衔接点04 几何图形（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

衔接点04 几何图形 小学视角 初中展望 小学阶段主要通过直观感知认识图形，学习长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的周长和面积计算，以及长方体、正方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。侧重于计算能力和图形的拼组与分割。核心数学素养是空间观念和几何直观。 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 从“看形状”到“析性质”：小学关注图形“像什么”、“怎么算面积”；初中关注图形“有什么特征”（如角的关系、边的关系），并开始探究“为什么”（定理的证明）。 从“静态计算”到“动态变换”：小学主要是静止图形的计算；初中大量引入平移、旋转、轴对称（三大变换），研究图形运动过程中的不变量（如旋转前后对应边相等）。 符号语言的引入：小学多用文字描述（如“角A”）；初中开始规范使用几何符号语言（如  ），这是进行逻辑推理的基础工具。 考点阐释 1、线与角的基础 线段：中点定义，线段的和差倍分计算 2、角：角平分线定义，余角与补角的性质（同角或等角的余角/补角相等），方向角的概念。 平面图形的性质深化 3、三角形：内角和定理（180°），外角性质（外角等于不相邻两内角和），三边关系（两边之和大于第三边）。 4、平行线：判定与性质的互逆（同位角相等 ⇔⇔ 两直线平行）。这是初中几何推理的基石。 立体图形的视图与展开 5、三视图：主视图、左视图、俯视图的识别与绘制（长对正、高平齐、宽相等）。 6、展开图：正方体的11种展开图，圆柱、圆锥侧面展开图（矩形、扇形）与表面积计算的联系。 方法总结 方程法解几何：当几何图形中存在倍数、比例关系时，设未知数列方程求解角度或边长（数形结合）。 割补法：求不规则图形面积时，将其分割成规则图形或补成规则图形计算。 项目闯关·题型对点练 题型1 平面图形的认识 【答题技巧】理清概念间的包含与并列关系。如正方形属于长方形，整数包含0；分类需标准统一，避免逻辑错误。 1．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）小学阶段我们学了很多数学知识，它们之间有着密切的联系。下面表示的关系中正确的是（    ）。 A．整数 B． C． D． 【答案】B 【分析】A．整数分为正整数、0、负整数。 B．正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。 C．三角形按边分等腰、不等边三角形；按角分锐角、直角、钝角三角形。 D．正比例、反比例是两种并列的比例关系。 【详解】A．整数分为正整数、0、负整数，图里缺少0，分类不全，错误。 B．正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，三者是层层包含关系，正确。 C．等腰三角形按边分类，直角、钝角三角形按角分类，分类标准不同，不能并列分成三块，错误。 D．正比例关系和反比例关系是两种并列的比例关系，不存在谁包含谁，错误。 2．（2024·浙江温州·小升初真题）小学阶段学了很多有密切联系的知识，如图中的M、N可能是（    ）。 ①M是平行四边形，N是长方形。 ②M是分数，N是真分数。 ③M是等腰三角形，N是等边三角形。 ④M是奇数，N是质数。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①② 【答案】A 【分析】①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。 ②把整体平均分为若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示；分子比分母小的分数叫真分数。 ③等腰三角形：有两条边相等的三角形。等边三角形：三条边都相等的三角形。 ④整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】①根据长方形是特殊的平行四边形，可知M是平行四边形，N是长方形说法正确。 ②根据分数分为真分数和假分数，所以M是分数，N是真分数说法正确。 ③根据等边三角形是特殊的等腰三角形，所以M是等腰三角形，N是等边三角形说法正确。 ④1是奇数，但不是质数，9、25是奇数，但9、25是合数，所以M是奇数，N是质数的说法错误。 图中的M、N可能是①②③。 故答案为：A 3．（2025·山东青岛·小升初模拟）下面各图表示的关系正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】1既不是质数也不是合数，所以非零自然数按因数的个数可分为1、质数、合数。 等腰三角形是指至少有两边相等的三角形；等边三角形是指三边都相等的三角形。 四边形是由四条线段围成的封闭图形；平行四边形是两组对边分别平行的四边形；长方形是四个角都是直角的平行四边形；正方形是四条边都相等的特殊长方形；梯形是只有一组对边平行的四边形。 据此分析各选项，进而得出正确答案。 【详解】A．非零自然数按因数的个数可分为1、质数、合数。而关系图中没有包含1，所以选项A错误。 B．等边三角形是特殊的等腰三角形，应该是等腰三角形包含等边三角形，而关系图中是等边三角形包含等腰三角形，关系错误，所以选项B错误。 C．四边形包含平行四边形和梯形，平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，该关系图的关系是正确的，所以选项C正确。 表示的关系正确的是。 故答案为：C 4．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，用18个等边三角形组成一个大平行四边形，这个大平行四边形内部及边上共有16个交叉点，以这些交叉点为顶点，可以连成______个等边三角形。 【答案】28 【分析】 等边三角形三边相等，可以观察图中，最小的三角形是等边三角形，那么有18个小三角形，稍微大一点的等边三角形（边是小三角形的2倍）有8个，如图所示：；最大的三角形（边长是最小三角形的3倍）有2个，如图所示：，把这三种相加即可。 【详解】由分析可知： 18＋8＋2＝28（个） 5．（2025·湖北武汉·小升初真题）将下面的正方体切成体积和形状完全相同的两部分，切面的形状可以是______。（填序号） ①三角形；②四边形：③五边形；④六边形 【答案】②④/④② 【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形，又因为截面为五边形时不过正方体的中心，则题目左图切面是四边形。过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心的截面的形状为正六边形，则题目右图切面是六边形。 题型2 直线、射线、线段的认识 【答题技巧】掌握端点数量与延伸性特征。利用中点性质计算线段长，注意“延长”方向，结合数形结合思想求解。 6．（2025·上海闵行·小升初真题）已知线段AB，延长BA到C，使，D为AC中点，且CD＝2，那么线段AB的长为（    ）。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据题目， 是 的中点，且 ，因此 。给定 ，点顺序为 --，因此 。由以上条件解答。 【详解】因为AC＝BC 所以AC＝AB 又D为AC中点 所以CD＝AC，即AC＝2CD 所以2CD＝AB 即AB＝4CD 而CD＝2 所以AB＝4×2＝8 线段AB的长为8。 故答案为：C 7．（2025·广东湛江·小升初真题）线段有( )个端点，射线有( )个端点（填“1”或“2”）。 【答案】 2 1 【分析】本题考查线段和射线的定义。线段是直线上两点之间的部分，因此有2个端点；射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分，因此有1个端点。 【详解】线段有2个端点，射线有1个端点。 8．（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，C是线段AB的一点，D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之和是23厘米，线段AC的长度与线段CB的长度都是整数，则线段AC的长度为( )厘米。 【答案】3 【分析】根据线段有2个端点，从A点开始，可以确定有AC、AD、AB、CD、CB、DB，共6条线段，因为D是线段CB的中点，因此CD＝DB、CB＝2CD，假设CD＝DB＝x，AC＝y，根据所有线段的长度之和是23厘米，可以列出方程y＋（x＋y）＋（2x＋y）＋x＋2x＋x＝23，将左边合并后是7x＋3y＝23，又因为线段AC的长度与线段CB的长度都是整数，分别确定x和y的值，找到符合题意的情况即可。 【详解】根据题意，可得AC＋AD＋AB＋CD＋CB＋DB＝23 假设CD＝DB＝x，AC＝y 可以写出方程：y＋（x＋y）＋（2x＋y）＋x＋2x＋x＝23 解：y＋x＋y＋2x＋y＋x＋2x＋x＝23 化简得：7x＋3y＝23 因为线段AC的长度与线段CB的长度都是整数，x最大为3 当x＝3时 7×3＋3y＝23 解：21＋3y＝23 21＋3y－21＝23－21 3y＝2 3y÷3＝2÷3 y＝ y不是整数，不符合； 当x＝2时 7×2＋3y＝23 解：14＋3y＝23 14＋3y－14＝23－14 3y＝9 3y÷3＝9÷3 y＝3 符合题意； 当x＝1时 7×1＋3y＝23 7＋3y－7＝23－7 3y＝16 3y÷3＝16÷3 y＝ y不是整数，不符合。 线段AC的长度为3厘米。 【点睛】关键是熟悉线段的特点，确定所有的线段，根据线段之间的长度关系，列出方程并化简，从而逐步试出线段AC的长度。 题型3 钟面角的计算问题 【答题技巧】熟记大格30°、小格6°及分针时针速度差。利用公式或相对位置计算夹角，注意整点与半点时的特殊角度。 9．（2026·四川绵阳·小升初真题）钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（    ）。 A．187.5° B．165.5° C．145.5° D．172.5° 【答案】D 【分析】钟面一圈为360°，共被分成12个大格，用除法可求出每个大格为30°，时针每12小时走一圈，即720分钟走360°，分针每60分钟走一圈，由此可计算出时针和分针每分钟走的度数，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角。 【详解】每个大格的角度为：360°÷12＝30° 时针每分钟走的角度为： 12×60＝720（分钟） 360°÷720＝0.5° 分针每分钟走的角度为：360°÷60＝6° 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟，时针每分钟走0.5°，所以时针从9点开始又走了：15×0.5＝7.5° 分针15分钟走的度数为：15×6°＝90° 9点时，时针与分针的夹角为：9×30°＝270° 15分钟后，时针又走了7.5°，分针走了90°，所以此时时针与分针的夹角为： 270°＋7.5°－90° ＝277.5°－90° ＝187.5° 最小夹角为：360°－187.5°＝172.5° 10．（2025·四川成都·小升初真题）钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度。 【答案】52.5 【分析】钟面一圈360°，12大格，每大格30°；分针每分钟走6°，时针每小时走30°、每分钟走0.5°；45分时分针正对9刻度，求出分针对应的角度；10点时，时针指向10，对应角度是10×30°，时针从10向11走了45分钟，可求出时针额外走了45×0.5°，求出的两个角度相加就是时针总角度，最后用时针的角度减去分针的角度就是时针与分针的夹角。 【详解】分针：45×6°＝270° 时针：10×30°＋45×0.5° ＝300°＋22.5° ＝322.5° 夹角：322.5°－270°＝52.5° 所以，此时时针与分针的夹角是52.5°。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）现在是北京时间上午9点，再过____分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【答案】 【分析】时针12小时走了360度，则平均每小时走30度，即60分钟走了30度，即每分钟走30÷60＝0.5（度），分针走一圈也就是60分钟走360度，即每分钟走360÷60＝6（度）。 设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等，分针这时候走了6x度，则与“6”的夹角是（180－6x）度。当上午9点时，时针和“6”的夹角是90度，则时针x分钟后与“6”的夹角是（90＋0.5x）度。根据两个夹角相等得出方程，解方程即可。 【详解】解：设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等。 180－6x＝90＋0.5x 6x＋0.5x＝180－90 6.5x＝90 x＝90÷6.5 x＝ 现在是北京时间上午9点，再过分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【点睛】本题考查钟表问题，关键是明确时针和分针每分钟走的度数，再列方程解答。 12．（2025·河北石家庄·小升初真题）3：30时，钟面上时针和分针组成的角是( )角；( )时整或( )时整，时针和分针的夹角是直角。 【答案】 锐 3 9 【分析】3：30时，分针指向6，时针指向3和4的中间，时针和分针组成的角比直角小，是锐角；分针指向12，时针指向3或9时，时针和分针的夹角是直角。 【详解】3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角。 13．（2025·重庆江北·小升初真题）张强晚上六时多离家锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110°；到家时发现还未到七时，且时针与分针的夹角仍是110°。则张强外出锻炼了( )分钟。 【答案】40 【分析】钟面一圈为360°，分针每分钟转360÷60＝6°；时针每小时转360÷12＝30°，即每分钟转30÷60＝0.5°。张强离家和回家均在“六时多到七时之间”，离家时分针在时针后方（夹角110°），回家时分针在时针前方（夹角仍110°），因此分针比时针多转的角度为“两个110°”，即110×2＝220°。分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，则每分钟分针比时针多转：6－0.5＝5.5°，然后用220°除以5.5°即可得出外出锻炼用的时间。 【详解】360÷60＝6° 360÷12÷60＝0.5° 110×2＝220° 220÷5.5＝40（分钟） 张强外出锻炼身体用了40分钟。 题型4 平行线与相交线 【答题技巧】理解平行线定义及垂线段最短原理。测量距离作垂线，判断平行需满足“同一平面内不相交”，排除干扰项。 14．（2024·重庆石柱·小升初真题）如图是小伟跳远时留下的脚印。如果你是裁判员，该怎样测量他的成绩？请在图中画出待测量的线段。 【答案】 【分析】测量跳远成绩的依据是垂线段最短，即测量后脚印与起跳线间的垂直距离即为跳远成绩。 【详解】略 15．（2025·安徽合肥·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 A．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 B．国际儿童节和我国的国庆节都在小月 C．如果一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，那么它是一个钝角三角形 【答案】A 【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，即可判断； 一年中1、3、5、7、8、10、12是大月，大月有31天，再知道儿童节和国庆节在哪个月，即可得解； 根据三角形内角和是180°，按比例分配求出最大角的度数，即可判断； 【详解】A．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，选项正确； B．国际儿童节是6月1日，国庆节是10月1日，6月是小月，10月是大月，选项错误； C．180°×＝90°，最大角为直角，故非钝角三角形，选项错误。 16．（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】①最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，0既不是正数也不是负数，以此判断正误。 ②在同一个平面内，两条直线不是相交就是平行，以此判断正误。 ③若a＋1＝b（a、b为自然数），则a与b互质，互为质数的两个数最大公因数为1，最小公倍数为ab，以此判断正误。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，以此判断正误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的，以此判断正误。 【详解】①最大的负整数是﹣1，①正确。 ②同一平面内，两条直线不是相交就是平行，②错误。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），a与b互质，所以它们的最小公倍数是ab，③正确。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，④错误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的（因为太阳光线的角度是固定的），⑤错误。 描述错误的有3个。 故答案为：B 17．（2025·浙江宁波·小升初真题）下面各句描述中，你认为正确的是（    ）。 A．甲比乙多，也就是甲是乙的 B．同一平面内两条直线的位置关系分为垂直和平行两类 C．同一款商品“买2送1”和“打对折”的优惠力度一样 D．正方体的体积和表面积成正比例关系 【答案】A 【分析】A．甲比乙多，把乙看作单位“1”，则甲为，再根据：求一个数是另一个数的几分之几用除法，列式：求出甲是乙的几分之几判断即可。 B．同一平面内两条直线的位置关系分为相交和平行两类，垂直只是相交的一种特殊情况，据此判断即可； C．“买2送1”含义：花2件的价钱购买到3件商品，在每件商品是原价的2÷3×100%≈0.67×100%＝67%，“打对折”的含义是按照原价的50%出售。 D．正比例：两种相关联的量，比值一定，则这两个量成正比例关系。正方体的体积，正方体的表面积，则∶＝∶＝∶6＝，其中a是变量，则不是定值，进而做出判断。 【详解】A．甲比乙多，也就是甲是乙的，说法正确； B．同一平面内两条直线的位置关系分为相交和平行两类，原说法错误； C．同一款商品“买2送1”相当于打“六七折”，和“打对折”的优惠力度不一样，原说法错误； D．正方体的体积和它表面积的比值是一个变量，所以正方体的体积和表面积不成正比例关系，原说法错误。 故答案为：A 18．（2024·江苏无锡·小升初真题）为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】小希为尽快穿越斑马线，选择沿垂直马路的方向走，这里把马路边缘看作直线，行人位置是直线外一点，垂直马路走的路径就是“垂直线段”，对应数学中 “点到直线的垂直路径”，进而具体分析。 【详解】A．“两点确定一条直线”，强调的是通过两点可以确定一条唯一的直线，而在穿越斑马线的情境中，重点不是确定直线，而是怎样走距离最短，所以该选项不符合； B．“两点之间线段最短”，是指在平面上，连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，但此情境中，是从直线（马路边缘可看作直线 ）外一点（行人所在位置 ）到直线（马路对面对应点 ）的最短路径问题，并非单纯的两点之间，所以该选项不符合； C．把马路的一边看作一条直线，行人所在位置是直线外一点，沿垂直马路的方向走过斑马线，对应的线段就是过直线外一点到这条直线的垂直线段。根据 “过直线外一点到这条直线的垂直线段最短”，这样走的距离最短，能尽快穿越斑马线，该选项符合； D．“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，强调的是垂直直线的唯一性，比如过平面内一点作已知直线的垂线，只能作一条，而在穿越斑马线情境中，需要的是最短距离的依据，不是垂直直线的唯一性，所以该选项不符合。 故答案为：C 19．（2025·陕西西安·小升初真题）如图，已知L1平行于L2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在L1，L2上，当时，( )°。 【答案】65 【分析】步骤1：明确等腰直角三角形的角：等腰直角三角形中，除了直角，另外两个角和都是（因为等腰，所以两个底角相等；又因为三角形内角和，所以。 步骤2：看和三角形的角的关系：想象把和“拼”在一起，因为与平行，所以从到的“倾斜程度”是一致的。上下两个角相等都是70°，，那这两个角加起来的大角是。 步骤3：求：因为是一条直线（平角），所以和刚才的“大角”加起来是，因此。 【详解】 ＝90÷2 ＝45° 如图，已知平行于，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在，上，当时，。 【点睛】解题关键是结合等腰直角三角形的角的特征（底角），利用平行线对应的“平角背景”，通过角的和差关系求出的度数。 20．（2025·广东湛江·小升初真题）过图中的点A画直线BC的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可； 把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】如图： 21．（2025·陕西西安·小升初真题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，可以用圆规或三角尺找到符合条件的P点，用P1，P2，P3，…标出位置。 【答案】 【分析】画AB的垂直平分线（经过线段AB的中点，并且垂直于这条线段的直线）交AC一点P1，交直线BC于点P2（此时PA＝PB）； 以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有两点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）； 以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有两点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）。据此依次标出P1，P2，P3，P4，P5，P6的位置。 【详解】略 【点睛】根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论（PA＝PB、AB＝AP、BP＝BA），结合直线BC和AC的位置，利用圆规（以顶点为圆心、腰长为半径画圆找交点）或三角尺（作垂直平分线找中点），全面找出符合条件的点P，确保不遗漏不同的等腰情况。 22．（2024·河南郑州·小升初真题）如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上； （1）写出图1中面积相等的各对三角形： ； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等； （3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积。 【答案】（1）△ACB和△APB，△ACO和△OPB，△ACP和△CPB （2）△APB （3）见解析 【分析】（1）根据等底等高的三角形的面积相等，同时，当△ACB和△APB等底等高面积相等时，同时减去△AOB，得到的面积依然相等，即可作答； （2）结合等底等高的三角形的面积相等即可作答； （3）连接EC，过点D做DM∥EC交BC的延长线于点M，连接EM。根据等底等高的三角形的面积相等，△EDC的面积＝△MEC的面积，进而得出四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积。 【详解】由分析可知：（1）写出图1中面积相等的各对三角形：△ACB和△APB，△ACO和△OPB，△ACP和△CPB； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有△APB与△ABC的面积相等； （3） 【点评】本题考查了等底等高的三角形的面积相等。 题型5 与三角形的有关的角度计算 【答题技巧】牢记内角和180°及外角性质。利用三角尺特殊角（30°、45°等）进行加减组合，灵活求解未知角度。 23．（2025·福建宁德·小升初真题）利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（    ）。 A．15° B．65° C．105° D．150° 【答案】B 【分析】根据一副三角尺包含一个30°、60°、90°三角板和一个45°、45°、90°三角板，可用角度为30°、60°、90°与45°、90°进行拼接重叠。拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度。通过计算，选项A的15°可由45°减30°得到；选项B的65°无法由这些角度的和或差组合得出，因此不符合。选项C的105°可由60°加45°得到；选项D的150°可由60°加90°得到。 【详解】一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）： 加法：30°＋45°＝75°，30°＋60°＝90°，30°＋90°＝120°，45°＋60°＝105°，45°＋90°＝135°，60°＋90°＝150°。 减法：45°－30°＝15°，60°－45°＝15°（结果为正且有效）。 A．15°可由45°－30°得到，符合； B．65°无法由30°、45°、60°、90°中任意两个角度的和或差得到（例如：65°－30°＝35°不在可用角度中，65°－45°＝20°不在可用角度中），因此不符合。 C．105°可由60°＋45°得到，符合； D．150°可由60°＋90°得到，符合； 故答案为：B 24．（2025·河南开封·小升初真题）一个三角形的最小的内角是46°，那么这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】A 【分析】已知三角形最小内角是46°，则另外两个内角都不小于46°。根据三角形内角和为180°，最大内角的最大值为：180°－46°－46°＝88°，因为最大内角88°＜90°，所以这个三角形的三个内角都是锐角，属于锐角三角形。 【详解】三角形内角和为180°。 最大内角：180°－46°－46°＝88° 88°＜90° 所以这个三角形的三个内角都是锐角，属于锐角三角形。 故答案为：A 25．（2025·四川成都·小升初真题）一个等腰三角形的顶角度数是一个底角度数的，那么这个等腰三角形的一个底角的度数是（    ）。 A．50° B．65° C．130° D．55° 【答案】B 【分析】根据题意，一个底角的度数是单位“1”，将等腰三角形的一个底角度数看成1，顶角度数是其，这样可表示出三个角的度数比。再将内角和180°除以总份数求出1份的度数，再乘底角的份数即可。 【详解】等腰三角形三个角度数的比为∶1∶1＝10∶13∶13 180÷（10＋13＋13）×13 ＝180÷36×13 ＝5×13 ＝65° 一个底角的度数是65°。 26．（2024·福建泉州·小升初真题）将直角三角形纸片按照如图所示的方式折叠，那么∠a的度数是（    ）°。 A．30 B．45 C．60 D．70 【答案】C 【分析】 标注如上图，先根据三角形内角和是180°，求出∠1的度数；再根据平角的定义，平角是180°，求出∠2的度数；再根据四边形的内角和是360°，求出∠a的度数即可。 【详解】如图： ∠1＝180°－90°－60°＝30° ∠2＝180°－30°＝150° ∠a＝360°－150°－60°－90°＝60° 故答案为：C 27．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将三角形的边延长到点，已知，，那么( )°。 【答案】50 【分析】 观察上图可知，∠4等于180°减去∠3，∠2等于180°减去∠1和∠4的度数，据此即可解答。 【详解】∠4＝180°－∠3 ＝180°－110° ＝70° ∠2＝180°－∠1－∠4 ＝180°－60°－70° ＝120°－70° ＝50° 28．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 【答案】 45 锐角 等边 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠C＝60°，AB＝BC，等腰三角形的两个底角相等，所以∠C＝∠A＝60°，三角形的另一个角就是180°减去60°，再减去60°等于60°；三个角均小于90°的三角形是锐角三角形；用180°减去75°和60°得到∠1的度数，等边三角形的三条边相等，三个角也相等。 【详解】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° ∠1＝180°－60°－75° ＝120°－75° ＝45° ∠1＝45°，三角形ABC按角分是锐角三角形，按边分是等边三角形。 29．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，是一个直角三角形，已知，那么__________。 【答案】60°/60度 【分析】根据图可知，∠1＋∠3＝180°，用180°－∠3＝∠1；三角形内角和是180°，用180°－∠B－∠1，即可求出∠2。 【详解】180°－150°＝30° 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° △ABC是一个直角三角形，已知∠3＝150°，那么∠2＝60°。 30．（2025·上海闵行·小升初真题）如图，已知∠α、∠β。 （1）尺规作∠AOC，使∠AOC＝∠α－∠β，且∠AOB＝∠α，∠BOC＝∠β；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图中，尺规作∠AOC的平分线OD；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（1）（2）的前提下，如果∠α＝120°、∠β＝60°，那么图中与∠BOC互余的角有（    ）；与∠AOB互补的角有（    ）。 【答案】（1）（2）见详解 （3）∠COD、∠AOD；∠AOC、∠BOC 【分析】（1）以O为顶点画射线OA，再用圆规在∠α上量取弧长，确定点B的位置，作∠AOB＝∠α，再以点O为圆心，相同半径在OA上截取一点，再在∠β上量取弧长，确定点C的位置，作∠BOC＝∠β，此时∠AOC＝∠α－∠β； （2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA和OC于两点，再以这两个点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过O点和这个点作射线OD，则OD为∠AOC的平分线； （3）互余角是指两角角度和为90度，这两个角叫互为余角，据此找出；互补角是指两角角度和为180度，这两个角叫互为补角，根据图形中角的度数特点即可找出。 【详解】（1）如图： （2）如图： （3）120°－60°＝60° 60°÷2＝30° ∠COD＝30°，∠AOD＝30° 图中与∠BOC互余的角有∠COD，∠AOD； ∠BOC＝60° ∠AOC＝120°－60° ＝60° 与∠AOB互补的角有∠AOC，∠BOC。 【点睛】本题主要涉及角的作图、角的平分线作图以及角的余角和补角的概念。根据角的度数判断互余和互补的角。 题型6 三角形的边长和面积的计算问题 【答题技巧】运用“两边之和大于第三边”筛选边长。计算面积时找准底高对应关系，利用割补法或网格法求不规则图形面积。 31．（2025·安徽合肥·小升初真题）有5根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条拼成一个三角形，一共可以拼成（    ）个三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。据此解答。 【详解】根据三角形三边关系，从1、2、3、4、5中选3根木条，枚举如下： 1，2，3：1＋2＝3，不大于3，不能； 1，2，4：1＋2＜4，不能； 1，2，5：1＋2＜5，不能； 1，3，4：1＋3＝4，不大于4，不能； 1，3，5：1＋3＜5，不能； 1，4，5：1＋4＝5，不大于5，不能； 2，3，4：2＋3＞4，能； 2，3，5：2＋3＝5，不大于5，不能； 2，4，5：2＋4＞5，能； 3，4，5：3＋4＞5，能。 所以能拼成3个三角形。 32．（2025·四川成都·小升初真题）如图，E是梯形ABCD下底BC的中点，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等，找到与阴影部分具有等底等高的三角形即可判断。 【详解】因为E是底BC的中点，所以BE＝CE，四边形ABCD是梯形，所以AD平行于BC，所以AD与BC间的距离都相等，所以三角形ABE、三角形ACE、三角形DBE和三角形DEC等底等高，所以三角形ABE、三角形ACE、三角形DBE和阴影部分的面积相等，一共有3个。 33．（2026·江苏淮安·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．52 B．54 C．60 D．58 【答案】B 【分析】原三角形的面积看成1，那么重叠部分的面积为1－，阴影部分的面积为原三角形的面积减去2倍的重叠部分面积，根据数量÷对应占比＝总量，求出原三角形的面积。 【详解】原三角形的面积看成1 1－ 30÷ ＝30÷ ＝30× ＝54（平方厘米） 【点睛】求出重叠部分占原三角形面积的占比为解题关键。 34．（2025·江西吉安·小升初真题）一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是( )cm。 【答案】 2.4 【分析】因为斜边最长，为5cm，所以直角边分别为3cm、4cm，三角形面积公式：底×高÷2，以此求出三角形面积。再用三角形面积×2÷斜边，求出斜边上的高。 【详解】3×4÷2＝6（cm2） 6×2÷5＝2.4（cm） 题型7 平行四边形的有关计算 【答题技巧】掌握等底等高面积相等原理。利用割补法将复杂图形转化为规则图形，通过数格子或比例关系求解面积。 35．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）下图中每个小等边三角形的面积为1平方米，则三角形ABC的面积是（    ）。 A．9平方米 B．10平方米 C．10.5平方米 D．11平方米 【答案】B 【分析】 根据题意将三角形分解成四部分，如图，则图中的三角形ACD是它对应的平行四边形面积的一半是3平方米，三角形ABF的面积是2平方米，三角形CBE的面积是4平方米，中间三角形DEF的面积是1平方米，最后把四部分的面积相加，即可解答。 【详解】由分析可得 3＋2＋4＋1 ＝5＋4＋1 ＝9＋1 ＝10（平方米） 所以三角形ABC的面积是10平方米。 36．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，A、B分别是平行四边形两邻边的中点，则阴影部分图形的面积是平行四边形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平行四边形的底和高均为2，根据平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形的面积； 由于A、B为对应边的中点，左上角空白三角形底1、高2；右上角空白三角形底1、高1；右下角空白三角形底2、高1；根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出三个空白三角形的面积，再相加，即是空白三角形的面积之和； 用平行四边形的面积减去空白三角形的面积之和，求出阴影部分的面积；然后用阴影部分的面积除以平行四边形的面积，求出阴影部分图形的面积是平行四边形面积的几分之几。 【详解】设平行四边形的底和高都是2。 平行四边形的面积：2×2＝4 空白三角形的面积之和： 1×2÷2＋1×1÷2＋2×1÷2 ＝1＋0.5＋1 ＝2.5 阴影部分的面积：4－2.5＝1.5 1.5÷4＝ 阴影部分图形的面积是平行四边形面积的。 故答案为：C 37．（2025·四川自贡·小升初真题）如图，在平行四边形中，a边上的高是b，c边上的高是d，下列式子成立的是（    ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶b＝c∶d C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，可以得出ab＝cd，根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，各选项中的比例只要能写成ab＝cd的形式即可。 【详解】ab＝cd A．a∶c＝b∶d，根据比例的基本性质，可得ad＝bc； B．a∶b＝c∶d，根据比例的基本性质，可得ad＝bc； C．，根据比例的基本性质，可得ac＝bd； D．，根据比例的基本性质，可得ab＝cd。 式子成立的是。 故答案为：D 38．（2026·江苏淮安·小升初真题）看图列方程并解答。 平行四边形的面积是60平方厘米。 【答案】7.5m＝60；m＝8 【分析】图中是一个底为m厘米，高为7.5厘米的平行四边形，根据平行四边形的面积公式“底×高＝面积”列出关于m的方程并解方程即可。 【详解】7.5m＝60 解：7.5m÷7.5＝60÷7.5 m＝8 题型8 正方形与长方形的有关计算问题 【答题技巧】利用折叠前后对应边相等的性质。将阴影部分的周长转化为原长方形的长和宽之和，通过等量代换求解总周长。 39．（2025·四川成都·小升初真题）把一个长8厘米、宽4厘米的长方形，如图所示折一折，得到下面图形，则阴影部分四个三角形的周长之和是（    ）厘米。 A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【分析】折叠部分在折叠前后完全相同，即对应边长相同，如图： AE＝A'E，AD＝A'D'，D'F＝DF，阴影部分的四个三角形的周长和为： A'I＋A'E＋EI＋BI＋BH＋HI＋HD'＋HG＋D'G＋GC＋CF＋GF ＝（A'I＋HI＋HD'）＋（AE＋EI＋BI）＋（BH＋HG＋GC）＋（D'G＋GF）＋CF ＝A'D'＋AB＋BC＋D'F＋CF ＝AD＋AB＋BC＋（DF＋CF） ＝AD＋AB＋BC＋（DF＋CF） ＝AD＋AB＋BC＋DC 由此得到阴影部分的小三角形周长和等于长方形的周长。 【详解】根据分析，阴影部分四个三角形的周长之和＝长方形周长： （8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 40．（2025·四川成都·小升初真题）一个正方形边长为cm，如果它的边长增加3cm，所得的正方形面积比原来正方形的面积增加了（    ）cm2。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 如图，边长增加3cm后，增加的面积是①②③这三部分的面积之和，其中①③均是一个长为cm，宽为3cm的长方形，②是边长为3cm的正方形；根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，分别求出①②③的面积，再相加即可。 【详解】如图： 面积增加了：3＋3×3＋3＝（6＋9）cm2 41．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，已知正方形ABCD的面积为340，E是AB的中点，F、G分别是边BC、AD上的点，且，，连接EG、EC、FG，其中EC、FG交于点O，则三角形EOG的面积为______。 【答案】56 【分析】建立坐标系，将正方形置于平面直角坐标系中，便于用坐标表示各点位置。确定关键点坐标，根据线段比例关系（如中点、分点）计算E、F、G的坐标。求直线方程：利用两点式写出EC和FG的直线方程。联立方程求交点：解联立方程得到交点O的坐标。面积计算：应用坐标法公式计算三角形EOG的面积。 【详解】1.设定坐标系与确定各点坐标 设正方形边长为a，则＝ 340，即a ＝ 以点A为原点建立坐标系：A（0，0）、B（a，0）、C（a，a）、D（0，a） ； E为AB中点：E（，0） ； F在BC上，； 分点公式得F（a，） ； G在AD上，； 分点公式得G（0，） 2. 求直线EC和FG的方程 EC的方程：连接E（，0）和C（a，a），斜率为2， 方程为y ＝ 2x－a    FG的方程：连接F（a，）和G（0，），斜率为－，方程为y ＝ －x ＋ 3. 联立方程求交点O    联立y ＝ 2x－a和y ＝－x ＋ 解得：x ＝ ，y ＝ 即O（，） 4. 计算三角形EOG的面积 利用坐标公式：面积＝ 代入各点坐标： 面积＝ ＝ ＝ ＝ 代入 面积＝ ＝56 即三角形EOG的面积为56。 42．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 【答案】9∶8 【分析】 如图，连接小正方形的对角线，等腰直角三角形1、2的面积都是小正方形乙的，等腰直角三角形5的面积是正方形乙的，可以求出正方形乙占大三角形的比例；等腰直角三角形3、4的面积都是小正方形甲的，可以求出正方形甲占大三角形的比例。两个大三角形的面积相等，那么正方形甲和正方形乙的面积比即可求出。 【详解】若设正方形乙的面积为1，则大三角形的面积是：1＋＋＋＝，正方形乙占大三角形的比例为：1÷＝；因为小三角形3、4的面积和等于正方形甲的面积，所以正方形甲占大三角形的比例是；那么正方形甲和正方形乙的面积比为：∶＝（×18）∶（×18）＝9∶8。 43．（2025·湖北武汉·小升初真题）《周髀算经》中有一种特殊的“图”（如图），它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2，小正方形的面积是大正方形面积的( )%。 【答案】20 【分析】根据题意，设直角三角形短的直角边是1，长的直角边是2，直角三角形的面积＝底×高÷2，即1×2÷2，则小正方形的边长为：2－1＝1，小正方形的面积＝1×1＝1，大正方形的面积＝直角三角形的面积×4＋小正方形的面积，据此求出大正方形的面积，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可。 【详解】设直角三角形短的直角边是1，长的直角边是2。 小正方形的面积为：1×1＝1 大正方形的面积：1×2÷2×4＋1 ＝2÷2×4＋1 ＝1×4＋1 ＝5 1÷5×100% ＝0.2×100% ＝20% 因此，《周髀算经》中有一种特殊的“图”（如图），它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2，小正方形的面积是大正方形面积的20%。 44．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，乐乐（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。乐乐（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。 (1)求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ (2)连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为3∶5时，P点的运动时间为多少秒？ 【答案】(1)50米，12米 (2)21秒 【分析】三角形面积＝底×高÷2，当点P从点A到点D运动时，三角形PAB的面积＝AB×PA÷2，AB的长度不变，PA长度逐渐变大，三角形PAB的面积逐渐增大；当点P从点D运动到点C时，三角形PAB的底是AB，高是平行线AB、CD间的距离，根据平行线间的距离处处相等，三角形PAB面积＝AB×DA÷2，面积不变；当点P从点C到点B运动时，三角形PAB的面积＝AB×PB÷2，AB的长度不变，PB长度逐渐减小，三角形PAB的面积逐渐减少；由图2得，当运动时间为2秒时，速度为1米/秒，根据路程＝速度×时间，PA＝1×2，也就是2米，面积是50平方米，用三角形的面积×2÷PA，求得AB的长度，当三角形面积逐渐增大到300平方米后一直没有变化，表示AB×DA÷2＝300，把数据代入计算，求得DA的长度； 三角形PBN的面积与三角形ABN的高都是点B到AP的垂线段的长度，高相等，三角形PBN的面积与三角形ABN面积之比＝PN∶AN＝3∶5，三角形ABN与三角形DPN中，DP∶AB＝3∶5，把AB＝50代入计算，求得DP＝30，那么点P走的路程之和是12＋30＝42，再用路程除以速度，求得点P的运动时间。 【详解】（1）当运动时间为2秒时 AP＝1×2 ＝2米 50×2÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 300×2÷50 ＝600÷50 ＝12（米） 答：长方形长是50米，宽是12米。 （2）三角形PBN与三角形ABN具有共同顶点B且高相同的，面积之比是3∶5 所以PN∶AN＝3∶5， 三角形ABN与三角形DPN中，DP∶AB＝3∶5 DP∶50＝3∶5 50×3＝5×DP 150＝5×DP DP＝150÷5 DP＝30 （30＋12）÷2 ＝42÷2 ＝21（秒） 答：P点的运动时间为21秒。 45．（2025·重庆江北·小升初真题）在平行四边形ABCD中，，若三角形CEF的面积等于1，求平行四边形ABCD的面积。 【答案】5 【分析】令平行四边形ABCD的面积为。 因为，所以＝ 因为（同底等高） 所以， 因为 由于，所以＝ 通过化简得，解这个一元二次方程即可。 【详解】解：设平行四边形ABCD的面积为，则： ， 由于得＝ 化简得： 解得（舍去）或 所以平行四边形ABCD的面积为5。 题型9 、梯形的有关计算问题 【答题技巧】识别梯形中的平行四边形结构。利用“等高三角形面积比等于底边比”或“蝴蝶模型”，结合已知面积推导未知部分。 46．（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 【答案】4 【分析】此题需要添加一条辅助线，先连接AE，根据平行四边形两个已知部分的面积计算出平行四边形的面积，再求出三角形AED的面积，三角形AED的面积等于与它等底等高的平行四边形，即平行四边形ABED的面积的一半。由题意可知，三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。阴影部分的面积等于三角形ACD的面积减去8。 【详解】如图：平行四边形ABED的面积是16＋8＝24（平方厘米） 连接AE，三角形AED的面积是24÷2＝12（平方厘米） 四边形ABCD是梯形，所以AD∥BC，所以三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。 阴影部分的面积是12－8＝4（平方厘米） 【点睛】此题考查以下两个核心知识点： 1.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，即平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形； 2.平行线间的距离处处相等，因此以平行线间线段为底的三角形的高相等，等底等高的三角形面积相等。 47．（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 【答案】3.6// 【分析】图形剪拼过程中，面积不变，底也不变，即三角形底和平行四边形的底相等，面积相等，平行四边形高＝面积÷底。 【详解】平行四边形面积＝三角形面积＝21.6cm²，平行四边形底＝三角形的底＝6cm，则平行四边形高为： 21.6÷6＝3.6（cm） 48．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形ABCD的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点。在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化。图2的统计图记录了点P移动时间和三角形PAB面积的变化情况。根据图中信息回答下列问题： (1)图2中的a是( )平方厘米，c是( )平方厘米。 (2)图1中梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 (3)移动( )秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 【答案】(1) 32 24 (2)72 (3)6/16 【分析】（1）根据图可知，a对应的是8秒的时候，由于当P在AB段上移动时，P、A、B不能构成三角形，所以没有面积，即在第4秒的时候，开始有面积，说明第4秒走到了B点，那么AB的长度是4×2＝8（厘米），当P点走到C点的时候，三角形的面积是最大的，则此时走了10秒，当第8秒时，即在BC段走了4秒，那么此时的PB长是4×2＝8（厘米），高是AB的长度，三角形的面积＝底×高÷2，算出第8秒时三角形的面积，即为a的值。 当在10秒开始，三角形的面积下降，此时在CD线上，由于在15秒时，下降趋势变化，说明15秒时走到了D点，从D点到A点总共走了3秒，即AD的长度是3×2＝6（厘米），高是AB的长度，三角形的面积＝底×高÷2，算出第15秒时三角形的面积，即为c的值。 （2）由于AD是6厘米，AB是8厘米，BC总共走了10－4＝6（秒），即BC的长度是6×2＝12（厘米），梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可算出梯形的面积。 （3）三角形的面积＝底×高÷2，用三角形的面积乘2除以高求出底，分两种情况： 情况一：点P在BC边上，PB＝4厘米，共走了4÷2＝2（秒），将AB段用的时间与PB段用的时间相加即可； 情况二：点P在DA边上，PA＝4厘米，共需要4÷2＝2（秒），用总时间减去PA段用的时间即可。 【详解】（1）AB的长度： 4×2＝8（厘米） 第8秒时BC边的长度：（8－4）×2 ＝4×2 ＝8（厘米） 第8秒三角形的面积：8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 图2中的a是32平方厘米。 AD的长度：（18－15）×2 ＝3×2 ＝6（厘米） 第15秒三角形的面积：6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 图2中的c是24平方厘米。 （2）10－4＝6（秒） BC的长度：（10－4）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 梯形ABCD的面积：（6＋12）×8÷2 ＝18×8÷2 ＝144÷2 ＝72（平方厘米） （3）16×2÷8 ＝32÷8 ＝4（厘米） 4÷2＝2（秒） 4＋2＝6（秒） 18－2＝16（秒） 移动6秒（或16秒）时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 49．（2025·重庆江北·小升初真题）如图，在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段，图中阴影部分的面积占整个图形面积的___________。 【答案】 【分析】用割补法，从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形，将这两个直角三角形拼成一个长方形，据此可以解答。 【详解】见下图 观察拼成的长方形可知，图中涂色部分的面积占整个图形面积的。 【点睛】过顶点作三角形的高后拼成一个长方形是解决这个题目的关键所在。 50．（2026·浙江温州·小升初真题）如图，在直角梯形ABCD中，三角形ABE和三角形CDE都是等腰直角三角形，且BC＝10cm，那么直角梯形ABCD的面积是( )cm2。 【答案】50 【分析】等腰三角形的特征：等腰三角形的两条腰长相等。已知三角形ABE是等腰直角三角形，那么AB＝BE；三角形CDE是等腰直角三角形，那么CD＝CE；因为BC＝10cm，即BE＋CE＝10cm，那么AB＋CD＝10cm； 根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，可知直角梯形ABCD的面积＝（AB＋CD）×BC÷2，代入数据计算求解。 【详解】10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（cm2） 在直角梯形ABCD中，三角形ABE和三角形CDE都是等腰直角三角形，且BC＝10cm，那么直角梯形ABCD的面积是50cm2。 51．（2025·北京丰台·小升初真题）中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如图所示。这块“腰铁”截面的面积是( )平方厘米。 【答案】245 【分析】观察可知，“腰铁”的截面是由两个完全一样的梯形组成。梯形的上底是6厘米、下底是8厘米、高是35÷2＝17.5厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出1个梯形的面积，再乘2即可求出“腰铁”截面的面积。 【详解】35÷2＝17.5（厘米） （6＋8）×17.5÷2×2 ＝14×17.5 ＝245（平方厘米） 所以这块“腰铁”截面的面积是245平方厘米。 52．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算下图阴影部分的面积。 【答案】15.44cm2 【分析】阴影部分面积＝上底是4cm，下底是（6＋4）cm，高是4cm的梯形面积－半径是4cm的圆的面积的，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝π×半径2，据此解答。 【详解】（4＋6＋4）×4÷2－3.14×42× ＝（10＋4）×4÷2－3.14×16× ＝14×4÷2－3.14×16× ＝56÷2－50.24× ＝28－12.56 ＝15.44（cm2） 题型10 圆的有关计算问题 【答题技巧】灵活运用比例基本性质求半径平方。掌握圆周长公式及半圆弧长关系，理解大半圆弧长等于内部小半圆弧长之和。 53．（2025·四川成都·小升初真题）已知一个圆的半径为r，且r满足，则这个圆的面积为（    ）。 A． B．7 C． D．无法求出 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。把改写成r2＝3×4＝12；再根据圆的面积S＝πr2，把r2代入圆的面积公式中求出圆的面积。 【详解】因为，所以r2＝3×4＝12； 这个圆的面积＝πr2＝π×12＝12π。 54．（2026·四川成都·小升初真题）如图，从A地出发到B地，路线①和路线②的长度相比（    ）。 A．路线①长 B．一样长 C．路线②长 D．无法确定 【答案】B 【分析】假设大半圆的直径是4，则中半圆的直径是4÷2＝2，小半圆的直径是2÷2＝1。根据圆的周长公式C＝πd，分别求出两条路线的长度，比较大小即可。 【详解】假设大半圆的直径是4。 4÷2＝2 2÷2＝1 路线①：3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28 路线②：3.14×2÷2＋3.14×1÷2×2 ＝6.28÷2＋3.14÷2×2 ＝3.14＋1.57×2 ＝3.14＋3.14 ＝6.28 6.28＝6.28 所以路线①和路线②的长度相比一样长。 55．（2026·四川泸州·小升初真题）已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆所扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】414.48 【分析】根据题意可知，小圆扫过的面积＝半径是（8＋3×2）厘米圆的面积－半径是8厘米的圆的面积，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答。 【详解】8＋3×2 ＝8＋6 ＝14（厘米） 3.14×（142－82） ＝3.14×（196－64） ＝3.14×132 ＝414.48（平方厘米） 56．（2026·四川成都·小升初真题）如图，AB＝BC＝8厘米，∠ABC＝∠BCD＝90°，一枚直径为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程中圆心走过的路径长______厘米。 【答案】17.14 【分析】如图，把游戏币从A点滚动到现在位置圆心走过的路径分为3段：沿AB滚动时，圆心走过的路径长度等于AB的长度；在B点直角转弯，圆心走过的路径长度相当于圆的周长； 沿BC向下滚动，圆心走过的路径长度等于BC的长度减去游戏币的半径长度；最后将3段路径长度相加即可。 【详解】3.14×4÷4 ＝12.56÷4 ＝3.14（厘米） 8－4÷2 ＝8－2 ＝6（厘米） 8＋3.14＋6 ＝11.14＋6 ＝17.14（厘米） 57．（2026·四川成都·小升初真题）某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 【答案】(1)565.2平方米 (2)18棵 【分析】（1）圆环的面积（其中R为外圆半径，r为内圆半径），根据题意，内圆直径为24米，且环宽为6米，利用求出内圆半径，再利用“环宽”求出外圆半径，最后利用圆环面积公式进行计算。 （2）要在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，需先利用求出外圆的周长，再利用周长÷间距求出间隔数，最后根据封闭图形中的植树问题中，植树棵数＝间隔数进行计算。 【详解】（1）（米） （米） （平方米） 答：这个环形看台的占地面积是565.2平方米。 （2） （米） （棵） 答：一共大约可以种18棵树。 58．（2026·四川泸州·小升初真题）泸州某校建设有400米跑道的运动场（如下图所示），如果聘请你任工程师，问： (1)若内圈直道长100米，则内圈弯道弧长半径为多少米？（π取值为3.14，得数保留整数） (2)共8个跑道，每条宽1.2米，操场最外圈长多少米？ (3)若操场中心铺绿草，跑道铺塑胶，则各需绿草、塑胶多少平方米？ (4)若绿草50元/平方米，塑胶350元/平方米，学校现有200万元，可以开工吗？ 【答案】(1)32米 (2)461.248米 (3)绿草：9615.36平方米；塑胶：4138.5984平方米 (4)可以开工 【分析】（1）跑道两个弯道弧长合起来是一个圆，用跑到的长度－2个直道长度，求出两个弯道的弧长，再根据圆的周长＝2×π×半径，半径＝周长÷2÷π，据此解答。 （2）因为有8个跑道，最外圈的半径等于内圈圆的半径＋1.2×8。根据圆的周长＝2×π×半径，求出操场最外圈两个弯道弧长的长，加上两个直道长即为所求。 （3）操场中心铺绿草的面积＝里面长方形的面积＋里面两个半圆的面积；跑道铺塑胶的面积＝外面长方形的面积＋外面两个半圆的面积﹣操场中心铺绿草的面积，根据圆的面积＝π×半径2，长方形的面积＝长×宽，计算即可求解。 （4）分别求出操场中心铺绿草，跑道铺塑胶的钱数，相加后与200万元比较即可作出判断，注意单位的一致。 【详解】（1）（400－100×2）÷2÷3.14 ＝（400－200）÷2÷3.14 ＝200÷2÷3.14 ＝100÷3.14 ≈32（米） 答：内圈弯道弧长半径为32米。 （2）2×3.14×（32＋1.2×8）＋100×2 ＝2×3.14×（32＋9.6）＋100×2 ＝2×3.14×41.6＋100×2 ＝6.28×41.6＋200 ＝261.248＋200 ＝461.248（米） 答：操场最外圈长461.248米。 （3）100×32×2＋3.14×322 ＝3200×2＋3.14×1024 ＝6400＋3215.36 ＝9615.36（平方米） 100×（41.6×2）＋3.14×41.62－9615.36 ＝100×83.2＋3.14×1730.56－9615.36 ＝8320＋5433.9584－9615.36 ＝13753.9584－9615.36 ＝4138.5984（平方米） 答：需要绿草的面积是9615.36平方米，需要塑胶的面积是4138.5984平方米。 （4）200万元＝2000000元 9615.36×50＋4138.5984×350 ＝480768＋1448509.44 ＝1929277.44（元） 1929277.44＜2000000，可以开工。 答：可以开工。 题型11 立体图形的认识 【答题技巧】明确圆柱侧面展开图的多样性（长方形、正方形、平行四边形）。观察组合体三视图时，注意从上方看每列正方体的分布情况。 59．（2022·河南郑州·小升初真题）圆柱的侧面展开不可能是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 【答案】D 【分析】圆柱的侧面沿着高展开后是长方形或正方形，如果斜着展开就是一个平行四边形，不可能是梯形。 【详解】A．圆柱的侧面沿着高展开后是长方形，长方形的长和宽分别是圆柱的底面周长和高； B．当圆柱的底面周长等于高时，圆柱的侧面沿着高展开后是正方形； C．圆柱侧面斜着展开是平行四边形； D．圆柱侧面展开不可能是梯形。 圆柱的侧面展开不可能是梯形。 60．（2023·四川成都·小升初真题）下面左图是由5个相同的正方体木块搭成的几何体，从上面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察几何体，从上面可以看到两层共4个小正方形，下层3个，上层1个，左对齐，据此解答。 【详解】 从上面看到的图形是。 61．（2025·四川成都·小升初真题）在一个长方体的容器里，倒入适量水，再放入一个底面为正方形，底面边长是8厘米的长方体铁块，若铁块全部放入水中，则容器里的水面升高20厘米，若使浸没在水中的铁块露出水面10厘米，则水面下降5厘米，长方体铁块的高是（    ）厘米。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】已知长方体铁块的底面是边长为8厘米的正方形，露出水面10厘米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出露出水面部分铁块的体积，也就是容器内水面下降5厘米的水的体积；再根据公式S＝V÷h，用下降5厘米水的体积除以水面下降的高度，求出长方体容器的底面积； 若铁块全部放入水中，容器里的水面升高20厘米，根据公式V＝Sh，用长方体容器的底面积乘水面上升的高度，求出水上升部分的体积，也就是整个铁块的体积； 根据公式h＝V÷S，用整个铁块的体积除以铁块的底面积，求出铁块的高度。 【详解】露出水面10厘米的铁块的体积：8×8×10＝640（立方厘米） 容器的底面积：640÷5＝128（平方厘米） 铁块的体积：128×20＝2560（立方厘米） 铁块的高： 2560÷（8×8） ＝2560÷64 ＝40（厘米） 62．（2025·四川成都·小升初真题）如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想想会是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中“M”是底面，如果沿图中粗线将其剪开展成平面图形，四个小正方形会连在一起，并且标有“M”底面应和最边上的一个小正方形连在一起，可由此进行选择。 【详解】 如果沿图中粗线将其剪开展成平面图形，五个小正方形中有四个小正方形会并排连在一起，并且标有“M”底面应和最边上的一个小正方形连在一起，即：。 63．（2025·安徽合肥·小升初真题）一个圆柱体木块，底面直径是20厘米，高是6厘米，它的表面积是( )平方厘米。把它削成一个最大的圆锥，应削去( )立方厘米。（取3.14） 【答案】 1004.8 1256 【分析】根据“”求出这个圆柱体木块的表面积，和圆柱等底等高的圆锥是圆柱里面最大的圆锥，把圆柱的体积看作单位“1”，此时圆锥的体积是圆柱体积的，应削去部分的体积是圆柱体积的（1－），根据“”求出圆柱的体积，应削去部分的体积＝圆柱的体积×（1－）。 【详解】3.14×20×6＋2×3.14×（20÷2）2 ＝3.14×20×6＋2×3.14×102 ＝3.14×20×6＋2×3.14×100 ＝3.14×（20×6＋2×100） ＝3.14×（120＋200） ＝3.14×320 ＝1004.8（平方厘米） 3.14×（20÷2）2×6×（1－） ＝3.14×102×6× ＝3.14×100×6× ＝（3.14×100）×（6×） ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 64．（2026·四川绵阳·小升初真题）下图是由圆柱筒切割后的零件模型，求它的表面积。 【答案】2249.6平方厘米 【分析】先分别计算模型的侧面积、两个半圆环面积和两个长方形面积，再将三部分面积相加得到表面积。圆柱的侧面积＝圆周长×高，外圆柱的直径为50厘米，内圆柱的直径为50－10×2＝30（厘米），求出内、外圆柱的周长的和乘高6厘米，再除以2，就是模型的侧面积；上下两个半圆环的半圆就是整个圆环的面积，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方）；长方形的长为6厘米，宽为10×2＝20（厘米），长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。 【详解】50÷2＝25（厘米） 50－10×2 ＝50－20 ＝30（厘米） 30÷2＝15（厘米） （3.14×50＋3.14×30）×6÷2 ＝（157＋94.2）×3 ＝251.2×3 ＝753.6（平方厘米） 3.14×（252－152） ＝3.14×（625－225） ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 6×20×2＝240（平方厘米） 753.6＋1256＋240＝2249.6（平方厘米） 答：它的表面积为2249.6平方厘米。 65．（2025·上海闵行·小升初真题）计算：89°6′24″－24°27′35″＝( )。 【答案】64°38′49″ 【分析】根据1°＝60′，1′＝60″，从最低位开始减起，24″减35″不够减，需要向6′借1′当60″，与24″合成84″再减；6′变5′，减27′不够减，需要向89°借1°当60′，与5′合成65′再减；最后算88°减24°。 【详解】89°6′24″－24°27′35″ ，从最低位开始减起： 89°6′24″－35″＝89°5′84″－35″＝89°5′49″ 89°5′49″－27′＝88°65′49″－27′＝88°38′49″ 88°38′49″－24°＝64°38′49″ 因此89°6′24″－24°27′35″＝64°38′49″。 【点睛】本题考查角的度、分、秒减法运算，掌握度分秒之间的60进制换算关系是解题关键。 66．（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么( )°，∠2＝( )°。 【答案】 30 60 【分析】正方形的四个角都是直角，即90°，经过对折、斜折等操作后，通过观察图形可知，∠2所在的三角形是等边三角形，因为它的三条边长度相等，是正方形的边长折叠得到的，所以其三个内角均为60°，即∠2＝60°。由折叠特点可知，∠1所在的三角形和下方空白的三角形完全相等，同时∠1等于∠2的一半，即60÷2＝30°。 【详解】根据分析可知：如图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么∠1＝60÷2＝30°，∠2＝60°。 67．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形组成的图形。线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为( )。 【答案】6 【分析】把原图形补成一个以AB为对角线的大长方形，对角线AB把长方形分为面积相等的两个大三角形，线段AB把原图形分为面积相等的左右两部分，那么两个大三角形分别减去原图中面积相等的左右部分后，长方形CNPI的面积＋长方形JPGQ的面积＝长方形DEHM的面积，长方形DEHM长8，宽为12－8，面积＝长×宽，把数据代入公式计算求得剩余面积是32，左下方长方形JPGQ长10，宽是12－10，面积是10×（12－10），就是20，长方形CNPI的面积是32－20＝12，用12除以宽2，求得长CN是6，再用总长12减去6，求得长为6。 【详解】 把原图形补成一个以AB为对角线的大长方形，由题意得： 长方形CNPI的面积＋长方形JPGQ的面积＝长方形DEHM的面积 长方形CNPI的面积： 8×（12－8）－10×（12－10） ＝8×4－10×2 ＝32－20 ＝12 长：12÷2＝6 的长：12－6＝6 68．（2026·四川成都·小升初真题）一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分的面积是______平方厘米。 【答案】41.04 【分析】从图中可知，圆的直径是12厘米，用直径除以2，求出圆的半径。根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。 最后用圆的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积。 【详解】圆的半径：12÷2＝6（厘米） 圆的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 正方形的面积：12×6÷2×2＝72（平方厘米） 阴影部分的面积：113.04－72＝41.04（平方厘米） 69．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧。以C为圆心，6为半径作圆弧。若图中阴影部分的面积分别为S1、S2时，则______。（结果保留π） 【答案】13π－36 【分析】 如图设左边空白部分的面积为S，根据题意，正方形ABCD的边长为6，正方形的面积＝6×6＝36，以C为圆心、6为半径作圆弧得到一个圆心角为90°的扇形的面积＝圆的面积×，S＋＝正方形ABCD的面积－圆的面积的＝36－π××＝36－9π，以D为圆心、4为半径得到一个圆心角为90°的扇形，即S＋＝π××＝4π，然后再用（S＋）－（S＋）即可求出的结果。 【详解】设左边空白部分的面积为S， ＝； ＝； （）－（）＝＝＝＝＝ 即 70．（2025·四川成都·小升初真题）一个底面半径为10厘米的圆柱形容器里直立着底面半径为4厘米、高为50厘米的圆柱形玻璃棒，这时容器里的水深30厘米。现在轻轻将玻璃棒向上提起20厘米，那么露出水面的玻璃棒上被浸湿的部分约为_____厘米。 【答案】23.81 【分析】由题意可知，提起玻璃棒之后水面会下降，下降部分水的体积等于20厘米高圆柱形玻璃棒的体积，下降部分水的底面积＝圆柱形容器的底面积－圆柱形玻璃棒的底面积，由“h＝V÷S”可知，下降部分水的高度＝下降部分水的体积÷下降部分水的底面积，露出水面的玻璃棒上被水浸湿部分的高度＝下降部分水的高度＋提起圆柱形玻璃棒的高度，据此解答。 【详解】提起圆柱形玻璃棒下降部分水的体积： 3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝50.24×20 ＝1004.8（立方厘米） 下降部分水的底面积： 3.14×102－3.14×42 ＝3.14×100－3.14×16 ＝314－50.24 ＝263.76（平方厘米） 下降部分水的高度：1004.8÷263.76≈3.81（厘米） 露出水面的玻璃棒上被浸湿的部分的高度： 3.81＋20＝23.81（厘米） 71．（2025·浙江温州·小升初真题）用A、B、C、D四个不同的长方形拼成一个大长方形（如图），已知A、B、C、D这四个长方形的面积比是2∶4∶6∶8，如果阴影部分面积为20平方厘米，那么整个大长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】96 【分析】题中已知A、B、C、D四个不同的长方形的面积比，所以可设长方形A的长为a，宽为b，然后用a、b表示出阴影部分的面积，即：×（长方形C的长－长方形B的宽）×大长方形的长，求出ab，再根据比例计算出整个大长方形的面积。 【详解】解：设长方形A的长为a，长方形A的宽为b ∵ ∴长方形C的长为3b，宽为a ∵ ∴ ∴长方形B、D的长为： ∵ ∴长方形D的宽为 ∵ ∴长方形B的宽为 ∵阴影部分的面积为20平方厘米 ∴ 化简得： ∴大长方形的面积为： ＝ ＝ ＝10ab ＝10× ＝96（平方厘米） 答：那么整个大长方形的面积是96平方厘米。 【点睛】重点考查根据A、B、C、D四个不同的长方形之间的面积比例关系，来正确表示出阴影部分的面积。 72．（2025·重庆北碚·小升初真题）如图所示，四边形中和四边形都是正方形，，连接，与相交于点，与相交于点，如果正方形的面积是1，那么三角形的面积是多少？ 【答案】 【分析】因为，所以，即可求出的比值； 在三角形与三角形中计算的比值；根据三角形的面积＝底×高÷2，即可计算三角形与三角形的面积的关系，三角形为正方形面积的一半，即可求出三角形的面积。 【详解】因为，所以； 所以，即； 在三角形与三角形中，，即； 根据鸟头模型，； 则。 【点睛】两个三角形顶点处的两条边的长度的乘积比，等于两个三角形的面积比。 73．（2026·浙江温州·小升初真题）数学中的基本图形，通过拼组可以形成美丽的图案，现在我们一起来研究用长方形拼组风车纹图案吧。 (1)如下图所示，每个小长方形的长都是8厘米，宽都是4厘米，4个这样的小长方形拼成一个构图平衡、经典耐看的风车纹图案，这个风车纹图案中大、小正方形面积之比是多少？ (2)如果有4个长3厘米，宽1厘米的小长方形，你能按照这种方式拼出一个大、小正方形面积之比如第（1）题的风车纹图案吗？请说明理由。 (3)辰辰用4个小长方形按照第（1）题的方式也摆出了一些这样的风车纹图案。他所用的小长方形的长、宽可能是多少？请你写出2种，填在下表中。 长 6 10 宽 3 5 根据上面的探索，你有什么发现？ 【答案】(1)9∶1 (2)不能；因为面积比是4∶1，而非9∶1，所以不能拼出面积之比相同的风车纹图案。 (3) 长 6 10 宽 3 5 （答案不唯一） 我发现：当小长方形的长是宽的2倍时，拼成的大、小正方形面积之比是9∶1。 【分析】（1）从图中可知，大、小正方形的边长分别是（8＋4）厘米、（8－4）厘米；根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出大、小正方形的面积；再根据比的意义写出大、小正方形的面积之比，并化简比。 （2）要求用4个长3厘米，宽1厘米的小长方形拼成如第（1）题的图案，先得出大、小正方形的边长，再根据正方形的面积公式求出大、小正方形的面积，并求出大、小正方形的面积之比的最简整数比，看是否与第（1）题的面积之比相等，即可得出结论。 （3）在第（1）题中，小长方形的长是8厘米、宽是4厘米，长是宽的2倍；在第（2）题中，小长方形的长是3厘米、宽是1厘米，长是宽的3倍；据此推导出要得到与第（1）题相同的面积之比，需满足“长是宽的2倍”这一条件。 列举出2个满足“长是宽的2倍”的长方形的例子，并计算出大、小正方形的面积之比，验证是否与第（1）题的面积之比相同，据此解答。 【详解】（1）大正方形的边长：8＋4＝12（厘米） 小正方形的边长：8－4＝4（厘米） （12×12）∶（4×4） ＝144∶16 ＝（144÷16）∶（16÷16） ＝9∶1 答：这个风车纹图案中大、小正方形面积之比是9∶1。 （2）大正方形的边长：3＋1＝4（厘米） 小正方形的边长：3－1＝2（厘米） （4×4）∶（2×2） ＝16∶4 ＝（16÷4）∶（4÷4） ＝4∶1 4∶1≠9∶1 答：不能。因为面积比是4∶1，而非9∶1，所以不能拼出面积之比相同的风车纹图案。 （3）方案一：长为6厘米、宽为3厘米； 大正方形的边长：6＋3＝9（厘米） 小正方形的边长：6－3＝3（厘米） （9×9）∶（3×3） ＝81∶9 ＝（81÷9）∶（9÷9） ＝9∶1 方案二：长为10厘米、宽为5厘米； 大正方形的边长：10＋5＝15（厘米） 小正方形的边长：10－5＝5（厘米） （15×15）∶（5×5） ＝225∶25 ＝（225÷25）∶（25÷25） ＝9∶1 我发现：当小长方形的长是宽的2倍时，拼成的大、小正方形面积之比是9∶1。 74．（2026·四川成都·小升初真题）圆是一个很有趣的图形，关于圆面积的计算也有很多巧妙的方法。根据S圆＝πr2，知道r可求出圆的面积，知道r2也可求出圆的面积，让我们一起学习与尝试吧。（π取3.14） (1)巧用r2可求出图中圆的面积。 因为等腰直角三角形的底是圆的______， 等腰直角三角形的高是圆的______， 所以等腰直角三角形的面积刚好是2r×r÷2＝r2，也就是6平方厘米，因此圆的面积是______平方厘米。 (2)巧用r2可求出图中阴影部分的面积。 思路：阴影部分的面积＝整个图形的总面积－大的半圆的面积。 ①整个图形的总面积：整个图形可以看作由两个小的半圆与一个等腰直角三角形组合而成，已知图中等腰直角三角形两条直角边的长度为4厘米，两个小的半圆的面积之和是______平方厘米；等腰直角三角形的面积是______平方厘米；整个图形的总面积是______平方厘米。 ②大的半圆的面积：等腰直角三角形的面积既可以通过两条直角边来算，即______平方厘米；也可以用2r×r÷2来算，即用r2来表示：所以r2＝______平方厘米。因此，大的半圆的面积是______平方厘米。 ③图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) 直径 半径 18.84 (2)①12.56；8；20.56 ②8；8；12.56 ③8 【分析】（1）观察图形可知，等腰直角三角形的底边长度为2r，因为圆的直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，所以等腰直角三角形的底（2r）是圆的直径；等腰直角三角形的高为r，而圆的半径是从圆心到圆上任意一点的线段，所以等腰直角三角形的高（r）是圆的半径。已知等腰直角三角形的面积刚好是2r×r÷2＝，且该三角形面积为6平方厘米，即＝6平方厘米。根据圆的面积公式S圆＝π，π取3.14，可得圆的面积。 （2）①求整个图形的总面积：整个图形可以看作由：两个小的半圆与一个等腰直角三角形组合而成：。已知图中等腰直角三角形两条直角边的长度为4厘米，根据三角形面积公式S＝ah（其中a为底，h为高），可得等腰直角三角形的面积。两个小的半圆可以拼成一个整圆，其半径为4÷2＝2厘米，根据圆的面积公式S＝π，可得两个小的半圆的面积之和。那么整个图形的总面积就是两个小半圆面积与等腰直角三角形面积之和。 ②求大的半圆的面积：因为等腰直角三角形的面积既可以通过两条直角边来算，也可以用2r×r÷2来算，即用来表示，由等腰直角三角形两条直角边为4厘米，可得＝4×4÷2＝8平方厘米。根据圆的面积公式S＝π，可得大的半圆的面积。 ③求阴影部分的面积：已知阴影部分的面积＝整个图形的总面积一大的半圆的面积，将前面计算出的整个图形的总面积和大的半圆的面：积代入可得阴影部分面积。 【详解】（1）3.14×6＝18.84（平方厘米） （2）①求整个图形的总面积： 等腰直角三角形的面积：4×4÷2＝8（平方厘米）； 两个小的半圆的面积之和： 3.14×（4÷2）＝3.14×2＝3.14×4＝12.56（平方厘米）。 整个图形的总面积： 12.56＋8＝20.56（平方厘米） ②求大的半圆的面积： 的值：4×4÷2＝8（平方厘米）， 大的半圆的面积：3.14×8÷2＝12.56（平方厘米） ③求阴影部分的面积： 20.56－12.56＝8（平方厘米） 75．（2025·上海闵行·小升初真题）对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组。 （1）如图1，已知∠AOB＝140°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝（    ）度。 （2）下列各图中，已知∠AOB＝40°，∠BOC＝50°，∠BOD＝60°，那么其中射线OA、OB、OC、OD为成内半角射线组的是（    ）。 （3）如图2，已知∠AOB＝30°，现将射线OA、OB同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线OC、OD。问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由。 【答案】（1）55 （2）D （3）见详解 【分析】（1）根据内半角的定义得，因为∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB＝140∘，根据内半角定义可得∠COD＝​∠AOB＝70∘。由∠BOD＝∠AOB−∠AOC−∠COD解答即可； （2）根据内半角的定义：对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半。这四条射线称为成内半角射线组。由此解答即可； （3）根据内半角的定义，设旋转时间为t秒，因为射线OA、OB同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，所以∠AOC＝∠BOD＝5t。分别考虑当射线OC在∠AOB时‌、当射线OC在∠AOB外且∠BOC＜∠AOD时‌、当射线在外且∠BOC＞∠AOD时‌、当射线OD在∠AOB内时‌，由四种情况列方程即可得到结论。 【详解】（1）140°÷2＝70° 140°－15°－70°＝55° ∠BOD是55°。 （2）A．∠AOB＝40°，∠COD＝110°，110°÷2＝55°，所以射线OA、OB、OC、OD不是内半角射线组； B．∠AOB＝40°，∠COD＝110°，110°÷2＝55°，所以射线OA、OB、OC、OD不是内半角射线组； C．∠AOC＝50°－40°＝10°，∠BOD＝60°，所以射线OA、OB、OC、OD不是内半角射线组； D．∠BOC＝50°，∠AOD＝40°＋60°＝100°，所以射线OA、OB、OC、OD是内半角射线组。 故答案为：D。 （3）根据分析： 设旋转时间为t秒，因为射线OA、OB同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，所以∠AOC＝∠BOD＝5t。 情况一：当射线OC在∠AOB内时‌ ∠BOC＝∠AOB−∠AOC＝30°−5t，∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝30°＋5t。 若射线OA、OB、OC、OD为成内半角射线组，则∠BOC＝∠AOD， 即30°−5t＝（30°＋5t） 60°−10t＝30°＋5t 15t＝30° t＝2 情况二：当射线OC在∠AOB外且∠BOC＜∠AOD时‌ ∠BOC＝∠AOC−∠AOB＝5t−30°，∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝30°＋5t。 若射线OA、OB、OC、OD为成内半角射线组，则∠BOC＝∠AOD， 即5t−30°＝（30°＋5t） 10t−60°＝30°＋5t 5t＝90° t＝18 情况三：当射线OC在∠AOB外且∠BOC＞∠AOD时‌ ∠BOC＝360°−5t＋30°＝390°−5t，∠AOD＝360°−5t−30°＝330°−5t。 若射线OA、OB、OC、OD为成内半角射线组，则∠AOD＝∠BOC， 即330°−5t＝（390°−5t） 660°−10t＝390°−5t 5t＝270° t＝54 情况四：当射线OD在∠AOB内时‌ ∠BOC＝360°−5t＋30°＝390°−5t，∠AOD＝5t−330°。 若射线OA、OB、OC、OD为成内半角射线组，则∠AOD＝∠BOC， 即5t−330°＝（390°−5t） 10t−660°＝390°−5t 15t＝1050° t＝70 答：能，旋转时间为2秒或18秒或54秒或70秒时射线OA、OB、OC、OD能为成内半角射线组。 【点睛】本题考查内半角需结合定义分析角的度数关系、射线位置等。需灵活运用定义、角的和差、方程等知识解决问题。 试卷第2页，共58页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点04 几何图形 小学视角 初中展望 小学阶段主要通过直观感知认识图形，学习长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的周长和面积计算，以及长方体、正方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。侧重于计算能力和图形的拼组与分割。核心数学素养是空间观念和几何直观。 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 从“看形状”到“析性质”：小学关注图形“像什么”、“怎么算面积”；初中关注图形“有什么特征”（如角的关系、边的关系），并开始探究“为什么”（定理的证明）。 从“静态计算”到“动态变换”：小学主要是静止图形的计算；初中大量引入平移、旋转、轴对称（三大变换），研究图形运动过程中的不变量（如旋转前后对应边相等）。 符号语言的引入：小学多用文字描述（如“角A”）；初中开始规范使用几何符号语言（如  ），这是进行逻辑推理的基础工具。 考点阐释 1、线与角的基础 线段：中点定义，线段的和差倍分计算 2、角：角平分线定义，余角与补角的性质（同角或等角的余角/补角相等），方向角的概念。 平面图形的性质深化 3、三角形：内角和定理（180°），外角性质（外角等于不相邻两内角和），三边关系（两边之和大于第三边）。 4、平行线：判定与性质的互逆（同位角相等 ⇔⇔ 两直线平行）。这是初中几何推理的基石。 立体图形的视图与展开 5、三视图：主视图、左视图、俯视图的识别与绘制（长对正、高平齐、宽相等）。 6、展开图：正方体的11种展开图，圆柱、圆锥侧面展开图（矩形、扇形）与表面积计算的联系。 方法总结 方程法解几何：当几何图形中存在倍数、比例关系时，设未知数列方程求解角度或边长（数形结合）。 割补法：求不规则图形面积时，将其分割成规则图形或补成规则图形计算。 项目闯关·题型对点练 题型1 平面图形的认识 【答题技巧】理清概念间的包含与并列关系。如正方形属于长方形，整数包含0；分类需标准统一，避免逻辑错误。 1．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）小学阶段我们学了很多数学知识，它们之间有着密切的联系。下面表示的关系中正确的是（    ）。 A．整数 B． C． D． 2．（2024·浙江温州·小升初真题）小学阶段学了很多有密切联系的知识，如图中的M、N可能是（    ）。 ①M是平行四边形，N是长方形。 ②M是分数，N是真分数。 ③M是等腰三角形，N是等边三角形。 ④M是奇数，N是质数。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①② 3．（2025·山东青岛·小升初模拟）下面各图表示的关系正确的是（    ）。 A． B． C． 4．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，用18个等边三角形组成一个大平行四边形，这个大平行四边形内部及边上共有16个交叉点，以这些交叉点为顶点，可以连成______个等边三角形。 5．（2025·湖北武汉·小升初真题）将下面的正方体切成体积和形状完全相同的两部分，切面的形状可以是______。（填序号） ①三角形；②四边形：③五边形；④六边形 题型2 直线、射线、线段的认识 【答题技巧】掌握端点数量与延伸性特征。利用中点性质计算线段长，注意“延长”方向，结合数形结合思想求解。 6．（2025·上海闵行·小升初真题）已知线段AB，延长BA到C，使，D为AC中点，且CD＝2，那么线段AB的长为（    ）。 A．4 B．6 C．8 D．10 7．（2025·广东湛江·小升初真题）线段有( )个端点，射线有( )个端点（填“1”或“2”）。 8．（2025·湖北十堰·小升初真题）如图，C是线段AB的一点，D是线段CB的中点。已知图中所有线段的长度之和是23厘米，线段AC的长度与线段CB的长度都是整数，则线段AC的长度为( )厘米。 题型3 钟面角的计算问题 【答题技巧】熟记大格30°、小格6°及分针时针速度差。利用公式或相对位置计算夹角，注意整点与半点时的特殊角度。 9．（2026·四川绵阳·小升初真题）钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（    ）。 A．187.5° B．165.5° C．145.5° D．172.5° 10．（2025·四川成都·小升初真题）钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）现在是北京时间上午9点，再过____分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 12．（2025·河北石家庄·小升初真题）3：30时，钟面上时针和分针组成的角是( )角；( )时整或( )时整，时针和分针的夹角是直角。 13．（2025·重庆江北·小升初真题）张强晚上六时多离家锻炼身体，此时时针与分针的夹角是110°；到家时发现还未到七时，且时针与分针的夹角仍是110°。则张强外出锻炼了( )分钟。 题型4 平行线与相交线 【答题技巧】理解平行线定义及垂线段最短原理。测量距离作垂线，判断平行需满足“同一平面内不相交”，排除干扰项。 14．（2024·重庆石柱·小升初真题）如图是小伟跳远时留下的脚印。如果你是裁判员，该怎样测量他的成绩？请在图中画出待测量的线段。 15．（2025·安徽合肥·小升初真题）下列说法正确的是（    ）。 A．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 B．国际儿童节和我国的国庆节都在小月 C．如果一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，那么它是一个钝角三角形 16．（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 17．（2025·浙江宁波·小升初真题）下面各句描述中，你认为正确的是（    ）。 A．甲比乙多，也就是甲是乙的 B．同一平面内两条直线的位置关系分为垂直和平行两类 C．同一款商品“买2送1”和“打对折”的优惠力度一样 D．正方体的体积和表面积成正比例关系 18．（2024·江苏无锡·小升初真题）为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 19．（2025·陕西西安·小升初真题）如图，已知L1平行于L2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在L1，L2上，当时，( )°。 20．（2025·广东湛江·小升初真题）过图中的点A画直线BC的垂线和平行线。 21．（2025·陕西西安·小升初真题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，可以用圆规或三角尺找到符合条件的P点，用P1，P2，P3，…标出位置。 22．（2024·河南郑州·小升初真题）如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上； （1）写出图1中面积相等的各对三角形： ； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与△ABC的面积相等； （3）如图2，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积。 题型5 与三角形的有关的角度计算 【答题技巧】牢记内角和180°及外角性质。利用三角尺特殊角（30°、45°等）进行加减组合，灵活求解未知角度。 23．（2025·福建宁德·小升初真题）利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（    ）。 A．15° B．65° C．105° D．150° 24．（2025·河南开封·小升初真题）一个三角形的最小的内角是46°，那么这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 25．（2025·四川成都·小升初真题）一个等腰三角形的顶角度数是一个底角度数的，那么这个等腰三角形的一个底角的度数是（    ）。 A．50° B．65° C．130° D．55° 26．（2024·福建泉州·小升初真题）将直角三角形纸片按照如图所示的方式折叠，那么∠a的度数是（    ）°。 A．30 B．45 C．60 D．70 27．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）将三角形的边延长到点，已知，，那么( )°。 28．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 29．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，是一个直角三角形，已知，那么__________。 30．（2025·上海闵行·小升初真题）如图，已知∠α、∠β。 （1）尺规作∠AOC，使∠AOC＝∠α－∠β，且∠AOB＝∠α，∠BOC＝∠β；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图中，尺规作∠AOC的平分线OD；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（1）（2）的前提下，如果∠α＝120°、∠β＝60°，那么图中与∠BOC互余的角有（    ）；与∠AOB互补的角有（    ）。 题型6 三角形的边长和面积的计算问题 【答题技巧】运用“两边之和大于第三边”筛选边长。计算面积时找准底高对应关系，利用割补法或网格法求不规则图形面积。 31．（2025·安徽合肥·小升初真题）有5根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条拼成一个三角形，一共可以拼成（    ）个三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2025·四川成都·小升初真题）如图，E是梯形ABCD下底BC的中点，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（2026·江苏淮安·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．52 B．54 C．60 D．58 34．（2025·江西吉安·小升初真题）一个直角三角形，三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm，那么斜边上的高是( )cm。 题型7 平行四边形的有关计算 【答题技巧】掌握等底等高面积相等原理。利用割补法将复杂图形转化为规则图形，通过数格子或比例关系求解面积。 35．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）下图中每个小等边三角形的面积为1平方米，则三角形ABC的面积是（    ）。 A．9平方米 B．10平方米 C．10.5平方米 D．11平方米 36．（2025·吉林长春·小升初真题）如图，A、B分别是平行四边形两邻边的中点，则阴影部分图形的面积是平行四边形面积的（    ）。 A． B． C． D． 37．（2025·四川自贡·小升初真题）如图，在平行四边形中，a边上的高是b，c边上的高是d，下列式子成立的是（    ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶b＝c∶d C． D． 38．（2026·江苏淮安·小升初真题）看图列方程并解答。 平行四边形的面积是60平方厘米。 题型8 正方形与长方形的有关计算问题 【答题技巧】利用折叠前后对应边相等的性质。将阴影部分的周长转化为原长方形的长和宽之和，通过等量代换求解总周长。 39．（2025·四川成都·小升初真题）把一个长8厘米、宽4厘米的长方形，如图所示折一折，得到下面图形，则阴影部分四个三角形的周长之和是（    ）厘米。 A．12 B．16 C．18 D．24 40．（2025·四川成都·小升初真题）一个正方形边长为cm，如果它的边长增加3cm，所得的正方形面积比原来正方形的面积增加了（    ）cm2。 A． B． C． D． 41．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，已知正方形ABCD的面积为340，E是AB的中点，F、G分别是边BC、AD上的点，且，，连接EG、EC、FG，其中EC、FG交于点O，则三角形EOG的面积为______。 42．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 43．（2025·湖北武汉·小升初真题）《周髀算经》中有一种特殊的“图”（如图），它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2，小正方形的面积是大正方形面积的( )%。 44．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，乐乐（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。乐乐（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。 (1)求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ (2)连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为3∶5时，P点的运动时间为多少秒？ 45．（2025·重庆江北·小升初真题）在平行四边形ABCD中，，若三角形CEF的面积等于1，求平行四边形ABCD的面积。 题型9 、梯形的有关计算问题 【答题技巧】识别梯形中的平行四边形结构。利用“等高三角形面积比等于底边比”或“蝴蝶模型”，结合已知面积推导未知部分。 46．（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 47．（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 48．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形ABCD的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点。在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化。图2的统计图记录了点P移动时间和三角形PAB面积的变化情况。根据图中信息回答下列问题： (1)图2中的a是( )平方厘米，c是( )平方厘米。 (2)图1中梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 (3)移动( )秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 49．（2025·重庆江北·小升初真题）如图，在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段，图中阴影部分的面积占整个图形面积的___________。 50．（2026·浙江温州·小升初真题）如图，在直角梯形ABCD中，三角形ABE和三角形CDE都是等腰直角三角形，且BC＝10cm，那么直角梯形ABCD的面积是( )cm2。 51．（2025·北京丰台·小升初真题）中国古代石桥，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用。“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如图所示。这块“腰铁”截面的面积是( )平方厘米。 52．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算下图阴影部分的面积。 题型10 圆的有关计算问题 【答题技巧】灵活运用比例基本性质求半径平方。掌握圆周长公式及半圆弧长关系，理解大半圆弧长等于内部小半圆弧长之和。 53．（2025·四川成都·小升初真题）已知一个圆的半径为r，且r满足，则这个圆的面积为（    ）。 A． B．7 C． D．无法求出 54．（2026·四川成都·小升初真题）如图，从A地出发到B地，路线①和路线②的长度相比（    ）。 A．路线①长 B．一样长 C．路线②长 D．无法确定 55．（2026·四川泸州·小升初真题）已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆所扫过的面积是( )平方厘米。 56．（2026·四川成都·小升初真题）如图，AB＝BC＝8厘米，∠ABC＝∠BCD＝90°，一枚直径为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程中圆心走过的路径长______厘米。 57．（2026·四川成都·小升初真题）某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 58．（2026·四川泸州·小升初真题）泸州某校建设有400米跑道的运动场（如下图所示），如果聘请你任工程师，问： (1)若内圈直道长100米，则内圈弯道弧长半径为多少米？（π取值为3.14，得数保留整数） (2)共8个跑道，每条宽1.2米，操场最外圈长多少米？ (3)若操场中心铺绿草，跑道铺塑胶，则各需绿草、塑胶多少平方米？ (4)若绿草50元/平方米，塑胶350元/平方米，学校现有200万元，可以开工吗？ 题型11 立体图形的认识 【答题技巧】明确圆柱侧面展开图的多样性（长方形、正方形、平行四边形）。观察组合体三视图时，注意从上方看每列正方体的分布情况。 59．（2022·河南郑州·小升初真题）圆柱的侧面展开不可能是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 60．（2023·四川成都·小升初真题）下面左图是由5个相同的正方体木块搭成的几何体，从上面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 61．（2025·四川成都·小升初真题）在一个长方体的容器里，倒入适量水，再放入一个底面为正方形，底面边长是8厘米的长方体铁块，若铁块全部放入水中，则容器里的水面升高20厘米，若使浸没在水中的铁块露出水面10厘米，则水面下降5厘米，长方体铁块的高是（    ）厘米。 A．20 B．30 C．40 D．50 62．（2025·四川成都·小升初真题）如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想想会是（    ）。 A． B． C． D． 63．（2025·安徽合肥·小升初真题）一个圆柱体木块，底面直径是20厘米，高是6厘米，它的表面积是( )平方厘米。把它削成一个最大的圆锥，应削去( )立方厘米。（取3.14） 64．（2026·四川绵阳·小升初真题）下图是由圆柱筒切割后的零件模型，求它的表面积。 65．（2025·上海闵行·小升初真题）计算：89°6′24″－24°27′35″＝( )。 66．（2025·浙江杭州·小升初真题）如下图操作，可以将一个正方形剪成一个特殊的三角形。那么( )°，∠2＝( )°。 67．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形组成的图形。线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为( )。 68．（2026·四川成都·小升初真题）一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分的面积是______平方厘米。 69．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧。以C为圆心，6为半径作圆弧。若图中阴影部分的面积分别为S1、S2时，则______。（结果保留π） 70．（2025·四川成都·小升初真题）一个底面半径为10厘米的圆柱形容器里直立着底面半径为4厘米、高为50厘米的圆柱形玻璃棒，这时容器里的水深30厘米。现在轻轻将玻璃棒向上提起20厘米，那么露出水面的玻璃棒上被浸湿的部分约为_____厘米。 71．（2025·浙江温州·小升初真题）用A、B、C、D四个不同的长方形拼成一个大长方形（如图），已知A、B、C、D这四个长方形的面积比是2∶4∶6∶8，如果阴影部分面积为20平方厘米，那么整个大长方形的面积是多少平方厘米？ 72．（2025·重庆北碚·小升初真题）如图所示，四边形中和四边形都是正方形，，连接，与相交于点，与相交于点，如果正方形的面积是1，那么三角形的面积是多少？ 73．（2026·浙江温州·小升初真题）数学中的基本图形，通过拼组可以形成美丽的图案，现在我们一起来研究用长方形拼组风车纹图案吧。 (1)如下图所示，每个小长方形的长都是8厘米，宽都是4厘米，4个这样的小长方形拼成一个构图平衡、经典耐看的风车纹图案，这个风车纹图案中大、小正方形面积之比是多少？ (2)如果有4个长3厘米，宽1厘米的小长方形，你能按照这种方式拼出一个大、小正方形面积之比如第（1）题的风车纹图案吗？请说明理由。 (3)辰辰用4个小长方形按照第（1）题的方式也摆出了一些这样的风车纹图案。他所用的小长方形的长、宽可能是多少？请你写出2种，填在下表中。 长 6 10 宽 3 5 根据上面的探索，你有什么发现？ 长 6 10 宽 3 5 74．（2026·四川成都·小升初真题）圆是一个很有趣的图形，关于圆面积的计算也有很多巧妙的方法。根据S圆＝πr2，知道r可求出圆的面积，知道r2也可求出圆的面积，让我们一起学习与尝试吧。（π取3.14） (1)巧用r2可求出图中圆的面积。 因为等腰直角三角形的底是圆的______， 等腰直角三角形的高是圆的______， 所以等腰直角三角形的面积刚好是2r×r÷2＝r2，也就是6平方厘米，因此圆的面积是______平方厘米。 (2)巧用r2可求出图中阴影部分的面积。 思路：阴影部分的面积＝整个图形的总面积－大的半圆的面积。 ①整个图形的总面积：整个图形可以看作由两个小的半圆与一个等腰直角三角形组合而成，已知图中等腰直角三角形两条直角边的长度为4厘米，两个小的半圆的面积之和是______平方厘米；等腰直角三角形的面积是______平方厘米；整个图形的总面积是______平方厘米。 ②大的半圆的面积：等腰直角三角形的面积既可以通过两条直角边来算，即______平方厘米；也可以用2r×r÷2来算，即用r2来表示：所以r2＝______平方厘米。因此，大的半圆的面积是______平方厘米。 ③图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 75．（2025·上海闵行·小升初真题）对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组。 （1）如图1，已知∠AOB＝140°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝（    ）度。 （2）下列各图中，已知∠AOB＝40°，∠BOC＝50°，∠BOD＝60°，那么其中射线OA、OB、OC、OD为成内半角射线组的是（    ）。 （3）如图2，已知∠AOB＝30°，现将射线OA、OB同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线OC、OD。问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由。 试卷第2页，共58页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $