专题04 一次函数（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦一次函数从概念到应用的全链条训练，以18类题型构建知识网络，突出几何直观与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与图像|题型1-5（22题）|含函数定义辨析、图像信息获取等常考点|从函数定义出发，通过图像识别建立直观认知，逐步过渡到参数求解| |性质应用|题型6-12（32题）|涵盖平移/对称/旋转等变换及规律探究|以一次函数性质为核心，串联参数范围、增减性等考点，形成性质应用体系| |综合与拓展|题型13-18（35题）|包含方程不等式关系、实际应用及新定义问题|整合代数几何知识，通过实际问题（如经济、行程）培养应用意识，难点突破新定义|

专题04 一次函数 题型1 函数图像识别（易错点） 题型10 比较一次函数值的大小（常考点） 题型2 从函数的图象获取信息（常考点） 题型11 一次函数的规律探究问题（重点） 题型3 根据一次函数的定义求参数（常考点） 题型12 求一次函数解析式（常考点） 题型4 已知函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型13 一次函数与一元一次方程的关系（常考点） 题型5 一次函数图象与坐标轴的交点问题（常考点） 题型14 一次函数与二元一次方程的关系（重点） 题型6 一次函数图象平移问题（常考点） 题型15 一次函数与不等式的关系（重点） 题型7 一次函数图象与对称问题（常考点） 题型16 一次函数的实际应用（常考点） 题型8 一次函数图象与旋转问题（重点） 题型17 一次函数与几何综合（重点） 题型9 根据一次函数增减性求参数（常考点） 题型18 一次函数的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数图像识别（共4小题） 1．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 2．下列图象中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．向高为30的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（     ） A．B．C． D． 4．下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A．B． C． D． 题型二 从函数的图象获取信息（共6小题） 5．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温、水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．草莓的光合作用产氧速率随温度的升高而增大 B．当温度为时，草莓的光合作用产氧速率大于呼吸作用耗氧速率 C．温度在时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 D．草莓中有机物积累最快时的温度为 6．镇江焦山景区有甲、乙两艘轮渡，出发前两艘轮渡油箱里都有柴油，油箱剩余油量（单位：）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 7．酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（    ） A．反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B．混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C．至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D．混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 8．潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．如图是某港口从昨天9时到今天9时，连续24小时潮水的高度（简称潮高）随时间的变化图象，如果时间用（时）表示，潮高用（米）表示，那么下列说法错误的是（     ） A．t是自变量 B．h是t的函数 C．对于t的每一个确定的值，h都有唯一确定的对应值 D．从今天4时到今天9时，潮高呈上升趋势 9．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A． B． C． D． 10．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是 ，因变量是 (2)出发地到派送点的路程是 米，小李在便利店停留了 分钟； (3)快递员小李出发多长时间，距离派送点300米？ 题型三 根据一次函数的定义求参数（共5小题） 11．若函数是一次函数，则的值为_______． 12．已知函数是关于的一次函数，则的值为__________． 13．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 14．若是一次函数，则的值是__________． 15．已知直线，当为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方． 题型四 已知函数经过的象限求参数范围（共5小题） 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 17．（2026·陕西·模拟预测）若正比例函数图象经过第二、四象限，且过点和，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·四川成都·三模）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 19．（2026·甘肃陇南·三模）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是______． 20．（2026·天津·二模）若将直线向下平移个单位，平移后的直线经过第三、第四、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共4小题） 21．直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 22．一次函数的图象与y轴交于正半轴，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 23．已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 24．一次函数的图象与轴的交点坐标是 _____________ ． 题型六 一次函数图象平移问题（共5小题） 25．在平面直角坐标系中，将正比例函数（为常数，且）的图象向下平移3个单位长度后，所得的一次函数图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 26．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 28．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度的解析式为（     ） A． B． C． D． 29．在平面直角坐标系中，将直线向右平移m个单位长度后，经过点，则m的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型七 一次函数图象与对称问题（共4小题） 30．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 32．在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 33．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 题型八 一次函数图象与旋转问题（共4小题） 34．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 35．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 36．直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 37．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 题型九 根据一次函数增减性求参数（共5小题） 38．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 39．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 40．已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小．若点B在该函数的图象上，则点B的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 41．关于x的函数，当时，，则b的值可以为________． 42．已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 题型十 比较一次函数值的大小（共5小题） 43．已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 44．如图，在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象分别记为直线和直线，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确的是（     ） A． ， B．， C． D． 45．已知直线过点和，则a_____b（填“”、“”或“”）． 46．已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 47．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是_________． 题型十一 一次函数的规律探究问题（共4小题） 48．如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 49．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 50．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，在直线上，若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为．则可表示为_______． 51．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 题型十二 求一次函数解析式（共5小题） 52．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 53．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 54．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 55．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 56．已知：，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 题型十三 一次函数与一元一次方程的关系（共4小题） 57．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 58．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 59．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 60．直线与相交于点，则关于 x 的方程的解是_____． 题型十四 一次函数与二元一次方程的关系（共5小题） 61．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 62．直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 63．已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）相交于点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 64．已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 65．如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)直接写出方程组的解． 题型十五 一次函数与不等式的关系（共5小题） 66．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 67．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 68．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 69．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 70．如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 题型十六 一次函数的实际应用（共8小题） 71．综合与实践 活动方案： 五一假期即将来临，中油好客特推出“乐购享五一，好客伴你行”活动，现有如下图所示的两种方式的优惠方案． 方式一 汽油满减券：满200减20 方式二 汽油折扣券：95折 优惠方案使用规则：单笔消费汽油满220元可使用一张券，最高可享50元折扣优惠；同一用户每日限使用一种优惠方式． 方案选择： 某游客给汽车加油，加油机显示所加汽油的总金额为元（）．结合以上信息分析，该游客选择哪种方式加油更省钱？ 72．甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 73．丹寨县的苗绣蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店选中A，B两款苗绣蜡染装饰品，进价和售价如下表： 类别 A 款 B款 进价（元/个） 70 68 售价（元/个） 80 75 (1)第一次该店用1520元购进了A，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购进的数量． (2)第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A 款进货数量不超过B款进货数量的一半．应如何设计进货方案，才能使销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润最大？并求出最大利润． 74．金银花是河南传统特色经济作物，多地盛产优质金银花．已知加工前每千克鲜金银花的售价比加工后每千克干金银花的售价便宜80元，用1000元收购的鲜金银花的质量与用5000元收购的干金银花的质量相等． (1)求每千克鲜金银花的售价． (2)某医药公司计划本月购买鲜金银花与干金银花共300千克，且干金银花的质量不少于鲜金银花质量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 75．2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 76．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 77．考古学家通过古人肱骨长度推测身高．某次考古发现商王朝南部“长”国的部落男性的身高y（单位：cm）与肱骨长度x（单位：cm）一次函数关系．根据考古数据，部分肱骨长度对应身高数据如表一： 表一 肱骨长度 28 30 32.5 35 36 身高 153.4 159 166 173 175.8 (1)求身高y关于肱骨长度x的函数解析式；（不要求写出自变量取值范围） (2)结合该部落古人骨骼数据，得到该部落成年男性肱骨长度的范围约为之间，试求该部落成年男性身高y的取值范围． 78．为了更好地保护河流，污水处理厂决定先购买A，B两种类型的污水处理设备共20台．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型设备和2台B型设备每周共可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周共可以处理污水1080吨． (1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ (2)经预算，污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周的污水处理量不低于4500吨，共有几种购买方案？当购买A，B两种设备各多少台时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)已知污水处理厂与污水设备制造厂相距300km，一辆出租车从污水处理厂出发往返于污水处理厂与污水设备制造厂两地，一辆运送污水设备的货车沿同一条公路从污水设备制造厂前往污水处理厂，两车同时出发，出租车到达污水设备制造厂后休息了一段时间，然后按原路原速返回，结果出租车比货车早半小时到达污水处理厂．如图是两车距污水处理厂的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数关系图象． ①出租车的行驶速度是______，出租车到污水设备制造厂后休息的时间为______h； ②直接写出两车出发多长时间相距100． 题型十七 一次函数与几何综合（共4小题） 79．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． (1)求点（用含的代数式表示）的坐标； (2)当的面积为时，求的值； (3)在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 80．如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为． (1)的面积为，若，求的值； (2)若当时，直线上的点的纵坐标的值大于，求的取值范围． 81．如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 82．直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求D点坐标； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 83．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点． (1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值． 题型十八 一次函数的新定义问题（共6小题） 84．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”：令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为__________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”． ①求出点和点的坐标． ②若点为轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件的点的坐标． 85．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 86．由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于，与轴交于点．如果点是直线上的一个动点，纵坐标为，，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围___________． 87．已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； (2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，直接写出的取值范围 88．在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 89．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的对消点． 已知，点． (1)在，，中，点的对消点有 ； (2)点在直线上，若点的对消点也是点的对消点，求点的坐标； (3)已知线段和正方形，其中，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，对于正方形边上的每一个点F，线段上总存在线段上每个点的对消点．若的最小值为4，直接写出t的值． $专题04 一次函数 题型1 函数图像识别（易错点） 题型10 比较一次函数值的大小（常考点） 题型2 从函数的图象获取信息（常考点） 题型11 一次函数的规律探究问题（重点） 题型3 根据一次函数的定义求参数（常考点） 题型12 求一次函数解析式（常考点） 题型4 已知函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型13 一次函数与一元一次方程的关系（常考点） 题型5 一次函数图象与坐标轴的交点问题（常考点） 题型14 一次函数与二元一次方程的关系（重点） 题型6 一次函数图象平移问题（常考点） 题型15 一次函数与不等式的关系（重点） 题型7 一次函数图象与对称问题（常考点） 题型16 一次函数的实际应用（常考点） 题型8 一次函数图象与旋转问题（重点） 题型17 一次函数与几何综合（重点） 题型9 根据一次函数增减性求参数（常考点） 题型18 一次函数的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 函数图像识别（共4小题） 1．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】函数的定义：在一个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，则是的函数． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数； B．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数； C．对于的每一个确定的值，不一定有唯一确定的值与其对应，不能表示y是x的函数； D．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数． 2．下列图象中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由函数定义知，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的y值与之对应，体现在函数图象上，作与x轴垂直的直线与函数图象一定有唯一的交点，而选项C的图象与x轴垂直的直线可以有两个不同的交点，故它不是函数的图象，从而y不是x的函数． 3．向高为30的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】观察容器形状可知，该容器由上下两个圆柱体组成，且下部底面积大于上部底面积.根据圆柱体积公式可知，水深与注水量为分段变化关系，底面积越大，水深增加越慢，图象越平缓，据此逐项判断即可． 【详解】解：容器下部较粗，上部较细，且均为圆柱体， 注水过程中，水深与注水量的关系图象应为折线， 排除A、D选项； 下部底面积大，上部底面积小 ， 在下部注水时，水深随注水量的增加上升较慢，图象斜率较小（较平缓）， 在上部注水时，水深随注水量的增加上升较快，图象斜率较大（较陡峭）， 符合题意的图象是先平缓后陡峭的折线， 故选：C． 4．下列四个图象中，能表示是的函数的是（      ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数”，由此可排除选项． 【详解】解：选项A符合函数的概念， 而B、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”. 题型二 从函数的图象获取信息（共6小题） 5．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温、水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．根据图象，下列说法正确的是（    ） A．草莓的光合作用产氧速率随温度的升高而增大 B．当温度为时，草莓的光合作用产氧速率大于呼吸作用耗氧速率 C．温度在时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 D．草莓中有机物积累最快时的温度为 【答案】B 【分析】结合图象中实线与虚线的变化趋势及对应数值进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，观察实线图象可知，草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故A错误； 对于B，当温度为时，实线对应的纵坐标约为，虚线对应的纵坐标约为，，此时光合作用产氧速率大于呼吸作用耗氧速率，故B正确； 对于C，观察虚线图象可知，呼吸作用耗氧速率在时达到最大值，在时已下降，故C错误； 对于D，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，由图象可知，时两曲线纵向距离最大，即差值最大，有机物积累最快时的温度约为，故D错误． 6．镇江焦山景区有甲、乙两艘轮渡，出发前两艘轮渡油箱里都有柴油，油箱剩余油量（单位：）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的应用，关键是从图象获取甲、乙两船行驶百公里时的耗油量，根据耗油量差列方程． 【详解】解：由图象知，出发前两船油箱都有600L油， 当行驶路程为百公里时，两船剩余油量分别为360L和300L， 甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡少， 甲轮渡剩余油量较多，即甲剩余360L，乙剩余300L， 行驶百公里，甲耗油，乙耗油， 甲每百公里耗油，乙每百公里耗油， 由题意得：． 7．酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（    ） A．反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B．混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C．至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D．混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 【答案】D 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A．由图可知，反应开始前，稀盐酸溶液的温度为，原说法正确； B．由图可知，混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降，原说法正确； C．由图可知，至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同，原说法正确； D．由图可知，混合溶液的温度不低于时，持续的时间，原说法错误． 8．潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．如图是某港口从昨天9时到今天9时，连续24小时潮水的高度（简称潮高）随时间的变化图象，如果时间用（时）表示，潮高用（米）表示，那么下列说法错误的是（     ） A．t是自变量 B．h是t的函数 C．对于t的每一个确定的值，h都有唯一确定的对应值 D．从今天4时到今天9时，潮高呈上升趋势 【答案】D 【详解】解：．根据图象可知，当t变化时，h也随着变化，所以t是自变量，故该选项不符合题意； ．根据图象可知，h随t的变化而变化，t是自变量，h是因变量，且每一个t都只有唯一的一个h对应，所以h是t的函数，故该选项不符合题意； ． 根据图象可知，对于的每一个确定的值，都是有唯一确定的对应值，故该选项不符合题意； ．从今天4时到今天的6时，潮高呈下降趋势，从今天的7时到今天的9时，潮高呈上升趋势，故该选项符合题意． 9．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x，根据快递车的速度不变列方程求解即可． 【详解】解：设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x， ∵快递车的速度不变， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 10．某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是 ，因变量是 (2)出发地到派送点的路程是 米，小李在便利店停留了 分钟； (3)快递员小李出发多长时间，距离派送点300米？ 【答案】(1)时间，距出发地距离 (2)1500，4 (3)快递员小李出发6分钟或分钟，距离派送点300米 【分析】（1）根据函数图象可知纵坐标是离出发地距离，横坐标是时间，从而得出自变量是时间，因变量是距出发地距离； （2）因为y轴表示离出发地距离，起点是出发地，终点是派送点，故小李从出发地到派送点的路程是1500米；与x轴平行的线段表示路程没有变化，观察图象分析其对应时间即可； （3）结合图象分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：图中自变量是时间，因变量是距出发地距离； （2）解：出发地到派送点的路程是1500米，小李在便利店停留了分钟； （3）解：解：由图象可知，当时，距离派送点米， 当时， 速度为（米/分钟）， （分钟）， 所以快递员小李出发6分钟或分钟，距离派送点300米． 题型三 根据一次函数的定义求参数（共5小题） 11．若函数是一次函数，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义得到，，进而可知的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：且， ∴． 12．已知函数是关于的一次函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，可得自变量的次数为，且一次项系数不为，据此可判断n的值． 【详解】解：根据一次函数的定义，若是关于的一次函数，需满足： 且， 因此． 13．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 【答案】 【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 14．若是一次函数，则的值是__________． 【答案】3 【详解】解：函数 是关于的一次函数， 且， 由得， 解得或， 由得， ， 15．已知直线，当为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线平行可知，求解即可； （2）将点代入直线求出交点坐标，再将交点坐标代入求解即可； （3）根据一次函数的性质列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， （2）解：将点代入直线，得， 解得， 即交点坐标为， 将点代入， 得， 解得． （3）解：依题意，得 解得 解得 ∴． 题型四 已知函数经过的象限求参数范围（共5小题） 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意判断出，则的图象经过第一、二、四象限，由此判断选项即可． 【详解】解：∵的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象经过第一、二、四象限， ∴只有选项B符合题意． 17．（2026·陕西·模拟预测）若正比例函数图象经过第二、四象限，且过点和，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正比例函数图象经过二、四象限，确定，再将两点坐标代入解析式得到关于的方程组，通过代入消元法求出的值，结合的正负取值，最终确定的值． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∵点和都在上，坐标满足函数解析式： 代入点：，化简得， 代入点：，化简得， 把代入得：， 整理得：， 结合，得． 18．（2026·四川成都·三模）已知一次函数的图象不经过第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质，结合图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解： 一次函数的图象不经过第三象限，该一次函数的一次项系数为，直线必过第二，四象限， 常数项需满足， 解得：． 19．（2026·甘肃陇南·三模）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象经过第一、三象限可得比例系数大于，列不等式求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ，解得． 20．（2026·天津·二模）若将直线向下平移个单位，平移后的直线经过第三、第四、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移法则求出平移后的直线解析式，再根据直线经过第三、第四、第一象限的性质得到得到的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线向下平移个单位长度， 平移后的直线解析式为， 平移后的直线经过第三、第四、第一象限，， ，解得， 的值可以取（答案不唯一，满足即可）． 题型五 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共4小题） 21．直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用x轴上点的纵坐标为0的性质求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征计算得到结果． 【详解】解：∵ 点A是直线与轴的交点，轴上点的纵坐标为 ∴令，代入得， 解得 ∴点A的坐标为 ∵关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数 ∴点A关于轴的对称点坐标为． 22．一次函数的图象与y轴交于正半轴，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象性质，解题思路是先求出一次函数与轴的交点坐标，再根据交点在正半轴的条件得到的取值范围． 【详解】∵ 轴上所有点的横坐标为， ∴ 将代入，得， 即一次函数与轴的交点坐标为， ∵ 交点在轴的正半轴，轴正半轴上点的纵坐标大于， ∴ ． 23．已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，根据交点位置得到横坐标的范围，推导得到k的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：∵ 一次函数与x轴交点的纵坐标为， ∴令，代入得， ∵， 解得， ∵ 交点在x轴负半轴上， ∴ ，即， ∴ ， 选项中只有A选项的满足， 故选：A． 24．一次函数的图象与轴的交点坐标是 _____________ ． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，将代入一次函数解析式，求解即可得到图象与轴的交点坐标． 【详解】解：根据轴上点的纵坐标特征，将代入得： 解得 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 题型六 一次函数图象平移问题（共5小题） 25．在平面直角坐标系中，将正比例函数（为常数，且）的图象向下平移3个单位长度后，所得的一次函数图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“上加下减”的平移规律求出平移后的解析式，代入点坐标验证即可得到答案． 【详解】解：将正比例函数向下平移个单位长度后，所得一次函数的解析式为， 当时，无论取何非零值，都有， ∴所得一次函数图象一定经过点． 26．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规则得到原直线解析式中k和b的关系，确定原直线过定点，再结合的条件，根据一次函数的性质判定即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位后，解析式为． 将代入 得 ， 整理得 ， ∴直线经过定点． ∵， ∴随的增大而增大， A．，符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 27．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数平移规律和正比例函数定义，利用“左加右减”得到平移后的解析式，再根据正比例函数特征求出，最后代入横坐标计算纵坐标即可． 【详解】∵一次函数向右平移3个单位长度，根据一次函数“左加右减”的平移规则， ∴平移后的函数解析式为 ∵平移后得到正比例函数，正比例函数的常数项为0， ∴ 解得 ∴平移后的正比例函数为 将代入解析式得 即横坐标为6时，纵坐标为4． 28．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的上下平移的规律“上加下减”法则，一次函数图象向上或向下平移个单位长度，只需要对原函数的常数项加上或减去即可得到结果． 【详解】解：，向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为． 29．在平面直角坐标系中，将直线向右平移m个单位长度后，经过点，则m的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”的平移法则是解题关键，先根据平移法则得到平移后的直线解析式，再将已知点代入计算即可得到的值． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位长度，根据平移法则“左加右减”， ∴平移后得到的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴把代入解析式得： ， 化简得， 解得， 题型七 一次函数图象与对称问题（共4小题） 30．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的性质求出k和b的值，再判断函数图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， 根据轴对称性质，点关于轴对称的点为，因此将替换为即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴关于轴对称的直线为，整理得， 该直线与是同一直线，对应系数相等， ∴， 解得，， ∴所求一次函数为， ∵，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 31．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 32．在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据把的部分沿轴翻折，可得翻折后的解析式为，当时，对应的有，在取值范围内；的部分没有翻折，且当时，有，因为纵坐标的取值范围是，可得不等式组为，解不等式组可得：，所以的取值范围是． 【详解】解：如下图所示， 把部分沿轴翻折，对应的部分的解析式为 当时，可得：， 当时，可得：， 当时，； 当时，对应的部分的解析式为， ， ， 解得：， ， ． 33．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键．根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 题型八 一次函数图象与旋转问题（共4小题） 34．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 35．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得， 故选∶ C． 36．直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 【答案】 【分析】设直线与y轴交于C点，直线与y轴交于B点．求出，，由旋转得，，根据含30度的直角三角形性质和勾股定理求出，即得． 【详解】解：设直线与y轴交于C点，直线与y轴交于B点． 在上， 令，则； 令，则； ， ， 由旋转得， ∴， ， ， ． 37．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 题型九 根据一次函数增减性求参数（共5小题） 38．一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知不等式判断一次函数的增减性，得到的取值范围，再代入点的坐标求出的范围，最后结合选项得到答案． 【详解】解：， 与异号， 随增大而减小， 一次函数中， 把代入函数解析式得：， ， ， ， 的值可能为． 39．当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性，分一次项系数大于零、小于零、等于零三种情况讨论，计算出m，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，符合条件； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，舍去； 当，即时，，不符合最小值为，舍去； 综上，． 40．已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小．若点B在该函数的图象上，则点B的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的增减性确定，再将点代入解析式得到与的关系，最后将各选项坐标代入解析式，验证是否成立，筛选出符合条件的选项． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而减小， ∴． ∵函数图象经过点， ∴将，代入解析式得， ∴， A、将代入得，代入得，不符合，故A错误； B、将代入得，代入得，解得，不符合，故B错误； C、将代入得，代入得，解得，不符合，故C错误； D、将代入得，代入得，解得，符合，故D正确． 41．关于x的函数，当时，，则b的值可以为________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】当时，，结合图象可知：随着的减小而增大，要当时，，即要，即可找到b可以取的值． 【详解】解：当时，， 结合图象可知：随着的减小而增大， ∴当时，要使，则， ∴， ∴b的值可以为4（答案不唯一）． 42．已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，；如果，那么的值可以是________（请写出一个符合条件的值）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据已知两点的横坐标大小与对应函数值的大小关系，判断函数的增减性，进而得到的取值范围，任取一个符合范围的值即可． 【详解】一次函数的图象经过点，，，， 在一次函数中，随的增大而增大， ， 的值可以是（答案不唯一）． 题型十 比较一次函数值的大小（共5小题） 43．已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两个点的纵坐标大小，比较横坐标的大小即可． 【详解】解：∵一次函数中，比例系数， ∴随的增大而减小， ∵点，都在该一次函数图象上，且， ∴． 44．如图，在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象分别记为直线和直线，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确的是（     ） A． ， B．， C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象经过的象限，确定k、b的正负，根据直线和直线的交点，以及观察图象可得，当时，，从而判断出当时，． 【详解】∵一次函数的图象过第一、二、四象限，，，∵一次函数的图象过第一、三、四象限，，，，，故A，B选项均不正确；由题图可知，当时，，当时，，∴当时，，故C选项正确，D选项不正确． 45．已知直线过点和，则a_____b（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又直线过点和，且， ． 46．已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数图象的增减性，结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小. 【详解】解：一次函数解析式为，， ， 随的增大而增大， 点在该函数图象上，且， ． 47．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是_________． 【答案】/ 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点和， 则，， ∵， ∴， 当取横坐标为正数时，不等式不变号同理可得． 综上可知：． 题型十一 一次函数的规律探究问题（共4小题） 48．如图， 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交y轴于点A，B．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点C作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_____ ． 【答案】 【分析】根据题意分别算出的值得到，，，由此即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点的横坐标为， 在直线中，当时，，则， 在直线中，当时，，则， ∴，则，， ∴， 同理，，，， ∴，则， ∴， ， ∴ ． 49．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变化规律，归纳出规律，进而求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 50．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，在直线上，若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为．则可表示为_______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，则，表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数求出角的度数，根据规律表示出相关线段的长度，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点在上，设，则， ∴， ∴， ∴直线与轴的夹角，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， 可知， ∴， ∴， ， ， ∴． 51．阅读理解与一题多变问题：探究一次函数（k是不为0的常数）图象的共性特点． 探究过程：小明尝试把代入时，发现可以消去k，竟然求出了． 老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？ 小组得出：无论k取何值，一次函数的图象一定经过定点． 老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数的图象是“点旋转直线”． (1)一次函数的图象经过的定点P的坐标是______． (2)已知一次函数的图象与x轴．y轴分别相交于点A，B．若的面积为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把化为，再进一步求解即可； （2）求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 由，得， 当时，， ； （2）解：一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A，B， 当，则， ∴， 的面积为3， ， 解得或， 因为函数是一次函数， 所以，即， 解得的和均满足该条件， 故k的值为7或． 题型十二 求一次函数解析式（共5小题） 52．在平面直角坐标系中，将某个一次函数的图象向下平移2个单位后，恰好经过点和，则这个一次函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出平移后一次函数的解析式，再根据一次函数图象平移“上加下减”的规律，求出原一次函数的表达式． 【详解】解：设平移后得到的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点和， ∴将代入解析式，得， 将和代入解析式，得，解得， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵原一次函数向下平移2个单位得到平移后的函数，根据平移“上加下减”的规律，将平移后的函数向上平移2个单位即可得到原函数， ∴原一次函数的表达式为． 53．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出正比例函数表达式的k值，再由一次函数图象平行，相同，不同求解即可． 【详解】解：正比例函数经过点 则， 解得 则一个平行于图象的一次函数表达式可以是（答案不唯一）． 54．若直线经过点和，则关于的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将两点坐标代入直线解析式，消去参数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：直线经过点和． 将两点坐标代入直线解析式，得 整理第一个等式，移项得 整理第二个等式，移项得 联立得 移项，合并同类项得． 55．已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再由当时，，求出的值即可得解； （2）当时，求出的值即可． 【详解】（1）解： 与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴． 56．已知：，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知的、值代入中，求出的值，再将代回原式，整理得到与的函数关系式． （2）将点代入（1）中求得的函数关系式中，解关于的一元一次方程，求出的值． 【详解】（1）解：当，时， 解得， 将代入， ∴， 与之间的函数关系式为． （2）解：将点代入，得， 解得， 的值为． 题型十三 一次函数与一元一次方程的关系（共4小题） 57．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 58．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 59．如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 60．直线与相交于点，则关于 x 的方程的解是_____． 【答案】 【分析】先利用已知直线解析式求出交点的横坐标，再根据方程的解是直线纵坐标为时对应的横坐标，即可得到结果． 【详解】解：直线经过点， ， 解得， 交点的坐标为， 关于的方程的解是． 题型十四 一次函数与二元一次方程的关系（共5小题） 61．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是，故②正确； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 62．直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用该性质即可求解． 【详解】∵直线和交于点， ∴关于，的方程组的解就是两直线的交点坐标，即． 63．已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）相交于点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数解析式联立解出的解，就是两个一次函数图象交点的横纵坐标，根据已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵ 关于的方程解，是直线与交点的横坐标. 又∵ 直线与相交于点，交点的横坐标， ∴ 方程的解为． 64．已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）利用图象判断时，的取值范围． 【详解】（1）解：联立一次函数与，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，在点以及点的右侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 65．如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）令可得坐标，把点代入直线可得点，然后利用待定系数法得出函数解析式即可； （2）根据题意及图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由直线得，当时， 解得， ， 将点代入直线中得，即， ， 把代入直线得，解得， 直线的解析式为； （2）解：由已知可知方程组的解为直线与直线：交点M的横纵坐标、纵坐标， 故方程组的解为． 题型十五 一次函数与不等式的关系（共5小题） 66．一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于的不等式的解集即为直线在轴下方时对应的取值范围． 【详解】解：由函数图象可得，关于的不等式的解集是． 67．已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集确定 的符号以及直线与 轴的交点坐标，进而判断函数图象． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 68．如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的不等式的解集是． 69．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 70．如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数图像得，当时，得到，继而求出，得到当时，，则当时，，即可解答． 【详解】解：根据函数图像得，当时，即， 将代入，得 ， 解得， ∴， 当时， ， ∴当时，． 题型十六 一次函数的实际应用（共8小题） 71．综合与实践 活动方案： 五一假期即将来临，中油好客特推出“乐购享五一，好客伴你行”活动，现有如下图所示的两种方式的优惠方案． 方式一 汽油满减券：满200减20 方式二 汽油折扣券：95折 优惠方案使用规则：单笔消费汽油满220元可使用一张券，最高可享50元折扣优惠；同一用户每日限使用一种优惠方式． 方案选择： 某游客给汽车加油，加油机显示所加汽油的总金额为元（）．结合以上信息分析，该游客选择哪种方式加油更省钱？ 【答案】当时，两种优惠方式共费相同；当时，选择方式一更省钱；当时，选择方式二更省钱． 【分析】分别列出两种优惠后实际付款金额，分三种情况比较和大小即可求解． 【详解】解：方式一（满200减20）：实际付费； 方式二（95折）：实际付费； ①当时，，解得， 即时，两种优惠方式花费相同； ②当时，，解得， 结合，则时，选择方式一更省钱； ③当时，，解得， 即时，选择方式二更省钱； 综上，当时，两种优惠方式花费相同；当时，选择方式一更省钱；当时，选择方式二更省钱． 72．甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天 (2)安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元 【分析】（1）首先根据甲队30天完成 的工作量，确定甲队单独完成需90天，进而得出甲的工作效率。设乙队单独完成需 天，根据“甲先做30天，甲乙再合做40天完成全部工程”的等量关系列出分式方程，解方程并检验即可得出乙队单独完成所需天数； （2）设甲队施工 天，则乙队施工 天，根据“两队工作量之和不少于1”的条件确定 的取值范围，建立总支出 关于 的一次函数关系式，利用一次函数的增减性（时随增大而增大），确定当取最小值时总支出最少，从而得出最优施工安排及最少开支． 【详解】（1）解：甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的， 因此甲队单独完成这项工程需（天），甲队单独施工1天完成总工程的． 设乙队单独完成这项工程需x天，，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天． （2）解：设甲队单独施工t天，则乙队单独施工天． 根据题意得，解得． 设总支出为y元，则． 因为，所以y随t的增大而增大， 所以时，y最小，此时，（天）． 答：安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元． 73．丹寨县的苗绣蜡染入选贵州省第一批非物质文化遗产名录，某店选中A，B两款苗绣蜡染装饰品，进价和售价如下表： 类别 A 款 B款 进价（元/个） 70 68 售价（元/个） 80 75 (1)第一次该店用1520元购进了A，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，求这两款装饰品分别购进的数量． (2)第二次该店进货时，计划购进两款苗绣蜡染装饰品共36个，且A 款进货数量不超过B款进货数量的一半．应如何设计进货方案，才能使销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)购进A款苗族蜡染装饰品12个，购进B款苗族蜡染装饰品10个 (2)当购进A款苗族蜡染装饰品12个，B款苗族蜡染装饰品24个时，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润最大，最大利润为288元 【分析】（1）设购买A款苗族蜡染装饰品个，则购买B款苗族蜡染装饰品个，根据“该店用1520元购进了A，B两款苗绣蜡染装饰品共22个，”建立方程求解，即可解题； （2）设购进A款苗族蜡染装饰品个，则购进B款苗族蜡染装饰品个，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润为W元，根据“A款进货数量不超过B款进货数量的一半，”建立不等式求出的取值范围，再整理出利润的表达式，结合一次函数的增减性求解，即可解题． 【详解】（1）解：设购买A款苗族蜡染装饰品个，则购买B款苗族蜡染装饰品个， 根据题意得：， 解得，   ， 答：购进A款苗族蜡染装饰品12个，购进B款苗族蜡染装饰品10个； （2）解：设购进A款苗族蜡染装饰品个，则购进B款苗族蜡染装饰品个，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润为W元． A款进货数量不超过B款进货数量的一半， ，解得， ∴， ∵，   ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，， 答：当购进A款苗族蜡染装饰品12个，B款苗族蜡染装饰品24个时，销售完这批苗绣蜡染装饰品获得的利润最大，最大利润为288元． 74．金银花是河南传统特色经济作物，多地盛产优质金银花．已知加工前每千克鲜金银花的售价比加工后每千克干金银花的售价便宜80元，用1000元收购的鲜金银花的质量与用5000元收购的干金银花的质量相等． (1)求每千克鲜金银花的售价． (2)某医药公司计划本月购买鲜金银花与干金银花共300千克，且干金银花的质量不少于鲜金银花质量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)每千克鲜金银花的售价为20元． (2)最省钱的购买方案为购买250千克鲜金银花、50千克干金银花． 【分析】（1）设每千克鲜金银花的售价为元，则加工后每千克干金银花的售价为元，根据用1000元收购的鲜金银花的质量与用5000元收购的干金银花的质量相等列分式方程求解即可； （2）设购买鲜金银花千克，则购买干金银花千克．根据题意列不等式，求出的取值范围，设总费用为元，则．求出y取得最小值时的的值即可． 【详解】（1）解：设每千克鲜金银花的售价为元，则加工后每千克干金银花的售价为元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每千克鲜金银花的售价为20元． （2）解：设购买鲜金银花千克，则购买干金银花千克． 由题意，得，解得． 由（1），知每千克鲜金银花的售价为20元， ∴每千克干金银花的售价为100元． 设总费用为元，则． ，∴y随x的增大而减小． ∴当时，y取得最小值，此时． ∴最省钱的购买方案为购买250千克鲜金银花、50千克干金银花． 75．2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 【答案】(1)；当时，，当时， (2)当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 当时，， 当时， ， 当，即时，，即当充电度数度时，选择甲充电站更划算； 当，即时，，即当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可； 当，即时，，当充电度数度时，选择乙充电站更划算； 综上可知，当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：甲充电站的充电费用； 当时，， 当时，； （2）略 76．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 【答案】(1)（所得结果进一取整，） (2)元 (3) 【分析】（1）先固定起步价2元，再用超出时间除以10，按“进一取整”算超时次数，乘以1.5元，合理写出费用表达式并注明取整规则． （2）先算出超出15分钟的时长，除以10后按规则进一取整，算出超时费，再加起步价2元，得到总费用． （3）先减去起步价算出超时费，再算出超时费对应的取整后次数，反推超出时间的不等式，进而解出总骑行时间的范围． 【详解】（1）解：前15分钟固定收费2元， 超出15分钟的时间为分钟， 超时费每10分钟1.5元，不足10分钟按10分钟进一计费， 应付费用（对所得结果进一取整，）， （2） ， 超出时间：分钟， ，按规则进一取整为3， ； （3）解：， （对的结果进一取整）， （进一取整后）， 的值进一取整后为4， 即满足： ， ， ∴． 77．考古学家通过古人肱骨长度推测身高．某次考古发现商王朝南部“长”国的部落男性的身高y（单位：cm）与肱骨长度x（单位：cm）一次函数关系．根据考古数据，部分肱骨长度对应身高数据如表一： 表一 肱骨长度 28 30 32.5 35 36 身高 153.4 159 166 173 175.8 (1)求身高y关于肱骨长度x的函数解析式；（不要求写出自变量取值范围） (2)结合该部落古人骨骼数据，得到该部落成年男性肱骨长度的范围约为之间，试求该部落成年男性身高y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设身高y关于肱骨长度x的函数解析式为，然后根据待定系数法求解即可； （2）由题意可得当时，；当时，，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设身高y关于肱骨长度x的函数解析式为，由表格可把点代入得： ，解得：， ∴身高y关于肱骨长度x的函数解析式为； （2）解：由（1）可知：身高y关于肱骨长度x的函数解析式为； ∴当时，；当时，； ∵， ∴身高y随肱骨长度x的增大而增大， ∴当时，则． 78．为了更好地保护河流，污水处理厂决定先购买A，B两种类型的污水处理设备共20台．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型设备和2台B型设备每周共可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周共可以处理污水1080吨． (1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ (2)经预算，污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周的污水处理量不低于4500吨，共有几种购买方案？当购买A，B两种设备各多少台时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)已知污水处理厂与污水设备制造厂相距300km，一辆出租车从污水处理厂出发往返于污水处理厂与污水设备制造厂两地，一辆运送污水设备的货车沿同一条公路从污水设备制造厂前往污水处理厂，两车同时出发，出租车到达污水设备制造厂后休息了一段时间，然后按原路原速返回，结果出租车比货车早半小时到达污水处理厂．如图是两车距污水处理厂的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数关系图象． ①出租车的行驶速度是______，出租车到污水设备制造厂后休息的时间为______h； ②直接写出两车出发多长时间相距100． 【答案】(1)A种污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B种污水处理设备每周每台可以处理污水200吨 (2)购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台所需资金最少，最少资金为226万元 (3)①，1；②或或5h 【分析】（1）利用“处理污水总数A种污水处理设备处理的污水总数 B种污水处理设备处理的污水总数”列二元一次方程组求解； （2）根据“处理污水总数A种污水处理设备处理的污水总数 B种污水处理设备处理的污水总数”与“购买设备的总价购买A种污水处理设备的总价购买B种污水处理设备的总价”列不等式组求解即可； （3）根据函数图像，求出货车和出租车的速度，再根据两车相遇前相距，相遇后相距，以及出租车返回时追货车时相距三种情况分别求解． 【详解】（1）解：设A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水m吨和n吨． 根据题意，得解得 答：A种污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B种污水处理设备每周每台可以处理污水200吨． （2）解：设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备台． 根据题意，得解得． ∵a取整数， ∴，14，15； ∴共有3种购买方案． 设购买设备所需资金W万元，则 ∵， ∴W随a的增大而增大． ∴当时，W最小．最小值为（万元） 即购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台所需资金最少，最少资金为226万元． （3）解：①有图像知：出租车行驶使用了， 出租车的速度为； 出租车按原速返回， 返回使用时间为， 出租车来回共用时间， 休息时间为；   ②由图可知，货车行驶，行驶了， 货车速度为， 当两车相向行驶过程中相距，此时两车共行驶了， 此时时间为； 当出租车到达污水设备制造厂时，货车与污水设备制造厂的距离为， 出租车到达污水设备制造厂前，两车相距， 此时时间为； 当出租车开始从污水设备制造厂向污水处理厂行驶时，货车与污水设备制造厂的距离为，货车与出租车相距，追及距离为， 此时时间为； 综上所述，两车相距的时间为． 题型十七 一次函数与几何综合（共4小题） 79．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． (1)求点（用含的代数式表示）的坐标； (2)当的面积为时，求的值； (3)在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）分别把和代入一次函数中可求出点的坐标，把代入一次函数可求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式解答即可求解； （3）由（2）可得，，再根据等腰三角形的定义分三种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 令，得， 解得， ， 平移后的表达式为中，令，得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， ，， ， 的面积为， ∴； （3）解：由（2）知，，， ∴，， ， 当时，， 在中，由勾股定理得，， 点的坐标为或； 当时，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴点的坐标为或； 当时， ∵， ∴点不在轴上，此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或或或． 80．如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为． (1)的面积为，若，求的值； (2)若当时，直线上的点的纵坐标的值大于，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，在平面直角坐标系中由，解方程即可； （2）由点坐标，分两种情况：和，分别求出直线的解析式，由一次函数图象与性质，列不等式讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点坐标分别为， ， 点坐标分别为， 点到x 轴的距离为，则， ， ， 则 或， 解得或； （2）解：当 时，，由得直线为，直线上的点的纵坐标的值为任意实数，不能保证大于，不合题意，舍去； 当时，直线的解析式为， ①当，即或时，在上，随的增大而增大， ∴当时，，即， 若，则、， ，解得， 从而得到不等式无解； 若，则、， ，解得， 从而得到； ②当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，，即， 此时，、， ，解得， 从而得到； ③当，即时，； 综上所述，①；②；③； 的取值范围为． 81．如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①直角；②或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可；②根据求出长即可求解； 【详解】（1）解：∵当时， 解得， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或． 82．直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求D点坐标； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)点G的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法求出直线表达式为，然后和直线联立求解即可； （2）先求出点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，点得，， 解得， ∴直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； （2）解：如图， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，， ∴； 当点M在点E下方时，，此时点M位于y轴负半轴； ∴； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：如图，当点在y轴左边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 如图，当点在y轴右边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得，直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 综上所述，点G的坐标为或． 83．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点． (1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)3， (2) (3)或 【分析】（1）将交点的横坐标代入直线的解析式中求解出b，观察发现，二元一次方程组变形后正好是两条直线的解析式，则方程组的解即为两直线交点P的坐标； （2）令两直线解析式中的，求出点的坐标，进而求出线段的长度，最后利用三角形的面积公式即可求解； （3）将分别代入和的解析式，由轴可知，由此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由条件可得：， ， ∴方程组的解为， ∴方程组的解为； （2）对于直线， 令，则， 解得：， ∴， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ∴， ∴； （3）当时，，， ∵， ， 即， 解得：或． 题型十八 一次函数的新定义问题（共6小题） 84．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”：令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为__________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”． ①求出点和点的坐标． ②若点为轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)①，；②或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ②先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； （3）解：①∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴当时，；当时，， ∴，； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 85．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由“亮点”直接求解即可； （2）由“亮点”定义得到是方程组的解，从而得到关于，的方程组求解即可； （3）由题意先求出直线的表达式，作出图形，再由及三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组：，解得， 则的“亮点”为； （2）解：一次函数的“亮点”为， 是方程组的解， 则，解得； （3）解：当时，；当时，； 直线与轴交点，与轴交点， 直线上没有“亮点”， 一次函数与正比例函数没有交点， 即一次函数图象与正比例函数图象平行， ，即直线的表达式为， 直线与轴交点，与轴交点， 设，如图所示： ，， ， ，即， 则或， 解得或， 满足条件的点的坐标为或． 86．由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于，与轴交于点．如果点是直线上的一个动点，纵坐标为，，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围___________． 【答案】或 【分析】先根据已知作出图像，设、、分别与直线交于、、三点，结合凹四边形的定义及线段与不相交的条件，得出点的两种位置：位于、之间（不与端点重合）或位于下方；再用待定系数法分别求出直线、的解析式，代入计算出、两点的纵坐标（点在轴上，纵坐标为）；最后根据点的位置范围，直接得出的取值范围． 【详解】解：如图，设、、分别与直线交于、、三点， 四边形是凹四边形（线段与线段不相交），分两种情况讨论： ①点位于、G之间（不与、重合）， 设直线的解析式为，代入和得 ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴的取值范围为； ②点位于点下方， 设直线的解析式为，代入和得 ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴的取值范围为； 综上，的取值范围为或． 87．已知点，点，其中．一束光从点沿直线：发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； (2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，直接写出的取值范围 【答案】(1)①； ②不经过，理由如下： 根据光的反射定律，可知直线与直线关于直线对称， 点关于直线的对称点在射线上． 设射线的表达式为． 将，代入， 得解得 射线的表达式为． 当时，， 射线不经过点．； (2)或 【分析】（1）①根据待定系数法求出解析式即可； ②设射线的表达式为，根据待定系数法求出解析式，再把代入看是否成立即可； （2）根据题意得到线段上的整数点共9个，且点在和之间或在和之间，分别把，，，代入中求解，即可求出结果； 【详解】（1）解：①直线经过点，， 射线的表达式为． ②略 （2）解：时，点，点， 线段上的整数点有，，，，，，，，，共9个． 上的整数点被点分为个数之比为的两部分， 点在和之间或在和之间， 将代入，得， 将代入，得； 将代入，得， 将代入，得． 的取值范围为或； 88．在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【分析】（1）根据“极美菱形”的定义，验证的长度即可判断； （2）①先求出两点的中点坐标，再求的长度，最后由四边形的面积计算即可； ②由四边形的面积求出的长度，进而求出的坐标，代入直线，结合图象求解b的取值范围即可； ③由四边形的面积求出的长度，再求出的长度，可得为等边三角形，即可求较小内角的度数即可． 【详解】（1）解：点M的坐标为，点P的坐标为， 点在直线上， 点，，， ， ， ，， ，， 能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点． （2）解：①如图，四边形是点M，P的“极美菱形”，连接与交于， 四边形是菱形， ，为中点， 点M的坐标为，点P的坐标为，点N的坐标为， 的中点的坐标为，即， ，， 四边形的面积． ②如图： 当四边形的面积为15， 由①得，解得， ， ，且， 为等腰直角三角形，， 在直线上，直线平分第一、三象限， 与轴正方向的夹角为， 点在轴上， ， 点的坐标为，同理可得点坐标为， 将，代入，分别解得，， 如图，当四边形与直线有公共点时，b的取值范围为． ③如图： 当四边形的面积为， 由①得，解得， ， ， 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ，即该“极美菱形”中较小内角的度数为． 89．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的对消点． 已知，点． (1)在，，中，点的对消点有 ； (2)点在直线上，若点的对消点也是点的对消点，求点的坐标； (3)已知线段和正方形，其中，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，对于正方形边上的每一个点F，线段上总存在线段上每个点的对消点．若的最小值为4，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对消点的定义得出点的对消点满足，由此分析即可得出结果； （2）设，由对消点的定义并结合题意得出，，，从而可得，求出的值即可得出结果； （3）由对消点的定义得出，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数，画出图象，结合图象计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点， ∴根据对消点的定义可得，点的对消点满足，即， ∴满足条件，，不满足条件， ∴点的对消点是； （2）解：∵点在直线上， ∴设， ∵点的对消点也是点的对消点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由对消点定义可得：， ∴，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数， 如图： 由题意可得，对消点并不只有一个点，而是一条与平行的直线，且点和这条与平行的直线到的距离相等，即在的方向上，使点与正方形跨度的宽度为， ∴或， 解得或． $