期末提升检测金01卷—2025～2026学年北师大版数学七年级第二学期模拟测试卷【广东专版 】

**基本信息** 2025~2026学年广东专用七年级数学期末模拟卷，以AI标识、快递收费等真实情境为载体，融合杨辉三角、折纸探究等文化与实践元素，覆盖代数几何核心知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、科学记数法等|以AI标识辨轴对称考几何直观| |填空题|5/15|函数、概率等|羊城通余额函数解析式考模型意识| |简答题（一）|3/21|平行线性质等|躺椅结构推理考推理能力| |简答题（二）|3/27|杨辉三角、概率等|摸球实验数据分析考数据观念| |简答题（三）|2/27|运算程序、几何探究|“九九归一”程序与等边三角形动点问题考创新意识|

2025~2026学年度第二学期数学期末模拟卷（广东专用） 七年级数学 本卷满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．“主频”是指的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了速度的快慢．某款的主频是，意味着它执行一个基本动作的时间大约是秒．将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．下列事件是随机事件的是（     ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．刻舟求剑 6．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 8．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图1可得等式．图2是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为（     ） A． B． C． D． 10．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分。 11．计算的结果是________． 12．在广州乘坐公交车，刷羊城通每次收费3元，李明在羊城通中存入100元，此后他乘坐公交车x次，羊城通中的余额为y元，写出y与x的函数解析式为________． 13．近年以来，某试验田在杂交水稻的研究中取得了重大突破，下面是2025年在同一条件下连续5次不同规模试种的水稻成活率： 水稻总株数（株） 500 1000 2000 5000 10000 … 成活率 … 根据表中数据，预计2026年的10万株水稻中可成活________万株． 14．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 第14题 第15题 15．如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有______． 三、简答题（一）：本题共3小题，共21分。 16．先化简，再求值：，其中，． 17．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．读懂下面的推理过程，并填空． 解：∵，（已知） ∴．（            ） ∵ ，（已知） ∴_____ ，（    ） 又∵， ∴． ∵，，（已知） ∴ ．（                    ） ∴_____．（                    ） 18． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： （1）直接写出乙的方案是否可行． （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 四、简答题（二）：本题共3小题，每题9分，共27分。 19．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其他均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 100 200 300 400 500 1000 摸到红球的次数 68 114 186 236 305 摸到红球的频率 0.68 0.57 0.59 0.61 0.60 （1）填空：_____，_____． （2）从中摸一个球，“摸到红球”的概率大约为_____．（精确到0.1） （3）若箱子中装有红球、白球、黑球共30个，其中白球的个数比黑球个数的2倍多3个，求摸到黑球的概率． 20．杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出二项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应二项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数是杨辉三角中第四行的四个数． 根据这个规律，试解决下列问题： （1）试写出下一个展开式：_____． （2）设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； （3）代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 21．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    （1）结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， （2）如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 五、简答题（三）：本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．综合与实践 学习了综合与实践《设计自己的运算程序》后，乐乐设计了一个探索两位数的“九九归一”运算程序：任意写一个两位数；计算该数十位数字与个位数字之和，用原数减去这个和，得到新数；若新数是两位数，重复上述过程，直到结果为个位数． （1）若写下的是47，根据乐乐设计的运算程序，写出找到结果的详细过程． （2）乐乐在运算过程中发现并验证了如下猜想：若一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，则该数的个位数与十位数之和总是等于 ． （3）根据以上猜想，试结合代数式解释，任意选择一个两位数，该运算程序的结果总是同一个数． 23．如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】 （1）如图1，________，________． 【特殊情形】 （2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】 （3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期数学期末模拟卷（广东专用） 七年级数学 本卷满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 2．“主频”是指的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了速度的快慢．某款的主频是，意味着它执行一个基本动作的时间大约是秒．将数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法可表示为的形式，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：∵左起第一个非零数字为4，4前面共有10个零， ∴． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A、，故A错误； 对选项B、，故B错误； 对选项C、，故C错误； 对选项D、，故D正确． 4．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 5．下列事件是随机事件的是（     ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．刻舟求剑 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A 、守株待兔可能发生也可能不发生，是随机事件； B 、瓮中捉鳖一定发生，是必然事件； C 、水中捞月不可能发生，是不可能事件； D 、刻舟求剑不可能成功，是不可能事件． 6．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺中，，， ， ， ， ， ，选项符合题意． 7．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 8．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图1可得等式．图2是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和长方形的面积公式来求解． 【详解】解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 可得到的等式为：． 10．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分。 11．计算的结果是________． 【答案】 / 【详解】解：． 12．在广州乘坐公交车，刷羊城通每次收费3元，李明在羊城通中存入100元，此后他乘坐公交车x次，羊城通中的余额为y元，写出y与x的函数解析式为________． 【答案】/ 【分析】找出羊城通余额与乘坐公交车次数之间的数量关系，即余额等于存入的钱数减去乘坐公交车的总花费． 【详解】解：∵刷羊城通每次收费3元，李明乘坐公交车x次， ∴乘坐公交车的总花费为元， ∵李明在羊城通中存入100元， ∴羊城通中的余额y等于存入的钱数100元减去乘坐公交车的总花费元，即， ∴y与x的函数解析式为． 13．近年以来，某试验田在杂交水稻的研究中取得了重大突破，下面是2025年在同一条件下连续5次不同规模试种的水稻成活率： 水稻总株数（株） 500 1000 2000 5000 10000 … 成活率 … 根据表中数据，预计2026年的10万株水稻中可成活________万株． 【答案】 【分析】随着随机试验次数的增加，频率会趋向于概率，结合表格的数据进行估计即可． 【详解】解：由图表可知，该水稻的成活率稳定在左右， （万株）， ∴预计成活万株． 14．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可． 【详解】解：如答图，连接． 边长为的正方形的中心与正方形的顶点重合，即点是正方形的中心， ， ∴． 又， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 三、简答题（一）：本题共3小题，共21分。 16．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 17．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．读懂下面的推理过程，并填空． 解：∵，（已知） ∴．（            ） ∵ ，（已知） ∴_____ ，（    ） 又∵， ∴． ∵，，（已知） ∴ ．（                    ） ∴_____．（                    ） 【答案】垂直的定义；；；；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的判定和性质补全证明过程即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∵，（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴． ∵，，（已知） ∴．（平行于同一直线的两条直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） 18． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： （1）直接写出乙的方案是否可行． （2）补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】(1)可行 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用“”证明，即可解题； （2）根据全等三角形判定定理，添加合适的条件，证明，即可解题． 【详解】（1）解：乙的方案可行，理由如下： 由作图过程可知，， 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离； （2）解：添加条件为：， ， ， 理由如下： 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离． 四、简答题（二）：本题共3小题，每题9分，共27分。 19．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其他均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 100 200 300 400 500 1000 摸到红球的次数 68 114 186 236 305 摸到红球的频率 0.68 0.57 0.59 0.61 0.60 （1）填空：_____，_____． （2）从中摸一个球，“摸到红球”的概率大约为_____．（精确到0.1） （3）若箱子中装有红球、白球、黑球共30个，其中白球的个数比黑球个数的2倍多3个，求摸到黑球的概率． 【答案】(1)0.62；600 (2)0.6 (3) 【分析】（1）根据频率的计算公式：频率频数总次数，计算即可； （2）根据表格即可得出结果； （3）设黑球有个，则白球有个．由题意得摸到红球的概率大约为0.6，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得：， ； （2）解：由表格可得：从中摸一个球，“摸到红球”的概率大约为0.6； （3）解：设黑球有个，则白球有个． 由题意得摸到红球的概率大约为0.6，则有， 解得， 所以摸到黑球的概率为． 答：摸到黑球的概率为． 20．杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出二项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应二项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数是杨辉三角中第四行的四个数． 根据这个规律，试解决下列问题： （1）试写出下一个展开式：_____． （2）设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； （3）代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）令，可得，即可解答； （3）根据规律分别求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：令，则， 令，则， ； （3）证明：∵ ， ， ∴ ， ∵x是整数， ∴也是整数， ∴能被50整除． 21．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    （1）结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， （2）如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 【分析】（）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （）①作的角平分线即可；以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求； ②分三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， ∴； 第二次折叠后，， ∴； ∴， ∴； （2）解：①如图： ②由题意得，当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 当时， 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 五、简答题（三）：本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．综合与实践 学习了综合与实践《设计自己的运算程序》后，乐乐设计了一个探索两位数的“九九归一”运算程序：任意写一个两位数；计算该数十位数字与个位数字之和，用原数减去这个和，得到新数；若新数是两位数，重复上述过程，直到结果为个位数． （1）若写下的是47，根据乐乐设计的运算程序，写出找到结果的详细过程． （2）乐乐在运算过程中发现并验证了如下猜想：若一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，则该数的个位数与十位数之和总是等于 ． （3）根据以上猜想，试结合代数式解释，任意选择一个两位数，该运算程序的结果总是同一个数． 【答案】(1) (2) (3)该运算程序的结果总是同一个数：9 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，整式的加减的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意逐步列式求解即可； （2）根据题意列举求解即可； （3）设两位数为，且a，b为整数），则它的十位数字与个位数字之和为，方法一：设，且m、n为整数)，得到，得到，，即可求解；方法二：由，得到，然后得到若干次操作后，最后结果一定选9，即可求解；方法三：得到该数的个位数字与十位数字之和总是等于9，第一次运算的结果9a为9的倍数，且，进而求解即可． 【详解】（1），，，； （2）∵一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98， ∴这个两位数可以为18，27，36，45，54，63，72，81，90 ∵，，，，，，，， ∴该数的个位数与十位数之和总是等于9； （3）设两位数为，且a，b为整数）， 则它的十位数字与个位数字之和为， 第一次运算：， 方法一：设，且m、n为整数)， ， 是9的倍数， ， ， 依次减少9， 该运算程序的结果总是同一个数：9． 方法二：， ， 往后的每次运算都比上一次减少9， 是9的倍数． 若干次操作后，最后结果一定选9， 该运算程序的结果总是同一个数：9． 方法三：一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98， ∴该数的个位数字与十位数字之和总是等于9． ∴第一次运算的结果9a为9的倍数，且． 往后作次运算的结果分别为：， 即运算结果依次减少9 该运算程序的结果总是同一个数：9． 23．如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】 （1）如图1，________，________． 【特殊情形】 （2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】 （3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）3，3；（2）3；（3）见解析，定值为3 【分析】本题考查等边三角形性质、三角形中位线定理及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形和中位线性质，通过构造全等三角形转化线段求解定值． （1）利用三角形中位线定理（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合等边三角形三边相等，求出、、的长度，进而计算的值． （2）根据等边三角形性质（三线合一等）和角的关系，得出平分，再利用特殊角度求出，结合线段关系计算的值． （3）通过在上构造点，使，利用全等三角形的判定证明和，将、、进行转化，从而证明为定值并求出该定值． 【详解】（1）∵点、、分别为边、、的中点，是等边三角形，边长为， ∴，，， ∴， 故答案为：3，3； （2）为等边三角形，点为中点， ， ， ， 为等边三角形， ， 即平分， ， ； （3）如图，在上取点，使 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $