2025-2026学年苏科版数学八年级下学期期末培优卷.

**基本信息** 以世界睡眠日调查、贵州科学城机器人出口等现实情境为载体，通过统计与概率、分式运算、平行四边形性质及动态几何问题，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配八年级下学期期末培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|统计概念（样本容量）、分式性质、正方形性质|结合社区投球比赛统计图考查频率稳定性（数学眼光）| |填空题|6/18|频率计算、平行四边形中点性质、等腰三角形周长|以折线统计图求气温频率，体现数据意识| |解答题|8/72|因式分解、分式化简求值、统计图表分析、几何综合|机器人出口问题融合分式方程与方案设计（应用意识），动态几何（动点P、Q）考查推理能力与空间观念|

2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了解某校名初三学生的睡眠时间，从13个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（     ） A．名学生是总体 B．13个班级是抽取的一个样本 C．50是样本容量 D．每名学生是个体 【答案】C 【分析】本题考查对象是学生的睡眠时间，而非学生本身，再根据四个概念的定义逐一判断选项． 【详解】解：∵ 本题考查的对象是某校名初三学生的睡眠时间， ∴ 总体是800名初三学生的睡眠时间，A错误； 抽取的50名学生的睡眠时间是总体的一个样本，不是13个班级，B错误； 样本容量是样本中个体的数目，因此50是样本容量，C正确； 个体是每名学生的睡眠时间，不是每名学生，D错误． 2．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C 【分析】本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由图可知，击中率在上下波动，故可估计击中的频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8，可判断A选项正确，B选项正确,利用击中概率乘以投球次数即可求得投球击中次数，可判断C选项，利用概率的意义，可判断D选项． 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 3．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 4．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【答案】D 【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 5．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（） A．且B． C． D． 【答案】A 【分析】方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，得到，根据分式方程的解为正数，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴当时，且， ∴， 解得且． 6．若实数满足，化简的结果是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式的性质确定的取值范围，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，合并得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质得 ， ， ， 由绝对值的性质可得，即， ， ，， ， ， ． 7．如图，在正方形中，为的中点，点在上，过点作于点，若，则（   ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质和中点定义求出正方形边长及的长，连接、，利用证明得出，在和中利用勾股定理求出的长，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】：四边形是正方形，为的中点，， ，，， ， ， 连接、，   ， ， 在和中 ， ， 在中，， 在中，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ． 8．如图，在中，对角线与相交于点，于点，于点，则下列选项中，不是全等三角形的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】由题意，可得，再根据平行四边形的性质可得，，，，，，利用全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由题意，可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， 在和中，， ∴，故选项不符合题意； 在和中，， ∴，故选项不符合题意； 在和中，， ∴，故选项不符合题意； 在和中，只有一条公共边能确定相等，故不能判定和全等，故选项符合题意． 9．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 【答案】C 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】解：过点作于点E，于点，    根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理： ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长是． 10．如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据矩形的性质和梯形的性质利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， 则， ， ， 则， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 的面积可以确定， 故选：D． 【点睛】此题考查梯形，解题的关键是根据矩形的性质得出解答． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图是某地2020年5月1～10日每天最高温度的折线统计图，由此图可知该地这10天中，出现气温为26℃的频率是 _____． 【答案】0.3 【分析】由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次，再根据频率的概念求解即可． 【详解】解：由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次， 所以出现气温为26℃的频率是3÷10＝0.3， 故答案为：0.3． 【点睛】本题主要考查频数（率）分布折线图，解题的关键是掌握频率的概念，根据折线图得出解题所需的数据． 12．如图，的对角线、相交于点O，点E、F分别是、的中点．若，则的长为_______． 【答案】2 【分析】先根据平行四边形的性质得，再由已知得是的中位线，则． 【详解】解：∵的对角线、相交于点O，， ∴， ∵点E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 13．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 14．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 15．已知，则______；______． 【答案】 【分析】先对等式右边通分，再根据分式相等时分母相同则分子相等，对应系数相等列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 解得． 16．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用方程思想将线段设出来，再将表示出来，利用勾股定理和两个直角三角形有公共边求出设的未知数的值，再将值代入到直角三角形中求解． 【详解】解：∵, ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 将代入中， 解得． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．因式分解： (1) (2) (3)（用十字相乘法）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据提公因式法和公式法解题即可； （2）根据公式法解题即可； （3）根据十字相乘法解题即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 19．为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“文学欣赏”“球类运动”“动漫制作”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)求m的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“动漫制作”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ (3)若该校共有3000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数． 【答案】(1)，补全条形统计图如图： (2) (3)估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数为1200人 【分析】（1）用“文学欣赏”的人数除以百分比求出总数，用“其他”的人数除以总数乘以可知m的值；求出“球类运动”的学生数，补全条形统计图即可； （2）用“动漫制作”的比例乘以即可． （3）用3000乘以“球类运动”的比例即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为：（人）， ， 即 “球类运动”的学生数为：（人）， 条形统计图略； （2）解：； （3）解：（人）， 答：估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数为1200人． 20．2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． (1)求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ (2)企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 【答案】(1)无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元 (2)所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大 【分析】（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是万元，根据“60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶小巴台，根据“小巴的数量不超过配送机器人数量的一半”及“每种至少1台”列出不等式组，求出m的取值范围，得出配送方案，并求出每一种方案的利润，得出最大值． 【详解】（1）解：设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是万元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 此时， 答：无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元； （2）解：设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶小巴台，根据题意得 ，解得， ∵m为整数， ∴或5， 方案1：配送机器人4台，无人驾驶小巴2台， 总利润：（万元）； 方案2：配送机器人5台，无人驾驶小巴1台， 总利润：（万元）； ∴方案2的利润最大，最大为11万元． 答：所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大． 21．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过A，C两点作，，垂足分别为M，N，且分别交，于点G，H． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长及的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11.5 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得，，得，再根据平行四边形的性质证明即可； （2）由（1）中结果得出，根据平行四边形的性质得，即可解答；根据平行四边形的性质得，，即可解答． 【详解】（1）证明：，， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，． ， ； O为，的中点， ，， 的周长为． 22．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 23．已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K，则， ∴， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 24．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了解某校名初三学生的睡眠时间，从13个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（     ） A．名学生是总体 B．13个班级是抽取的一个样本 C．50是样本容量 D．每名学生是个体 2．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 3．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 4．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 5．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是（） A．且B． C． D． 6．若实数满足，化简的结果是（     ） A． B． C．1 D． 7．如图，在正方形中，为的中点，点在上，过点作于点，若，则（   ）    A．2 B．1 C． D． 8．如图，在中，对角线与相交于点，于点，于点，则下列选项中，不是全等三角形的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 10．如图，在中，点是线段上一点，于点，四边形为矩形，若，的面积为，矩形的面积为，则下列图形中面积可以确定的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C．梯形的面积 D．的面积 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图是某地2020年5月1～10日每天最高温度的折线统计图，由此图可知该地这10天中，出现气温为26℃的频率是 _____． 12．如图，的对角线、相交于点O，点E、F分别是、的中点．若，则的长为_______． 13．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 14．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 15．已知，则______；______． 16．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．因式分解： (1) (2) (3)（用十字相乘法）． 18．先化简，再求值：，其中． 19．为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“文学欣赏”“球类运动”“动漫制作”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况（每个学生必须选一项且只能选一项），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)求m的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“动漫制作”选项所对应的扇形圆心角的大小为多少？ (3)若该校共有3000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“球类运动”的学生人数． 20．2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． (1)求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ (2)企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 21．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过A，C两点作，，垂足分别为M，N，且分别交，于点G，H． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长及的周长． 22．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 23．已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 24．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $