复数相等的条件 能利用复数相等的充要条件求解参数的值 高频基础题型，常结合参数求值命题，易错点为实数范围内等式对应系数匹配出错。 复数的几何意义 能理解复平面的构成，会求复数的共轭复数与模，掌握共轭复数的基本性质 选择、填空高频考点，常结合几何位置、模长计算考查，易错点为虚轴、实轴概念混淆，模长计算失误 复数的四则运算 能熟练进行复数加、减、乘、除运算，掌握运算律并规范计算步骤 核心计算考点，各类题型均会涉及，除法运算易出错，是主要失分点 复数加减法的几何意义 能结合平面向量知识，理解并运用复数加减运算的几何含义解题 中档题型，多以选择题形式出现，常结合模长、距离综合考查 复数的三角形式及相关概念 能区分复数代数形式与三角形式，理解辐角、辐角主值的定义 常规考点，侧重概念辨析，易错点为辐角主值的取值范围记忆错误 复数三角形式的乘除、乘方运算及几何意义 能运用三角形式的运算法则计算，理解乘除运算对应的几何变换规律 综合拔高考点，部分试卷会结合旋转、伸缩问题命题，公式与几何变换易混淆 知识点01 复数的概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如_______的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且._______ （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的_______,叫做复数的_______. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是_______. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是_______;当且仅当时,它是_______;当时,它叫做_______;当且时,它叫做_______. 这样,复数可以分类如下: 知识点02 复数的几何意义 一、复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做_______,单位是1,实轴上的点都表示_______. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做_______,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示_______. （4）原点:原点表示实数0. 2.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为_______时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则_______. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于_______对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 二、复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即_______ 知识点03 复数的运算 一、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 _______ 减法 乘法 _______ 除法 _______ 二、复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即_______）对应. 三、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 _______ 乘法运算律 交换律 _______ 结合律 _______ 乘法对加法的分配律 _______ 知识点04 复数的三角形式及其运算 一、复数的三角形式 一般地,任何一个复数都可以表示成的形式．其中,是复数的_______;是以轴的非负半轴为始边,向量_______所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角． 规定,满足条件的辐角叫做辐角的_______,通常记为,即. 叫做复数的三角表示式,简称三角形式．为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式． 二、复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义 1．运算法则． 设的三角形式分别是)． 复数的乘法 _______ 复数的乘方 _______ 复数的除法 _______ 2．几何意义． 复数对应的向量分别为． （1）复数乘法的几何意义． 两个复数相乘时,如图,把向量绕点O按_______方向旋转角(如果,就要把绕点0按_______方向旋转角),再把它的模变为原来的_______倍,得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． （2）复数除法的几何意义． 两个复数相除时,如图,把向量绕点O按_______方向旋转角(如果,就要把绕点0按_______方向旋转角),再把它的模变为原来的_______倍,得到向量表示的复数就是商．这是复数除法的几何意义． 题型一 复数的实虚部及分类 解｜题｜技｜巧 对于复数，为实部，为虚部，虚部不包含虚数单位。 依据定义划分类型：为实数，为虚数，且为纯虚数。解题时先将式子整理成标准代数形式，再结合分类条件列式求解参数，注意判定纯虚数必须同时满足两个条件。 【例1】已知（为实数）为纯虚数，则的虚部为______. 【例2】已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为________． 【变式1-1】已知是虚数单位，复数． (1)当复数为实数时，求的值； (2)当复数为纯虚数时，求的值. 【变式1-2】若是纯虚数，则实数的值为（    ）． A． B．0 C．1 D． 【变式1-3】已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则_____. 题型二 复数的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数与复平面内点、向量一一对应，轴是实轴，轴是虚轴，除原点外虚轴上的点均表示纯虚数。复数的共轭复数，二者对应点关于实轴对称，可结合平面直角坐标系知识分析点的位置、对称关系与动点轨迹。 【例3】在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 【例4】在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【变式2-1】复数在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 【变式2-3】当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 题型三 复数的四则运算 【例5】已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6】已知，，且，则________． 【变式3-1】已知复数z满足，则_______. 【变式3-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（     ） A． B． C． D． 题型四 复数的高次方计算 解｜题｜技｜巧 虚数单位的乘方具有周期为4的规律：，，，。计算复数高次幂时，先把复数化为最简形式，再将指数除以4，根据余数对应得出结果，也可分组凑出简化运算。 【例7】复数 ______ ． 【例8】计算__________． 【变式4-1】（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】计算：__________. 【变式4-3】若，则_______. 题型五 复数的模 【例9】已知为虚数单位，复数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知复数满足，则______. 【变式5-1】已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】已知复数满足，，则__________． 【变式5-3】若复数（），则的最大值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型六 复数相等 【例11】已知复数z满足，则（ ） A．i B． C． D． 【例12】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知为虚数单位，复数满足，则_________． 【变式6-2】已知复数满足，则（   ） A．i B． C．0或i D．0或 【变式6-3】已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 题型七 复数范围内方程的根 解｜题｜技｜巧 复数范围内一元二次方程恒有两个根，实系数一元二次方程若存在虚根，则两根互为共轭复数。解题可结合共轭复数性质、韦达定理以及复数相等条件联立计算，不要套用实数范围内判别式判断根的规则。 【例13】若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【例14】已知复数满足. (1)求； (2)若是方程的一个根，求的值. 【变式7-1】已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式7-2】已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【变式7-3】已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 题型八 与复数模有关的最值 解｜题｜技｜巧 可采用代数法与几何法解题，代数法设，把模转化为代数式结合函数、不等式求最值；几何法将模转化为平面内两点间距离，利用圆、直线等几何图形特征分析，几何法在轨迹类最值问题中更加简便。 【例15】已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【例16】已知且，则的最大值是______________． 【变式8-1】已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【变式8-2】已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【变式8-3】已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 题型九 复数三角形式的运算 解｜题｜技｜巧 复数三角形式做乘法、乘方、除法运算时，遵循“模运算、辐角同步运算”规则：乘法模相乘、辐角相加，除法模相除、辐角相减，乘方运用棣莫弗定理。运算后需把辐角调整至主值范围，三角形式更适合复杂乘除、乘方运算。 【例17】设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【例18】设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 【变式9-1】在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量对应的复数为，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·四川乐山·阶段检测）（ ） A． B． C．5 D．25 2．（2025·26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）已知，则“”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·河南驻马店·三模）已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东烟台·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（     ） A． B． C．4 D．5 6．（2025·26高一下·河北唐山·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·26高一下·广东江门·期中）已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·26高一下·黑龙江绥化·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（     ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 9．（2025·26高一下·广东江门·期中）（多选）已知复数（），，若为纯虚数，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．在复平面内对应的点为 10．（2025·26高一下·广东广州·期中）已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C． (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·江西·阶段检测）若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·26高一下·安徽六安·期中）（多选）关于非零复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A．必为实数 B．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 C． D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 3．（2025·26高一下·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 4．（2025·26高一下·河北保定·阶段检测）已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（多选）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·24高一下·四川达州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆·二模）（多选）已知复数z满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·模拟预测）（多选）已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $