专题03 平行四边形（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材华东师大版

可学科网·上好课 www zxxk com 专题03平行四边形（期 内容导航 明。期床考情 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01利用平行四边形的性质求解 题型02利用平行四边形的性质求面积问题 题型03利用平行四边形的性质求动点问题 题型04平行四边形中的折叠问题 题型05判断能否构成平行四边形 题型06平行四边形的性质与判定多结论问题 题型07平行四边形中的性质和判定综合问题 题型08平行四边形中的作图 题型09与三角形中位线有关的求解问题 题型10平行四边形与中位线综合问题 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习目标 能准确识别平行四边形的定义、边/角对角线 平行四边形的 的核心性质，掌握平行线间的距离概念，能 相关概念与性 利用性质进行基础的角度、边长计算与简单 质 推理 熟练掌握平行四边形的5大判定定理（边、 平行四边形的 角、对角线三个维度)，能根据题目条件灵 判定定理 活选择合适的判定方法，完成平行四边形的 证明与推理 1/20 上好每一堂课 末复习讲义) 考情规律 基础必考点，常出现在选择、填空小题，是 后续特殊平行四边形的基础，偶尔结合平行 线、三角形在解答题中综合考查 高频核心考点，必考解答题，占分比高，是 本章的核心重难点，常结合三角形全等、平 行线性质进行综合证明 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 掌握三角形中位线的定义、中位线定理的内 基础必考点，常出现在选择、填空小题，是 三角形的中位 容，能利用中位线定理进行边长、角度的计 三角形与平行四边形的衔接知识点，偶尔结 线定理 算与推理，能结合平行四边形的性质解决综 合中点、四边形在解答题中综合考查 合问题 记·必备知识 同知识点01平行四边形的定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（用符号”。“表示，如。ABCD,读作“平行四边形ABCD”)。 几何语言： ,AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD是平行四边形。 局知识点02平行四边形的性质 性质1：边 文字：平行四边形的两组对边分别平行且相等（即AB‖CD,AD‖BC,AB=CD,AD=BC)。 几何语言： ,·四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AD∥BC,且AB=CD,AD=BC。 性质2：角 文字：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补（即∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠B=180°， LB+∠C=180°等)。 几何语言： ,四边形ABCD是平行四边形，∴.∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠B=180°。 性质3：对角线 文字：平行四边形的对角线互相平分（即对角线AC与BD相交于点O,则A0=OC,B0=OD)。 几何语言： ,四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD(O为对角线交点)。 补充性质：对称性 文字：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；平行四边形的对边平行，因此其内角 和为360°。 性质的应用： 2/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 计算边长、角度：利用对边相等、对角相等、邻角互补的性质，求未知边的长度、未知角的度数； 证明线段相等、角相等：利用对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，证明两条线段相等、两个角 相等； 注意：平行四边形的性质是“平行四边形”特有的，普通四边形不具备这些性质。 局知识点03平行四边形的判定 判定1：定义法 文字：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定2：边 文字：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB=CD且AD=BC→□ABCD 判定3：边+角（一组对边平行且相等） 文字：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB∥CD且AB=CD(或AD∥BC且AD=BC)→□ABCD 判定4：角 文字：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∠A=∠C且∠B=∠D→□ABCD 判定5：对角线 文字：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：OA=OC且OB=OD→□ABCD 示例：在四边形ABCD中，AB=CD=5,AD=BC=8,求证：四边形ABCD是平行四边形。 -证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等)。 判定方法的选择： 已知两组对边的关系（平行或相等)，优先用判定1、2、3； 已知两组角的关系，用判定4； 已知对角线的关系，用判定5； 注意：判定一个四边形是平行四边形，至少需要两个条件，且条件要符合判定定理，不可随意组合。 邑知识点04平行四边形性质与判定的综合应用 常用思路： ·证边相等→找全等三角形或用平行四边形性质。 3/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·证平行→用同位角/内错角相等，或用平行四边形判定反过来推。 ·证对角线互相平分→可得平行四边形。 示例：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形BFDE 是平行四边形。 -证法：，□ABCD,∴.OA=OC,OB=OD。又AE=CF,∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF。∴.OB=OD且OE=OF ,∴.四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分）。 易错点： 1.辅助线错误：构造全等时对应点写错。 2.逻辑顺序颠倒：先用判定，再用性质，不要循环论证。 局知识点05平行四边形性质和判定的区别 性质：已知四边形是平行四边形，推出边、角、对角线的关系（平行四边形→性质）； 判定：己知边、角、对角线的关系，推出四边形是平行四边形（条件→平行四边形）。 令拓展：平行四边形的判定与性质的综合应用，常用于证明线段平行、相等，角相等，或解决与平行四 边形相关的计算问题。 受知识点06三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有3条中位线。 定理 文字：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言： :D是AB中点，E是AC中点，DE∥BC,且DE=号BC。 示例：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6,BC=8,AC=IO,求△DEF的周长。 -解：由中位线定理，DE专AC5,EF专AB=3,DF=专BC-4,△DEF周长为5+3+412。 破·重难题型 它题型一利用平行四边形的性质求解 解|题技巧 平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；根据这些性质转移边角条件，构 4/20 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 造全等三角形或利用勾股定理，设未知数列方程求解边长或角度 【典例1】如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm,AC,BD相交于点O且BD为5cm,则△ABD的周 长为 【典例2】如图，□ABCD中，E是边AB(不含端点)上任意一点，若S△ADE=3,S△Bc=5，则S△BDc 【变式1】如图，将平行四边形ABCD的边BC延长，若∠A=110°，则∠1=() A.70° B.80° C.100° D.110° 【变式2】如图，□ABCD中，∠ADC=120°，BE⊥DC于点E,DFLBC于点F,BE与DF交于点H,则 ∠BHF=() D A.60° B.30° C.70 D.50° 它题型二 利用平行四边形的性质求面积问题 ------------------------------------------------------------------------------------------- 解|题|技|巧 面积等于底乘高，常用割补法转化为规则图形；利用对角线分面积为四等份，或通过全等、中位线转移 5/20 列学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一八 面积，注意等高三角形面积比等于底边比，设未知数列方程求解。 【典例1】如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于F,AE⊥BC于E,BE=DF,CE=13, DF=5,△ABF的面积是 F D B E 【典例2】如图，点O为□ABCD的对称中心，点F为边AD上一点，连接A0,C0,D0,FO,若 ☐ABCD的面积为16，DF=3AF,则图中阴影部分的面积为· 4 A 【变式1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，若AB=13,AD=12,AC⊥BC,则平行四 边形ABCD的面积为() D B A.60 B.65 C.30 D.9 【变式2】如图，在☐ABCD中，E是AB上一点，若SABCD=12,则S△ADE十S△BCE= A 题型三利用平行四边形的性质求动点问题 解|题技|巧 利用平行四边形对边平行且相等转移线段长，建立坐标或几何关系；将动点运动转化为代数表达式，利用 6/20 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 时间或速度参数，结合勾股定理或全等，列方程求关键点位置。 【典例1】(25-26八年级上·山东潍坊期末)如图，在梯形ABCD中，AD=8,BC=12.点P从点A出发， 以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿 C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.设点P,Q的运动时间为s,在此 运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为 Q 【典例2】(24-25八年级下·河南信阳·期末)如图，在口ABCD中，已知AD=20cm,点P在AD上以 1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动.两点同时 出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为(s(t>0).当t=时，四边形 PDCQ是平行四边形， →P D Q← 【变式1】(24-25八年级下·浙江宁波·期末)如图，在四边形ABCD中，BC=20cm,AD=8cm, AD∥BC.点P,Q分别从A,C同时出发，点P以2cm/s的速度沿射线AD运动，点Q以1cm/s的速度 由点C向点B运动，当点Q运动到点B时，两点均停止运动，设运动时间为t,当t= 时，以P、 Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形. A 【变式2】(24-25八年级下·四川绵阳·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°， AD=16cm,BC=21cm,CD=13cm.动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动.动点Q同时 从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动.设 点P的运动时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 7/20 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 题型四平行四边形中的折叠问题 解|题|技|巧 折叠前后对应边相等、角相等，折痕垂直平分对应点连线；利用平行四边形对边平行转化角，设未知数 表示边长，勾股定理或全等列方程，注意重合点位置与折痕性质。 【典例1】如图，点E在AD边上，将□ABCD沿CE翻折，使D点的对应点F落在AB边上，若∠DCE=45°， BC=5,CD=4,则AF的长为() D A.1 B.2 C.3 D.4 【典例2】如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若LB=80°， ∠ACE=2∠ECD,则下列结论不正确的是() D A.AF-CD B.∠BAC=60° C.△AEF≌△CDFD.AE⊥CE 【变式1】如图，将☐ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若∠1=∠2=38°，则∠D=() 8/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 /0 2 B A.123° B.124° C.125 D.126° 【变式2】在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D: D G D' --- 图① 图② 图③ (I)如图①，当点D'恰好落在AB边上时，四边形DBCE的形状为_， (2)如图②，当E,F为CD边的三等分点时，连接FD并延长，交AB边于点G.试判断线段AG与BG的数量 关系，并说明理由； (3)如图③，当∠ABC=60°，∠DAE=45时，连接DD'并延长，交BC边于点H.若☐ABCD的面积为24， AD=4,求线段DH的长。 题型五判断能否构成平行四边形 解|题技巧 根据判定定理：对边平行、对边相等或对角线互相平分；已知四点坐标可用中点坐标公式验证对角线中点 重合，或计算边长与斜率，注意三点共线或四点顺序，排除自交情况。 【典例1】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 () A.0A=0C,0B=0D B.ADIBC,AD=BC C.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD D.ADIBC,AB=CD 【典例2】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E,点E是AC的中点，要判定四边形ABCD是平 9/20 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 行四边形，能添加的条件是() B E A.BE=DE B.AD=BC C.AC-BD D.AB=CD 【变式1】根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是() 5 100° 80°110 B.70°110 5 110° K70° D. 【变式2】如图，点E,F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF;②LADE=∠CBF; ③AF=CE;④LAEB=∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是() D B A.①②③④B.①②③ c.①③④ D. ②③④ 立题型六平行四边形的性质与判定多结论问题 解|题|技|巧 逐项分析，判定需从边、角、对角线条件出发，性质则直接应用；每个结论单独验证，避免混淆判定与性 质，可用反例排除错误选项，注意对角线不一定平分对角，需具体判断。 【典例1】(25-26九年级上山东烟台期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分 ∠ADC交AB于点E,∠BCD=60°，AD=)AB,连接OE.下列结论：①S,BD=AD-BD:②DB平分 LCDE;③AO=DE;④OE垂直平分BD.其中正确的有() 10/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C E B A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【典例2】(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E, BF⊥CD于F,DE,BF相交于H,延长BF交AD的延长线于点G,下列结论：①BD=√2BE;② ∠A=∠BHE;③AB=BH;④△BCF≌△DCE;⑤DE+EC=AD.其中正确的结论有() H B A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【变式1】(25-26八年级上·山东日照期末)两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知 LABC=LDEC=90°，LACB=LDCE=30°，∠BCE=60°，点F是边AC中点，则下列结论：①△BCE是 等边三角形，②AB=CF,③BE=√5AF，④四边形BEDF是平行四边形，其中正确结论的个数是() D E A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】(24-25八年级下·湖南株洲期末)如图，AC是口ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于 点G,垂足为E,过点D作DH⊥AC交BC于点H,垂足为F,连接GH,则下列结论：①BE=DF;② 四边形GBHD是平行四边形；③LGAC=∠DHC;④GH平分的▣ABCD周长.其中正确的个数是() G D F B≤ H C A.4 B.3 C.2 D.1 它题型七平行四边形中的性质和判定综合问题 11/20 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解|题|技|巧 先由边角条件判定形状，再运用性质推新结论；常连接对角线作桥梁，构造全等三角形，利用对边相等与 对角相等转化条件，设未知数列方程，注意多种可能分类讨论。 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AEIBD,且交CB的延长线于点E.求证：AE=AC A 【典例2】如图，在□ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证：四边形AECF是平行四边 形. 【变式1】如图，在□ABCD中，点O为线段AD的中点，延长B0交CD的延长线于点E,连接 AEBD,∠BDC=90°. B D (I)求证：四边形ABDE是矩形： (2)连接0C.若AB=4,BD=2W5,求0C的长. 【变式2】如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，BD与CE相交于点F,DF=FB,CF=2EF. 12/20 面学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 E (I)求证；四边形AFCD是平行四边形； (2)若∠DAB=90°，∠DBA=30,AD=2,直接写出四边形ABCD的面积. 它题型八 平行四边形中的作图 解|题|技|巧 根据边角条件，利用作平行线、截取相等线段或对角线中点；已知三顶点找第四点，可作已知边平行线 或利用对角线互相平分，保留作图痕迹，注意两种可能情况。 【典例1】(25-26九年级上山西晋中期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为边BC上一点，连 接AE. 0 E B (I)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边AD上找一点F,连接CF,使得四边形AECF是平行四边形.（要 求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1)的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由 【典例2】(25-26九年级上·江西鹰潭·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，请仅 用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）· B B C E C D 图1) 图(2) (I)如图(1)，过点E作射线EF把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分； (2)如图(2)，若EC=CD,过点C作△BEC的中线CH. 【变式1】(24-25八年级下·广东广州期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BC边上，且 FC=DC. 13/20 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线BE交AD边于点E(不写作法，保留作图痕迹)； (②)在(1)中作图的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形； 【变式2】(24-25八年级下·四川达州期末)如图，在口ABCD中，E是AD边上一点，连接CE. E B (I)用尺规完成以下基本作图：作LDAF=∠ECB,交BC于点F,连接BE,交AF于点G,连接DF,交 EC于点H;(保留作图痕迹，不写作法) (②)在（1)的条件下，求证：四边形EGFH是平行四边形. 它题型九与三角形中位线有关的求解问题 解题技巧 中位线平行于第三边且等于其一半；由此得平行关系与线段倍分，构造中点三角形，转移边长与角度，常 结合平行四边形性质，设未知数利用中位线条件列方程求解。 【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，M,N分别为BC,OC的中点，若AO=4, 则MN的长为 D M 【典例2】己知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,垂足为D,点G是BC的中点.若DG=2 ,AC=5,则AB长为多少？ 14/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G 【变式I】如图，在□ABCD中，对角线ACBD相交于点O,AB⊥AC,点E、F分别为BC、CD的中点， 连接AEOF,若0F=2,则AE= D O B E 【变式2】如图，在平行四边形BPCD中，点0为BD的中点，连接CO并延长交PB延长线于点A,连接 AD、BC,若AC=CP D (I)求证：四边形ABCD为矩形； (2)在BA的延长线上取一点E,连接0E交AD于点F,过0作0GLAB于G,若AB=9,AE=3,BC=12,求AF 的长 它题型十平行四边形与中位线综合问题 解|题|技|巧 先利用平行四边形对角线互相平分得中点，再应用中位线定理得平行与倍分关系；构造三角形中位线，将 边角条件集中，通过等量代换与全等三角形建立联系，列方程求解。 【典例I】如图，在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长至F,使得EF=DE,连 接BF.若AC=9,BF=5,则CE的长度为 15/20 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例2】如图，在四边形ABCD中，E,F,GH分别是边AB,BC,CD,DA的中点. 0 H E (I)求证：四边形EFGH是平行四边形： (2)若AC=7cm,BD=6cm,则四边形EFGH的周长为 cm. 【变式1】如图所示，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,点E是BC边的中点， 0E=1cm,BC=3cm,求☐ABCD的周长. 【变式2】(1)如图1，ABIICD,AC与BD相交于点0，EF过点O,且分别交AB,CD于点E,F,且0E=OF ,判断四边形ABCD的形状，并加以证明. D 刀 G B B 图1 图2 (2)如图2，在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，点H在线段CE上，连接BH,点G,F分别 为BH,CH的中点 ①求证：四边形DEFG为平行四边形； ②若DG⊥BHBD=3,EF=2,求BH的长， 16/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形 的是() B A.ABIDC,ADIBC B.AB-DC,AD=BC C.ABIIDC,AD=BC D.0A=0C,0B=0D 2.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,下列结论错误的是() D A.AB=CD B.AB=OB C.OA=OC D.OB=OD 3.在□ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B的度数为() A.140 B.110° C.100° D.70° 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，在边BC上截取线段BE,使BE=BA,分别以点A,E为圆心，以大 于专AE的长为半径画弧，两弧在平行四边形ABCD内交于点F,连接BF并延长交边AD于点G.若AG=5, GD=2,则平行四边形ABCD的周长是() B A.28 B.24 C.14 D.12 5.如图，在□ABCD中，∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连接BP,过点P作EF⊥CD交AB, 17/20 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD分别于点E,F.己知BE=5,AE=x,BPy,当x,y发生变化时，代数式值不变的是() D E B A.x+y B.x-y C.xy D.x24y2 6.如图，在□ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，且DE=BF.求证：AF=CE A E D B 7.如图，∠1=∠2，ADIBC. (I)求证：四边形ABCD是平行四边形， (②)若AB=3,BC=4,求四边形ABCD的周长 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8.如图，□ABCD中，点E,F分别是AD,AB边上的中点，连接EF,CE,CF.若△CEF是等腰直角三 角形，∠CEF=90°，AB=2,则CF的长是() E A D A.3 B.2V5 C.22 D.3.5 9.在四边形ABCD中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是() A.ABIICD,BC=AD B.AB-CD,ABIICD C.ABIICD,∠DAB=∠DCB D.AB=CD,AD=BC 10.如图，在口ABCD中，AB=3,BD=2√13，E为BC的中点，AD=2AE,则□ABCD的面积为() 18/20 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A.12 B.14 c.33 D.4V13 11.对△ABC进行下列操作： 操作1：如图1，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边 重合； 操作2：作△ABC的高AD,将△ABC按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF. 对操作1,2中阴影部分面积，下列说法正确的是() E E F E D A F B D(A) 图1 图2 A.操作2中阴影部分面积大 B.面积均为△ABC面积的一半 C.面积与△AEF的面积相等 D.操作1中阴影部分面积大 12.如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足0E=20F.则△ABC的面积与△A0C的面积之 比为() E B A.2:1 B.32 C.5:3 D.3:1 l3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在AD上，点F在BC上，连接EF,使EF恰 好经过点O. D (I)求证：DE=BF; 19/20 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AC⊥BD,DE+CF=5,AC=6,求BD的长. 14.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上的一点，点F,点G分别在AB,CB延长线上， DE=DA=CF,连接CE,AG D G B (I)求证：四边形EFCD是平行四边形； (2)连接EG,若GE⊥EC,∠DEC=∠AGB,求证：BE=GC 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，连接CD,E为CD中点，过点C作CFBD交BE的 延长线于F,连接DF交AC于点G,连接CF. C G A B D (I)求证：四边形BDFC是平行四边形； (2)若∠A=30°，BC=4,CF=6,求四边形BDFC的面积. 20/20 专题03 平行四边形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用平行四边形的性质求解 题型02 利用平行四边形的性质求面积问题 题型03 利用平行四边形的性质求动点问题 题型04 平行四边形中的折叠问题 题型05 判断能否构成平行四边形 题型06 平行四边形的性质与判定多结论问题 题型07 平行四边形中的性质和判定综合问题 题型08 平行四边形中的作图 题型09 与三角形中位线有关的求解问题 题型10 平行四边形与中位线综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形的相关概念与性质 能准确识别平行四边形的定义、边/角/对角线的核心性质，掌握平行线间的距离概念，能利用性质进行基础的角度、边长计算与简单推理 基础必考点，常出现在选择、填空小题，是后续特殊平行四边形的基础，偶尔结合平行线、三角形在解答题中综合考查 平行四边形的判定定理 熟练掌握平行四边形的5大判定定理（边、角、对角线三个维度），能根据题目条件灵活选择合适的判定方法，完成平行四边形的证明与推理 高频核心考点，必考解答题，占分比高，是本章的核心重难点，常结合三角形全等、平行线性质进行综合证明 三角形的中位线定理 掌握三角形中位线的定义、中位线定理的内容，能利用中位线定理进行边长、角度的计算与推理，能结合平行四边形的性质解决综合问题 基础必考点，常出现在选择、填空小题，是三角形与平行四边形的衔接知识点，偶尔结合中点、四边形在解答题中综合考查 知识点01 平行四边形的定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（用符号”▱“表示，如 ▱ABCD，读作“平行四边形 ABCD”）。 几何语言： ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 知识点02 平行四边形的性质 性质1：边 文字：平行四边形的两组对边分别平行且相等（即 ，，，）。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC，且 AB=CD，AD=BC。 性质2：角 文字：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补（即 ，，， 等）。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°。 性质3：对角线 文字：平行四边形的对角线互相平分（即对角线 与 相交于点 ，则 ，）。 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 补充性质：对称性 文字：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；平行四边形的对边平行，因此其内角和为 。 性质的应用： 计算边长、角度：利用对边相等、对角相等、邻角互补的性质，求未知边的长度、未知角的度数； 证明线段相等、角相等：利用对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，证明两条线段相等、两个角相等； 注意：平行四边形的性质是“平行四边形”特有的，普通四边形不具备这些性质。 知识点03 平行四边形的判定 判定1：定义法 文字：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 判定2：边 文字：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB=CD 且 AD=BC → □ABCD 判定3：边+角（一组对边平行且相等） 文字：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：AB∥CD 且 AB=CD（或 AD∥BC 且 AD=BC）→ □ABCD 判定4：角 文字：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∠A=∠C 且 ∠B=∠D → □ABCD 判定5：对角线 文字：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：OA=OC 且 OB=OD → □ABCD 示例：在四边形ABCD中，AB=CD=5，AD=BC=8，求证：四边形ABCD是平行四边形。 - 证明：∵ AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等）。 判定方法的选择： 已知两组对边的关系（平行或相等），优先用判定 1、2、3； 已知两组角的关系，用判定 4； 已知对角线的关系，用判定 5； 注意：判定一个四边形是平行四边形，至少需要两个条件，且条件要符合判定定理，不可随意组合。 知识点04 平行四边形性质与判定的综合应用 常用思路： - 证边相等 → 找全等三角形或用平行四边形性质。 - 证平行 → 用同位角/内错角相等，或用平行四边形判定反过来推。 - 证对角线互相平分 → 可得平行四边形。 示例：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。 - 证法：∵ □ABCD，∴ OA=OC，OB=OD。又 AE=CF，∴ OA-AE=OC-CF，即 OE=OF。∴ OB=OD且OE=OF，∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分）。 易错点： 1. 辅助线错误：构造全等时对应点写错。 2. 逻辑顺序颠倒：先用判定，再用性质，不要循环论证。 知识点05 平行四边形性质和判定的区别 性质：已知四边形是平行四边形，推出边、角、对角线的关系（平行四边形 性质）； 判定：已知边、角、对角线的关系，推出四边形是平行四边形（条件 平行四边形）。 · 拓展：平行四边形的判定与性质的综合应用，常用于证明线段平行、相等，角相等，或解决与平行四边形相关的计算问题。 知识点06 三角形的中位线 定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 一个三角形有3条中位线。 定理 文字：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 几何语言： ∵ D是AB中点，E是AC中点，∴ DE∥BC，且DE = BC。 示例：在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，BC=8，AC=10，求△DEF的周长。 - 解：由中位线定理，DE= AC=5， EF= AB=3，DF= BC=4，∴ △DEF周长为5+3+4=12。 题型一 利用平行四边形的性质求解 解｜题｜技｜巧 平行四边形对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；根据这些性质转移边角条件，构造全等三角形或利用勾股定理，设未知数列方程求解边长或角度。 【典例1】如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∴， ∵，相交于点O且为， ∴的周长为：， 故答案为：． 【典例2】如图，中，E是边AB（不含端点）上任意一点，若，，则_____ ． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式1】如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 【变式2】如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型二 利用平行四边形的性质求面积问题 解｜题｜技｜巧 面积等于底乘高，常用割补法转化为规则图形；利用对角线分面积为四等份，或通过全等、中位线转移面积，注意等高三角形面积比等于底边比，设未知数列方程求解。 【典例1】如图，在中，的平分线交于F，于E，，，，的面积是______． 【答案】78 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理．利用等角对等边求得，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是， 故答案为：78． 【典例2】如图，点O为的对称中心，点F为边上一点，连接，，，，若的面积为16，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．根据平行四边形的对角线互相平分可得，由等底等高的两个三角形面积相等可得的面积与的面积相等，由的面积为16，可得的面积为8，所以的面积与的面积均为4，根据与的面积的比等于它们的底边的比可得的面积为1，再把的面积与的面积相加即可． 【详解】解： 的面积为16，， ， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【变式1】如图，平行四边形的对角线与相交于点，若，则平行四边形的面积为（   ） A．60 B．65 C．30 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 先由平行四边形得到，然后对运用勾股定理求高，即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为， 故选：A． 【变式2】如图，在中，E是上一点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 故答案为：6 题型三 利用平行四边形的性质求动点问题 解｜题｜技｜巧 利用平行四边形对边平行且相等转移线段长，建立坐标或几何关系；将动点运动转化为代数表达式，利用时间或速度参数，结合勾股定理或全等，列方程求关键点位置。 【典例1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 【典例2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用、一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示线段和线段的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而点P在上，点Q在上，则，所以当时，四边形是平行四边形，求得当点Q与点B重合时，；当点Q返回点C时，，再分两种情况求t的值，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点P在上，点Q在上， ， 当时，四边形是平行四边形， 当点Q与点B重合时，则， 解得：； 当点Q返回点C时，则， 解得， 当时，由得， 解得； 当时，由得， 解得， 当或时，四边形是平行四边形， 故答案为：4或 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，，．点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当__________时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或8 【分析】此题考查了平行四边形的判定方法，熟练运用方程的思想方法是解题的关键．根据题意有，，，点P位于线段上时，，且时，四边形是平行四边形；当点P位于射线上点D右侧时，，且时，四边形是平行四边形，分别求出t即可． 【详解】解：根据题意有，，， ∵，当点P位于线段上时，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴运动时四边形是平行四边形， ∵，当点P位于射线上点D右侧时，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴运动时，四边形是平行四边形， 故答案为：或8． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 题型四 平行四边形中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠前后对应边相等、角相等，折痕垂直平分对应点连线；利用平行四边形对边平行转化角，设未知数表示边长，勾股定理或全等列方程，注意重合点位置与折痕性质。 【典例1】如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 【典例2】如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解四边形是平行四边形，且，得，，，，设，，再结合折叠性质得，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴，，，， ∴， 设， ∴， 由翻折性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵ ∴， 在和中， ， ，故选项C正确，不符合题意； ∵， 与不垂直，故选项D不正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ． (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长． 【答案】(1)平行四边形； (2)，理由见详解； (3) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． （1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）（2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角性质可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）（3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴， ∵的面积为，，即：， ∴， 则， ∴． 题型五 判断能否构成平行四边形 解｜题｜技｜巧 根据判定定理：对边平行、对边相等或对角线互相平分；已知四点坐标可用中点坐标公式验证对角线中点重合，或计算边长与斜率，注意三点共线或四点顺序，排除自交情况。 【典例1】如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【典例2】如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 【变式1】根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 根据题意，得， 故，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，只有一组平行的对边，故不是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得一组对边平行且相等，故一定是平行四边形，符合题意； D、根据题意，只有一组对边相等，无法判定是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 题型六 平行四边形的性质与判定多结论问题 解｜题｜技｜巧 逐项分析，判定需从边、角、对角线条件出发，性质则直接应用；每个结论单独验证，避免混淆判定与性质，可用反例排除错误选项，注意对角线不一定平分对角，需具体判断。 【典例1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤． 【详解】解：∵中，，于， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵于，于， ∴， ∴， ∵在中， ∴，故②正确； ∵，，， ∴，故④错误； ∴， ∵在中，， ∴，故③正确； ∵，故⑤正确； 故选：B ． 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长．其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，证即可判断出①；证即可判断出②；由，而不一定等于，即可判断出③；由即可判断出④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∵，而不一定等于，故③错误； ∵， ∴， 故平分的周长，故④正确； 所以正确的有3个， 故选：B． 题型七 平行四边形中的性质和判定综合问题 解｜题｜技｜巧 先由边角条件判定形状，再运用性质推新结论；常连接对角线作桥梁，构造全等三角形，利用对边相等与对角相等转化条件，设未知数列方程，注意多种可能分类讨论。 【典例1】如图，在矩形中，，且交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据矩形的性质得，再说明是平行四边形，可得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【典例2】如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式1】如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可； （2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 【变式2】如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 题型八 平行四边形中的作图 解｜题｜技｜巧 根据边角条件，利用作平行线、截取相等线段或对角线中点；已知三顶点找第四点，可作已知边平行线或利用对角线互相平分，保留作图痕迹，注意两种可能情况。 【典例1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，则四边形即为所求； （）由平行四边形的性质得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【典例2】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图（1），过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； (2)如图（2）， 若，过点作的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质与全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 （1）连接、，交于，作射线交于，交于点，则射线即为所求； （2）连接、，交于，连接交于，作直线交于点，连接，则线段即为所求。 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴（）， ∴， ∴， ∴，即过点作射线把平行四边形分成面积相等的两部分； （2）解：如图，线段即为所求。 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的中线． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查尺规作图—作已知角的角平分线，平行四边形的性质与判定定理，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识点，掌握作图方法是解题关键． （1）按要求作出的角平分线（保留作图痕迹）即可； （2）由角平分线的定义和平行四边形的性质得到，进而得到，再由边的和差关系得到，最后由一组对边平行且相等即可判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）证明：为的平分线， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ，，即 ， 四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，是边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：作，交于点，连接，交于点，连接，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用基本作图作作一个角等于已知角即可； （2）先利用平行四边形的性质证明四边形、是平行四边形，即可得，，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论即可． 推导出从而得到结论． 【详解】（1）解：尺规作图如图： （2）证明：在中，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， . ， ，即. ， 四边形是平行四边形， . ，， 四边形是平行四边形． 题型九 与三角形中位线有关的求解问题 解｜题｜技｜巧 中位线平行于第三边且等于其一半；由此得平行关系与线段倍分，构造中点三角形，转移边长与角度，常结合平行四边形性质，设未知数利用中位线条件列方程求解。 【典例1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，分别为，的中点，若，则的长为___________． 【答案】 2 【分析】根据矩形的性质可求出，然后根据三角形的中位线定理求解即可. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴. 【典例2】已知：如图，在中，平分，，垂足为D，点G是的中点．若，，则长为多少？ 【答案】9 【分析】延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 【答案】 【分析】先由平行四边形对角线互相平分、中位线定理得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是直角三角形，， 点为的中点， 是斜边上的中线， ． 【变式2】如图，在平行四边形中，点为的中点，连接并延长交延长线于点，连接，若． (1)求证：四边形为矩形； (2)在的延长线上取一点，连接交于点，过作于，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）先得到，证明，，证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）求出，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形为矩形． （2）解：由（1）知四边形为矩形，则， 又 ，， 是的中位线， ， ， ∴， ， ， ， ． 题型十 平行四边形与中位线综合问题 解｜题｜技｜巧 先利用平行四边形对角线互相平分得中点，再应用中位线定理得平行与倍分关系；构造三角形中位线，将边角条件集中，通过等量代换与全等三角形建立联系，列方程求解。 【典例1】如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________． 【答案】2 【分析】先连接交于点，结合平行四边形的性质以及，得，再计算出的长度，即可作答． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【典例2】如图，在四边形中，分别是边的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则四边形的周长为_________． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据题意可知分别为的中位线，再利用中位线的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形； （2）利用中位线定理可知，，再代入计算周长即可． 【详解】（1）证明： 分别是边的中点， 分别为的中位线， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知， 又分别是边的中点， 分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 【变式1】如图所示，在中，对角线和相交于点O，点E是边的中点，，求的周长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可知是的中位线，进而得到，再求周长即可． 【详解】解：在中， ， O为中点， 又∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式2】（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、，可能是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意 2．如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质判断即可． 【详解】解：∵在中，对角线与相交于点O， ∴，，， 无法判断， ∴结论错误的是B． 3．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 4．如图，四边形是平行四边形，在边上截取线段，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交边于点．若，，则平行四边形的周长是（     ） A．28 B．24 C．14 D．12 【答案】B 【分析】根据题意可得，平分，即，由题意可得，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 5．如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由平行四边形的性质得，；由等腰三角形的性质及三角形内角和得，从而；在上取点G，连接，使，则，故有；再由得，得，即，从而确定答案． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在上取点G，连接，使， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； 故当，发生变化时，代数式的值不变； 6．如图，在中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题利用平行四边形的性质得到，，再通过线段的和差关系推导出，证明四边形是平行四边形后即可利用其性质证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 7．如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用推出，结合已知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明是平行四边形； （）利用第（）题的平行四边形性质，得到对边相等，再将四条边长度相加计算出周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）知四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 8．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 9．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 10．如图，在中，，，为的中点，，则的面积为（   ） A．12 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，推出，利用等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ， ，，， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 11．对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【答案】B 【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半． 【详解】解：设的面积为S． ∵是的中位线， ∴，且，点E、F分别是、的中点， ∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半． ∴． ∴ ． 由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． 又∵ 落在上，与重合， ∴ 操作1中阴影部分面积． ∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为， ∴垂直平分． 又∵， ∴，且平分， ∴是的中位线， ∴ ，． 由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． ∴ 操作2中阴影部分面积： ∵ ，故选项A不正确，不符合题意， ∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半． 综上所述：只有选项B正确，符合题意． 12．如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设，根据三角形中位线的性质表示出相关三角形的面积，求出比值即可． 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 13．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $