解三角形专题：三角形的中线、角平分线与垂线的3种常见考法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第四册)

解三角形专题：三角形的中线、角平分线与垂线的3种常见考法 一、中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 二、角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 三、垂线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 题型一 三角形的中线问题 【例1】（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知在中，，． （1）求A和的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，________，使存在且唯一确定，并求： ①的长； ②边上的中线的长度； ；周长为；面积为． 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，已知，，，BC边上的中线为AM． （1）求的值； （2）求． 【变式1-2】（2022春·北京·高一清华附中校考期末）中，已知.边上的中线为. （1）求； （2）从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度. 条件①：；条件②；条件③. 【变式1-3】（2022春·辽宁铁岭·高一校联考期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A； （2）若是的中线，且，求的最大值. 【变式1-4】（2022春·辽宁丹东·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）若，求； （2）若，求边中线的最大值. 题型二 三角形的角平分线问题 【例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是____________． 【变式2-1】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P． （1）的余弦值． （2）求四边形的面积. 【变式2-2】（2023春·全国·高一专题练习）已知的内角的对边分别为,且. （1）求的值; （2）给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题: （i）求的值; （ii）求的角平分线的长. 【变式2-3】（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值. 【变式2-4】（2022·高一单元测试）的角，，所对的边分别为，，，点在上， （1）若，，求； （2）若是的角平分线，，求周长的最小值. 题型三三角形的垂线问题 【例3】（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值. 【变式3-2】（2021春·山东聊城·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若边AB上的高为3，求c的最小值． 【变式3-3】（2023春·全国·高一专题练习）从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． （1）求角A； （2）若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长． 【变式3-4】（2022春·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求角B的大小； （2）若AC边上的高，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形专题：三角形的中线、角平分线与垂线的3种常见考法 一、中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中，