衔接点03 列方程解决实际问题（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

衔接点03 列方程解决实际问题 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习简易方程，包括用字母表示数、等式的性质、解简单的一元一次方程（如 𝑎𝑥+𝑏=𝑐型），以及列方程解决简单的实际问题（如行程问题、工程问题的基础模型）。核心数学素养是符号意识和运算能力，通过“设未知数→找等量关系→列方程”的初步训练，建立代数思维的雏形。 初中阶段将数系扩展到有理数、实数，方程类型从一元一次方程拓展到二元一次方程组、一元二次方程、分式方程等；同时引入代数式（整式、分式、根式）、不等式等内容，研究更复杂的数量关系（如函数与方程的联系）。核心数学素养升级为抽象能力（理解字母表示数的普遍意义）、模型观念（构建多元方程模型）和应用意识（解决实际情境中的复杂问题）。 衔接引导 从“找等量”到“建模型”：小学侧重于在文字叙述中直接找到“谁等于谁”；初中则要求先理解背景（如利润=售价-进价，路程=速度×时间），构建通用的数学模型，再代入具体数据。 从“直接设元”到“灵活设元”：小学通常问什么设什么（直接设元）；初中面对复杂问题时，往往需要间接设元（设辅助未知数）或设而不求，甚至利用参数法来简化计算。 检验意识的升级：小学的解通常为正整数或简单小数；初中的解可能是负数、分数，且在应用题中必须检验解是否符合实际意义（如人数不能为负，边长不能为零）。 考点阐释 常见数量关系的公式化 行程问题： 路程=速度×时间路程=速度×时间 。初中常考环形跑道、火车过桥、流水行船（顺水速度=静水速度+水速）。 工程问题： 工作总量=工作效率×工作时间工作总量=工作效率×工作时间 。通常把工作总量看作单位“1”。 销售利润问题： 利润=售价−进价利润=售价−进价 ， 利润率=利润进价×100%利润率=进价利润​×100% ， 售价=标价×折扣售价=标价×折扣 。 方案选择问题：通过列方程或不等式比较不同方案的成本或收益，找出最优解。 解题步骤规范化（五步法） 审：审清题意，分清已知量和未知量。 设：设未知数（注意单位）。 列：列出方程（关键是找等量关系）。 解：解方程。 答：检验并写出答案（注意单位和作答完整性）。 方法总结 整体思想：把某一部分看作一个整体进行代换。 数形结合：利用线段图、表格来分析复杂的行程或工程问题，使等量关系可视化。 题型1 列方程解决和差倍问题 【解题技巧】找准倍数关系设未知数（通常设“1倍量”为x），利用“总量=各部分之和”列方程。注意处理连续自然数或等比数列求和，合并同类项求解。 1．（2025·山东青岛·小升初真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 2．（2025·重庆渝北·小升初真题）两数相除。商3余6，被除数、除数、商、余数四数之和等于815，则被除数是______。 3．（2025·上海闵行·小升初真题）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 4．（2025·安徽合肥·小升初真题）某小学航模小组有20人，比美术小组的人数少了。该小学美术小组有多少人？（用方程解答） 5．（2026·四川绵阳·小升初真题）学校在植树节时给六年级分树苗，六1班分到5棵加剩下树苗的，六2班分到10棵加剩下树苗的，六3班分到15棵加剩下树苗的……最后，所有树苗刚好分完且每班分到的树苗相同。这批树苗一共有多少棵？ 题型2 用方程解决几何问题 【解题技巧】结合图形特征找等量关系。如时钟问题利用“角度差”或“路程差”列式；重叠图形利用“周长和”或“面积差”建立方程，注意单位换算。 6．（2025·重庆渝北·小升初真题）在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻时间为3时_________分。 7．（2024·河南郑州·小升初真题）如图所示，两个正方形重叠摆放后，这两个阴影部分的周长和是80厘米，它们的面积相差80平方厘米，那么这两个正方形面积和是（    ）平方厘米。 A．160 B．208 C．200 D．216 8．（2025·河南商丘·小升初真题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 9．（2025·上海闵行·小升初真题）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当OD＝2OC时，则t＝( )秒。 10．（2025·吉林长春·小升初真题）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如图）那么，图中阴影部分的面积是____________平方厘米。 如图：根据题意将它的最短边对折与斜边相重合可知，则AC＝6厘米，BC＝8cm；AB＝10厘米；AD＝AC；DE＝EC；设DE为x厘米，则EC也是x厘米；根据三角形面积＝底×高÷2，三角形ABE的面积＋三角形AEC的面积＝三角形ABC的面积，列方程：10x÷2＋6x÷2＝6×8÷2，据此求出DE的长度；再用AB－AD，求出BD的长度，再根据三角形面积公式，求出阴影部分面积。 题型3 用方程解决数字问题 【解题技巧】掌握位值原理：两位数=10×10× 十位+个位。设其中一个数位为x，表示出另一个数位及原数、新数，根据“数值变化”或“对调关系”列方程求解。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两个数是（    ）。 A．25 B．16 C．34 D．61 12．（2025·重庆北碚·小升初真题）设有一个六位数，乘以3后为，则这个六位数为______。 13．（2024·湖北十堰·小升初真题）一个三位数，各数位数字均不为0。将它的三个数位的数字、三个数位的数字两两乘积、三个数位数字的乘积相加，恰好等于它本身，则称这个三位数为“长久数”。如：123≠1＋2＋3＋1×2＋2×3＋l×3＋l×2×3，所以123不是“长久数”。求最小的“长久数”。 14．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。 (1)请求出427的“团结数”。 (2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 15．（2025·重庆江北·小升初真题）材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab－（a＋b）＝c，则称这个三位数为“2020”数，例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：2×3－（2＋3）＝1，所以231是“2020”数。 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：1＋0＋8＝9，9÷9＝1，所以108一定能被9整除。 （1）阅读材料1，请判断725是否为“2020”数，并说明理由。 （2）根据材料1和2，求所有小于600且能被9整除的“2020”数。 题型4 用方程解决年龄问题 【解题技巧】抓住“年龄差不变”或“倍数变化”规律。设当前年龄为x，表示出过去或未来的年龄。利用多人年龄和的变化（每人每年长1岁）构建等量关系。 16．（2024·重庆渝北·小升初真题）“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年( )岁。 17．（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 18．（2024·重庆渝北·小升初真题）元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年为( )岁。 19．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。 20．（2025·重庆渝北·小升初真题）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，_________分钟能追上。 21．（24-25五年级上·河北承德·期末）小明的爸爸比妈妈大3岁，小明的爸爸、妈妈今年的岁数和是89。小明的妈妈今年多少岁？（列方程解答） 题型5 用方程解决年龄问题 【解题技巧】画线段图辅助分析。相遇问题用“速度和×时间=总路程”；追及问题用“速度差×时间=路程差”。注意统一时间单位，找准出发点和相遇点。 22．（2025·安徽合肥·小升初真题）两列火车从相距630千米的两地同时相向开出。甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶90千米。经过几小时两车相遇？ 23．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米，求甲乙两车的速度。 24．（2026·江苏淮安·小升初真题）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可追上；若开汽车，每小时行45千米，( )分钟能追上。 25．（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，2.4小时后相距216千米。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 解：设乙车的速度是x千米/时。 _________________ 26．（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 27．（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 28．（2025·重庆·小升初真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB—BC—CD—DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC—CD的线路运动，设运动的时间为t（s）。（0＜t＜8） （1）当点P在AB—BC上运动时， ①用含t的代数式表示线段BP的长度。 ②当BQ＝2BP时，求t的值。 （2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ， ③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度。 ④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围。 题型6 用方程解决营销问题 【解题技巧】理清“利润=售价-成本”及“利润率”公式。设成本或进价为x，表示出售价和利润。抓住“总价不变”或“利润变化百分比”作为核心等量关系列式。 29．（2026·四川绵阳·小升初真题）一种商品，今年的成本比去年增加了10%，由于市场经济不好，仍然只能保持原价，因此，利润下降了40%，那么今年这种商品的售价是成本的（    ）。 A． B． C． D． 30．（2025·重庆江北·小升初真题）商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱。 31．（2025·河南郑州·小升初真题）一个蔬菜经营户从批发市场购进西红柿和豆角共50千克，一共花费了152元。西红柿和豆角当天的批发价与零售价如下表： 品名 西红柿 豆角 批发价（元/千克） 2.4 3.2 零售价（元/千克） 3.6 5 该蔬菜经营户当天卖完这些蔬菜一共赚了多少元？ 32．（2025·山东临沂·小升初真题）甲乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际售出时，应顾客要求，两件衣服均按九折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 33．（2024·陕西汉中·小升初真题）端午节东茂超市举办满赠活动。赵阿姨抢到了“满180减40元”和“满100减20元”的券共7张，满减后需个人支付800元。赵阿姨共抢到“满180减40元”和“满100减20元”的券各几张？请说明理由。 34．（2025·重庆渝北·小升初真题）一批商品，按照期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%，问打了多少折扣？ 35．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）某出租车公司有100辆出租车，平均每天每车消耗的汽油费为80元。为了减少环境污染，公司决定对出租车进行“油改气”的改造。公司第一次改造了部分车辆后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司共改装了多少辆出租车？改装后的出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ 36．（2025·重庆渝北·小升初真题）张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元。已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？ 37．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 38．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 （1）该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ （2）该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 39．（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。 (1)求手镯中金属和金属的重量比。 (2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 40．（2024·重庆渝北·小升初真题）毕业班的联欢会共有100名同学参加，男同学先到会。第一个到会的女同学与全部男同学握过手，第二个到会的女同学只差1个男同学没握过手，第三个到会的女同学只差2个男同学没握过手，如此直到最后一个到会的女同学与9个男同学握过手。问到会的女同学有( )人。 41．（2025·重庆北碚·小升初真题）学校要求六年级一班的第一小队种植向日葵若干棵，小队长这样分配任务：刘丽要种10棵和余下任务的；剩下的任务由赵男种20棵和其余任务的，再剩下的任务，由王强种30棵和其余任务的……照这样分任务后发现，全小队每人种植向日葵的棵数都相等。问第一小队共种植向日葵______棵。 42．（2025·湖北武汉·小升初真题）工艺品店接到一批紫砂壶的订单，原计划平均每人制作40件；如果增加5名工人，那么平均每人的工作量减少8件，这份订单订购了______件紫砂壶。 43．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有________人。 44．（2025·重庆渝北·小升初真题）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成。若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了______天。 45．（2026·四川泸州·小升初真题）友谊小学和奉献小学为印度洋海啸灾区共捐款3000元，已知友谊小学捐款的比奉献小学捐款的少50元。两个小学各捐款多少元？ 46．（2025·安徽合肥·小升初真题）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 47．（2024·湖北十堰·小升初真题）某停车场实施分段计费：不超过10个小时的部分每小时5元；超过10的小时不超过24小时的部分每小时4元；超过24小时的部分每小时3元（按整数小时计时收费，不足1小时的部分按1时间计算）。李老师两次在停车场停车共计40小时，停车费共交了176元。求两次停车各多长时间？ 48．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 49．（2025·江苏苏州·小升初真题）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 50．（2022·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙、丙三瓶溶液，甲的浓度比乙高6%，乙的浓度是丙的4倍。如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，那么混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是多少？它们的浓度分别是多少？ 51．（2025·吉林长春·小升初真题）为了解决用电矛盾，决定在某小区试点实施居民分时电价，具体通知如下： （1）时段划分：居民分时电价分为高峰时段和低谷时段。高峰时段指每日早8时至晚9时，低谷时段指每日晚9时至次日早8时。 （2）电价标准：高峰时段电价0.55元/千瓦时；低谷时段电价0.30元/千瓦时。 （3）本次更换电能表的费用由供电部门承担。 我们知道居民用电原标准为0.52元/千瓦时。当某居民家在高峰时段的用电量与低谷时段的用电量的比是( )∶( )时，执行原电价标准和实施分时电价标准的费用一样多。 试卷第4页，共52页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点03 列方程解决实际问题 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习简易方程，包括用字母表示数、等式的性质、解简单的一元一次方程（如 𝑎𝑥+𝑏=𝑐型），以及列方程解决简单的实际问题（如行程问题、工程问题的基础模型）。核心数学素养是符号意识和运算能力，通过“设未知数→找等量关系→列方程”的初步训练，建立代数思维的雏形。 初中阶段将数系扩展到有理数、实数，方程类型从一元一次方程拓展到二元一次方程组、一元二次方程、分式方程等；同时引入代数式（整式、分式、根式）、不等式等内容，研究更复杂的数量关系（如函数与方程的联系）。核心数学素养升级为抽象能力（理解字母表示数的普遍意义）、模型观念（构建多元方程模型）和应用意识（解决实际情境中的复杂问题）。 衔接引导 从“找等量”到“建模型”：小学侧重于在文字叙述中直接找到“谁等于谁”；初中则要求先理解背景（如利润=售价-进价，路程=速度×时间），构建通用的数学模型，再代入具体数据。 从“直接设元”到“灵活设元”：小学通常问什么设什么（直接设元）；初中面对复杂问题时，往往需要间接设元（设辅助未知数）或设而不求，甚至利用参数法来简化计算。 检验意识的升级：小学的解通常为正整数或简单小数；初中的解可能是负数、分数，且在应用题中必须检验解是否符合实际意义（如人数不能为负，边长不能为零）。 考点阐释 常见数量关系的公式化 行程问题： 路程=速度×时间路程=速度×时间 。初中常考环形跑道、火车过桥、流水行船（顺水速度=静水速度+水速）。 工程问题： 工作总量=工作效率×工作时间工作总量=工作效率×工作时间 。通常把工作总量看作单位“1”。 销售利润问题： 利润=售价−进价利润=售价−进价 ， 利润率=利润进价×100%利润率=进价利润​×100% ， 售价=标价×折扣售价=标价×折扣 。 方案选择问题：通过列方程或不等式比较不同方案的成本或收益，找出最优解。 解题步骤规范化（五步法） 审：审清题意，分清已知量和未知量。 设：设未知数（注意单位）。 列：列出方程（关键是找等量关系）。 解：解方程。 答：检验并写出答案（注意单位和作答完整性）。 方法总结 整体思想：把某一部分看作一个整体进行代换。 数形结合：利用线段图、表格来分析复杂的行程或工程问题，使等量关系可视化。 题型1 列方程解决和差倍问题 【解题技巧】找准倍数关系设未知数（通常设“1倍量”为x），利用“总量=各部分之和”列方程。注意处理连续自然数或等比数列求和，合并同类项求解。 1．（2025·山东青岛·小升初真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【分析】根据题意可知，每层灯的数量是上一层的2倍，据此设顶层x盏灯，第二层有2x盏灯，第三层有4x盏灯，第四层有8x盏灯，第五层有16x盏灯，第六层有32x盏灯，第七层有64x盏灯，已知一共有381盏灯，列方程为x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381，据此解出方程即可。 【详解】解：设顶层x盏灯。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381 127x＝381 127x÷127＝381÷127 x＝3 塔的顶层共有3盏灯。 故答案为：B 2．（2025·重庆渝北·小升初真题）两数相除。商3余6，被除数、除数、商、余数四数之和等于815，则被除数是______。 【答案】606 【分析】被除数÷除数＝商……余数，由题意知：商3余6，所以被除数÷除数＝3……6，根据除法各部分的关系可知：除数×商＋余数＝被除数，设除数是x，则被除数是（3x＋6），又知：被除数、除数、商、余数四数之和等于815，据此列出方程求解即可。 【详解】解：设除数是x，则被除数是（3x＋6） （3x＋6）＋x＋3＋6＝815 （3x＋x）＋（6＋3＋6）＝815 4x＋15＝815 4x＋15－15＝815－15 4x＝800 4x÷4＝800÷4 x＝200 3x＋6 ＝3×200＋6 ＝600＋6 ＝606 所以两数相除。商3余6，被除数、除数、商、余数四数之和等于815，则被除数是606。 3．（2025·上海闵行·小升初真题）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 【答案】6 【分析】四支球队进行单循环比赛，总比赛场数为6场。比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分，两队的总得分是3＋0＝3分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分，两队的总得分是2＋1＝3分。每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。各队得分是四个连续自然数，设分别为x、x＋1、x＋2、x＋3，其和为18，列方程解答。 【详解】一共比赛了：3＋2＋1＝6（场） 总得分：3×6＝18（分） 设四个队中的最低分是x分 x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＝18 4x＋6＝18 4x＋6－6＝18－6 4x＝12 4x÷4＝12÷4 x＝3 所以最高得分为：3＋3＝6（分） 【点睛】通过得分情况，可知每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。设最低得分为x，其他几个连续的自然数就可以分别用含有x的式子表示出来，比赛总得分为18分，建立等量关系，列方程解答。 4．（2025·安徽合肥·小升初真题）某小学航模小组有20人，比美术小组的人数少了。该小学美术小组有多少人？（用方程解答） 【答案】25人 【分析】把美术小组的人数看作单位“1”，根据题意得到等量关系：美术小组的人数－×美术小组的人数＝航模小组的人数。据此列方程解答即可。 【详解】解：设该小学美术小组有人。 x－x＝20 x＝20 x÷＝20÷ x＝20× x＝25 答：该小学美术小组有25人。 5．（2026·四川绵阳·小升初真题）学校在植树节时给六年级分树苗，六1班分到5棵加剩下树苗的，六2班分到10棵加剩下树苗的，六3班分到15棵加剩下树苗的……最后，所有树苗刚好分完且每班分到的树苗相同。这批树苗一共有多少棵？ 【答案】80棵 【分析】设这批树苗一共有x棵，六一班先分5棵，剩余（x－5）棵，再分剩余的，由此列出六一班分得算式并化简；从总棵数中减掉六一班分得数量，得到分给六二班之前剩下的树苗，六二班先拿10棵后再分余下的，据此列出六二班分得的算式；题目已知各班分得树苗数量相等，因此将两个班级的分得算式左右相等，列出方程并解方程即可解答。 【详解】解：设这批树苗一共有x棵。 第一组分到：（x－5）×＋5 ＝x－1＋5 ＝（x＋4）棵 第二组分到：[x－（x＋4）－10]×＋10 ＝[x－x－4－10]×＋10 ＝[x－14]×＋10 ＝（x－＋10）棵 根据题意，列出方程： x＋4＝x－＋10 x＋4－x＝x－＋10－x x＋4－x＝x－＋10－x x＋4＝10－ x＋4－4＝10－－4 x＝6－ x＝ x÷＝÷ x＝×25 x＝80 答：这批树苗一共有80棵。 题型2 用方程解决几何问题 【解题技巧】结合图形特征找等量关系。如时钟问题利用“角度差”或“路程差”列式；重叠图形利用“周长和”或“面积差”建立方程，注意单位换算。 6．（2025·重庆渝北·小升初真题）在钟面上，时针和分针离“3”的距离相等，并且在3的两旁边，那么此时刻时间为3时_________分。 【答案】/ 【分析】设从3点整到此时经过x分钟。分针每分钟转6度，此时分针位置为6x度；时针每分钟转0.5度，此时时针位置为（90＋0.5x）度（3点对应90度）。根据题意，两针离“3”的角度距离相等且位于两侧，分针在3的逆时针方向，时针在3的顺时针方向，因此分针到3的角度为90−6x，时针到3的角度为0.5x，两者相等，据此列方程解答。 【详解】设从3点整到此时经过x分钟。 90－6x＝0.5x 90－6x＋6x＝0.5x＋6x 6.5x＝90 x＝90÷6.5 x＝ x＝ 所以此时刻时间为3时分。 【点睛】明确分针和时针每分钟分别走的度数，设出未知数，找出等量关系是解题的关键。 7．（2024·河南郑州·小升初真题）如图所示，两个正方形重叠摆放后，这两个阴影部分的周长和是80厘米，它们的面积相差80平方厘米，那么这两个正方形面积和是（    ）平方厘米。 A．160 B．208 C．200 D．216 【答案】B 【分析】根据题意：可设大正方形的边长为a厘米，小正方形的边长为b厘米，根据题意可得：4a＋4b＝80，可得出a＋b＝20，即a和b的和为20，且根据面积a2－b2＝80，可得到两个正方形的面积的个位上的数相等，据此可列举得出答案。 【详解】解：设大正方形的边长为a厘米，小正方形的边长为b厘米，根据题意可得： 4a＋4b＝80 a＋b＝80÷4＝20，即a＝20－b，则满足条件的整数数组有：19和1、18和2、17和3、16和4、15和5、14和6、13和7、12和8、11和9。又因为a2－b2＝80，则边长的平方的个位数相同，可得到17和3、16和4、15和5、14和6、12和8、11和9符合。 依次计算：17和3、16和4、15和5、14和6的面积相差过大，只有12和8，即面积差： 12×12－8×8 ＝144－64 ＝80（平方厘米） 即大正方形边长是12厘米，小正方形边长是8厘米。面积之和为： 12×12＋8×8 ＝144＋64 ＝208（平方厘米）。 故答案为：B 8．（2025·河南商丘·小升初真题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 【答案】开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 【分析】整点钟声次数为几点就响几下，且总和为14。唯一连续整数组合为2＋3＋4＋5＝14，说明会议期间听到2点、3点、4点、5点的钟声。 第一次钟声在2：00响起，会议开始10分钟后听到，故开始时间为2：00−10分钟＝1：50。 结束时间在5点后，时针与分针成90°角。 时针速度：0.5°/分钟，分针速度：6°/分钟。 5点整时，分针位置为0°即指向12，时针位置指向5，旋转的角度为5×30°＝150°。 设5点过x分钟后满足条件，可列出满足下列两种情况的方程并求解： 当分针在“1－5区间”任意位置时，时针与分针的夹角为： 150＋0.5x－6x＝90 当分针在“5－12区间”任意位置时，分针与时针的夹角为： 6x－（150＋0.5x）＝90 【详解】2＋3＋4＋5＝14，说明会议期间听到2点、3点、4点、5点的钟声。 2：00−10分钟＝1：50 解：设5点过x分钟时针与分针成90°角。 假设当分针在钟面“1－5区间”任意位置时，则： 150＋0.5x－6x＝90 150－5.5x＝90 150＝90＋5.5x 90＋5.5x＝150 5.5x＝150－90 5.5x＝60 x＝60÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 假设当分针在钟面“5－12区间”任意位置时，则： 6x－（150＋0.5x）＝90 6x－150－0.5x＝90 5.5x－150＝90 5.5x＝90＋150 5.5x＝240 x＝240÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 答：会议开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 【点睛】本题关键是利用“整点钟声次数和为14”确定听到的整点，再结合时针每分钟走0.5°、分针每分钟走6°的规律，通过夹角公式计算结束时间。 9．（2025·上海闵行·小升初真题）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当OD＝2OC时，则t＝( )秒。 【答案】5/ 【分析】先求点C表示的数：点A初始表示的数是1，速度是每秒2个单位长度向右运动，根据路程＝速度×时间，t秒后点A运动的距离是2t个单位长度。所以点C表示的数为（1＋2t），那么OC的长度就是点C表示的数的绝对值，因为t≥0，1＋2t＞0，所以OC＝1＋2t。再求点D表示的数：点B初始表示的数是－3，速度是每秒5个单位长度向右运动，t秒后点B运动的距离是5t个单位长度。所以点D表示的数为－3＋5t，即5t－3，OD的长度就是点D表示的数的绝对值。当5t－3≥0，即t≥时，OD＝5t－3；当5t－3＜0，即t＜时，OD＝－（5t－3）＝3－5t。然后分情况列方程求解：当t≥时，因为OD＝2OC，所以方程为5t－3＝2×（1＋2t）。当t＜时，因为OD＝2OC，所以方程为3－5t＝2×（1＋2t）。分别解方程即可。 【详解】当t≥时， 5t－3＝2×（1＋2t） 解：5t－3＝2×1＋2×2t 5t－3＝2＋4t 5t－4t－3＝2 t－3＝2 t＝2＋3 t＝5 当t＜时， 3－5t＝2×（1＋2t） 解：3－5t＝2×1＋2×2t 3－5t＝2＋4t 3＝2＋4t＋5t 3－2＝4t＋5t 1＝9t 9t＝1 t＝1÷9 t＝ 数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当OD＝2OC时，则t＝5或秒。 【点睛】题解题关键在于依据速度、时间与路程关系，确定点A、B运动t秒后在数轴上对应的点C、D所表示的数，进而得出OC、OD与t的关系。考虑点D表示数的正负性，分t≥和t＜两种情况，根据OD＝2OC这一关键等量关系列出方程并求解。 10．（2025·吉林长春·小升初真题）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如图）那么，图中阴影部分的面积是____________平方厘米。 【答案】6 【分析】 如图：根据题意将它的最短边对折与斜边相重合可知，则AC＝6厘米，BC＝8cm；AB＝10厘米；AD＝AC；DE＝EC；设DE为x厘米，则EC也是x厘米；根据三角形面积＝底×高÷2，三角形ABE的面积＋三角形AEC的面积＝三角形ABC的面积，列方程：10x÷2＋6x÷2＝6×8÷2，据此求出DE的长度；再用AB－AD，求出BD的长度，再根据三角形面积公式，求出阴影部分面积。 【详解】如图： 解：设DE为x厘米，则EC也是x厘米。 10x÷2＋6x÷2＝6×8÷2 5x＋3x＝48÷2 8x＝24 8x＝24÷8 x＝3 （10－6）×3÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如图）那么，图中阴影部分的面积是6平方厘米。 题型3 用方程解决数字问题 【解题技巧】掌握位值原理：两位数=10×10× 十位+个位。设其中一个数位为x，表示出另一个数位及原数、新数，根据“数值变化”或“对调关系”列方程求解。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两个数是（    ）。 A．25 B．16 C．34 D．61 【答案】B 【分析】设十位数字为x，十位数字与个位数字的和是7，则个位数字为7－x。把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，原数为：10x＋（7－x），对调后的数为：10（7－x）＋x。据此可列出方程：10x＋（7－x）＋45＝10（7－x）＋x，然后解方程即可。 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为7－x。 10x＋（7－x）＋45＝10（7－x）＋x 10x＋7－x＋45＝70－10x＋x （10x－x）＋（7＋45）＝70－10x＋x 9x＋52＝70－10x＋x 9x＋52－52＝70－10x＋x－52 9x＝18－10x＋x 9x＋10x＝18－10x＋x＋10x 19x＝18＋x 19x－x＝18＋x－x 18x＝18 18x÷18＝18÷18 x＝1 10×1＋（7－1） ＝10＋6 ＝16 所以这个两个数是16。 故答案为：B 12．（2025·重庆北碚·小升初真题）设有一个六位数，乘以3后为，则这个六位数为______。 【答案】142857 【分析】六位数的后五位，与乘积的前五位是相同的数字。设，六位数可以表示成100000＋，乘积可以表示成10＋1。根据题意列方程，应用等式的性质解答即可。 【详解】设，则，， 故这个六位数为142857。 【点睛】本题考查了通过设未知数并根据数位的意义列方程解决问题。解题关键是理解每个数位上的数字表示的是有几个这样的计数单位，并找到等量关系“原数×3＝新数”。 13．（2024·湖北十堰·小升初真题）一个三位数，各数位数字均不为0。将它的三个数位的数字、三个数位的数字两两乘积、三个数位数字的乘积相加，恰好等于它本身，则称这个三位数为“长久数”。如：123≠1＋2＋3＋1×2＋2×3＋l×3＋l×2×3，所以123不是“长久数”。求最小的“长久数”。 【答案】199 【分析】根据题意，设一个三位数为abc，其中每个数位上的数字都不为0，计算“长久数”的条件为：三个数字相加a＋b＋c，两两相乘相加ab＋ac＋bc，三个数字相乘abc，它们的总和为a＋b＋c＋ab＋ac＋bc＋abc，这个总和要等于原来的三位数：100a＋10b＋c。 先确定百位尝试范围，要找最小“长久数”，因三位数百位越小，数整体越小，所以先从百位为1的三位数开始探索，进而再设该三位数为100＋10b＋c。由此可以列出1＋b＋c＋b＋c＋bc＋bc＝100＋10b＋c，通过等式的变换，得到，因为c为一位数，所以通过试数b，使为一位整数，进而找出满足符合条件的b与c。 验证结果是否符合：将确定的b、c值代入原三位数，按照“长久数”的定义重新计算验证，确认该数满足条件。 【详解】设一个三位数为abc（a、b、c均为不唯0的一位数） 当a＝1时，有1＋b＋c＋b＋c＋bc＋bc＝100＋10b＋c 1＋2b＋2c＋2bc＝100＋10b＋c 2c－c＋2bc＝100－1＋10b－2b c＋2bc＝99＋8b c（2b＋1）＝99＋8b  当b＝1时，，c不是一位数，不满足； 当b＝2时，，c不是一位数，不满足； 当b＝3时，，c不是一位数，不满足； 当b＝4时，，c不是一位数，不满足； 当b＝5时，，c不是一位数，不满足； 当b＝6时，，c不是一位数，不满足； 当b＝7时，，c不是一位数，不满足； 当b＝8时，，c不是一位数，不满足； 当b＝9时，，c是一位数，满足； 得到三位数为100＋10×9＋9＝199 验证：1＋9＋9＋1×9＋1×9＋9×9＋1×9×9 ＝1＋9＋9＋9＋9＋81＋81 ＝199 199符合“长久数”定义。 答：最小的“长久数”为199。 【点睛】解题的关键是通过用不同的数字来表示这个未知的三位数，结合各个数字之间的关系，确定关系式，再通过试数的方式找出满足条件的结果。 14．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个三位正数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为。 (1)请求出427的“团结数”。 (2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（，）。若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 【答案】(1)286 (2)218或284 【分析】首先要理解“团结数”的定义，即从三位数的百位、十位、个位数字中任选两个组成新的两位数并求和。 ①直接按照定义计算427的“团结数”。 ②先根据定义表示出N的“团结数”，再根据“团结数”与N之差为24列出方程求解。 【详解】（1）根据“团结数”的定义，从427的百位数字4、十位数字2、个位数字7中任选两个组成新的两位数，有42、47、24、27、74、72。 将这些两位数求和： 答：427的“团结数”是286。 （2）求N的“团结数”，从2、a、b中任选两个组成新的两位数，有2a、2b、a2、ab、b2、ba。 将这些两位数求和： 因为N百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，所以N可以表示为。 因为N的“团结数”与N之差为24，所以可列方程： 因为a、b为整数且，，，，。 通过试值法，当时，，，，。 此时，，。 当时，，，，。 此时，，。 答：N的值为218或284。 15．（2025·重庆江北·小升初真题）材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab－（a＋b）＝c，则称这个三位数为“2020”数，例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：2×3－（2＋3）＝1，所以231是“2020”数。 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：1＋0＋8＝9，9÷9＝1，所以108一定能被9整除。 （1）阅读材料1，请判断725是否为“2020”数，并说明理由。 （2）根据材料1和2，求所有小于600且能被9整除的“2020”数。 【答案】（1）是；理由见详解 （2）297；333；369 【分析】（1）根据“2020”数的特征，725百位上的数字（7）与十位上的数字（2）之积减去百位上的数字（7）与十位上的数字（2）之和所得之差，据此判断即可； （2）根据能被9整除的数的特征可知，三位数数位数字之和能被9整除该数即可能被9整除，即三位数如果能被9整除，则数位数字之和为27、18、9，而题干要求小于600且能被9整除的“2020”数。考虑999的数位数字之和是27，而999＞600，故只需考虑数位数字和为18和9即可，然后结合“2020”数的特征分情况讨论计算即可求出所有小于600且能被9整除的“2020”数。 【详解】（1）7×2－（7＋2） ＝14－9 ＝5 答：即725是“2020”数，因为百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和是5，恰好等于个位上的数字5。所以该数符合“2020”数的特征。 （2）由题可知，若一个整数各个数位上的数字之和能够被9整除，则这个整数一定能够被9整除， 因为最大的三位自然数为999，三个数位数字和是27，且三位自然数要小于600， 所以三位自然数的数位数字和不可能得到27， 所以小于27且是9的倍数的数位数字之和有18和9， 设这个三位自然数是， 第一种情况：三位自然数数位数字之和为18且三位自然数要小于600，所以百位的数字最大为5。 当a＝5时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： b和c均为非整数解，显然不符合题意， 故a＝5且a＋b＋c＝18时，没有三位数符合“2020”数的特征； 当a＝4时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： c是一位数字，显然c＝11不符合题意， 故a＝4且a＋b＋c＝18时，没有三位数符合“2020”数的特征； 当a＝3时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： 即该数是369，符合“2020”数的特征， 故a＝3且a＋b＋c＝18时，三位数369符合“2020”数的特征； 当a＝2时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： 即该数是297，符合“2020”数的特征， 故a＝2且a＋b＋c＝18时，三位数297符合“2020”数的特征； 当a＝1时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： 显然c＝﹣1不符合题意， 故a＝1且a＋b＋c＝18时，没有三位数符合“2020”数的特征。 第二种情况：三位自然数数位数字之和为9且三位自然数要小于600，所以百位的数字最大为5。 当a＝5时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： b和c均为非整数解，显然不符合题意， 故a＝5且a＋b＋c＝9时，没有三位数符合“2020”数的特征； 当a＝4时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： b和c均为非整数解，显然不符合题意， 故a＝4且a＋b＋c＝9时，没有三位数符合“2020”数的特征； 当a＝3时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： 即该数是333，符合“2020”数的特征， 故a＝3且a＋b＋c＝9时，三位数369符合“2020”数的特征； 当a＝2时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： b和c均为非整数解，显然不符合题意， 故a＝2且a＋b＋c＝9时，没有三位数符合“2020”数的特征； 当a＝1时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： 解得： 显然c＝﹣1不符合题意， 故a＝1且a＋b＋c＝9时，没有三位数符合“2020”数的特征； 综上，297、333、369是小于600目能被9整除的“2020”数。 答：所有小于600且能被9整除的“2020”数有297、333、369。 【点睛】本题考查了新运算的应用，明确“2020”数的定义以及能被9整除的数的特征是解答本题的关键。 题型4 用方程解决年龄问题 【解题技巧】抓住“年龄差不变”或“倍数变化”规律。设当前年龄为x，表示出过去或未来的年龄。利用多人年龄和的变化（每人每年长1岁）构建等量关系。 16．（2024·重庆渝北·小升初真题）“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年( )岁。 【答案】90 【分析】根据题意，两年以后，每位老人都增加了2岁，即增加的年龄和是2×25＝50（岁），用2000减去50就是25位老人今年的年龄和，设最小的老人是n岁，则其他老人的年龄分别为：（n＋1）岁、（n＋2）岁…（n＋24）岁，它们的和等于1950，据此列方程并解答，再用最小的老人的岁数加24即可得解。 【详解】2000－2×25 ＝2000－50 ＝1950（岁） 解：设最小的老人是n岁，由题意得： n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（n＋23）＋（n＋24）＝1950 25n＋（1＋2＋3＋…＋23＋24）＝1950 25n＋300＝1950 25n＋300－300＝1650－300 25n＝1650 25n÷25＝1650÷25 n＝66 那么年龄最大的老人今年的岁数是： n＋24＝66＋24＝90（岁） 因此，年龄最大的老人今年90岁。 【点睛】分别找出25位老人今年的年龄和与25个连续自然数的和，据此列出方程，是解题的关键。 17．（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 【答案】46 【分析】先求妈妈从40岁到74岁经过的年数为74－40＝34年，设当女儿年龄是儿子的时，儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁；当儿子32岁时，距离今年的年数为（3x＋34）－32＝3x＋2年，即3x＋2年前，此时女儿的年龄为（2x＋34）－（3x＋2）＝32－x岁，妈妈的年龄为74－（3x＋2）＝72－3x岁，根据“此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁”的条件，列出方程72－3x＝2（32－x）＋4，解方程得x＝4，因此儿子今年的年龄为3×4＋34＝46岁。 【详解】74－40＝34（岁） 解：设当年儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁。 72－3x＝2（32－x）＋4 72－3x＝64－2x＋4 72－3x＋3x＝64－2x＋4＋3x 72＝68＋x 68＋x＝72 68＋x－68＝72－68 x＝4 3×4＋34 ＝12＋34 ＝46（岁） 儿子今年46岁。 18．（2024·重庆渝北·小升初真题）元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年为( )岁。 【答案】90 【分析】根据“他们的年龄恰好是25个连续自然数”，设最小的老人今年是n岁。第二个人的年龄为n＋1，最后一个人的年龄为n＋24，根据今年的年龄和为（2000－2×25），列出方程并求出n的值，进而求出n＋24的值即可。 【详解】解：设最小的老人今年是n岁。 n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（n＋23）＋（n＋24）＝2000－2×25 25n＋（1＋2＋3＋…＋23＋24）＝1950 25n＋300＝1950 25n＋300－300＝1950－300 25n＝1650 25n÷25＝1650÷25 n＝66 那么年龄最大的老人今年的岁数是： n＋24＝66＋24＝90（岁） 其中年龄最大的老人今年90岁。 19．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。 【答案】620 【分析】本题可先将汽车速度单位换算为米/秒，再分别计算出汽车在4秒内行驶的距离和声音在4秒内传播的距离，最后通过设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是（x＋120）米，根据声音传播的总路程与汽车行驶的路程和等于按喇叭时汽车到山谷距离的2倍，列出方程求解。 【详解】1千米＝1000米 1小时＝3600秒 108×1000÷3600 ＝108000÷3600 ＝30（米/秒） 30×4＝120（米） 340×4＝1360（米） 解：设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是（x＋120）米。 2（x＋120）＝120＋1360 2x＋2×120＝1480 2x＋240＝1480 2x＝1480－240 2x＝1240 x＝1240÷2 x＝620 听到回响时汽车离山谷的距离是620米。 【点睛】关键是先保证单位的统一，通过“路程和＝2倍初始距离”，将复杂的运动问题转化为简单的方程求解。 20．（2025·重庆渝北·小升初真题）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，_________分钟能追上。 【答案】45 【分析】设小明步行的速度为x千米/小时。追及问题的公式为：追及路程＝（追及者速度－被追者速度）×追及时间，骑自行车追及为：（15－x）×3（速度差15－x，时间3小时）；骑摩托车追及为：（35－x）×1（速度差35－x，时间1小时）。因为初始距离不变，建立方程：（15－x）×3＝（35－x）×1，然后解方程得出x的值后。那么初始距离为（35－5）×1＝30×1＝30千米，汽车速度为45千米/小时，速度差为45－5＝40千米/小时。根据追及公式，追及时间＝初始距离÷速度差，用30除以40得出结果后，把单位换算成分钟即可。 【详解】解：设小明步行的速度为x千米/小时。 （15－x）×3＝（35－x）×1 45－3x＝35－x 45－3x＋3x＝35－x＋3x 45＝35＋2x 35＋2x＝45 35＋2x－35＝45－35 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 （35－5）×1 ＝30×1 ＝30（千米） 45－5＝40（千米/小时） 30÷40＝0.75（小时） 1小时＝60分钟 0.75×60＝45（分钟） 若开汽车，每小时行45千米，45分钟能追上。 【点睛】本题主要考查利用方程法解答追及问题，核心公式为：追及路程=速度差×追及时间），通过设定未知数、利用“追及路程不变”的隐含条件建立方程，求解被追者速度与初始追及路程，再代入公式计算不同追及速度和时间。 21．（24-25五年级上·河北承德·期末）小明的爸爸比妈妈大3岁，小明的爸爸、妈妈今年的岁数和是89。小明的妈妈今年多少岁？（列方程解答） 【答案】 43岁 【分析】小明的爸爸比妈妈大3岁，设小明妈妈今年x岁，则爸爸今年（x＋3）岁，根据小明的爸爸、妈妈今年的岁数和是89，列方程计算。 【详解】解：设小明的妈妈今年x岁，则爸爸今年（x＋3）岁。 x＋x＋3＝89 2x＋3＝89 2x＋3－3＝89－3 2x＝86 2x÷2＝86÷2 x＝43 答：小明的妈妈今年43岁。 题型5 用方程解决年龄问题 【解题技巧】画线段图辅助分析。相遇问题用“速度和×时间=总路程”；追及问题用“速度差×时间=路程差”。注意统一时间单位，找准出发点和相遇点。 22．（2025·安徽合肥·小升初真题）两列火车从相距630千米的两地同时相向开出。甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶90千米。经过几小时两车相遇？ 【答案】3小时 【分析】已知甲乙两地的距离为630千米，甲车每小时行驶120千米，乙车每小时行驶90千米，求相遇时间； 设经过时两车相遇，根据数量关系式甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝甲乙两地的距离就可列出方程。 【详解】解：设经过时两车相遇。 答：经过3小时两车相遇。 23．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米，求甲乙两车的速度。 【答案】甲车106千米/小时，乙车86千米/小时 【分析】先根据1小时＝60分，那么40分＝小时。设乙车速度是千米/小时，则甲车速度是（＋20）千米/小时。根据速度和×相遇时间＝路程，列出方程并求解即可。 【详解】40分钟＝小时 解：设乙车速度是千米/小时，则甲车速度是（＋20）千米/小时。 86＋20＝106（千米/小时） 答：甲车速度是106千米/小时，乙车速度是86千米/小时。 24．（2026·江苏淮安·小升初真题）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可追上；若开汽车，每小时行45千米，( )分钟能追上。 【答案】45 【分析】设小明步行时速为x，依据前后路程差不变列方程，先求小明速度，再算初始相隔路程，用路程差除以汽车与小明的速度差求出追及时间，换算分钟。 【详解】解：设小明每小时行x千米。 3×（15－x）＝1×（35－x） 45－3x＝35－x 2x＝10 x＝5 追及路程：35×1－5×1 ＝35－5 ＝30（千米） 30÷（45－5） ＝30÷40 ＝0.75（小时） 0.75×60＝45（分钟） 25．（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，2.4小时后相距216千米。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 解：设乙车的速度是x千米/时。 _________________ 【答案】2.4×（42＋x）＝216 【分析】根据“路程＝时间×速度和”，两车行驶时间为2.4小时，甲车速度为42千米/时，乙车速度为x千米/时，两车行驶路程为216千米，则2.4×（42＋x）＝216，据此解答。 【详解】解：设乙车的速度是x千米/时。 2.4×（42＋x）＝216 100.8＋2.4x＝216 100.8＋2.4x－100.8＝216－100.8 2.4x＝115.2 2.4x÷2.4＝115.2÷2.4 x＝48 答：乙车的速度是48千米/时。 26．（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 【答案】440米 【分析】根据“时间＝路程÷速度”，按照正常每分钟滚40米的速度，小仓鼠回家需要800÷40＝20分钟；而如果嗑了3分钟瓜子后还和平常到家的时间一模一样，则路上共花了20－3＝17分钟；可设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米，小仓鼠从学校到瓜子铺的速度是每分钟40米，用时分钟，而小仓鼠从瓜子铺到家的速度是每分钟60米，用时分钟，可列方程为＋＝17，解方程即可解答。 【详解】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米。 800÷40－3 ＝20－3 ＝17（分钟） ＋＝17 ×120＋×120＝17×120 3x＋2×（800－x）＝2040 3x＋1600－2x＝2040 x＋1600＝2040 x＋1600－1600＝2040－1600 x＝440 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。 【点睛】本题考查行程问题，解题关键在于理解提速节省的时间＝吃瓜子的时间。 27．（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 【答案】90千米 【分析】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。根据时间＝路程÷速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间。根据乘公共汽车的时间－乘出租车的时间＝多用的时间列方程解决。 【详解】解：设小张家到火车站的路程是3千米。 3－＝2（千米） 40×2＝80（千米/时） 45分钟＝小时 答：小张家到火车站有90千米。 【点睛】根据“继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站”。 剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。 28．（2025·重庆·小升初真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB—BC—CD—DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC—CD的线路运动，设运动的时间为t（s）。（0＜t＜8） （1）当点P在AB—BC上运动时， ①用含t的代数式表示线段BP的长度。 ②当BQ＝2BP时，求t的值。 （2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ， ③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度。 ④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围。 【答案】（1）①BP＝（4－2t）cm（0＜t≤2）或BP＝（2t－4）cm（2＜t≤4）；②t＝或t＝ （2）③点P与点M第一次重合时，；；④或 【分析】（1）①分两种情况求出线段BP的长度即可；②根据当BQ＝2BP，列出关于t的方程，解方程即可； （2）③先求出点P运动到点C用的时间，然后列方程求出t的值即可； ④分点M从点D向点C运动和点M从点C向点D运动两种情况，分别列出方程求出点M与点P和点Q重合时，t的值，再写出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：①当0＜t≤2时，， 当2＜t≤4时，BP＝（2t－4）cm； ②当0＜t≤2时，， 解得：， 当2＜t≤4时，， 解得：， 综上分析可知，或； （2）解：③当运动到点C时，用的时间为：（4＋4）÷2＝4（s）， ∵， ∴此时点M正好运动到点D，当点P与点M第一次重合时， 4（t－4）＋2（t－4）＝4， 解得：， DP＝4×（－4）＝（cm）； ④点M从点D向点C运动时， 点P运动到点C时，点Q正好运动到点C， 当点M与点Q第一次重合时， 4（t－4）＋（t－4）＝4， 解得：， 从点P与点M第一次重合到点M与点Q第一次重合，点M正好在上， ∴当时，点M落在线段上； 点M从点C向点D运动时， 当点M与点Q第二次重合时， 4（t－5）＝1＋t－5， 解得：， 当点M与点P第二次重合时， 4（t－5）＝2＋2（t－5）， 解得：t＝6，此时点P、M都运动到D处， 当点Q与点M第二次重合到点M与点P第二次重合，点M正好在上， ∴时，点M落在线段上； 综上分析可知，当或时，点M落在线段上． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的几何应用，解题的关键是根据题意列出方程，并注意分类讨论． 题型6 用方程解决营销问题 【解题技巧】理清“利润=售价-成本”及“利润率”公式。设成本或进价为x，表示出售价和利润。抓住“总价不变”或“利润变化百分比”作为核心等量关系列式。 29．（2026·四川绵阳·小升初真题）一种商品，今年的成本比去年增加了10%，由于市场经济不好，仍然只能保持原价，因此，利润下降了40%，那么今年这种商品的售价是成本的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键在于理清成本、售价、利润三者之间的数量关系：利润＝售价－成本。根据题意，今年的成本比去年增加了10%，把去年成本看作单位“1”，售价保持不变，利润下降了40%，40%则是把去年的利润看作单位“1”。可以设去年的售价为未知数，利用今年利润与去年利润的倍数关系列出方程，求出去年的售价，进而计算出今年售价与今年成本的几分之几。 【详解】去年的成本为单位“1”。 今年的成本是去年的，即： 解：设去年的售价为。 根据“利润 ＝ 售价－成本”，去年的利润为： 今年的售价保持不变，仍为，今年的利润为： 根据“利润下降了40%”，即今年的利润是去年的，列方程得： 所以，去年的售价为，今年的售价也为。 今年的成本为。 今年售价是今年成本的几分之几，列式计算： 30．（2025·重庆江北·小升初真题）商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱。 【答案】86 【分析】由“保温杯比玻璃杯贵10元”可知：保温杯的单价＝玻璃杯的单价＋10 根据“总价＝单价×数量”可知： 买10个玻璃杯还剩6元总钱数是：10×玻璃杯单价＋6 5个保温杯还缺4元总钱数是：5×保温杯单价－4＝5×（玻璃杯的单价＋10）－4 再根据妈妈带的总钱数不变有“10×玻璃杯单价＋6＝5×（玻璃杯的单价＋10）－4”的等量关系，据此设“玻璃杯单价为x”，解出玻璃杯单价，再求总钱数。 【详解】解：设玻璃杯单价为x元，则保温杯单价为（x＋10）元。 10x＋6＝5（x＋10）－4 10x＋6＝5x＋50−4 10x＋6＝5x＋46 10x－5x＋6＝5x－5x＋46 5x＋6＝46 5x＋6－6＝46－6 5x＝40 5x÷5＝40÷5 x＝8 总钱数：10×玻璃杯单价＋6 ＝10×8＋6 ＝80＋6 ＝86（元） 31．（2025·河南郑州·小升初真题）一个蔬菜经营户从批发市场购进西红柿和豆角共50千克，一共花费了152元。西红柿和豆角当天的批发价与零售价如下表： 品名 西红柿 豆角 批发价（元/千克） 2.4 3.2 零售价（元/千克） 3.6 5 该蔬菜经营户当天卖完这些蔬菜一共赚了多少元？ 【答案】84元 【分析】设购进西红柿千克，则豆角为千克。根据总花费152元，根据等量关系式：西红柿的批发价×购进西红柿的质量＋豆角的批发价×购进豆角的质量＝总花费，可列方程，解得，即西红柿10千克，豆角40千克。再用西红柿的零售价减去批发价得到卖出1千克西红柿获得的利润，再乘10千克得到卖西红柿赚到的钱数；用豆角的零售价减去批发价得到卖出1千克豆角获得的利润，再乘40千克得到卖豆角赚到的钱数，最后把卖两种蔬菜的赚到的钱数求和即可。 【详解】解：设购进西红柿x千克，则豆角购进（50－x）千克。 （3.6－2.4）×10 ＝1.2×10 ＝12（元） （5－3.2）×40 ＝1.8×40 ＝72（元） 12＋72＝84（元） 答：该蔬菜经营户当天卖完这些蔬菜一共赚了84元。 32．（2025·山东临沂·小升初真题）甲乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际售出时，应顾客要求，两件衣服均按九折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 【答案】甲300元；乙200元 【分析】设甲服装的成本为x元。因为甲乙两件服装总成本为500元，所以乙服装的成本为（500－x）元。根据“定价＝成本×（1＋利润率）”“实际售价＝定价×折扣（九折即90%）”。 甲按50%利润定价，定价为：（1＋50%）x元；九折出售后，实际售价为：1.5x×90%元。 乙按40%利润定价，定价为：（1＋40%）×（500－x）元；九折出售后，实际售价为：1.4×（500－x）×90%元。已知总利润为157元，且“总利润＝总实际售价－总成本”，代入数据得：总实际售价－500＝157，即：（1＋50%）x×90%＋[（1＋40%）×（500－x）]×90%－500＝157，然后解方程即可。 【详解】解：设甲服装的成本是x元。 九折＝90% （1＋50%）x×90%＋（1＋40%）×（500－x）×90%－500＝157 1.5x×0.9＋1.4×（500－x）×0.9－500＝157 1.35x＋1.26×（500－x）－500＝157 1.35x＋630－1.26x－500＝157 0.09x＋130＝157 0.09x＝157－130 0.09x＝27 x＝27÷0.09 x＝300 500－300＝200（元） 答：甲服装的成本是300元，乙服装的成本是200元。 33．（2024·陕西汉中·小升初真题）端午节东茂超市举办满赠活动。赵阿姨抢到了“满180减40元”和“满100减20元”的券共7张，满减后需个人支付800元。赵阿姨共抢到“满180减40元”和“满100减20元”的券各几张？请说明理由。 【答案】“满180减40元”券4张；“满100元减20元”券3张；理由见详解 【分析】设抢到“满180减40元”券有x张，则抢到“满100元减20元”券有（7－x）张；抢到“满180减40元”需要支付（180－40）x元，抢到“满100元减20元”需要支付（100－20）×（7－x）元；减满后需个人支付800元，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设抢到“满180减40元”有x张，则抢到“满100元减20元”有（7－x）张。 （180－40）x＋（100－20）×（7－x）＝800 140x＋80×（7－x）＝800 140x＋80×7－80x＝800 60x＋560＝800 60x＝800－560 60x＝240 x＝240÷60 x＝4 7－4＝3（张） 答：赵阿姨共抢到“满180减40元”的券4张，“满100减20元”的券3张。 34．（2025·重庆渝北·小升初真题）一批商品，按照期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%，问打了多少折扣？ 【答案】八折 【分析】由于本题不涉及具体数量，只涉及百分比，且商品件数和原价都未知，所以可以把商品数量和进价都看成单位“1”，那么定价为1＋50%，打折出售的商品数量为1－70%，然后分别表示出70%商品的销售额和剩余商品的销售额，两者相加等于期望利润的82%加进价，根据这个等量关系列出方程求解。 【详解】解：设现价是原价的x%。 70%×（1＋50%）＋（1＋50%）×x%×（1－70%）＝82%×50%＋1 0.7×1.5＋0.3×1.5x%＝0.82×0.5＋1 1.05＋0.45×x%＝1.41 0.45×x%＝0.36 x%＝0.36÷0.45 x%＝0.8 x＝80 80%＝八折 答：打了八折。 35．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）某出租车公司有100辆出租车，平均每天每车消耗的汽油费为80元。为了减少环境污染，公司决定对出租车进行“油改气”的改造。公司第一次改造了部分车辆后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司共改装了多少辆出租车？改装后的出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ 【答案】40辆；40% 【分析】设每次改装的车辆数为x，则共改装了2x辆（因为改装了两次，每次x辆）。设改装后每辆车的燃料费为y元（改装前为80元）。 第一次改装后： 已改装车辆数：x辆，未改装车辆数：（100－x）辆。 已改装车辆的总燃料费：（x×y）元；未改装车辆的总燃料费：（100－x）×80元； 根据：已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，可列式：x×y＝×（100－x）×80（方程①）。 第一次改装后： 已改装车辆数：2x辆，未改装车辆数：（100－2x）辆。 已改装车辆的总燃料费：（2x×y）元；未改装车辆的总燃料费：（100－2x）×80元； 根据：所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，可列式：2x×y＝×（100－2x）×80（方程②）。 根据题意我们列出了两个方程，并且均含有两个未知数，由于现阶段未学过相关题目解题方法，所以我们发现两个算式中均有“x×y”，所以，我们可以用等量代换的方法把两个方程变成一个方程，再根据等式的性质1和性质2，解出未知数，即可解答。 【详解】解：设每次改装的车辆数为x辆，改装后的价格为y元。 x×y＝×（100－x）×80 ①。 2x×y＝×（100－2x）×80 ② 将②中的x×y替换为①中的×（100－x）×80表示，可得： 2××（100－x）×80＝×（100－2x）×80 ×（100－x）＝×（100－2x） 30－x＝40－x 30－x－30＋x＝40－x－30 x＝10 x＝10×2 x＝20 2x＝2×20＝40（辆） 答：公司共改装了40辆出租车。 将x＝20代入方程① 20y＝×（100－20）×80 20y＝960 y＝960÷20 y＝48 （80－48）÷80×100% ＝32÷80×100% ＝0.4×100% ＝40% 答：改装后的出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%。 【点睛】解答此题的关键是要设两个未知数，用两个未知数表示两次改装前后燃料费的价格关系，并利用转换思想将用等量代换将含有两位未知数的方程转化含有一个未知数的方程。 36．（2025·重庆渝北·小升初真题）张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元。已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？ 【答案】铅笔：0.25元；橡皮：0.3元 【分析】设每支铅笔的批发价为x元，每块橡皮的批发价为y元。已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，所以铅笔零售价＝批发价＋0.05元，即（x＋0.05）元；橡皮每块批发价比零售价低0.1元，所以橡皮零售价＝批发价＋0.1元，即（y＋0.1）元。美术小组共30名学生，分别分析两种方案的总付款： 方案一（零售价：每人2支铅笔＋1块橡皮），1人需付款：2×（x＋0.05）＋1×（y＋0.1）元； 30人总付款30元，因此建立方程：30×[2（x＋0.05）＋（y＋0.1）]＝30。 方案二（批发价：每人3支铅笔＋2块橡皮），1人需付款：（3x＋2y）元；30人总付款40.5元，因此建立方程：30×（3x＋2y）＝40.5。然后解方程即可。 【详解】解：设每支铅笔的批发价为x元，每块橡皮的批发价为y元。 方案一：30×[2（x＋0.05）＋（y＋0.1）]＝30 2（x＋0.05）＋（y＋0.1）＝30÷30 2（x＋0.05）＋（y＋0.1）＝1 2x＋y＋0.2＝1 2x＋y＝1－0.2 2x＋y＝0.8 y＝0.8－2x 方案二：30×（3x＋2y）＝40.5 3x＋2y＝40.5÷30 3x＋2y＝1.35 把y＝0.8－2x代入3x＋2y＝1.35。 3x＋2×（0.8－2x）＝1.35 3x＋1.6－4x＝1.35 3x＋1.6＝1.35＋4x 1.6＝1.35＋4x－3x 1.35＋x＝1.6 x＝1.6－1.35 x＝0.25 0.8－2×0.25 ＝0.8－0.5 ＝0.3（元） 答：每支铅笔的批发价是0.25元，每块橡皮的批发价是0.3元。 【点睛】通过设批发价为未知数，准确表示出零售价，再依据“总付款=人数×每人购买物品的总价”建立两个独立方程。然后根据等式的性质解答。 37．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 (2) 30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。 根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。 （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 38．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 （1）该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ （2）该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】（1）第一批：20元；第二批：30元 （2）30 【分析】（1）设第一批购进每箱的单价是x元，第二批购进每箱单价比第一批单价多10元，则第二批购进每箱单价是（x＋10）元；根据总价÷单价＝数量，用第一批所用资金÷第一批每箱的单价，求出第一批进的数量，即2400÷x；第二批所用资金÷第二项每箱的单价，求出第二批进的数量，即2700÷（x＋10）；第二批购买的数量比第一批少25%，把第一批购买的数量看作单位“1”，第二批购进的数量是第一批的（1－25%）；用第一批购进的数量×（1－25%）＝第二批购进的数量，列方程：×（1－25%）＝，解方程，即可。 （2）先计算第一批购进的数量，再用每箱定价×购进数量，求出第一批售后的总价；再求出第二批购进的数量，把第二批购进的数量看作单位“1”， 出现了20%的损耗，还剩下（1－20%），用第二批购进的数量×（1－20%），求出售出的数量；把定价看作单位“1”，第二批售价为定价的（1－a%）；用定价×（1－a%），求出第二批售价，再用第二批售出的数量×定价×（1－a%），求出第二批售出的钱数；用第一批售出的钱数＋第二批售出的钱数－总进价＝盈利的钱数，据此列方程，解答即可。 【详解】（1）解：设第一批购进每箱的单价是x元，则第二批购进每箱单价是（x＋10）元。 ×（1－25%）＝ ×75%＝ ＝ 1800×（x＋10）＝2700x 1800x＋1800×10＝2700x 1800x＋18000＝2700x 2700x－1800x＝18000 900x＝18000 x＝18000÷900 x＝20 第二批单价：20＋10＝30（元） 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元。 （2）第一批：2400÷20＝120（箱） 40×120＝4800（元） 第二批：2700÷30＝90（箱） 90×（1－20%） ＝90×80% ＝72（箱） 4800＋72×40×（1－a%）－（2400＋2700）＝1716 解：4800＋2880×（1－a%）－5100＝1716 2880×（1－a%）＝1716＋5100－4800 2880×（1－a%）＝2016 1－a%＝2016÷2880 1－a%＝0.7 a%＝1－0.7 a%＝0.3 a＝30 答：a的值是30。 【点睛】（1）解题的关键是通过单价和数量的关系建立方程，注意第二批数量比第一批少25%的转化。 （2）解题的关键是正确处理损耗和降价对收入的影响，并建立利润方程求解a的值。 39．（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。 (1)求手镯中金属和金属的重量比。 (2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 【答案】(1) 3∶1 (2) 19.25% 【分析】（1）分别将两种金属原来的成本看作单位“1”，那么金属A的新成本是原来成本的（1＋30%），金属B的新成本是原来成本的80%；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，金属A的新成本＝金属A的原来成本×对应百分率，金属B的新成本＝金属B的原来成本×对应百分率。设每克手镯中金属A的重量为克，那么金属B的重量为克。手镯的总成本＝金属A的成本×金属A的重量＋金属B的成本×金属B的重量，根据等量关系“每克手镯现在的总成本－每克手镯原来的总成本＝每克手镯增加的成本”列出方程求出，再求出的值；最后根据比的意义写出两种金属的重量比，根据比的基本性质化成最简整数比。 （2）将原来每克手镯的总成本看作单位“1”，原来的售价是原来总成本的（1＋60%），所以每克手镯原来的售价＝每克手镯原来的总成本×（1＋60%）。每克材料现在的总成本＝每克手镯原来的总成本＋37.5；将每克材料现在的总成本看作单位“1”，投入包装成本后，每克手镯现在的总成本就是每克材料现在总成本的（1＋6%），即每克手镯现在的总成本＝每克材料现在的总成本×（1＋6%）。将每克手镯现在的总成本看作单位“1”，每克手镯现在的售价是每克手镯现在总成本的（1＋50%），每克手镯现在的售价＝每克手镯现在的总成本×（1＋50%）。然后将每克手镯原来的售价看作单位“1”，求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，根据“（每克手镯现在的售价－每克手镯原来的售价）÷每克手镯原来的售价×100%”求出上涨的百分比。 【详解】（1）金属A上涨30%后的成本： （元/克） 金属B下跌到原来的80%后的成本： （元/克） 设每克手镯中金属A占克，则每克金属B占克。 （克） 金属A与金属B的重量比为： 答：手镯中金属A和金属B的重量比是3∶1。 （2）原来每克手镯的总成本： （元） 原来每克手镯的售价： （元） 现在每克手镯的材料总成本： （元） 现在每克手镯含包装的总成本： （元） 现在每克手镯的售价： （元） 售价上涨的百分比： 答：现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨19.25%。 40．（2024·重庆渝北·小升初真题）毕业班的联欢会共有100名同学参加，男同学先到会。第一个到会的女同学与全部男同学握过手，第二个到会的女同学只差1个男同学没握过手，第三个到会的女同学只差2个男同学没握过手，如此直到最后一个到会的女同学与9个男同学握过手。问到会的女同学有( )人。 【答案】46 【分析】可以设想每个女生与最后一个与她握手的男生一同跳舞，这个男生不再与其他人握手。这样，一对对舞伴离开后，最后留下男生是9－1＝8人，所以男生比女生多8人， 设女生有x人，男生就有（x＋8）人，根据男女生共100人列出方程求解即可。 【详解】解：设女生有x人。 x＋x＋9－1＝100 2x＋8＝100 2x＋8－8＝100－8 2x＝92 2x÷2＝92÷2 x＝46 到会的女同学有46人。 41．（2025·重庆北碚·小升初真题）学校要求六年级一班的第一小队种植向日葵若干棵，小队长这样分配任务：刘丽要种10棵和余下任务的；剩下的任务由赵男种20棵和其余任务的，再剩下的任务，由王强种30棵和其余任务的……照这样分任务后发现，全小队每人种植向日葵的棵数都相等。问第一小队共种植向日葵______棵。 【答案】810 【分析】根据题意，设第一小队共种植向日葵棵，可用含的式子分别表示刘丽和赵男种植的棵数，依据“全小队每人种植向日葵的棵数都相等”列出方程求解即可。 【详解】解：设第一小队一共种植棵向日葵。 刘丽种植的棵数：10＋（－10）（棵） 赵男种植的棵数：20＋[－20－10－（－10）]（棵） 20＋[－20－10－（－10）]＝ 10＋（－10） 20＋[－20－10－＋×10]＝ 10＋－×10 20＋[－20－10－＋1]＝ 10＋－1 20＋[－29]＝ ＋9 20＋×－×29＝＋9 20＋－＝＋9 －＝20－－9 ＝ ＝÷ ＝×100 ＝810 所以第一小队共种植向日葵810棵。 【点睛】本题的解题关键在于利用“全小队每人种植向日葵的棵数都相等”这一条件，设全小队总种植的棵数为未知数，通过不同队员的任务分配情况建立等量关系，从而列出方程求解总种植棵数。 42．（2025·湖北武汉·小升初真题）工艺品店接到一批紫砂壶的订单，原计划平均每人制作40件；如果增加5名工人，那么平均每人的工作量减少8件，这份订单订购了______件紫砂壶。 【答案】800 【分析】总制作件数＝每人制作的件数×原来的工人数，则原计划每人制作的件数×原计划的工人数＝现在每人制作的件数×增加后的工人数。据此列方程解答。 【详解】解：设原来的工人是人。 40×20＝800（件），则这份订单订购了800件紫砂壶。 43．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有________人。 【答案】5 【分析】分析题目，设猜对3条和5条的各有x人，则猜对6条的有（50－16－9－x－x）人，根据等量关系：猜对2条的人数×2＋猜对3条的人数×3＋猜对4条的人数×4＋猜对5条的人数×5＋猜对6条的人数×6＝178列出方程16×2＋9×4＋3x＋5x＋6（50－16－9－x－x）＝178，再进一步解出方程即可得到x的值，再把x的值代入50－16－9－x－x中即可得到猜对6条的人数。 【详解】解：设猜对3条和5条的各有x人，则猜对6条的有（50－16－9－x－x）人。 16×2＋9×4＋3x＋5x＋6（50－16－9－x－x）＝178 32＋36＋8x＋6（25－2x）＝178 68＋8x＋150－12x＝178 68＋150－178＝12x－8x 40＝4x x＝40÷4 x＝10 50－16－9－10－10＝5（人） 6条谜语让50人猜，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有5人。 44．（2025·重庆渝北·小升初真题）一项工程甲单独做需要24天完成，乙单独做需要32天完成。若甲单独做若干天后乙接着做，共用26天时间完成，则甲做了______天。 【答案】18 【分析】把工作总量看作单位“1”，甲做的天数设为未知数，乙做的天数＝总天数－甲做的天数，等量关系式：甲的工作效率×甲的工作时间＋乙的工作效率×乙的工作时间＝工作总量，据此列方程解答。 【详解】解：设甲做了天，则乙做了（）天。 所以，甲做了18天。 45．（2026·四川泸州·小升初真题）友谊小学和奉献小学为印度洋海啸灾区共捐款3000元，已知友谊小学捐款的比奉献小学捐款的少50元。两个小学各捐款多少元？ 【答案】友谊小学：1200元，奉献小学：1800元 【分析】分析题目，分别把友谊小学和奉献小学的捐款数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法，设友谊小学捐款x元，则奉献小学捐款（3000－x）元，根据等量关系：奉献小学的捐款金额×－友谊小学的捐款金额×＝50列出方程，解出方程即可得到友谊小学的捐款金额，最后用捐款总金额减去友谊小学的捐款金额即可得到奉献小学的捐款金额。 【详解】解：设友谊小学捐款x元，则奉献小学捐款（3000－x）元。 （3000－x）×－x＝50 3000×－x－x＝50 750－x－x＝50 750－x＝50 750－x＋x＝50＋x 750＝50＋x 750－50＝50＋x－50 700＝x 700÷＝x÷ x＝700× x＝1200 3000－1200＝1800（元） 答：友谊小学捐款1200元，则奉献小学捐款1800元。 46．（2025·安徽合肥·小升初真题）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【答案】50元/张的6张；80元/张的4张 【分析】设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。根据“总价＝单价×数量”分别计算出50元/张的门票的总价和80元/张的门票的总价；再根据等量关系式“50元/张的门票的总价＋80元/张的门票的总价＝620”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。 10－6＝4（张） 答：50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 47．（2024·湖北十堰·小升初真题）某停车场实施分段计费：不超过10个小时的部分每小时5元；超过10的小时不超过24小时的部分每小时4元；超过24小时的部分每小时3元（按整数小时计时收费，不足1小时的部分按1时间计算）。李老师两次在停车场停车共计40小时，停车费共交了176元。求两次停车各多长时间？ 【答案】12小时；28小时 【分析】假设一次停10小时，另一次停30小时，则停车费为：（10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3＝174（元），小于176元，所以判断两次停车都会超过10小时；假设两次停车都是在10—24小时内，那么停车费为：5×（10＋10）＋4×（40－10－10）＝180（元），180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时；设一次停车x小时，10＜x＜24小时，则另一次停车（40－x）小时；根据停车收费标准，不超过10是小时的部分每小时5元，超过10小时没超过24小时的部分每小时4元，超过24小时部分每小时3元，列方程：5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176，据此即可解答。 【详解】假设有一次停10小时，另一次停30小时。 （10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3 ＝100＋14×4＋6×3 ＝100＋56＋18 ＝174（元） 174＜176 所以两次停车都会超过10小时。 假设两次停车都是在10—24小时内。 5×（10＋10）＋4×（40－10－10） ＝100＋80 ＝180（元） 180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时。 解：设一次停车x小时（10＜x＜24），则另一次停车（40－x）小时。 5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176 50＋4x－40＋50＋56＋3×（16－x）＝176 10＋4x＋50＋56＋3×16－3x＝176 60＋56＋4x＋48－3x＝176 116＋48＋x＝176 164＋x＝176 x＝176－164 x＝12 40－12＝28（小时） 答：两次停车时间分别是12小时和28小时。 【点睛】判断出两次停车时间在哪个时间段是解答本题的关键。 48．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 【答案】52平方米 【分析】设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米。3名一级技工一天粉刷的总面积是8个房间的面积减去未刷的50平方米，因此每名一级技工一天的粉刷面积为（8个房间总面积－50）÷3；5名二级技工一天粉刷的总面积是10个房间的面积加上多刷的40平方米，因此每名二级技工一天的粉刷面积为（10个房间总面积＋40）÷5。每名一级技工一天粉刷面积－二级技工一天粉刷面积＝10，据此列出方程，先化简，再根据等式的性质求解出x的值即可解答。 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米。 （8x－50）÷3－（10x＋40）÷5＝10 x－－2x－8＝10 x－2x－－8＝10 x－x－－＝10 x－＝10 x－＋＝10＋ x＝ x×＝× x＝52 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是52平方米。 49．（2025·江苏苏州·小升初真题）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱6组；双人合唱12组 【分析】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x组，因为总组数是18组，所以单人独唱的组数就是（18－x）组。再根据单人独唱每组1人，双人合唱每组2人，以及总共有30名学生参加比赛这一条件，列出方程2×x＋1×（18－x）＝30求解。 【详解】设双人合唱有x组，则单人独唱有（18－x）组。根据人数关系可列方程： 2×x＋1×（18－x）＝30 2x＋18－x＝30 x＋18－18＝30－18 x＝12 将x＝12代入18－x，可得单人独唱的组数为18－12＝6（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 50．（2022·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙、丙三瓶溶液，甲的浓度比乙高6%，乙的浓度是丙的4倍。如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，那么混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是多少？它们的浓度分别是多少？ 【答案】质量比3∶2∶6；甲溶液：10%，乙溶液：4%，丙溶液：1% 【分析】设乙溶液的浓度为，甲、乙、丙三种溶液的质量分别为、、，则甲溶液的浓度为，丙溶液的浓度为。 如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%，由此可列出等量关系； 如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%，由此可列出等量关系； 如果把甲、丙两瓶溶液混合，那么混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度，由此可列出等量关系。 由以上三个等量关系即可求出三者质量比和溶液浓度。 【详解】设乙溶液的浓度为，甲、乙、丙三种溶液的质量分别为、、，则甲溶液的浓度为，丙溶液的浓度为。 将③代入①，则    ； 将④代入②，则 解： ，。 将代入②，则，由，可知，因此。 答：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是3∶2∶6，甲溶液的浓度为10%，乙溶液的浓度为4%，丙溶液的浓度为1%。 【点睛】设出未知数，根据三个等量关系列出方程，解决问题。 51．（2025·吉林长春·小升初真题）为了解决用电矛盾，决定在某小区试点实施居民分时电价，具体通知如下： （1）时段划分：居民分时电价分为高峰时段和低谷时段。高峰时段指每日早8时至晚9时，低谷时段指每日晚9时至次日早8时。 （2）电价标准：高峰时段电价0.55元/千瓦时；低谷时段电价0.30元/千瓦时。 （3）本次更换电能表的费用由供电部门承担。 我们知道居民用电原标准为0.52元/千瓦时。当某居民家在高峰时段的用电量与低谷时段的用电量的比是( )∶( )时，执行原电价标准和实施分时电价标准的费用一样多。 【答案】 22 3 【分析】假设某居民月用电量是100千瓦时，则按照原标准的费用就是0.52×100，设该居民高峰时段用电x千瓦时，则低谷时段用电就是100－x千瓦时。根据两种电价费用相等列出方程，求解得出高峰和低谷时段用电量，进而求出两者的比。 【详解】解：设该居民高峰时段用电x千瓦时，则低谷时段用电就是（100－x）千瓦时， 0.55x＋0.3（100－x）＝0.52×100 0.55x＋30－0.3x＝52 0.25x＋30＝52 0.25x＋30－30＝52－30 0.25x＝22 0.25x÷0.25＝22÷0.25 x＝88 100－88＝12（千瓦时） 所以要使执行原电价标准和实施分时电价标准的费用一样多，则高峰时段与低谷时段的用电量的比是：88∶12＝22∶3。 试卷第4页，共52页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $