专题05 数据的分析（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材华东师大版

专题05 数据的分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平均数与加权平均数 掌握平均数、加权平均数的定义与计算公式，理解“权”的含义与作用；能区分两种平均数的适用场景，熟练完成一组数据的平均数计算；能结合实际问题选择合适的平均数形式分析数据的集中趋势。 基础必考点；常出现在选择题、填空题，也会结合实际问题在解答题中考查；核心考查平均数的计算与实际意义，易错：加权平均数计算中权与数据对应错误、忽略“权”对结果的影响、计算步骤失误。 2. 中位数与众数 掌握中位数、众数的定义与确定方法，能区分中位数、众数与平均数的差异；明确三个统计量的不同适用场景，能熟练求解一组数据的中位数与众数；能结合实际问题选择合适的统计量描述数据的集中趋势。 高频基础考点；常出现在选择题、填空题，也会在数据综合分析题中考查；核心考查中位数、众数的求解与实际意义，易错：求中位数时忽略数据排序步骤、众数判断中重复次数统计错误、混淆三个统计量的适用场景。 3. 方差与标准差 掌握方差、标准差的定义与计算公式，理解两个统计量的统计意义；明确方差、标准差是描述数据离散程度的核心指标，能熟练完成一组数据的方差、标准差计算；能根据方差大小判断数据的波动情况，结合实际问题分析数据的稳定性。 高频核心考点；常出现在选择题、填空题，也会在数据综合分析解答题中考查；核心考查方差的计算与统计意义，易错：方差计算中数据与平均数的差的平方计算错误、求和与求平均步骤失误、忽略方差单位与原数据单位的差异。 4. 数据的综合分析与用样本估计总体 能综合运用平均数、中位数、众数、方差等统计量，对一组数据进行全面分析；理解“用样本估计总体”的统计思想，能根据样本数据的统计特征对总体情况进行合理估计与推断；能结合数据分析结果对实际问题做出合理决策，规范完成数据综合分析的解题全流程。 重点高频核心考点，中考必考；常出现在解答题的综合应用题部分，分值占比高；核心考查统计量的综合运用、数据分析与决策能力，易错：统计量选择不合理、样本估计总体时推断不符合实际、忽略数据的实际意义对结果的影响。 知识点01 平均数 ◆1、平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． ◆2、加权平均数： （1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点02 中位数、众数 ◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． ◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． ◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． ◆4、众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识点03 方差 ◆1.离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差. ◆2.方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数 ”）其中x1）2+（x2）2+…+（xn）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²” ◆3.求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”. ◆4.方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ◆5.用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差:在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 提示: 样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据； 一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大； (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 知识点04 四分位数和箱线图 四分位数：在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图： 题型一 求一组数据的平均数 【典例1】样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了求平均数．根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：样本数据3，4，3，6的平均数是． 故选：C 【变式1】某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（   ） A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】A 【分析】此题考查了平均数，根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：平均数为． 故选：A． 【变式2】已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【答案】10 【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，数据之和为， ∵数据的个数为， ∴平均数为． 故答案为：10． 【变式3】为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了求平均数． 先根据统计图得到评9分的评委人数，进而根据平均数的定义计算即可． 【详解】解：由统计图可知，评9分的人数为（人）， 则901班平均得分（分）． 故选：D． 题型二 已知平均数求未知数据的值 【典例1】若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平均数的概念和一元一次方程的解法，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据平均数的定义，先求出这组数据的总和，再列出关于的方程，通过解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：数据之和为， 平均数为， 解得． 故答案为：3． 【变式2】已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据平均数的定义，总和等于平均数乘以数据个数，从而列出方程求解x． 本题考查平均数的计算，直接利用定义即可求解． 【详解】解：∵ 数据个数为6，平均数为5， ∴ 总和． 又∵ 已知数据中除x外其余各项之和为， ∴． 故选：A． 【变式3】已知一组数据，2，4，1，6的平均数是3，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查平均数的计算，根据平均数的定义，建立方程求解． 【详解】解：数据有5个，平均数为3， ， 解得． 故答案为：2． 题型三 求加权平均数 【典例1】某班男生人数占全班人数的．在一次体育课上，对全班学生进行立定跳远测试，已知男生测试成绩的优秀率为，女生测试成绩的优秀率为，则该班此次测试成绩的优秀率为________． 【答案】 【分析】将全班总人数看作整体，分别计算男生优秀人数和女生优秀人数占全班总人数的比例，求和即可得到该班此次测试的优秀率。 【详解】设全班总人数为， 由题意得，男生人数为 ，女生人数为 ， 男生优秀人数为 ，女生优秀人数为 ， 全班优秀总人数为 ， 则该班此次测试成绩的优秀率为 ． 【变式1】为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的人数占比为权重计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为 ，订购乙种套餐的人数为 ， ∴总花费为 ， ∴平均花费为 ． 【变式2】家乐福超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是（     ）分． 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数） 70 80 92 A． B．80 C．92 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的计算方法.根据加权平均数的计算规则，总成绩为各项测试成绩乘以对应权重占比的和，直接计算即可. 【详解】解：∵三项测试成绩的权重比为，总权重份数为. ∴该应聘者的总成绩为： （分）； 【变式3】超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 【答案】 78 【分析】根据加权平均数的计算方法，将三项测试成绩分别乘以对应的权重，求和即可得到总成绩． 【详解】解：根据题意，三项测试成绩的权重和为， 因此该应聘者的总成绩为： （分）． 题型四 运用加权平均数做决策 【典例1】某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，理解加权平均数的定义以及求解方法是解题关键．分别计算出两名候选人的加权平均数，比较即可得出结论． 【详解】解：甲的加权平均成绩： （分） 乙的加权平均成绩： （分） 由于， 故乙将被录用． 故答案为：乙． 【变式1】我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 【答案】B 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键； 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：∵最终成绩； ∴该选手的最终成绩是84分． 故选：B． 【变式2】某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，用对应项的得分乘以其对应的权重求出每项的加权成绩，再求和得到两人的加权总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲． 故答案为：甲． 【变式3】学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，根据四人在语言表达能力和舞台仪态表现的得分，以及对应的权重求出四人的总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的总成绩：， 乙的总成绩：， 丙的总成绩：， 丁的总成绩：， ∵， ∴ 甲的总成绩最高， 应推荐甲， 故选：A． 题型五 求中位数、众数 【典例1】2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 【答案】A 【分析】本题考查众数和中位数的定义，解题思路为：先将数据从小到大排序，再根据定义分别求出众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中18出现3次，次数最多 ∴众数为18 ∵这组数据共10个，为偶数个，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第5个和第6个数，即20和20 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是18和20． 【变式1】在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组8名同学的成绩（单位：分）分别为129，136，145，136，148，136，150，140．则这次考试的平均数、众数、中位数分别为（      ） A．145分，136分，138分 B．140分，136分，138分 C．136分，148分，140分 D．136分，145分，136分 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数的定义求解即可． 【详解】解：平均数：（分）； 可知出现的次数最多，故众数为分； 数据排列为：129，136，136，136，140，145，148，150， 则中位数为：（分）． 【变式2】某学校举行知识竞赛，其中名选手的得分如下表： 得分 人数 则这名选手得分的众数、中位数分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查众数和中位数的概念，根据概念分别计算即可得到结果． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中得分的人数最多，为人， ∴众数为， ∵共有个数据，将数据从小到大排列后，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数，即第个和第个数据的平均数， 将数据从小到大排列为，则排列后可得第个数据为，第个数据为， ∴中位数为， 因此这组数据的众数为，中位数为． 【变式3】一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（   ） A．3.5，5 B．4，5 C．3，5 D．3.5，4 【答案】B 【分析】根据中位数和众数的定义，对给定数据排序后即可分别求解． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排列为：2、3、4、4、5、5、5，本组共7个数据， ∴最中间的数是第4个数，即中位数为4， ∵这组数据中5出现次数最多，共出现3次， ∴众数为5． 题型六 运用中位数做决策 【典例1】某公司部分员工的月收入如下表： 月收入/元 人数/人 (1)求这部分员工月收入的平均数和中位数； (2)根据这部分员工收入的平均数和中位数，推断公司全体员工月收入的合理水平，并说明理由． 【答案】(1)平均数为（元），中位数为（元） (2)推断公司全体员工月收入应为元，理由见解析 【分析】（）要求平均数只要求出各个数据之和再除以数据个数即可；对于中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可； （）从员工平均工资水平的角度推断公司员工月收入，从员工中间工资水平的角度推断公司员工的收入． 【详解】（1）解：这部分员工月收入的平均数为： （元）， ∵这组数据共个，从小到大排列第个数据分别为， ∴这部分员工月收入的中位数为（元）； （2）解：平均数约为元，但大部分员工的收入低于这个数值，因为高收入的员工对平均数影响较大，平均数会被拉高； 中位数是元，它代表了中间水平，更能反映大多数员工的收入情况； 所以，用中位数元来推断公司全体员工月收入的合理水平更合适． 【变式1】在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位数的实际应用，先将一组数据从小到大排序后，求解中位数，根据约半数的数据不超过中位数，因此只需计算该组数据的中位数即可． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排序为：37，45，45，47，58，58，59，63，72，83， 又∵数据共有10个，为偶数个，中位数为中间两个数的平均数， ∴中位数为． ∴大约有半数的机动车的时速不会超过． 故选：C． 【变式2】某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： (1)八年级成绩的中位数是___________； (2)若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； (3)小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 【答案】(1) (2)七年级测试成绩的平均数为分； (3)七，理由见解析 【分析】本题考查了中位数，方差，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）利用中位数的意义解答即可． 【详解】（1）解：八年级A等级人数为：（人）， 把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83， 故中位数为， 故答案为：； （2）解：（分）， 答：七年级测试成绩的平均数为分； （3）解：七年级成绩的中位数位于C组，即低于80分，而小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生． 故答案为：七． 【变式3】如图，表示组种子发芽率，前组种子发芽率的中位数为，第组的种子发芽率从甲、乙、丙中选一个，第组的种子发芽率从丁、戊中选一个，若这组的种子发芽率的中位数仍为，则第组、第组选择的可以是（   ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的概念与应用，理解加入两组数据后中位数保持不变的条件是解题的关键． 由题意可知，要使选定的组种子发芽率的中位数仍为，新加入的两组数据中必须包含一个发芽率高于的组和一个发芽率低于的组，结合选项即可得出正确答案． 【详解】解：依题意分析， A、甲和丁的发芽率均高于，会使整体中位数大于，故该选项不符合题意； B、乙、戊的发芽率均低于，会使整体中位数小于，故该选项不符合题意； C、丙、戊的发芽率均低于，会使整体中位数小于，故该选项不符合题意； D、乙、丁发芽率一个低于，一个高于，可保证中位数仍为，故该选项不符合题意． 故选：D． 题型七 运用众数做决策 【典例1】近年来，越来越多的人们加入到全民健身的热潮中来．“健步走”作为一项行走速度和运动量介于散步和竞走之间的步行运动，因其不易发生运动伤害，不受年龄、时间和场地限制的优点而受到人们的喜爱．随着信息技术的发展，很多手机可以记录人们每天健步走的步数，为大家的健身做好记录． 小明的爸爸妈妈都是健步走爱好者，一般情况下，他们每天都会坚持健步走．小明为了给爸爸妈妈颁发4月份“运动达人”奖章，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 爸爸12  10  11  15  14  13  14  11  14  12 妈妈11  14  15  2   11  11  14  15  14  14 平均数 中位数 众数 爸爸 12.6 妈妈 14 14 (1)写出表格中a，b，c的值； (2)你认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给谁?说明理由． 【答案】(1)12.5，14，12.1 (2)我认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸．理由见解析 【分析】（1）根据中位数，众数，平均数的定义求解即可； （2）根据平均数、众数分析即可． 【详解】（1）解：将爸爸的数据排列为：10 ，11 ，11，12，12，13，14 ，14 ，14，15   ∴中位数， 众数； ， （2）解：我认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸． 因为爸爸和妈妈的众数相同，但是爸爸的平均数高于妈妈，且最小值10高于妈妈的最小值2，所以小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸． 【变式1】某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下： 乙组：6，6，6，6，6，7，7，8，9，10． 老师根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲 7.1 b c 乙 a 6.5 6 根据以上信息，请解答下面的问题． (1)填空： ， ， ； (2)若从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)，，8 (2)应选甲组参加决赛，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据平均数，众数与中位数的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：乙组的平均数， 甲组10人成绩从小到大排列为，其排在中间的两个数分别是7和8， 所以甲组的中位数， 在甲组10人的成绩中，8出现的次数最多， 所以甲组的众数， 故答案为：，，8． （2）解：应选甲组参加决赛，理由如下： 虽然两个组的平均数相同，但甲组的中位数和众数均比乙组高，所以应选甲组参加决赛． 【变式2】今年月日是第个国际禁毒日，某校八年级，班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选名同学参赛，成绩评为，，，四个等级，相应等级的得分依次为分，分，分，分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 2班 (1)请把班竞赛成绩统计图补充完整； (2)计算出表格中，，的值： __________， __________， __________； (3)请你根据平均数和众数，分析比较班和班的竞赛成绩． 【答案】(1)见解析 (2) (3)二班的成绩相对较好，理由见解析 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数、众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出一班竞赛成绩为等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）由平均数、众数、中位数的定义进行计算即可得出答案； （3）根据众数和平均数进行分析即可． 【详解】（1）（1）解： 补图如下： （2）解：， 一班竞赛成绩处于第个数为，故中位数为， 由二班竞赛成绩的统计图可得，处于等级的人数最多，故众数为，即， 故答案为：； （3）二班的成绩相对较好，理由如下： 两个班级的平均数相等都是，一班的众数为，二班的众数为，二班的众数大于一班的众数，因此二班的成绩相对较好． 【变式3】“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数．然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分．数据如下： 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100． 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． (1)七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 87.5 c 九年级 85 b 80 直接写出________，________，________． (2)关于学生的全球气候变化基础知识的了解程度，请依据（1）中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 【答案】(1)77；85；90 (2)从平均数角度看，七年级平均分77分，九年级平均分85分，八年级平均分86分，八年级平均分最高，九年级次之，七年级较低，说明八年级学生对全球气候变化基础知识的了解程度最好，九年级较好，七年级需加强学习（答案不唯一，从中位数、众数角度回答均可） 【分析】本题考查了中位数，众数，算术平均数，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键． （1）根据算术平均数，众数和中位数的定义解答即可； （2）根据平均数，众数或中位数的意义解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 在八年级10名学生得分数中，90出现的次数最多，故众数； 把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故中位数． 故答案为：77；85；90； （2）解：从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差，建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．（答案不唯一，从中位数、众数角度回答均可）． 题型八 求方差 【典例1】如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是，代入方差公式，计算即可． 【详解】解：设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是， ∵， ∴， ， ， ∴． 【变式1】下列这组数据6，7，8，9，10的方差是（   ） A．3 B．2.5 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算方差，即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据为6，7，8，9，10， ∴平均数， 根据方差计算公式 得 ， ∴这组数据的方差是2． 【变式2】已知一组数据，，，，的中位数是，则这组数据的方差为________． 【答案】/ 【分析】本题考查中位数和方差的概念及计算，先根据中位数的定义求出的值，再计算这组数据的平均数，最后根据方差的定义求解即可． 【详解】解：∵这组数据共有个，为奇数个，因此中位数是从小到大排序后第个数据， 已知数据除去从小到大排序为：，，，，已知中位数为，且是这组数据中的一个， ∴则必在中间位置，且， 这组数据的平均数为： ， 根据方差的定义计算得： ． 【变式3】某公司的质检人员从两批零件中各随机抽取了6个，记录相应横截面的直径（）如表，若甲、乙两个样本数据的方差分别为、、则_____（填“＞”、“＝”、“＜”） 批次 直径（） 4 5 6 7 甲 1 4 1 0 乙 3 1 1 1 【答案】< 【分析】分别计算甲、乙两组数据的平均数和方差，比较方差大小即可得出结论． 【详解】解：计算甲组数据的平均数：， 根据方差计算公式，得， 计算乙组数据的平均数：， 根据方差计算公式，得， ， ． 题型九 根据方差判断稳定性 【典例1】甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】结合统计图可知，甲的成绩波动比较大，根据波动大的方差就大即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动较大，说明其成绩不稳定；乙选手的成绩的波动较小，说明其成绩比较稳定， ∴． 【变式1】甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 【答案】＞ 【分析】根据方差用来衡量数据波动大小，数据越分散，方差越大；数据越集中，方差越小，即可解答； 【详解】解：∵甲乙平均分相同，从点状图可见，甲的成绩分布更分散，乙的成绩分布更集中在均值附近． ∴甲的方差大于乙的方差，即． 【变式2】火星探测着陆器的着陆稳定性是火星探测任务成功的关键保障．我国自主研发的甲、乙、丙、丁四种智能着陆器在火星模拟环境中各完成了5次精准着陆测试．经统计分析，这四种着陆器5次测试的着陆偏差方差分别为，则着陆最稳定的是_____型着陆器． 【答案】丙 【分析】方差反映数据的波动大小，当测试次数相同时，方差越小，数据波动越小，着陆稳定性越高． 只需比较四个方差的大小，找出方差最小的对应的着陆器即可． 【详解】解：比较四个方差的大小，可得 ， 即 ， 根据方差的性质，方差越小，着陆偏差的波动越小，着陆越稳定， 因此丙型着陆器着陆最稳定． 【变式3】甲、乙两名射击手的10次测试的平均成绩都是9环，方差分别是，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】根据方差的意义，方差越小数据波动越小，成绩越稳定，比较甲、乙的方差大小即可得出结论． 【详解】解：由于甲、乙两名射击手的平均成绩相同，方差， 则成绩比较稳定的是乙． 题型十 运用方差做决策 【典例1】为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】当平均成绩相同时，方差越小，成绩越稳定，选择方差最小的运动员参赛即可． 【详解】解：∵四名运动员的平均成绩相同，方差越小成绩波动越小，发挥越稳定， 又∵， ∴丁的方差最小，成绩最稳定，因此选择丁参赛． 【变式1】气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（   ） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 【答案】C 【详解】解：∵要使上海青快速生长，需要选择平均生长速度更大的培养室，即平均数更大的培养室；要使上海青稳定生长，需要选择生长波动更小的培养室，即方差更小的培养室， 根据表格数据可知，四个培养室中，3号培养室的平均数最大，且方差最小，符合要求， ∴应选择3号培养室． 【变式2】学校七年级要选拔6名同学组成年级篮球队．报名后，体育老师对12名候选人进行了一场技能测试，并记录了个人的得分（单位：分），选拔规则是：依据本次测试得分，从高到低录取前6名．如果小明也是这12名候选人之一，他考完后想知道自己是否有机会入选，在老师公布全部数据后，他最应该关注这组数据的（   ） 选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 分数 35 41 42 38 36 37 48 39 40 38 35 40 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，结合选拔规则即可判断出小明需要关注的统计量． 【详解】解：∵共有12名候选人，按得分从高到低录取前6名，将12个得分排序后，中位数是排名第6和第7位得分的平均值，是录取的分界点， ∴小明只需将自己的得分与中位数比较，即可判断自己是否能入选前6名． 因此小明最应该关注这组数据的中位数． 【变式3】两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B） 【答案】 A 【分析】根据方差的意义，方差是衡量一组数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定．结合题意选择稳定的城市即可． 【详解】解：已知城市A的温度方差小，说明其春季日间平均气温波动小，更稳定舒适，所以宜选择城市A生活． 故答案为：A． 题型十一 求四分位数 【典例1】第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查第三四分位数的计算方法，先根据数据总数计算第三四分位数的位置，再通过累计人数确定对应位置的数值，即可求解． 【详解】解：∵共有个数据，第三四分位数对应的位置为，为整数， 第三四分位数为从小到大排列后，第个和第个数据的平均数。 按从小到大累计人数：视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人； 可知第个到第个数据均为， 即第、个数据都是， 第三四分位数为． 【变式1】课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再根据分位数计算规则确定位置，即可得这组数据的第三四分位数． 【详解】解：∵原数据为，数据个数， ∴将数据从小到大排序得：， ∵计算第三四分位数位置：，为整数， ∴第三四分位数是第项和第项数据的平均数， 第项数据为，第项数据为， ∴这组数据的第三四分位数为． 【变式2】春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7在投中球数的这组数据中，第一四分位数为________． 【答案】6.5 【分析】为先将原数据从小到大排序，再根据数据总数确定第一四分位数的位置，计算得到对应结果． 【详解】解：将原数据从小到大排列得：. 数据总个数为，计算第一四分位数位置得 ，位置为整数，因此第一四分位数为第个数据和第个数据的平均数， 代入计算得 ． 【变式3】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 题型十二 箱线图 【典例1】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 【变式1】小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 【答案】D 【分析】本题考查箱线图和中位数的定义，根据箱线图逐项分析即可． 【详解】解：对于A：由图可知，这组数据的最小值为47，故A正确； 对于B：由图可知，这组数据的中位数为73，故B正确； 对于C：由图可知，这组数据的上四分位数为83，故C正确； 对于D：根据箱线图不能直接得到平均数，故D不正确． 故选：D． 【变式2】某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 【答案】(1)，，， (2)①见解析；②见解析；③见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平均数、方差，四分位数，箱线图，掌握定义及其计算公式是解题的关键． （1）根据四分位数和平均数的定义解答即可； （2）分别根据平均数、方差和箱线图的意义解答即可； （3）根据统计表数据解答即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：由题意可知，零食A类直播间近10天的商品上架平均审核耗时从小到大排列为6，6，7，8，9，9，10，11，12，13， 故， ． 故答案为：，，，； （2）解：①零食B类直播间审核平均耗时小于零食A类直播间，说明零食B类直播间整体审核效率较高；②零食B类直播间审核耗时的方差小于零食A类直播间，说明零食B类直播间每天审核耗时的波动范围较小，工作效率更稳定；③零食B类直播间审核平均耗时的最大值与最小值差小、箱子短，中位数明显低于零食A类直播间，说明零食B类直播间工作效率更高且每天审核耗时差异不大； （3）解：建议零食A类直播间精简审核环节、明确各项目的审核时限等（答案不唯一，合理即可）． 【变式3】某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【答案】(1)下四分位数是70，中位数是90，上四分位数是96 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出下四分位数，中位数，上四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 下四分位数是70 中位数是 上四分位数是96 （2）甲组的箱线图如答图： （3）根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【答案】B 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 2．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 3．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【答案】B 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲， 从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲， 故选：A． 5．某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查中位数的含义，掌握“把一组数据按照从小到大或从大到小先排序，如果这组数据有奇数个，则正中间的数即为中位数，如果数据是偶数个则最中间两位数的平均数为中位数”是解本题的关键． 【详解】解：在这组数据中位于中间的数据为8， ∴中位数为8， 故选B． 6．为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计图 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的________，________，_________． (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 【答案】(1)7.5；8； (2)见解析 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据众数和中位数做决策． 【详解】（1）解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数； 八年级得分为8分的人数最多为23人， ∴众数； 八年级的得分优秀率为：， 故答案为：7.5；8；； （2）解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级． 7．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分： 10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 8.6 8.6 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m的值； (2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）； (3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】(1) (2)甲 (3)丙 【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解． （2）根据方差的计算方法先算出甲、乙的方差，再进行比较即可求解． （3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲、乙、丙的平均分，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：丙的平均数：， 则． （2）， ， ， ∴甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致， 故答案为：甲． （3）由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为： 甲：， 乙：， 丙：， ∵去掉一个最高分和一个最低分后丙的平均分最高， 因此最优秀的是丙， 故答案为：丙． 【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．在一次引体向上的测试中，小明等5位同学引体向上的次数分别为：8，7，9，8，9，关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是8和9 【答案】D 【分析】本题考查了平均数、中位数和众数的定义，熟练掌握平均数、中位数和众数的定义是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数的定义判断各选项正误即可． 【详解】解：A、8，7，9，8，9，平均数是，故此选项说法错误，不符合题意； B、将这组数据从小到大排序为7，8，8，9，9，中位数是8，故此选项说法错误，不符合题意； C、这组数据组中8出现了2次，9也出现了2次，出现的次数最多，所以众数是8和9，故此选项说法错误，不符合题意； D、这组数据组中8出现了2次，9也出现了2次，出现的次数最多，所以众数是8和9，故此选项说法正确错误，符合题意； 故选：D． 9．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（    ） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知A、B班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，故此选项不符合题意； 对于B，A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，都是90，故此选项符合题意； 对于C，A班的成绩的箱体比B班的成绩的箱体更高，所以A班的成绩比B班的成绩波动更大，故此选项不符合题意； 对于D，由图可知A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，并且B班成绩的下四分位数比A班成绩的中位数略高，说明B班的平均分比A班的平均分更高，故此选项不符合题意； 故选：B． 10．如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（  ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 【答案】A 【分析】本题考查了折线统计图，平均数、中位数与方差．从折线图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据统计量的确定方法确定相应的统计量，再判断即可． 【详解】解：A、由折线统计图可以看出甲成绩的波动小于乙成绩的波动，即甲的成绩比乙的成绩稳定，故选项A正确，符合题意； B、由折线统计图可以看，甲的最好成绩为9，乙的最好成绩为10， 所以甲的最好成绩比乙的最好成绩低，故选项B不正确，不符合题意； C、甲的成绩的平均数为（个），乙的成绩的平均数为（个） 所以甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，故选项C不正确，不符合题意； D、甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数均为8个，故选项D不正确，不符合题意． 故选：A． 11．如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图，根据折线统计图以及中位数，平均数和众数的定义来判断A、B、C，根据方差与稳定性之间的关系可判断D． 【详解】解：A、由统计图可知，甲的中位数为8个，乙的中位数为8个，故甲的中位数与乙的中位数相同，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知，甲的众数是8个，原说法错误，不符合题意； C、甲的平均数为个，乙的平均数为个，故甲的平均数与乙的平均数相同，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可知甲成绩的波动比乙成绩的波动小，故甲的成绩比乙的成绩稳定，原说法正确，符合题意； 故选：D． 12．现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（   ） A．113 B．112 C．106 D．109 【答案】D 【分析】本题主要考查上四分位数的概念，是数据排序后上半部分的中位数． 首先将数据排序，找到中位数，然后取上半部分数据计算中位数即可． 【详解】∵ 数据排序后为：96, 98, 100, 102, 104, 106, 112, 113， ∴ 上半部分数据为：104, 106, 112, 113， ∴ 上四分位数为， 故上四分位数为109． 故选：D． 13．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4  12.4  12.5  12.7  12.8  12.8  12.8  12.8  12.9  12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 (1)表中m的值为_______； (2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】(1) (2) (3)乙、丁、甲、丙 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； （2）解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； （3）解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 14．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】(1)①，；② (2)甲， 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 15．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)， 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． (2) 甲， 由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． (3)选甲更合适． 理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【详解】（1）， 即． （2）略 （3）略 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数据的分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平均数与加权平均数 掌握平均数、加权平均数的定义与计算公式，理解“权”的含义与作用；能区分两种平均数的适用场景，熟练完成一组数据的平均数计算；能结合实际问题选择合适的平均数形式分析数据的集中趋势。 基础必考点；常出现在选择题、填空题，也会结合实际问题在解答题中考查；核心考查平均数的计算与实际意义，易错：加权平均数计算中权与数据对应错误、忽略“权”对结果的影响、计算步骤失误。 2. 中位数与众数 掌握中位数、众数的定义与确定方法，能区分中位数、众数与平均数的差异；明确三个统计量的不同适用场景，能熟练求解一组数据的中位数与众数；能结合实际问题选择合适的统计量描述数据的集中趋势。 高频基础考点；常出现在选择题、填空题，也会在数据综合分析题中考查；核心考查中位数、众数的求解与实际意义，易错：求中位数时忽略数据排序步骤、众数判断中重复次数统计错误、混淆三个统计量的适用场景。 3. 方差与标准差 掌握方差、标准差的定义与计算公式，理解两个统计量的统计意义；明确方差、标准差是描述数据离散程度的核心指标，能熟练完成一组数据的方差、标准差计算；能根据方差大小判断数据的波动情况，结合实际问题分析数据的稳定性。 高频核心考点；常出现在选择题、填空题，也会在数据综合分析解答题中考查；核心考查方差的计算与统计意义，易错：方差计算中数据与平均数的差的平方计算错误、求和与求平均步骤失误、忽略方差单位与原数据单位的差异。 4. 数据的综合分析与用样本估计总体 能综合运用平均数、中位数、众数、方差等统计量，对一组数据进行全面分析；理解“用样本估计总体”的统计思想，能根据样本数据的统计特征对总体情况进行合理估计与推断；能结合数据分析结果对实际问题做出合理决策，规范完成数据综合分析的解题全流程。 重点高频核心考点，中考必考；常出现在解答题的综合应用题部分，分值占比高；核心考查统计量的综合运用、数据分析与决策能力，易错：统计量选择不合理、样本估计总体时推断不符合实际、忽略数据的实际意义对结果的影响。 知识点01 平均数 ◆1、平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的平均数． 记作：“”，读作：“x 拔”． ◆2、加权平均数： （1）加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则 叫做这n个数的加权平均数． ②在求 n 个数的平均数时，如果 x1出现 f1次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 f k 次(这里 f1 +f2+…+f k = n)，那么这 n 个数的加权平均数为， 其中f1，f2，f3，…，fn 分别叫做x1，x2，x3，…，xn的权. （2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果． （3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息． （5）算术平均数与加权平均数的区别与联系： 区别：① 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异； ② 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位. 联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 知识点02 中位数、众数 ◆1、中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． ◆2、中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息． ◆3、中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势． ◆4、众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【注意】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中． （2）一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3． （3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3． 知识点03 方差 ◆1.离差：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi （i=1,2，…，n）叫做xi 关于平均数的离差. ◆2.方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数 ”）其中x1）2+（x2）2+…+（xn）2 叫做这n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²” ◆3.求方差的方法：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”. ◆4.方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ◆5.用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差:在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 提示: 样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据； 一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大； (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 知识点04 四分位数和箱线图 四分位数：在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图： 题型一 求一组数据的平均数 【典例1】样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【变式1】某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（   ） A．160 B．161 C．162 D．163 【变式2】已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【变式3】为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 题型二 已知平均数求未知数据的值 【典例1】若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 【变式1】已知一组数据：，，，，，它们的平均数是，则的值为________． 【变式2】已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3】已知一组数据，2，4，1，6的平均数是3，则______． 题型三 求加权平均数 【典例1】某班男生人数占全班人数的．在一次体育课上，对全班学生进行立定跳远测试，已知男生测试成绩的优秀率为，女生测试成绩的优秀率为，则该班此次测试成绩的优秀率为________． 【变式1】为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 【变式2】家乐福超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是（     ）分． 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数） 70 80 92 A． B．80 C．92 D．以上都不对 【变式3】超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩/分 70 80 90 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是_____分． 题型四 运用加权平均数做决策 【典例1】某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 【变式1】我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 【变式2】某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 【变式3】学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型五 求中位数、众数 【典例1】2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 【变式1】在一次数学模拟考试中，小明所在的学习小组8名同学的成绩（单位：分）分别为129，136，145，136，148，136，150，140．则这次考试的平均数、众数、中位数分别为（      ） A．145分，136分，138分 B．140分，136分，138分 C．136分，148分，140分 D．136分，145分，136分 【变式2】某学校举行知识竞赛，其中名选手的得分如下表： 得分 人数 则这名选手得分的众数、中位数分别是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（   ） A．3.5，5 B．4，5 C．3，5 D．3.5，4 题型六 运用中位数做决策 【典例1】某公司部分员工的月收入如下表： 月收入/元 人数/人 (1)求这部分员工月收入的平均数和中位数； (2)根据这部分员工收入的平均数和中位数，推断公司全体员工月收入的合理水平，并说明理由． 【变式1】在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【变式2】某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： (1)八年级成绩的中位数是___________； (2)若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； (3)小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 【变式3】如图，表示组种子发芽率，前组种子发芽率的中位数为，第组的种子发芽率从甲、乙、丙中选一个，第组的种子发芽率从丁、戊中选一个，若这组的种子发芽率的中位数仍为，则第组、第组选择的可以是（   ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 题型七 运用众数做决策 【典例1】近年来，越来越多的人们加入到全民健身的热潮中来．“健步走”作为一项行走速度和运动量介于散步和竞走之间的步行运动，因其不易发生运动伤害，不受年龄、时间和场地限制的优点而受到人们的喜爱．随着信息技术的发展，很多手机可以记录人们每天健步走的步数，为大家的健身做好记录． 小明的爸爸妈妈都是健步走爱好者，一般情况下，他们每天都会坚持健步走．小明为了给爸爸妈妈颁发4月份“运动达人”奖章，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 爸爸12  10  11  15  14  13  14  11  14  12 妈妈11  14  15  2   11  11  14  15  14  14 平均数 中位数 众数 爸爸 12.6 妈妈 14 14 (1)写出表格中a，b，c的值； (2)你认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给谁?说明理由． 【变式1】某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下： 乙组：6，6，6，6，6，7，7，8，9，10． 老师根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲 7.1 b c 乙 a 6.5 6 根据以上信息，请解答下面的问题． (1)填空： ， ， ； (2)若从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【变式2】今年月日是第个国际禁毒日，某校八年级，班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选名同学参赛，成绩评为，，，四个等级，相应等级的得分依次为分，分，分，分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 2班 (1)请把班竞赛成绩统计图补充完整； (2)计算出表格中，，的值： __________， __________， __________； (3)请你根据平均数和众数，分析比较班和班的竞赛成绩． 【变式3】“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数．然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分．数据如下： 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100． 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100． 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100． (1)七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 87.5 c 九年级 85 b 80 直接写出________，________，________． (2)关于学生的全球气候变化基础知识的了解程度，请依据（1）中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 题型八 求方差 【典例1】如果一组数据，，，的方差是，那么数据，，，的方差是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列这组数据6，7，8，9，10的方差是（   ） A．3 B．2.5 C．1 D．2 【变式2】已知一组数据，，，，的中位数是，则这组数据的方差为________． 【变式3】某公司的质检人员从两批零件中各随机抽取了6个，记录相应横截面的直径（）如表，若甲、乙两个样本数据的方差分别为、、则_____（填“＞”、“＝”、“＜”） 批次 直径（） 4 5 6 7 甲 1 4 1 0 乙 3 1 1 1 题型九 根据方差判断稳定性 【典例1】甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均分相同，成绩分布如图，则方差_________（填>、<、=）． 【变式2】火星探测着陆器的着陆稳定性是火星探测任务成功的关键保障．我国自主研发的甲、乙、丙、丁四种智能着陆器在火星模拟环境中各完成了5次精准着陆测试．经统计分析，这四种着陆器5次测试的着陆偏差方差分别为，则着陆最稳定的是_____型着陆器． 【变式3】甲、乙两名射击手的10次测试的平均成绩都是9环，方差分别是，，则成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”） 题型十 运用方差做决策 【典例1】为了在武汉市中小学生田径运动会中获得更加优异的成绩，教练要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选择一人参加米的比赛，四名运动员平时训练米的平均成绩均为秒，方差如下表所示，教练应该选择哪名运动员参赛（    ） 甲 乙 丙 丁 方差（秒） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（   ） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 【变式2】学校七年级要选拔6名同学组成年级篮球队．报名后，体育老师对12名候选人进行了一场技能测试，并记录了个人的得分（单位：分），选拔规则是：依据本次测试得分，从高到低录取前6名．如果小明也是这12名候选人之一，他考完后想知道自己是否有机会入选，在老师公布全部数据后，他最应该关注这组数据的（   ） 选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 分数 35 41 42 38 36 37 48 39 40 38 35 40 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式3】两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B） 题型十一 求四分位数 【典例1】第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光，某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7在投中球数的这组数据中，第一四分位数为________． 【变式3】某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 题型十二 箱线图 【典例1】在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【变式1】小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 【变式2】某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 【变式3】某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 2．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 3．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计图 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的________，________，_________． (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 7．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分： 10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 8.6 8.6 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m的值； (2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）； (3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．在一次引体向上的测试中，小明等5位同学引体向上的次数分别为：8，7，9，8，9，关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是8和9 9．已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（    ） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 10．如图是甲、乙两名同学的5次引体向上练习成绩的折线统计图，下列判断正确的是（  ） A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 11．如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统计图，下列判断正确的是（    ） A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个 C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定 12．现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（   ） A．113 B．112 C．106 D．109 13．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4  12.4  12.5  12.7  12.8  12.8  12.8  12.8  12.9  12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 (1)表中m的值为_______； (2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 14．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：                                      .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 15．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $