第15讲 整式的加减（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第15 整式的加减 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、同类型的判定与应用 · 题型2、合并同类项 · 题型3、去括号与添括号 · 题型4、整式的加减运算 · 题型5、整式的化简求值 · 题型6、整式的无关型问题 · 题型7、整式加减的实际应用 · 基础通关 · 拓展提优 1、准确理解同类项的概念，掌握判断同类项的两个必要条件（字母相同且对应指数相同）。 2、熟练掌握合并同类项的法则，能够准确进行整式的加减运算。 3、深刻理解去括号法则，特别是括号前是负号时的变号规律，避免符号错误。 4、掌握整式加减运算的一般步骤（去括号、合并同类项），并能结合“整体代入法”解决化简求值问题。 【生活情境引入】 周末大扫除时，你会怎么整理房间？肯定是把书放在书架上，衣服挂进衣柜，玩具收进箱子。你不会把书和袜子混在一起，对吧？ 在整式的运算中，也有类似的“整理”工作。比如，这里的和就像都是“书”，可以放在一起变成；和就像都是“衣服”，可以放在一起变成。但是和不能合并，就像书和袜子不能混放一样。这个“归类整理”的过程，在数学上就叫“合并同类项”。而去括号，就像是打开打包好的行李箱，把里面的东西拿出来重新分类。 【思考互动】 【思考1】怎样快速判断两个项是不是“同类项”？ 提示：记住口诀“两相同，两无关”。 两相同：所含字母相同，相同字母的指数也相同。 两无关：与系数大小无关（和也是同类项），与字母排列顺序无关（和也是同类项）。 只有同时满足“两相同”，它们才是同类项，才能合并。 【思考2】去括号时，什么时候需要变号？ 提示：看括号前面的“守门员”。 如果守门员是“+”号（或者没有符号），括号里的各项直接走出来，不用变装（不变号）。 如果守门员是“-”号，括号里的各项走出来时，必须全部“变身”（正变负，负变正）。 特别注意：如果括号前面有数字（如），不仅要变号，还要用分配律把数字乘进去，千万别漏乘！ 【课外阅读：负数的历史】 整式的加减运算，本质上就是一种化繁为简的过程。通过去括号打破原有的束缚，再通过合并同类项将杂乱无章的项归类简化，最终得到一个最简形式。这正如生活中的“断舍离”哲学：去除多余的枝节（去括号），归纳相似的精华（合并同类项），让事物回归本真和简洁。掌握这一技能，不仅能帮你解决数学难题，更能培养你条理清晰、化繁为简的思维能力。 1.同类项的概念与判断 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 判断标准：必须同时满足“两相同，两无关”。 两相同：所含字母完全相同；相同字母的指数完全相同。例如：与是同类项。 两无关：与系数的大小无关（如与是同类项）；与字母的排列顺序无关（如与是同类项）。 特例：所有的常数项都是同类项。例如：与互为同类项。 2.合并同类项法则 法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 实质：合并同类项其实是乘法分配律的逆运算。例如：。 注意：不是同类项的项绝对不能合并。例如：无法继续化简。 3.去括号法则 去括号是整式加减运算中最容易出错的环节，必须牢记以下规律：*括号前是“+”号：把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。*例如：。*括号前是“-”号：把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变（正变负，负变正）。*例如：。*多重括号：遇到大括号、中括号、小括号嵌套时，一般按照“先内后外”的顺序去括号，或者根据题目特点灵活选择“先外后内”。无论哪种顺序，都要严格遵循去括号法则。 4.整式加减运算的一般步骤 整式的加减运算实质上就是去括号和合并同类项的过程。 第一步：列式。根据题意列出代数式，注意多项式作为整体参与运算时要加括号。 第二步：去括号。按照去括号法则，注意符号变化。 第三步：合并同类项。找出所有的同类项，将系数相加，字母部分不变。 第四步：化简求值（如需）。将字母的值代入化简后的最 题型1、同类型的判定与应用 【解题技巧】核心口诀：“两相同，两无关”。 两相同：所含字母相同；相同字母的指数也相同。 两无关：与系数大小无关；与字母排列顺序无关（如与是同类项）。 【例题1】（26-27七年级·江苏·暑假作业）下列各组代数式中，属于同类项的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【例题2】（2026·河北保定·模拟预测）若与是同类项，则的值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 题型2、合并同类项 【解题技巧】 核心法则：“一变两不变”。 一变：系数相加减（作为新的系数）。 两不变：字母不变；字母的指数不变。 解题技巧： 标记法：在复杂的式子中，先用不同符号（如下划线、波浪线）标出不同的同类项组，防止漏项。 带着符号走：移动项的时候，一定要把前面的正负号一起带走。 系数为1或-1：如果合并后系数是1或-1，通常省略“1”不写（如写成，写成）。 【例题3】（25-26六年级下·上海·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【例题4】（25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 题型3、去括号与填括号 【解题技巧】 核心口诀：“去括号，看符号；是正号，不变号；是负号，全变号”。 解题技巧： 分配律是关键：如果括号前有数字（如），这个数字要乘遍括号里的每一项，千万不要漏乘常数项。 多重括号：遵循“由内向外”或“由外向内”的顺序，一般建议先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去一层都要立即合并一次同类项，简化计算量。 添括号验证：添括号后，可以通过再去一次括号来检验是否还原，确保符号无误。 【例题5】（26-27七年级·江苏·暑假作业）（） A． B． C． D． 【例题6】（26-27七年级·江苏·暑假作业）下列各式中，去括号正确的是（） A． B． C． D． 题型4、整式的加减运算 【解题技巧】 列式：如果是文字题，先列出代数式（注意整体代入时要加括号）。 去括号：利用去括号法则去掉所有括号。 合并：合并同类项得出最简结果。 解题技巧： 抄写检查：第一步抄写题目时就要仔细，很多错误发生在抄写阶段（漏掉负号或项）。 阶梯式书写：不要试图一步到位，每一步只做一个操作（要么去括号，要么合并），保持卷面整洁，便于检查。 【例题7】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 【例题8】化简 (1) (2) 题型5、整式的化简求值 【解题技巧】-核心原则：“先化简，后代入”。 解题技巧： 严禁直接代：千万不要直接把数值代入原式计算，那样计算量大且极易出错。必须先化简到最简形式。 代入格式：代入负数或分数时，必须加上括号（幂运算的底数为负数或分数时也要加括号）。 整体代入法：如果已知条件不是求出单个字母的值，而是给出一个式子的值（如已知，求），要将看作一个整体直接代入，不要试图解出和。 【例题9】（26-27七年级·全国·暑假作业）化简求值 (1)，其中 (2)，其中 题型6、整式的无关型问题 【解题技巧】题目特征：题目通常表述为“多项式的值与字母的取值无关”或“不含项”。 解题技巧： 归类整理：先将原式化简，把所有含的项合并，把不含的项合并。整理成或的形式。 令系数为0：既然与无关，说明的系数必须为0。即令（如果是“不含二次项”，则令二次项系数为0）。 求解参数：通过解出题目中的未知参数（如）。 【例题10】（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【例题11】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 题型7、整式加减的实际应用用 【解题技巧】题型7：整式加减的实际应用 解题思路：数学建模思想（实际问题数学问题解决回归实际）。 解题技巧： 找关键词：圈出“多、少、倍、分、和、差”等关键词，转化为运算符号。 单位统一：注意题目中的单位是否一致（如米与厘米，元与万元），不一致需换算。 结果带单位：最后的结果如果是多项式且带有单位，必须给多项式加上括号（例如：元）。 几何结合：如果是周长面积问题，先写出公式，再代入整式进行加减运算。 【例题12】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 1．（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（） A． B． C． D． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）已知与是同类项，那么的值是（） A．1 B．3 C． D． 4．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 5．（2026·河北·中考真题）计算：（） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（）． A． B． C． D． 8．（26-27七年级·全国·暑假作业）在等式的括号内依次填入的代数式是（） A．， B．， C．， D．， 9．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列变形正确的是（） A． B． C． D． 10．（26-27七年级·全国·暑假作业）已知，则代数式的值是（） A．19 B．20 C．21 D．22 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（） A． B． C． D． 12．（2026·重庆·二模）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（） A．56 B．57 C．63 D．64 13．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（） A． B． C． D．以上都有可能 二、填空题 14．（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 15．（2026·河南平顶山·三模）写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：__________． 16．（2026·上海·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 17．（2026·广东佛山·三模）已知和是同类项，则的值是__________． 18．（23-24七年级上·上海·阶段检测）已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 19．（26-27七年级·全国·暑假作业）若单项式与是同类项，则________，________． 20．（2026·山东·中考真题）计算：________． 21．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的值为____． 22．（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______ 23．（2026·四川成都·模拟预测）若，则__________． 24．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 25．（26-27七年级·江苏·暑假作业）2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话： 小文：我要送3本书给小远； 小明：我要送5本书给小远； 小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半； 小远：谢谢三位好朋友！ 请问，此时小志手中还有_____________本书籍． 26．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 27．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 28．（23-24七年级上·上海·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 29．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图所示，分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且与，与，与公共部分的面积分别是5、3、4，求三个图形公共部分（阴影部分）的面积． 30．（25-26八年级下·全国·暑假作业）一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 31．（26-27七年级·全国·暑假作业）先化简，再求值：，其中，． 32．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）先化简，再求值：，其中． 33．（25-26七年级下·重庆·期中）有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 34．（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 35．（22-23七年级上·全国·期末）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 36．（25-26七年级下·福建南平·期末）某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 37．（2026七年级下·北京·专题练习）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 38．（24-25六年级上·山东烟台·期中）现定义一种新运算“”，规则如下：．如，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： (1)求的值 (2)化简 39．（2026七年级下·北京·专题练习）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 40．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 41．（2026七年级下·北京·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 42．（26-27七年级·全国·暑假作业）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 43．（26-27七年级·全国·暑假作业）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲整式的加减 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、同类型的判定与应用 · 题型2、合并同类项 · 题型3、去括号与添括号 · 题型4、整式的加减运算 · 题型5、整式的化简求值 · 题型6、整式的无关型问题 · 题型7、整式加减的实际应用 · 基础通关 · 拓展提优 1、准确理解同类项的概念，掌握判断同类项的两个必要条件（字母相同且对应指数相同）。 2、熟练掌握合并同类项的法则，能够准确进行整式的加减运算。 3、深刻理解去括号法则，特别是括号前是负号时的变号规律，避免符号错误。 4、掌握整式加减运算的一般步骤（去括号、合并同类项），并能结合“整体代入法”解决化简求值问题。 【生活情境引入】 周末大扫除时，你会怎么整理房间？肯定是把书放在书架上，衣服挂进衣柜，玩具收进箱子。你不会把书和袜子混在一起，对吧？ 在整式的运算中，也有类似的“整理”工作。比如，这里的和就像都是“书”，可以放在一起变成；和就像都是“衣服”，可以放在一起变成。但是和不能合并，就像书和袜子不能混放一样。这个“归类整理”的过程，在数学上就叫“合并同类项”。而去括号，就像是打开打包好的行李箱，把里面的东西拿出来重新分类。 【思考互动】 【思考1】怎样快速判断两个项是不是“同类项”？ 提示：记住口诀“两相同，两无关”。 两相同：所含字母相同，相同字母的指数也相同。 两无关：与系数大小无关（和也是同类项），与字母排列顺序无关（和也是同类项）。 只有同时满足“两相同”，它们才是同类项，才能合并。 【思考2】去括号时，什么时候需要变号？ 提示：看括号前面的“守门员”。 如果守门员是“+”号（或者没有符号），括号里的各项直接走出来，不用变装（不变号）。 如果守门员是“-”号，括号里的各项走出来时，必须全部“变身”（正变负，负变正）。 特别注意：如果括号前面有数字（如），不仅要变号，还要用分配律把数字乘进去，千万别漏乘！ 【课外阅读：负数的历史】 整式的加减运算，本质上就是一种化繁为简的过程。通过去括号打破原有的束缚，再通过合并同类项将杂乱无章的项归类简化，最终得到一个最简形式。这正如生活中的“断舍离”哲学：去除多余的枝节（去括号），归纳相似的精华（合并同类项），让事物回归本真和简洁。掌握这一技能，不仅能帮你解决数学难题，更能培养你条理清晰、化繁为简的思维能力。 1.同类项的概念与判断 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 判断标准：必须同时满足“两相同，两无关”。 两相同：所含字母完全相同；相同字母的指数完全相同。例如：与是同类项。 两无关：与系数的大小无关（如与是同类项）；与字母的排列顺序无关（如与是同类项）。 特例：所有的常数项都是同类项。例如：与互为同类项。 2.合并同类项法则 法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 实质：合并同类项其实是乘法分配律的逆运算。例如：。 注意：不是同类项的项绝对不能合并。例如：无法继续化简。 3.去括号法则 去括号是整式加减运算中最容易出错的环节，必须牢记以下规律：*括号前是“+”号：把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。*例如：。*括号前是“-”号：把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变（正变负，负变正）。*例如：。*多重括号：遇到大括号、中括号、小括号嵌套时，一般按照“先内后外”的顺序去括号，或者根据题目特点灵活选择“先外后内”。无论哪种顺序，都要严格遵循去括号法则。 4.整式加减运算的一般步骤 整式的加减运算实质上就是去括号和合并同类项的过程。 第一步：列式。根据题意列出代数式，注意多项式作为整体参与运算时要加括号。 第二步：去括号。按照去括号法则，注意符号变化。 第三步：合并同类项。找出所有的同类项，将系数相加，字母部分不变。 第四步：化简求值（如需）。将字母的值代入化简后的最 题型1、同类型的判定与应用 【解题技巧】核心口诀：“两相同，两无关”。 两相同：所含字母相同；相同字母的指数也相同。 两无关：与系数大小无关；与字母排列顺序无关（如与是同类项）。 【例题1】（26-27七年级·江苏·暑假作业）下列各组代数式中，属于同类项的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 【例题2】（2026·河北保定·模拟预测）若与是同类项，则的值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项， ∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等，得，相同字母的指数相等，得， ∴． 题型2、合并同类项 【解题技巧】 核心法则：“一变两不变”。 一变：系数相加减（作为新的系数）。 两不变：字母不变；字母的指数不变。 解题技巧： 标记法：在复杂的式子中，先用不同符号（如下划线、波浪线）标出不同的同类项组，防止漏项。 带着符号走：移动项的时候，一定要把前面的正负号一起带走。 系数为1或-1：如果合并后系数是1或-1，通常省略“1”不写（如写成，写成）。 【例题3】（25-26六年级下·上海·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断是否为同类项，再根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，计算判断即可． 【详解】解：选项A：，计算正确，符合题意； 选项B：与所含字母不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项C：与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 选项D：，原计算错误，不符合题意． 【例题4】（25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型3、去括号与填括号 【解题技巧】 核心口诀：“去括号，看符号；是正号，不变号；是负号，全变号”。 解题技巧： 分配律是关键：如果括号前有数字（如），这个数字要乘遍括号里的每一项，千万不要漏乘常数项。 多重括号：遵循“由内向外”或“由外向内”的顺序，一般建议先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去一层都要立即合并一次同类项，简化计算量。 添括号验证：添括号后，可以通过再去一次括号来检验是否还原，确保符号无误。 【例题5】（26-27七年级·江苏·暑假作业）（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 【例题6】（26-27七年级·江苏·暑假作业）下列各式中，去括号正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵对选项A，，∴A错误． ∵对选项B，，∴B正确． ∵对选项C，，∴C错误． ∵对选项D，，∴D错误． 题型4、整式的加减运算 【解题技巧】 列式：如果是文字题，先列出代数式（注意整体代入时要加括号）。 去括号：利用去括号法则去掉所有括号。 合并：合并同类项得出最简结果。 解题技巧： 抄写检查：第一步抄写题目时就要仔细，很多错误发生在抄写阶段（漏掉负号或项）。 阶梯式书写：不要试图一步到位，每一步只做一个操作（要么去括号，要么合并），保持卷面整洁，便于检查。 【例题7】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）化简：． 【答案】 【分析】根据去括号的规则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 ． 【例题8】化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出式子中的同类项，再分别合并同类项即可得到结果； （2）先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型5、整式的化简求值 【解题技巧】-核心原则：“先化简，后代入”。 解题技巧： 严禁直接代：千万不要直接把数值代入原式计算，那样计算量大且极易出错。必须先化简到最简形式。 代入格式：代入负数或分数时，必须加上括号（幂运算的底数为负数或分数时也要加括号）。 整体代入法：如果已知条件不是求出单个字母的值，而是给出一个式子的值（如已知，求），要将看作一个整体直接代入，不要试图解出和。 【例题9】（26-27七年级·全国·暑假作业）化简求值 (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a和b的值代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项后，把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ． 题型6、整式的无关型问题 【解题技巧】题目特征：题目通常表述为“多项式的值与字母的取值无关”或“不含项”。 解题技巧： 归类整理：先将原式化简，把所有含的项合并，把不含的项合并。整理成或的形式。 令系数为0：既然与无关，说明的系数必须为0。即令（如果是“不含二次项”，则令二次项系数为0）。 求解参数：通过解出题目中的未知参数（如）。 【例题10】（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 【例题11】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 题型7、整式加减的实际应用用 【解题技巧】题型7：整式加减的实际应用 解题思路：数学建模思想（实际问题数学问题解决回归实际）。 解题技巧： 找关键词：圈出“多、少、倍、分、和、差”等关键词，转化为运算符号。 单位统一：注意题目中的单位是否一致（如米与厘米，元与万元），不一致需换算。 结果带单位：最后的结果如果是多项式且带有单位，必须给多项式加上括号（例如：元）。 几何结合：如果是周长面积问题，先写出公式，再代入整式进行加减运算。 【例题12】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 1．（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为，的指数为，中的指数为，的指数为，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）已知与是同类项，那么的值是（） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 4．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 5．（2026·河北·中考真题）计算：（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号规则：括号前有系数时需将系数乘以括号内每一项，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 7．（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式加减中去括号的法则进行判断即可． 【详解】解：∵对于选项A：，与选项结果一致，故A正确； 对于选项B：，与选项给出结果不一致，故B错误； 对于选项C：，与选项给出结果不一致，故C错误； 对于选项D：，与选项给出结果不一致，故D错误． 8．（26-27七年级·全国·暑假作业）在等式的括号内依次填入的代数式是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 9．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列变形正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号法则为括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，添括号法则为括号前是负号，添括号后括号内各项都要变号. 【详解】解：，故A变形错误； ，故B变形错误； ，故C变形错误； ，故D变形正确. 10．（26-27七年级·全国·暑假作业）已知，则代数式的值是（） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的面积等于两个小长方形的面积和求解即可. 【详解】解：根据题意，得. 12．（2026·重庆·二模）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（） A．56 B．57 C．63 D．64 【答案】B 【分析】通过观察图形，分析出火柴棒根数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵图案①需根火柴棒， 图案②需根火柴棒，， 图案③需根火柴棒，， 每增加一个图案，火柴棒根数增加根， 第个图案需火柴棒根数为， 当时，（根）． 13．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 二、填空题 14．（2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故的一个同类项可以为． 15．（2026·河南平顶山·三模）写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：（答案不唯一）． 16．（2026·上海·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义求解，只需写出满足所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，单项式需满足：所含字母为和，的次数为，的次数为，系数不为， 取系数为，可得符合条件的单项式． 17．（2026·广东佛山·三模）已知和是同类项，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：和是同类项， ∴，， 解得，， ． 18．（23-24七年级上·上海·阶段检测）已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 【答案】32 【分析】两个整式的和为单项式，说明两个整式是同类项，根据同类项定义列出关于，n的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵整式与的和是一个单项式， ∴这两个整式是同类项， ∴，， 解得，． 19．（26-27七年级·全国·暑假作业）若单项式与是同类项，则________，________． 【答案】/1 【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，列出关于和的方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， 解得，． 20．（2026·山东·中考真题）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 21．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若，则的值为____． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为含有的式子，利用整体代入的思想方法求解即可． 【详解】解：， ． 22．（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______ 【答案】 【分析】根据两个多项式的和与其中一个多项式，可用两式的差求出另一个多项式． 【详解】解：依题意得：另一个多项式 ． 23．（2026·四川成都·模拟预测）若，则__________． 【答案】 【分析】先进行去括号，再用整体思想用，数据代入即可． 【详解】原式 24．（2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 25．（26-27七年级·江苏·暑假作业）2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话： 小文：我要送3本书给小远； 小明：我要送5本书给小远； 小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半； 小远：谢谢三位好朋友！ 请问，此时小志手中还有_____________本书籍． 【答案】4 【分析】设四人最初每人拥有的书籍数量为，根据题目条件依次表示出小文、小明送书后的剩余书籍数量，得到小志送出的书籍数量，再计算小志剩余的书籍数量，消去参数即可得到结果． 【详解】解：设四人最初每人有本书籍，根据题意，小文送出3本书后剩余书籍数量为，小明送出5本书后剩余书籍数量为． 小文与小明剩余书籍的总和为：， 小志送出的书籍数量为两人剩余总和的一半，即， 因此小志剩余书籍数量为：． 26．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【分析】先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 27．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 28．（23-24七年级上·上海·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与x无关可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 29．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图所示，分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且与，与，与公共部分的面积分别是5、3、4，求三个图形公共部分（阴影部分）的面积． 【答案】2 【分析】首先根据题目说明，令．根据容斥原理代入计算，即可求得的公共部分面积． 【详解】设阴影部分的面积是，由容斥原理知 , 故, 答：三个图形公共部分（阴影部分）的面积为． 30．（25-26八年级下·全国·暑假作业）一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【答案】 【分析】这个多项式为，化简求解即可． 【详解】解：根据题意，得这个多项式为：， ． 31．（26-27七年级·全国·暑假作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 32．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 33．（25-26七年级下·重庆·期中）有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】见解析，12 【分析】先把原式去括号，然后合并同类项化简，再代值计算出最后的结果，根据化简的结果可知原式的值只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同，故这位同学的结果正确． 【详解】解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． 34．（25-26七年级上·福建漳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】去括号，合并同类项化简，然后转化为求代数式的值求解即可； 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 35．（22-23七年级上·全国·期末）如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 36．（25-26七年级下·福建南平·期末）某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 【答案】A 【分析】利用表格数据列出算式进行比较即可得出结论． 【详解】解：由题意得：①， ②， ③， ④， ⑤， ∴由①④可知：， ∴， 由②知：，由⑤知：，由③⑤得,即， ∴， ∴他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是A． 37．（2026七年级下·北京·专题练习）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】这三位同学的说法都正确，理由见解析 【详解】解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 38．（24-25六年级上·山东烟台·期中）现定义一种新运算“”，规则如下：．如，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： (1)求的值 (2)化简 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（2026七年级下·北京·专题练习）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 40．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 41．（2026七年级下·北京·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 【答案】（1），20；（2）①② 【分析】（1）要求代数式先去括号，再合并同类项，再把，代入计算即可； （2）原式先去括号，再合并同类项，得最简结果： ①代入、进行化简即可； ②由原式与的值无关可得含的项系数为0，从而可求出的值． 【详解】解：（1） ； 当，时，原式； （2） ； ①当、时，原式； ②∵原式与的值无关， ∴ 解得：． 42．（26-27七年级·全国·暑假作业）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 43．（26-27七年级·全国·暑假作业）为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 试卷第2页，共18页 12 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $