专题03 解三角形（期末复习讲义）高一数学下学期人教B版

专题03 解三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 余弦定理解三角形 题型二 正弦定理解三角形 题型三 判断三角形解的个数 题型四 正弦、余弦定理综合解三角形 题型五 三角形面积公式及应用 题型六 求三角形外接圆半径 题型七 边角互化 题型八 求三角形周长的最值（范围） 题型九 求三角形面积的最值（范围） 题型十 三角形中线问题 题型十一 三角形角平分线的问题 题型十二 多三角形或四边形问题 题型十三 距离、高度测量问题 题型十四 角度测量问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正弦定理及推论、变形公式 能熟记正弦定理及其推论、变形公式，完成边角之间的相互转化 基础必考知识点，选择、填空、解答题均会涉及，易错点为忘记外接圆半径相关结论、边角转化出错 已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数 能结合角度与边长关系，准确判断三角形解的个数 高频易错题，多以选择题、填空题形式考查，易错点为区分不清锐角、钝角情形下解的个数判定条件 余弦定理及推论 能运用余弦定理及其推论，完成边长、内角的计算与求解 核心计算考点，常单独命题或与正弦定理综合考查，遵循 “知三求一” 原则，易错点为公式记忆混淆、计算失误 三角形面积公式 能熟练运用不同形式的面积公式，根据已知条件灵活计算三角形面积 常结合正、余弦定理综合出题，题型覆盖小题与解答题，易错点为误用夹角、记错内切圆相关面积公式 解三角形的实际应用 能识别基线、仰角、俯角、方位角、方向角等专业术语，规范完成解三角形应用题 期末解答题热门考点，侧重数学建模能力，易错点为概念理解偏差、不会将实际问题转化为三角形模型 知识点01 正弦定理 1．正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的________的比相等 （2）符号语言:在中, 2．正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是________的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①________，________，________; ②; ③________ 3．判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 ________ ________ ________ 解的个数 一解 ________ 一解 一解 无解 知识点02 余弦定理 1．余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． （2）符号语言:在中,________________， ________ 2．余弦定理的推论 在中,________________________ 3．利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及________，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的________，求其三个角． 注：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量（即三________一________），利用方程的观点，可以知三求一． 知识点03 三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）________________； （3）是内切圆的半径)． 知识点04 正余弦定理的应用 1．实际应用问题中的专用名词与术语 1．基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说,基线越长,测量的精确度越高． 2．仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． 3．方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②)． 4．方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°． 2．解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 题型一 余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 已知两边及夹角，直接代入余弦定理公式求出第三条边，再利用余弦定理推论计算剩余内角；已知三边，利用余弦定理推论依次求出三个内角。余弦定理每个等式包含三边、一角四个量，遵循知三求一的方程思路解题 例1．中，，，，则______． 变式1-1．在中，，则的最大内角的余弦值为______. 变式1-2．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知是圆的弦，且，则（    ） A． B． C．2 D． 题型二 正弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 已知两角一边，先根据三角形内角和求出第三个角，再代入正弦定理计算边长；出现边长比例关系时，可设参数简化运算 例2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式2-1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．在中，已知，，，则____． 变式2-3．在中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型三 判断三角形解的个数 解｜题｜技｜巧 设角及其对边，另一已知边为。当为锐角时，无解，或有一解，有两解；当为钝角或直角时，有一解，无解。 例3．在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 变式3-1．（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 变式3-2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 变式3-3．在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是________. 题型四 正弦、余弦定理综合解三角形 解｜题｜技｜巧 先梳理已知条件，能利用余弦定理求边、求角就优先使用；出现对边对角关系时，切换为正弦定理。解题过程中统一形式，要么全部化为边，要么全部化为角，避免边角混杂 例4．如图中，，，，的中点为，求 (1)与的长； (2)的余弦值. 变式4-1．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 变式4-3．在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型五 三角形面积公式及应用 例5．在中，，，，则____________，的面积为____________． 变式5-1．的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为____． 变式5-2．在中，，，，则的面积为______. 变式5-3．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________． 题型六 求三角形外接圆半径 例6．中，，，D是BC上一点且不与重合，的外接圆半径分别为，则的值为________． 变式6-1．在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 变式6-2．已知的内角为，，满足，且的面积为2，则外接圆面积等于________． 变式6-3．在中，内角所对的边分别为，已知 . (1)求角的大小； (2)若 ，且的面积为，求的外接圆半径. 题型七 边角互化 解｜题｜技｜巧 利用正弦定理，实现边化角；结合正、余弦定理，也可将角化边。互化后搭配三角恒等变换、因式分解进一步化简。 例7．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求角的大小； (2)求的面积； (3)求的值． 变式7-1．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 变式7-2．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 变式7-3．已知中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)求的值. 题型八 求三角形周长的最值（范围） 解｜题｜技｜巧 先用正、余弦定理将周长表达式转化为单一变量（边长或角度）的函数，结合三角函数单调性、基本不等式求解最值；利用三角形三边关系确定变量取值范围，进而得到周长范围 例8．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 变式8-1．已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，，求外接圆半径； (3)若，求周长的最大值. 变式8-2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 变式8-3．已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 题型九 求三角形面积的最值（范围） 解｜题｜技｜巧 以面积公式为核心，利用定理将式子转化为单一变量函数，借助三角函数最值、基本不等式求解；若变量为边长，结合三边关系限定取值区间。 例9．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 变式9-1．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式9-2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 变式9-3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． (1)求A； (2)求△ABC面积的最大值． 题型十 三角形中线问题 例10．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 变式10-1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 变式10-2．设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 变式10-3．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 题型十一 三角形角平分线的问题 解｜题｜技｜巧 利用角平分线性质（角平分线上的点到两边距离相等、分对边成比例），结合面积分割法、正余弦定理解题；将原三角形拆分为两个小三角形，分别列式后联立计算 例11．在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 变式11-1．在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的大小； (2)若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长． 变式11-3．在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 题型十二 多三角形或四边形问题 解｜题｜技｜巧 遵循由已知到未知的顺序，先解条件完整的基础三角形，把求出的边、角作为相邻图形的已知条件，逐步推导；四边形可连接对角线，拆分为两个三角形求解 例12．巴蜀中学高2028届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形的展区（如图），已知米，米. (1)若，，求的值； (2)若米，四边形的面积为100平方米，求的值. 变式12-1．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 变式12-2．如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式12-3．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 题型十三 距离、高度测量问题 例13．重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 变式13-1．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 变式13-2．如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米. 变式13-3．如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 题型十四 角度测量问题 解｜题｜技｜巧 遵循由已知到未知的顺序，先解条件完整的基础三角形，把求出的边、角作为相邻图形的已知条件，逐步推导；四边形可连接对角线，拆分为两个三角形求解 例14．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 变式14-1．如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且． (1)求小岛与小岛之间的距离； (2)记为，为，求的值． 变式14-2．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 变式14-3．如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． (1)求此山的高度（单位，精确到）： (2)求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·26高三下·云南楚雄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且，则（    ） A． B．为钝角三角形 C．的面积为4 D．外接圆的面积为 5．（2025·26高二下·广东广州·期中）在中，下列命题正确的（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 6．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 7．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 8．（2025·26高一下·上海宝山·期中）在中，角所对的边分别为，若． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 9．（2025·26高一下·广东珠海·阶段检测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，的平分线交于点，求. 10．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 2．（2025·26高一下·云南昆明·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 4．（2026·湖南·模拟预测）在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 2．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 3．（2024·25高一下·江苏南通·期中）已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 4．（2024·25高一下·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 余弦定理解三角形 题型二 正弦定理解三角形 题型三 判断三角形解的个数 题型四 正弦、余弦定理综合解三角形 题型五 三角形面积公式及应用 题型六 求三角形外接圆半径 题型七 边角互化 题型八 求三角形周长的最值（范围） 题型九 求三角形面积的最值（范围） 题型十 三角形中线问题 题型十一 三角形角平分线的问题 题型十二 多三角形或四边形问题 题型十三 距离、高度测量问题 题型十四 角度测量问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正弦定理及推论、变形公式 能熟记正弦定理及其推论、变形公式，完成边角之间的相互转化 基础必考知识点，选择、填空、解答题均会涉及，易错点为忘记外接圆半径相关结论、边角转化出错 已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数 能结合角度与边长关系，准确判断三角形解的个数 高频易错题，多以选择题、填空题形式考查，易错点为区分不清锐角、钝角情形下解的个数判定条件 余弦定理及推论 能运用余弦定理及其推论，完成边长、内角的计算与求解 核心计算考点，常单独命题或与正弦定理综合考查，遵循 “知三求一” 原则，易错点为公式记忆混淆、计算失误 三角形面积公式 能熟练运用不同形式的面积公式，根据已知条件灵活计算三角形面积 常结合正、余弦定理综合出题，题型覆盖小题与解答题，易错点为误用夹角、记错内切圆相关面积公式 解三角形的实际应用 能识别基线、仰角、俯角、方位角、方向角等专业术语，规范完成解三角形应用题 期末解答题热门考点，侧重数学建模能力，易错点为概念理解偏差、不会将实际问题转化为三角形模型 知识点01 正弦定理 1．正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2．正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①，，; ②; ③ 3．判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 知识点02 余弦定理 1．余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． （2）符号语言:在中,， 2．余弦定理的推论 在中, 3．利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 注：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量（即三边一角），利用方程的观点，可以知三求一． 知识点03 三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径)． 知识点04 正余弦定理的应用 1．实际应用问题中的专用名词与术语 1．基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说,基线越长,测量的精确度越高． 2．仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． 3．方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②)． 4．方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°． 2．解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 题型一 余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 已知两边及夹角，直接代入余弦定理公式求出第三条边，再利用余弦定理推论计算剩余内角；已知三边，利用余弦定理推论依次求出三个内角。余弦定理每个等式包含三边、一角四个量，遵循知三求一的方程思路解题 例1．中，，，，则______． 【答案】3 【详解】设，在中，根据余弦定理： ， 代入已知条件得 . 整理得 ，解得（为负，舍去），因此. 变式1-1．在中，，则的最大内角的余弦值为______. 【答案】 【详解】∵， ∴由正弦定理化简得： 设，则最大角为， ∴． 变式1-2．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】展开原式得，移项整理得. 根据余弦定理，代入得， 因为是三角形内角，范围为，故满足的角为. 变式1-3．已知是圆的弦，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图，设，， 由余弦定理，，即, 则. 题型二 正弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 已知两角一边，先根据三角形内角和求出第三个角，再代入正弦定理计算边长；出现边长比例关系时，可设参数简化运算 例2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由，根据正弦定理得， 而，则，即，则，从而. 变式2-1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，而， 由正弦定理得，于是． 变式2-2．在中，已知，，，则____． 【答案】 / 【详解】因为，又，所以， 由正弦定理可得，代入已知条件得， 所以. 变式2-3．在中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，则，， 由题意知， 所以向量在向量上的投影向量为. 题型三 判断三角形解的个数 解｜题｜技｜巧 设角及其对边，另一已知边为。当为锐角时，无解，或有一解，有两解；当为钝角或直角时，有一解，无解。 例3．在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 【答案】 【详解】根据正弦定理，，则. 有两解，则角有两个不同的取值. 因为，所以存在两个不同的对应同一个， 因此，即， 因此的取值范围是. 变式3-1．（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断错误的是（    ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，有一解 D．，，，无解 【答案】ABC 【详解】已知，， 如图，过作，垂足为． ． ①当或时，有一解； ②当时，无解； ③当时，两解． 结合四个选项，可知，ABC三项判断错误． 变式3-2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则解的个数为________． 【答案】1 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 因为，所以只有一个解，所以解的个数为1个. 变式3-3．在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】由正弦定理得， 所以 考虑直线，与函数的图像有两个交点 如图    所以 题型四 正弦、余弦定理综合解三角形 解｜题｜技｜巧 先梳理已知条件，能利用余弦定理求边、求角就优先使用；出现对边对角关系时，切换为正弦定理。解题过程中统一形式，要么全部化为边，要么全部化为角，避免边角混杂 例4．如图中，，，，的中点为，求 (1)与的长； (2)的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 在中，， 所以是直角三角形，故， （2）因为的中点为，所以， 因为，所以是等边三角形， 所以，，. 变式4-1．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 变式4-2．如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 变式4-3．在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，在中，，，， 由余弦定理得， ， ∴， ∴， 在中, 由正弦定理得， ， 故选：C. 题型五 三角形面积公式及应用 例5．在中，，，，则____________，的面积为____________． 【答案】 【详解】由，，可得，即，故. 则，，所以， 因此. 又， 联立, 解得，， 则. 由，结合正弦定理与三角形面积公式， . 变式5-1．的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为____． 【答案】或 【详解】在中，由正弦定理得，，解得，， 因为，，， 所以，或，， 当时，，； 当时，，. 综上所述，的面积为或. 变式5-2．在中，，，，则的面积为______. 【答案】 【详解】由正弦定理：，代入得. 而. 故. 因为，故为锐角，. . 面积 变式5-3．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成大正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，则___________． 【答案】 【详解】设 ，由 ，得 ， 因此，， ∵ 是等边三角形，∴ ， 又∵ 3个三角形全等， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型六 求三角形外接圆半径 例6．中，，，D是BC上一点且不与重合，的外接圆半径分别为，则的值为________． 【答案】 【详解】已知，，所以，， 则， 对于，根据正弦定理可得，则； 对于，根据正弦定理可得，则； 则. 故答案为：. 变式6-1．在中，角所对的边分别为，且，，则外接圆的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即，所以. 所以外接圆的面积为. 变式6-2．已知的内角为，，满足，且的面积为2，则外接圆面积等于________． 【答案】 【详解】 ， ， ，解得， 从而有外接圆面积等于． 故答案为：． 变式6-3．在中，内角所对的边分别为，已知 . (1)求角的大小； (2)若 ，且的面积为，求的外接圆半径. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），可得，即 由于，可得， 所以， 解得． （2）因为， 由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 则， 得， 故的外接圆半径为. 题型七 边角互化 解｜题｜技｜巧 利用正弦定理，实现边化角；结合正、余弦定理，也可将角化边。互化后搭配三角恒等变换、因式分解进一步化简。 例7．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求角的大小； (2)求的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以，即． 又由余弦定理得， 又，所以． （2）因为，， 由余弦定理得，解得， 所以． （3）由余弦定理得，所以． 所以，． 所以 ． 变式7-1．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得，所以. 变式7-2．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 变式7-3．已知中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以. 整理得， 即，， 因为，所以，故， 又因为，所以； （2）已知，，， 由余弦定理可得，即， 化简得，即，解得或， 因为，所以. 题型八 求三角形周长的最值（范围） 解｜题｜技｜巧 先用正、余弦定理将周长表达式转化为单一变量（边长或角度）的函数，结合三角函数单调性、基本不等式求解最值；利用三角形三边关系确定变量取值范围，进而得到周长范围 例8．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 变式8-1．已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，，求外接圆半径； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由得，整理得， 因为，故，于是得到，故. （2）因为，，由余弦定理可得，故， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得，则， 故外接圆的半径为. （3）因为，由余弦定理和基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的周长为，即周长的最大值为. 变式8-2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得： ， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）由是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. （3）由余弦定理得：， 因为是锐角三角形，由余弦定理得： ， ， 故，则周长， 易知在上单调递增，得， 因此周长的取值范围为：. 变式8-3．已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 题型九 求三角形面积的最值（范围） 解｜题｜技｜巧 以面积公式为核心，利用定理将式子转化为单一变量函数，借助三角函数最值、基本不等式求解；若变量为边长，结合三边关系限定取值区间。 例9．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 变式9-1．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 变式9-2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 变式9-3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． (1)求A； (2)求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由余弦定理得， 所以，因为△ABC为锐角三角形，所以， 所以，设△ABC的外接圆半径为r， 由正弦定理得，所以，， 所以， 因为， 所以． （2）由（1）知，则， 由正弦定理得，所以， 所以△ABC的面积为 ， 由，得， 从而得，故当，即时， △ABC的面积取得最大值． 题型十 三角形中线问题 例10．已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 变式10-1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. 变式10-2．设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，，所以，同理可得，. 由，得， 即， 整理得， 又，所以，所以，即， 又，所以. （2）在中，由余弦定理，得， 又，所以， 即，也即， 解得， 令，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 变式10-3．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 题型十一 三角形角平分线的问题 解｜题｜技｜巧 利用角平分线性质（角平分线上的点到两边距离相等、分对边成比例），结合面积分割法、正余弦定理解题；将原三角形拆分为两个小三角形，分别列式后联立计算 例11．在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】 【详解】（1），， 即， 所以，又因为，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以. （2）由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得： 变式11-1．在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，由余弦定理得， 解得，又，由， 得，则， 所以. 变式11-2．如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的大小； (2)若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由余弦定理可得， 又因为，故． （2）因为， 所以， 又因为，，， 所以， 所以． 变式11-3．在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ， 由，得，则， 又，所以. （2）如图，为的角平分线， ，即， 得，解得（当且仅当时取等号）， 所以， 即的面积的最小值为. 题型十二 多三角形或四边形问题 解｜题｜技｜巧 遵循由已知到未知的顺序，先解条件完整的基础三角形，把求出的边、角作为相邻图形的已知条件，逐步推导；四边形可连接对角线，拆分为两个三角形求解 例12．巴蜀中学高2028届班级文化展示活动中，几位志愿者设计了一个凸四边形的展区（如图），已知米，米. (1)若，，求的值； (2)若米，四边形的面积为100平方米，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）在中，因为，， 所以. 在中，由正弦定理得：，所以. 又，所以，所以. （2）在，中，由余弦定理得， ， ， 所以，即. 又， 即， 整理得. 所以， 整理得， 所以. 变式12-1．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 【答案】 【详解】在中，，，且， 由余弦定理得， 可得, 又由， 可得 因为， 则， 所以, ， 所以四边形的面积为. 变式12-2．如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 变式12-3．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 题型十三 距离、高度测量问题 例13．重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】B 【详解】在中，因为，所以， 又因为，根据正弦定理：，即， 所以， 在中，， 所以米. 变式13-1．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 由正弦定理得，在中，， 则，在中，由余弦定理得， 所以A、B两个基站的距离为. 变式13-2．如图，为了测量两山顶M，N的距离，飞行器沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.已知A，B两点相距2千米，在A处观测M的俯角为，观测N的俯角为，B在N的正上方，且在B处观测M的俯角为30°，则M，N之间的距离为______千米. 【答案】/ 【详解】连接AM，AN，BM，BN，MN. 由题可得，， 则， 所以，则千米. 变式13-3．如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 题型十四 角度测量问题 解｜题｜技｜巧 遵循由已知到未知的顺序，先解条件完整的基础三角形，把求出的边、角作为相邻图形的已知条件，逐步推导；四边形可连接对角线，拆分为两个三角形求解 例14．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：    (1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？ (2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 【答案】(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向 (2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船 【分析】 【详解】（1）由题意，可得， 则 ， 在中，由正弦定理，即， 解得，因为，所以，所以为水平线， 所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向． （2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船， 在中，可得， 由正弦定理得， 因为为锐角，所以， 所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船． 变式14-1．如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且． (1)求小岛与小岛之间的距离； (2)记为，为，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知：，， 因为角为钝角，，所以， 在中，由余弦定理得，， 所以，解得或（舍）， 所以小岛与小岛之间的距离为2． （2）在中，由正弦定理，因为， 所以，则， 因为，所以为锐角，所以， 因为， ， 所以 ． 变式14-2．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理可得 在中，易知， 则 整理可得 故选：D 变式14-3．如图，一辆汽车在水平的公路上向正西直线行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶（在水平面上的射影为点）在西偏北的方向上，仰角为，行驶后到达处，测得山顶在西偏北的方向上． (1)求此山的高度（单位，精确到）： (2)求汽车行驶过程中仰望山顶的仰角的最大值（精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设此山高，则， 在中，， 根据正弦定理得， 即， 解得． 答：山的高度为． （2）由题意可知，当点到公路距离最小时，仰望山顶的仰角达到最大． 过作，垂足为，连接． 则 所以 答：仰角的最大值为 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得， 根据余弦定理得，即， 所以的周长为． 2．（2025·26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 4．（2025·26高三下·云南楚雄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且，则（    ） A． B．为钝角三角形 C．的面积为4 D．外接圆的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，由余弦定理知， 因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以最大， 由余弦定理知， 所以，故为钝角三角形，B正确； 对于C，的面积，C错误； 对于D，因为， 所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D正确. 5．（2025·26高二下·广东广州·期中）在中，下列命题正确的（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【详解】对于A，由和余弦定理，可得， 化简得，即，故是等腰三角形，A正确； 对于B，由，得，再由正弦定理，可得，故B正确； 对于C，因为， 所以， 若，则, 因,则中必有一个是钝角，故为钝角三角形，即C正确； 对于D，因,由，则或， 即或，故为等腰三角形或直角三角形，故D错误. 6．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【详解】由及正弦定理得，， ， 代入得， 得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得， 因，则，得，故B项正确； 因为，，及， 联立解得， 由得，则， ，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 7．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 8．（2025·26高一下·上海宝山·期中）在中，角所对的边分别为，若． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 9．（2025·26高一下·广东珠海·阶段检测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，的平分线交于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解法一：由正弦定理得， 可将化为， 由知， 所以. 又，故. 解法二：根据正弦定理，可将化为， 因为，所以，约去得. 又，故. （2）已知、、，根据余弦定理得， 解得. 因为， 所以， 因为，，所以，解得. 10．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】 【详解】（1）在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ， 因，， 故，得； （2）由三角形面积相等得，代入，，， 化简得： ，又 再代入余弦定理，得 ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（2025·26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 【答案】12 【详解】已知， 由正弦定理边化角得. 由于， 因此. 又，，所以，则. 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 因此的最小值为12. 2．（2025·26高一下·云南昆明·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 周长为 【分析】 【详解】（1）， 根据余弦定理可得，即， 代入可得，化简可得， 根据三角形辅助角公式可得，即， 因为，所以， 因此解得，即， 因为，， 所以解得. （2）因为的面积为， 所以，解得， 因为，， 所以， 根据正弦定理可得，即，化简可得， 代入可得，解得， 所以， 根据正弦定理可得，即，解得， 所以的周长为. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1），； 由正弦定理得. ，； ； . ，; ，即； ，. ，，； 由余弦定理得，即，解得； . （2）由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，； ，，即. 4．（2026·湖南·模拟预测）在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，又，所以， 即．     由余弦定理得：，即．     所以，    所以，又，所以． （2） 在中，由正弦定理得， 则，     在中，由正弦定理得， 则，     因为， 所以，     在中，由正弦定理得，即，     所以 ， 所以，即． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】A 【详解】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 2．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． 3．（2024·25高一下·江苏南通·期中）已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线， 所以，解得或（舍）， 所以； （2）在中由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 即， 解得； （3）在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中由余弦定理可得， 解得， 因为 ， 所以. 4．（2024·25高一下·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $