期末真题百练通关（七下北师全册必刷38种题型，期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 以期末真题为载体，按“基础-重点-综合”梯度设计38类题型，覆盖幂运算、全等三角形等核心模块，知识逻辑从概念到应用递进，突出高频考点针对性突破，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂运算与整式乘除|8题型|含基础运算、“无关”问题等|从幂的基本性质到整式乘除实际应用，层层递进| |乘法公式|6题型|必考题占比高，含图形验证|从公式直接计算到综合变形，结合几何直观深化理解| |平行线与相交线|6题型|高频考查判定与性质综合|从概念辨析到动态角度计算，培养空间观念| |三角形与全等|7题型|重点涉及全等模型与应用|从边角关系到全等判定，结合尺规作图提升实践能力| |概率与变量关系|11题型|含频率估计概率、图象表示关系|从事件分类到变量关系建模，发展数据意识与模型观念|

期末真题百练通关 题型1 幂的基础运算（基础题） 题型2 幂的运算的灵活变形（重点题） 题型3 科学记数法（必考题） 题型4 零指数幂和负整数指数幂（必考题） 题型5 整式乘法的基础运算（必考题） 题型6 整式除法的基础运算（高频题） 题型7 整式乘法中的“无关”、“不含”问题 题型8 整式乘法的实际应用（重点题） 题型9 有关乘法公式的计算（必考题） 题型10 补全完全平方公式 题型11 利用公式进行简便运算（高频题） 题型12 利用图形验证乘法公式（重点题） 题型13 乘法公式中的知二求二 题型14 乘法公式的综合应用（重点题） 题型15 平行线与相交线的相关概念（必考题） 题型16 简单的角度计算 题型17 动态背景下的角度计算 题型18 平行线的判定（高频题） 题型19 平行线的性质（高频题） 题型20 平行线的判定和性质的综合运用（重点题） 题型21 事件的分类（高频题） 题型22 利用频率的稳定性估计概率（重点题） 题型23 计算等可能事件的概率（必考题） 题型24 三角形的边和角 题型25 三角形的三线 题型26 全等三角形的性质和判定（必考题） 题型27 全等三角形的常见模型（重点题） 题型28 尺规作图 题型29 全等三角形在实际中的应用（高频题） 题型30 生活中的轴对称图形（必考题） 题型31 轴对称图形的性质（必考题） 题型32 常见的轴对称图形及其性质（重点题） 题型33 将军饮马模型 题型34 常量与变量（高频题） 题型35 用表格表示变量之间的关系（重点题） 题型36 根据文字表述列关系式（高频题） 题型37 根据图形规律或表格规律列关系式 题型38 用图象法表示变量之间的关系（重点题） 题型一 幂的基础运算（共5小题） 1．（24-25七年级下·巢湖·期末）下列运算正确的是（　　） A．（x2）3＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（﹣x）6÷（﹣x）3＝﹣x3 D．（xy2）3＝x3y2 2．（24-25七年级下·沙河口·期末）下列运算结果正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a3 3．计算 的结果是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·让胡路·期末）计算　 　． 5．（24-25七年级下·雷州·期末）计算：a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4． 题型二 幂的运算的灵活变形（共5小题） 1．（24-25七年级下·鼓楼区·期末）已知9x＝33x﹣2，则x＝ 　　． 2．（24-25七年级下·潜山·期末）若，则　 　． 3．（24-25七年级下·廉江·期末）（1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 4．（24-25七年级下·高州·期末）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： （1）计算：　 　，　 　． （2）通过上述规律，归纳得出：　 　；　 　． （3）请应用上述性质计算：． 5．已知 am=2，an=4，ak=32（a≠0）． （1）求a3m+2n﹣k的值； （2）求k﹣3m﹣n的值． 题型三 科学记数法（共2小题） 1．（24-25七年级下·仓山·期末）细菌是一种微小的单细胞生物，如大肠杆菌，其直径约为0.000000005米．将数据0.000000005用科学记数法表示为（　　） A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．0.5×10﹣9 2．1 千克镭完全衰变后， 放出的热量相当于 千克煤放出的热量， 据估计地壳里含 千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？ 题型四 零指数幂和负整数指数幂（共3小题） 1．（24-25七年级下·石家庄·期末）可以表示为（ ） A． B． C． D． 2．等式 成立的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·郑州·期末）计算：　 　． 题型五 整式乘法的基础运算（共3小题） 1．（24-25七年级下·东西湖·期末）下列各式中，计算正确的是（　　） A．3x4﹣x2＝2x2 B．2x4•3x2＝6x8 C．x2•x3＝x5 D．（x3）2＝x9 2．（24-25七年级下·陕西·期末）如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是　 　. 3．（24-25七年级下·南昌·期末）计算： （1）（x﹣1）（x2+x+1）； （2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）． 题型六 整式除法的基础运算（共4小题） 1．（24-25七年级下·临海·期末）计算（2a3﹣6a2）÷a的结果为（　　） A．2a3﹣6a2 B．2a2﹣6a C．2a2﹣6 D．2a﹣6 2．（24-25七年级下·连州·期末）若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（ ） A． B． C． D． 3．太阳到地球的距离约为 ， 光的速度约为 ， 则太阳光从太阳射到地球的时间约为　 　s． 4．（24-25七年级下·桥西·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： （1）求手掌捂住的多项式； （2）若，，求所捂多项式的值． 题型七 整式乘法中的“无关”、“不含”问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·鼓楼·期末）已知a、b是常数，若化简（x﹣a）（2x2+bx﹣4）的结果不含x的二次项，则12a﹣6b﹣1的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣13 2．（24-25七年级下·庄浪·期末）如果（2x+m）（x﹣3）展开后的结果不含x的一次项，则m的值是 　　． 3．（24-25七年级下·忠县·期末）如果整式（ax2﹣x+1）（bx﹣2）的计算结果中不含x2项和x项，那么ab＝　　． 题型八 整式乘法的实际应用（共4小题） 1．（24-25七年级下·娄底·期末）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要　 　张. 2．（24-25七年级下·大理·期末）如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 3．（24-25七年级下·达日·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简） （2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2． 4．（24-25七年级下·合肥·期末）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． （1）用含x的代数式表示　 　米，　 　米； （2）用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 题型九 有关乘法公式的计算（共4小题） 1．（24-25七年级下·肇源·期末）下列可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·藁城·期末）已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 3． 选择适当的公式计算： （1） (-1+4x)(4x-1) （2） (m-3)(-m+3) （3） (-3a+b)(-3a-b) （4） (3a-2b)(-3a-2b) 4．计算： （1） ． （2） ． （3） ． 题型十 补全完全平方公式（共2小题） 1．（24-25七年级下·南明·期末）如果关于 的二次三项式 是—个完全平方式，那么 的值是（ ） A．8 或 -8 B．8 C．-8 D．无法确定 2．已知x2＋16x＋k2可转化为(a＋b)2的形式，则常数k等于_________ 题型十一 利用公式进行简便运算（共2小题） 1．运用公式进行简便计算： （1）（24-25七年级下·成华·期末）； （2）（24-25七年级下·高州·期末）． 2.（24-25七年级下·重庆·期末）利用完全平方公式计算: (1)5012；(2)99.92. 题型十二 利用图形验证乘法公式（共4小题） 1．小美同学为了验证平方差公式， 如图是用边长为 的大正方形剪去一个边长为 的小正方形后得到的图形 (阴影部分)， 通过剪拼， 拼成了①②③三种新的图形， 其中能够验证平方差公式的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25七年级下·平南·期末）如图的面积关系，可以得到的恒等式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·奉化·期末）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②；③x2-y2=mn；④中，正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（24-25七年级下·石家庄·期末）几何验证：如图1，可验证公式（a+b)2=a2+2ab+b2. （1）公式应用：若，，则m2+n2的值为　 　； （2）拓展延伸：如图2，四边形和四边形是两个正方形，若，，则的值为　 　. 图2 题型十三 乘法公式中的知二求二（共5小题） 1．（24-25七年级下·义乌·期末）如果 是长方形的长和宽，且 ， 则长方形面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·抚州·期末）若，，则的值为　 　． 3．（24-25七年级下·德阳·期末）已知，则　 　. 4．（24-25七年级下·鄞州·期末） 若n满足，则等于　 　． 5．（24-25七年级下·青阳·期末）完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 请尝试解决： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 题型十四 乘法公式的综合应用（共4小题） 1．（24-25七年级下·沈阳·期末）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（　　） A．31 B．41 C．16 D．54 2．（24-25七年级下·江北·期末）若 ， 则 的末位数字是 ( ) A．6 B．7 C．3 D．5 3．（24-25七年级下·康平·期末）观察下列各式： ． 则的结果为　 　． 4．（24-25七年级下·港南·期末）如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：。设，．若，则图中阴影部分的周长为（　　） A．25 B．26 C．28 D．30 题型十五 平行线与相交线的相关概念（共3小题） 1．（24-25七年级下·市南·期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列选项，错误的是（　　） A．∠3+∠1＝180° B．∠3﹣∠2＝90° C．∠3+∠2＝270°﹣2∠1 D．∠1+∠2＝180° 2．（24-25七年级下·永吉·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·晋安·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 题型十六 简单的角度计算（共4小题） 1．（24-25七年级下·遵义·期末）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线相交于点， 的角平分线， ，求的度数． 因为， 所以　 　， 因为， 所以　 　， 又因为平分， 所以　 　　 　　 　 因为， 所以， 则　 　　 　　 　 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质 2．（24-25七年级下·永川·期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O． （1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度数； （2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数． 3．如图（1）所示，∠AOB、∠COD都是直角． ​ （1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系．请你用推理的方法说明你的猜想是合理的． （2）当∠COD绕着点O旋转到图（2）所示位置时，你在（1）中的猜想还成立吗？请你证明你的结论． ​ 4．（24-25七年级下·津南·期末）如图，直线，相交于点，． （1）若，，则　 　； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求和的度数． 题型十七 动态背景下的角度计算（共2小题） 1．（24-25七年级下·嵊州·期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处． （1）如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 　　　°； （2）如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由； （3）将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度数． 2．（24-25七年级下·桥西·期末）如图1所示，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，三角形MON的一条边OM在射线OB上且∠MON＝90°． （1）如图1，∠BOC的度数为 　　　　°，∠CON的度数为 　　　　°； （2）如图2，三角形MON绕点O逆时针旋转，当边OM恰好平分∠BOC时，求∠AON的度数； （3）三角形MON由图1位置绕点O逆时针旋转120°的过程中，请直接写出∠COM与∠AON的数量关系． 题型十八 平行线的判定（共6小题） 1．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．（24-25七年级下·仪征·期末）如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180° 3．（24-25七年级下·江都·期末）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠B+∠BAD＝180°；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．⑤∠1＝∠2，其中能判定AB∥CD的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25七年级下·顺德·期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理　 　． 5．（24-25七年级下·兴庆·期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 6．（24-25七年级下·南昌·期末）已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC．垂足分别为D，G．且∠ADE＝∠CFG． 求证：DE∥AC． 题型十九 平行线的性质（共5小题） 1．（24-25七年级下·碑林·期末）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 2．（24-25七年级下·通辽·期末）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·伊川·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠CBD＝44°时，∠CDE的度数为 　 °　． 4．（24-25七年级下·庐江·期末） 如图，，，垂足为A，交于点，点在射线上． ①若平分，则　 　． ②若，在直线上取一点，连接，过点作，交直线于点，若，则　 　． 5．（24-25七年级下·德阳·期末）已知：如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 题型二十 平行线的判定和性质的综合运用（共4小题） 1．（24-25七年级下·云梦·期末）如图所示，平分，，． （1）求证：； （2）若，试求的度数． 2．（24-25七年级下·汕尾·期末）如图，在中，点在上，且于点，于点，与相交于点． （1）若，求的度数； （2）若平分，求证：． 3．（24-25七年级下·衡阳·期末）图1是一辆滑轮摄影轨道车，图为其侧面示意图固定在底座于点是轨道车的“手臂”，可通过改变的度数调节车的高度在调节过程中，放摄像机的杆始终平行于． （1）如图，调节轨道车的“手臂”，使，此时，求的度数． （2）若图，求的度数之和． 4．（24-25七年级下·定南·期末）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． （1）【建立模型】如图①②已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请分别写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并对图②中的结论进行证明． （2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE＝45°始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，求∠BAO的度数． （3）【拓展应用】如图（4），已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝75°，求∠CDE的度数． 题型二十一 事件的分类（共3小题） 1．（24-25七年级下·合川·期末）下列事件中是随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．掷一次骰子，向上一面的点数是7 D．在平面内任意画一个三角形，其内角和360° 2．（24-25七年级下·柳州·期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 3．（24-25七年级下·宝应·期末）将5个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二十二 利用频率的稳定性估计概率（共4小题） 1．（24-25七年级下·成都·期末）在一个不透明盒子中放有若干张质地和大小完全相同的卡片，其中5张分别印有“新”“都”“在”“这”“里”字样，小明随机抽取一张卡片并放回，多次试验后发现抽到印有字样的卡片的频率稳定在0.25，则盒子中卡片的张数很可能是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（24-25七年级下·丽水·期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 3．（24-25七年级下·金平·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个． （1）先从袋子中取出n个红球（n＞1），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．若事件A为必然事件，则n的值为 　　； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在附近摆动，求m的值． 4．（24-25七年级下·宝应·期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝ 　　　　，b＝ 　　　　； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　　　　（精确到0.1）； （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 题型二十三 计算等可能事件的概率（共4小题） 1．（24-25七年级下·通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 　　　　． 2．（24-25七年级下·西湖·期末）一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江阴·期末）小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 　　　　． 4．（24-25七年级下·响水·期末）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 题型二十四 三角形的边和角（共5小题） 1．（24-25七年级下·榆树·期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是　 　． 2．（24-25七年级下·拱墅·期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　） A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm 3．（24-25七年级下·衡阳·期末）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·新兴·期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 5．（24-25七年级下·东莞·期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数． 题型二十五 三角形的三线（共4小题） 1．（24-25七年级下·薛城·期末）学习了三角形的“中线、高线、角平分线”后，老师给同学们布置了一项作业：作的边上的高．下面是四位同学的作业，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·中原·期末）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点是线段上的动点，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·南山·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，，求的度数； （2）如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 题型二十六 全等三角形的性质和判定（共7小题） 1．（24-25七年级下·深圳·期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4　 　 2．（24-25七年级下·宝安·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·深圳·期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为(　　) A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·南明·期末）如图所示，已知AE=AC，∠C=∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是(　　) A．∠B=∠D B．BC=DE C．∠1=∠2 D．AB=AD 5．（24-25七年级下·南宁·期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画　 　个. ​​ 6．（24-25七年级下·西岗·期末）如图，B、C、F、E在同一条直线上，AC∥FD，AB∥DE，BC＝EF． 求证：AB＝DE． 7．（2023七下·梅州期末）（24-25七年级下··期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E、F，使BF=DE，连接AE，CF． （1）若，试说明； （2）在（1）的条件下，请连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 题型二十七 全等三角形的常见模型（共5小题） 1．（24-25七年级下·江汉·期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上一点，连接BM并延长交AC于N，∠AMN＝∠MAN，若BM＝6，AN＝3.7，则CN的长度是　　　　　　． 2．（24-25七年级下·龙华·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·吉州·期末）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接，和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③是的中线；④.其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·长春·期末）如图 如图，，，，直线、交于点． （1）求证：； 请补全下面证明过程： 证明：在与中， ， ≌， ▲ ， ▲ ， ， ， ． （2）将图中的绕点顺时针旋转到图的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． 5．（24-25七年级下·青原·期末）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，． （1）求证：． （2）求证：平分． 题型二十八 尺规作图（共3小题） 1．（24-25七年级下·小店·期末）利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（　　） A．已知两边及其中一边的对角 B．已知三边 C．已知两边及其夹角 D．已知两角及其夹边 2．（24-25七年级下·毕节·期末）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP. 由作法得△OCP≌△ODP的根据是　 　. 3．（24-25七年级下·深圳·期末）嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点，交AC于点． （2）以点为圆心，以MN长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线AP. （3）以点A为圆心，先以AB长为半径画弧，与边AC交于点，再以AC长为半径画弧，与射线AP交于点，连接DE． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 题型二十九 全等三角形在实际中的应用（共5小题） 1．（24-25七年级下·茂名·期末）如图，这是一个平分角的仪器，，将点A放在一个角的顶点，使AB、AD分别与这个角的两边重合，可证，从而得到AC就是这个角的平分线．其中证明的数学依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 2．（24-25七年级下·罗湖·期末）如上图，公园里有一座假山，要测量假山两端 A、B 的距离，先在平地上取一个可以直接到达 A、B 的点 C，分别延长 AC、BC 到 D、E，使 ，，连接 DE，这样就可以利用三角形全等，通过测量 DE 的长得到假山两端 A、B 的距离，则判定这两个三角形全等的依据是　 　. 3．（24-25七年级下·中山·期末）如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝8cm，EF＝10cm，则该容器壁的厚度为 　　　　cm． 4．（24-25七年级下·歙县·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为　　　　． 5．（24-25七年级下·钢城·期末）某数学兴趣小组设计方案测量河两岸A、B两点间的距离．如图所示，在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且CD＝BC，在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°，测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°，DE的长度为30米．请你根据以上数据求出A、B两点间的距离，并说明理由． 题型三十 生活中的轴对称图形（共3小题） 1．（24-25七年级下·巢湖·期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 2．（24-25七年级下·盐城·期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A．山 B．河 C．无 D．恙 3．如图手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型三十一 轴对称图形的性质（共3小题） 1．（24-25七年级下·裕华·期末）如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．无法确定 2．（24-25七年级下·东莞·期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 3．（24-25七年级下·朝阳·期末）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A，B，C为顶点画△ABC，请你在图中以选取的格点为顶点再画出一个△ABP，使△ABP与△ABC成轴对称．这样的P点有 　 　个？（填P点的个数） 题型三十二 常见的轴对称图形及其性质（共7小题） 1．（24-25七年级下·贵阳·期末）如图， 在 中， 为边 上的中线， 则下列结论错误的是（ ） A． B．AD BC C． D． 2．（24-25七年级下·井冈山·期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为　 　． 3．（24-25七年级下·南明·期末）如图所示，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P. （1）试说明：BF=CE； （2）求∠BPC的度数. 4．（24-25七年级下·长沙·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25七年级下·长沙·期末）如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 6．（24-25七年级下·涪城·期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，则与的度数和为　 　． 7．（24-25七年级下·宿迁·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 题型三十三 将军饮马模型（共4小题） 1．（24-25七年级下·盐湖·期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·宣汉·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（24-25七年级下·开江·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 4．（24-25七年级下·光明·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 题型三十四 常量与变量（共3小题） 1.（24-25七年级下·南海·期末）你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　） A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车 2．（24-25七年级下·扬州·期末）徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价 3.（24-25七年级下·榆林·期末）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间t（h）与蚊香长度s（cm）的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间t/h 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度s/cm 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当蚊香的燃烧时间为3h时，蚊香长度为多少？ 题型三十五 用表格表示变量之间的关系（共3小题） 1．（24-25七年级下·榆次·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（℃） … 11 13 15 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为112次，则该地当时的气温约为（　　） A．17℃ B．18℃ C．19℃ D．21℃ 2．（24-25七年级下·庐阳·期末）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L XL 2XL … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制5XL，则他的衣长是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 3.（24-25七年级下·内乡·期末）某地区用电量与应缴电费之间的关系如表：则下列叙述错误的是（　　） 用电量（千瓦时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元 B．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 C．若应缴电费为2.75元，则用电量为5千瓦时 D．若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多1.1千瓦时 题型三十六 根据文字表述列关系式（共5小题） 1.（24-25七年级下·西安·期末）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A．y＝24x B．y＝24x+2 C．y＝24x+20 D．y＝24x+22 2.（24-25七年级下·奉贤·期末）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米（0＜x＜10），则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 　　 　　 　　． 3.（24-25七年级下·无锡·期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 　　 　　 　　 　　． 4.（24-25七年级下·凤翔·期末）自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收入﹣800）×20%；…如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预缴税款（2000﹣800）×20%＝240（元）． （1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x（元）之间的关系式； （2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？ （3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？ 5.（24-25七年级下·定陶·期末）某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费． （1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； （2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ （3）该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印制厂印制宣传材料能多一些？ 题型三十七 根据图形规律或表格规律列关系式（共4小题） 1．（24-25七年级下·云岩·期末）如图（单位cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为y cm，则y与x满足的关系式是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x+4 C．y＝x+2 D．y＝x+3 2.（24-25七年级下·榆次·期末）亮亮在帮妈妈收拾碗筷的时候，发现同款盘子摞在一起的高度y（cm）与盘子的数量x（只）之间的几组对应值如下表，则y与x之间的关系式为　　 　　 　　 　　． 盘子数量（只） 1 2 3 5 盘子高度（cm） 3 4.5 6 9 3.（24-25七年级下·苏州·期末）一支原长为20cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如表： 烧烧时间/分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10cm时，这支蜡烛燃烧了 　　 　　分钟． 4.（24-25七年级下·让胡路·期末）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式　　 　　 　　 　　 　　 　　． 题型三十八 用图象法表示变量之间的关系（共4小题） 1.（24-25七年级下·成华·期末）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浦江·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（　　） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 3.（24-25七年级下·市中·期末）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： ①体育场离该同学家2.5千米； ②该同学在体育场锻炼了15分钟； ③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确的说法是　　 　　 　　． （把你认为正确结论的序号都填上） 4.（24-25七年级下·浦东·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 　　 　　 　　； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　　 　　分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　　 　　米/分； （4）图中a表示的数是 　 　；b表示的数是 　　 　　； （5）图中点A表示的实际意义是 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　． 1.如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）试说明：DF∥BC； （2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 2.周末，小明骑自行车到太白湖公园游玩，他从家出发0.8小时后达到新华书店，逗留一段时间后继续骑自行车到太白湖公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往太白湖公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）在上述变化过程中，自变量是　 　 ，因变量是　 　 ； （2）小明家到太白湖公园的路程为　 　 ； （3）小明爸爸驾车的平均速度为　 　 ； （4）爸爸驾车追上小明时离太白湖公园还有多远？ 3.（1）如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为90°，转动转盘，当转盘停止时，求指针落在蓝色区域的概率； （2）请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为． 4.对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 5.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． （1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝　 　 ； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数。 6.情境观察：（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D，E，CD与AE交于点F．直接写出线段AF与线段CE的数量关系是　 　 ； 问题探究：（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，AD与BC交于点E．直接写出线段AE与线段CD的数量关系　 　 ； 拓展延伸：（3）如图③，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝BC，点D在AC上，，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．探究线段DF与线段CE的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题百练通关 题型1 幂的基础运算（基础题） 题型2 幂的运算的灵活变形（重点题） 题型3 科学记数法（必考题） 题型4 零指数幂和负整数指数幂（必考题） 题型5 整式乘法的基础运算（必考题） 题型6 整式除法的基础运算（高频题） 题型7 整式乘法中的“无关”、“不含”问题 题型8 整式乘法的实际应用（重点题） 题型9 有关乘法公式的计算（必考题） 题型10 补全完全平方公式 题型11 利用公式进行简便运算（高频题） 题型12 利用图形验证乘法公式（重点题） 题型13 乘法公式中的知二求二 题型14 乘法公式的综合应用（重点题） 题型15 平行线与相交线的相关概念（必考题） 题型16 简单的角度计算 题型17 动态背景下的角度计算 题型18 平行线的判定（高频题） 题型19 平行线的性质（高频题） 题型20 平行线的判定和性质的综合运用（重点题） 题型21 事件的分类（高频题） 题型22 利用频率的稳定性估计概率（重点题） 题型23 计算等可能事件的概率（必考题） 题型24 三角形的边和角 题型25 三角形的三线 题型26 全等三角形的性质和判定（必考题） 题型27 全等三角形的常见模型（重点题） 题型28 尺规作图 题型29 全等三角形在实际中的应用（高频题） 题型30 生活中的轴对称图形（必考题） 题型31 轴对称图形的性质（必考题） 题型32 常见的轴对称图形及其性质（重点题） 题型33 将军饮马模型 题型34 常量与变量（高频题） 题型35 用表格表示变量之间的关系（重点题） 题型36 根据文字表述列关系式（高频题） 题型37 根据图形规律或表格规律列关系式 题型38 用图象法表示变量之间的关系（重点题） 题型一 幂的基础运算（共5小题） 1．（24-25七年级下·巢湖·期末）下列运算正确的是（　　） A．（x2）3＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（﹣x）6÷（﹣x）3＝﹣x3 D．（xy2）3＝x3y2 【答案】C 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、（x2）3＝x6，故此选项不符合题意； B、x3•x2＝x5，故此选项不符合题意； C、（﹣x）6÷（﹣x）3＝（﹣x）3＝﹣x3，故此选项符合题意； D、（xy2）3＝x3y6，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·沙河口·期末）下列运算结果正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a3 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、a2•a4＝a6，故本选项错误； B、（3b2）2＝9b4，故本选项错误； C、（a4）2＝a8，故本选项正确； D、a6÷a2＝a4，故本选项错误； 故选：C． 3．计算 的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需要先进行幂的乘方运算，然后再进行幂的乘法运算. 在进行幂的乘方运算时，需要注意底数是否为负数，这会影响到最终的正负号. 【详解】解： . 故答案为：A. 4．（24-25七年级下·让胡路·期末）计算　 　． 【答案】 【分析】x-y和y-x互为相反数，通过变形，可以将二者变成同底数幂，进行计算 【详解】． 5．（24-25七年级下·雷州·期末）计算：a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4． 【答案】6a8 【分析】分别根据同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则化简，再合并同类项即可． 【详解】解：a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4＝a8+4a8+a8＝6a8． 题型二 幂的运算的灵活变形（共5小题） 1．（24-25七年级下·鼓楼区·期末）已知9x＝33x﹣2，则x＝ 　　． 【答案】2． 【分析】首先根据幂的乘方的性质，把9x化为32x；再根据指数相等，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵9x＝33x﹣2， ∴32x＝33x﹣2， ∴2x＝3x﹣2， ∴x＝2， 故答案为：2． 2．（24-25七年级下·潜山·期末）若，则　 　． 【答案】3 【分析】利用同底数幂的运算把和27都转化为3为底的幂的形式，然后再根据同底数幂相等指数也相等，得到x+3y=3，再整体代入-2x-6y+9中，即可得到答案。 【详解】解：∵ ∴ ∴x+3y=3 ∴ 3．（24-25七年级下·廉江·期末）（1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 【答案】（1）m的值为15；（2）512． 【分析】（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到3×33m÷32m＝33m+1﹣2m＝3m+1＝316，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为9（x2n）3﹣4（x2n）2，再代入求值． 【详解】解：（1）原式＝3×（33）m÷（32）m＝3×33m÷32m＝33m+1﹣2m＝3m+1， 即3m+1＝316，则m+1＝16，即m＝15， ∴m的值为15； （2）原式＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×43﹣4×42＝512． ∴（3x3n）2﹣4（x2）2n的值为512． 4．（24-25七年级下·高州·期末）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： （1）计算：　 　，　 　． （2）通过上述规律，归纳得出：　 　；　 　． （3）请应用上述性质计算：． 【答案】（1）1；1 （2）； （3）． 【分析】（1）根据积的乘方法则，计算求解即可； （2）根据积的乘方法则进行求解即可； （3）把同底数幂的乘法法则及积的乘方运算法则将原式变形为，据此求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：1；1； （2）由题意得，，， 故答案为：，； （3）解： ． 5．已知 am=2，an=4，ak=32（a≠0）． （1）求a3m+2n﹣k的值； （2）求k﹣3m﹣n的值． 【答案】（1）4；（2）0． 【分析】（1）首先求出a3m=23，a2n=42=24，ak=32=25，然后根据同底数幂的乘法、除法法则计算即可； （2）首先求出ak﹣3m﹣n的值是1；然后根据a0=1，求出k﹣3m﹣n的值是多少即可． 【详解】解：（1）∵a3m=23，a2n=42=24，ak=32=25， ∴a3m+2n﹣k =a3m•a2n÷ak =23•24÷25 =23+4﹣5 =22 =4； （2）∵ak﹣3m﹣n=25÷23÷22=20=1=a0， ∴k﹣3m﹣n=0， 即k﹣3m﹣n的值是0． 题型三 科学记数法（共2小题） 1．（24-25七年级下·仓山·期末）细菌是一种微小的单细胞生物，如大肠杆菌，其直径约为0.000000005米．将数据0.000000005用科学记数法表示为（　　） A．5×10﹣8 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．0.5×10﹣9 【答案】B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：0.000000005＝5×10﹣9． 故选：B． 2．1 千克镭完全衰变后， 放出的热量相当于 千克煤放出的热量， 据估计地壳里含 千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？ 【答案】3.75×1015千克 【分析】将地壳中镭的总质量与1千克镭完全衰变后放出的热量进行乘法运算，以得到地壳中镭完全衰变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量. 【详解】解：3.75×105×1×1010=3.75×1015（千克）.答：这些锚完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量. 题型四 零指数幂和负整数指数幂（共3小题） 1．（24-25七年级下·石家庄·期末）可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a-p=（a≠0）分析判断即可。 【详解】解：2-3==，故答案为：D． 2．等式 成立的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂的定义，可以确定等式成立的条件. 【详解】解：零指数幂要求底数不能为0，即x-3≠0，即x≠3. 故答案为：D. 3．（24-25七年级下·郑州·期末）计算：　 　． 【答案】3 【分析】先根据负整数指数幂性质“”和零指数幂性质“a0=1(a≠0)”分别计算，然后计算有理数的减法即可. 【详解】解： ． 故答案为：3． 题型五 整式乘法的基础运算（共3小题） 1．（24-25七年级下·东西湖·期末）下列各式中，计算正确的是（　　） A．3x4﹣x2＝2x2 B．2x4•3x2＝6x8 C．x2•x3＝x5 D．（x3）2＝x9 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、3x4与﹣x2不能合并，故此选项不符合题意； B、2x4•3x2＝6x6，故此选项不符合题意； C、x2•x3＝x5，故此选项符合题意； D、（x3）2＝x6，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西·期末）如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是　 　. 【答案】 【分析】根据单项式相减只能是单项式即可判断两个单项式的指数，再利用同底数幂相乘即可求出答案. 【详解】解：∵ 单项式与的差是一个单项式， ∴单项式与中的x和y的指数相等， ∴，， ∴. 故答案为：. 3．（24-25七年级下·南昌·期末）计算： （1）（x﹣1）（x2+x+1）； （2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）． 【答案】（1）x3﹣1；（2）2x﹣6． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则计算乘法，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1 ＝x3+x2﹣x2+x﹣x﹣1 ＝x3﹣1； （2）原式＝x2﹣2x+3x﹣6﹣x2+x ＝x2﹣x2﹣2x+x+3x﹣6 ＝2x﹣6． 题型六 整式除法的基础运算（共4小题） 1．（24-25七年级下·临海·期末）计算（2a3﹣6a2）÷a的结果为（　　） A．2a3﹣6a2 B．2a2﹣6a C．2a2﹣6 D．2a﹣6 【答案】B 【分析】根据多项式除以单项式可直接进行求解． 【详解】解：（2a3﹣6a2）÷a． 故选：B． 2．（24-25七年级下·连州·期末）若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意列出算式，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可。 【详解】解：根据长方形的面积计算公式，可得： 长方形的另一边长=， 故答案为：D． 3．太阳到地球的距离约为 ， 光的速度约为 ， 则太阳光从太阳射到地球的时间约为　 　s． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的法则“系数相除，同底数幂相除 ，只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式“计算即可求解. 【详解】解：∵太阳到地球的距离约为 ， 光的速度约为 ， ∴太阳光从太阳射到地球的时间约为：1.5×108÷3.0×105=0.5×103=5×102（s）. 故答案为：5×102. 4．（24-25七年级下·桥西·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： （1）求手掌捂住的多项式； （2）若，，求所捂多项式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用多项式除以单项式的计算方法分析求解即可； （2）将x、y的值代入（1）中所捂多项式，再计算即可. 【详解】（1）设多项式为A，则 （2），，原式 题型七 整式乘法中的“无关”、“不含”问题（共3小题） 1．（24-25七年级下·鼓楼·期末）已知a、b是常数，若化简（x﹣a）（2x2+bx﹣4）的结果不含x的二次项，则12a﹣6b﹣1的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣13 【答案】B． 【分析】先把多项式合并，然后令x的二次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式（x﹣a）（2x2+bx﹣4）＝2x3+（﹣2a+b）x2+（﹣ab﹣4）x+4a不含x的二次项， ∴﹣2a+b＝0， 解得b＝2a， ∴12a﹣6b﹣1＝12a﹣6×2a﹣1＝﹣1． 故选：B． 2．（24-25七年级下·庄浪·期末）如果（2x+m）（x﹣3）展开后的结果不含x的一次项，则m的值是 　　． 【答案】6 【分析】将原式展开，可得2x2﹣6x+mx﹣3m，根据题意，可得﹣6x+mx＝0，即可解答． 【详解】解：（2x+m）（x﹣3）＝2x2﹣6x+mx﹣3m， ∵（2x+m）（x﹣3）展开后的结果不含x的一次项， ∴﹣6x+mx＝（m﹣6）x＝0， ∴m＝6． 故答案为：6． 3．（24-25七年级下·忠县·期末）如果整式（ax2﹣x+1）（bx﹣2）的计算结果中不含x2项和x项，那么ab＝　　． 【答案】﹣2． 【分析】先把多项式合并，然后令x2项和x项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式（ax2﹣x+1）（bx﹣2）＝abx3+（﹣2a﹣b）x2+（b+2）x﹣2不含x2项和x项， ∴﹣2a﹣b＝0且b+2＝0， 解得a＝1，b＝﹣2， ∴ab＝﹣2． 故答案为：﹣2． 题型八 整式乘法的实际应用（共4小题） 1．（24-25七年级下·娄底·期末）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要　 　张. 【答案】10 【分析】根据长方形的面积公式S=（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，再找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量. 【详解】解：由题可知：A、B、C类卡片的面积分别为a2，ab，b2， ∵长方形的长为3a+2b，宽为a+b， ∴长方形的面积：S=（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2， ∵A卡片的面积为a2，B卡片的面积为ab，C卡片的面积为b2， ∴A、B、C类卡片一共需要3+5+2=10张. 故答案为：10 2．（24-25七年级下·大理·期末）如图，某小区有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a﹣3b）米的长方形地块，角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若a＝10，b＝2，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】（1）该小区绿化的总面积（6a2﹣5ab﹣10b2）平方米； （2）完成绿化共需要23000元． 【分析】（1）绿化的总面积＝矩形面积﹣4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将a与b的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元/平方米，即可得出答案． 【详解】解：（1）（3a+2b）（2a﹣3b）﹣4b2 ＝6a2+4ab﹣9ab﹣6b2﹣4b2 ＝6a2﹣5ab﹣10b2， 答：该小区绿化的总面积（6a2﹣5ab﹣10b2）平方米； （2）当a＝10，b＝2时， 原式＝6×102﹣5×10×2﹣10×22＝460， ∴50×460＝23000（元）． 答：完成绿化共需要23000元． 3．（24-25七年级下·达日·期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简） （2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2． 【答案】（1）（a2+4ab）平方米，（3ab+12b2）平方米；（2）216平方米． 【分析】（1）观察图形可知：小路是边长为a米，这条边上的高为（a+4b）米的平行四边形，利用平行四边形的面积公式，列出算式进行计算，再利用平移的方法可知，阴影部分通过平移形成一个长为（a+4b）米，宽为（a+3b﹣a）米的长方形，根据长方形面积公式，列出算式进行计算； （2）把a＝2，b＝4代入种植区的总面积S2进行计算即可． 【详解】解：（1）S1＝a（a+4b） ＝（a2+4ab）平方米， S2＝（a+3b﹣a）（a+4b） ＝3b（a+4b） ＝（3ab+12b2）平方米； （2）当a＝2，b＝4时， S2＝3×2×4+12×42 ＝3×2×4+12×16 ＝24+192 ＝216（平方米）， 答：此时种植区的总面积S2为216平方米． 4．（24-25七年级下·合肥·期末）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． （1）用含x的代数式表示　 　米，　 　米； （2）用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 【答案】（1）； （2）解：长方形的面积为： 平方米． 【分析】（1）根据图形中的数据可得，，再利用线段的和差求出，最后求出即可； （2）利用长方形的面积公式列出算式即可. 【详解】解：（1）∵①②③三个长方形区域的面积相等， ∴， ∴，， ∴米， ∴米； 题型九 有关乘法公式的计算（共4小题） 1．（24-25七年级下·肇源·期末）下列可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方. 【详解】解：A、∵=-（a-b）（a-b）=-(a-b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意； B、∵=（-3a-4b）(-3a+4b），符号平方差公式的特点，∴能用平方差公式，符合题意； C、∵=-（5a-3b）（5a-3b）=-(5a-3b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意； D、∵=-（2a-3b）（2a-3b）=-(2a-3b)2，符合完全平方公式特点，∴不能运用平方差公式，不符合题意. 故答案为：B． 2．（24-25七年级下·藁城·期末）已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值． 【详解】解：∵a+b＝6， ∴a2﹣b2+12b ＝（a+b）（a﹣b）+12b ＝6（a﹣b）+12b ＝6a﹣6b+12b ＝6a+6b ＝6（a+b） ＝6×6 ＝36， 故选：D． 3． 选择适当的公式计算： （1） (-1+4x)(4x-1) （2） (m-3)(-m+3) （3） (-3a+b)(-3a-b) （4） (3a-2b)(-3a-2b) 【答案】（1）16x2-8x+1；（2）-m2+6m-9；（3）=9a2-b2；（4）4b2-9a2. 【分析】（1）（2）由题意用完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”计算即可求解； （3）（4）由题意用平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算即可求解. 【详解】（1）解：（-1+4x）（4x-1）=（4x-1）2=16x2-8x+1； （2）解：（m-3）（-m+3）=-（m-3）（m-3）=-（m-3）2=-(m2-6m+9)=-m2+6m-9； （3）解：（-3a+b）（-3a-b）=（-3a）2-b2=9a2-b2； （4）解：（3a-2b）（-3a-2b）=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2. 4．计算： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式直接计算即可； （3）直接根据平方差公式计算即可求解. 【详解】（1）解：原式=. （2）解：原式= = =. （3）解：原式= = =. 题型十 补全完全平方公式（共2小题） 1．（24-25七年级下·南明·期末）如果关于 的二次三项式 是—个完全平方式，那么 的值是（ ） A．8 或 -8 B．8 C．-8 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可. 【详解】解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式， ∴﹣mx=±2·x·4 ∴m=±8． 故答案为：A． 2．已知x2＋16x＋k2可转化为(a＋b)2的形式，则常数k等于_________ 【答案】±8 【分析】根据一次项16x，可得k2为82，则可求出k的值. 【详解】解析：16x＝2·8x，(x＋8)2＝x2＋16x＋64，则k2＝64，k=±8. 题型十一 利用公式进行简便运算（共2小题） 1．运用公式进行简便计算： （1）（24-25七年级下·成华·期末）； （2）（24-25七年级下·高州·期末）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将变形为，利用平方差公式即可求解； （2）通过变形，可以两次利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2.（24-25七年级下·重庆·期末）利用完全平方公式计算: (1)5012；(2)99.92. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将5012变形为(500+1)2，利用完全平方公式即可求解； （2）将99.92变形为(100-0.1)2，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解 (1)5012=(500+1)2=5002+2×500×1+12=250 000+1 000+1=251 001; (2)99.92=(100-0.1)2 =1002-2×100×0.1+0.12 =10 000-20+0.01=9 980.01。 题型十二 利用图形验证乘法公式（共4小题） 1．小美同学为了验证平方差公式， 如图是用边长为 的大正方形剪去一个边长为 的小正方形后得到的图形 (阴影部分)， 通过剪拼， 拼成了①②③三种新的图形， 其中能够验证平方差公式的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】利用割补法表示出左图的面积，进而根据剪裁方式，用不同的拼接方式拼出了矩形、平行四边形及梯形，结合矩形、平行四边形及梯形的面积计算公式分别表示出图①②③的面积，剪拼前后阴影图形面积不变，即可得出结论. 【详解】解：左图中阴影部分的面积为：a2-b2， 剪拼后图①是一个长为(a+b)，宽为(a-b)的矩形，其的面积为(a+b)(a-b)， ∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故①符合题意； 剪拼后图②是一个第为(a+b)，高为(a-b)的平行四边形，其的面积为(a+b)(a-b)， ∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故②符合题意； 剪拼后图③是一个上底为2b，下底为2a，高为(a-b)的梯形，其的面积为(2a+2b)(a+b）=(a+b)(a-b)， ∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故③符合题意， 综上，可以验证平方差公式的是①②③. 故答案为：D. 2．（24-25七年级下·平南·期末）如图的面积关系，可以得到的恒等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合图像分别得出图形的面积等于（a+b）（a-b）和a2-b2，根据同一图形面积相等得到（a+b）（a-b）=a2-b2，即可选出答案. 【详解】解：根据题意，如图所示； 图形的面积=以a+b为长以a-b为宽的长方形面积=（a+b）（a-b） 图形的面积还可以=以a为边长的正方形的面积-以b为边长的正方形面积=a2-b2 ∵同一个图形面积相等. ∴（a+b）（a-b）=a2-b2 故答案为：B. 3．（24-25七年级下·奉化·期末）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②；③x2-y2=mn；④中，正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由拼图知m=x+y，n=x-y，小长方形的面积=（大正方形的面积-小正方形面积），据此逐项验证即可. 【详解】解：由拼图知：m=x+y，n=x-y，故①正确； ∴mn=(x+y)(x-y)=x2-y2，故③正确； ∵小长方形的面积=（大正方形的面积-小正方形面积） ∴xy=(m2-n2)，故②正确； x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2×(m2-n2)=，故④错误. 故答案为：A. 4．（24-25七年级下·石家庄·期末）几何验证：如图1，可验证公式（a+b)2=a2+2ab+b2. （1）公式应用：若，，则m2+n2的值为　 　； （2）拓展延伸：如图2，四边形和四边形是两个正方形，若，，则的值为　 　. 图2 【答案】（1）13；（2）18 【分析】 （1）根据（m+n）2=m2+2mn+n2，代入计算即可； （2）设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，由题意可得x+y=6，xy=9，由S1+S2=x2+y2=（x+y）2-2xy代入计算即可。 【详解】解：（1）∵（m+n）2=m2+2mn+n2，m+n=5，mn=6， ∴m2+n2=（m+n）2－2mn =25－12 =13， 故答案为：13； （2）设正方形ACDE的边长为x，正方形BCFG的边长为y，则x+y=DF=6， ∵， ∴x+y=6，xy=9， ∴S1+S2=x2+y2 =（x+y）2－2xy =36－18 =18． 故答案为：18． 题型十三 乘法公式中的知二求二（共5小题） 1．（24-25七年级下·义乌·期末）如果 是长方形的长和宽，且 ， 则长方形面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用完全平方公式将已知等式展开，由①-②可求出ab的值，即得长方形的面积. 【详解】解： ∵， ∴a2+2ab+b2=16①， a2-2ab+b2=4②， ①-②得：4ab=12， ∴ab=3， ∴ 长方形面积为ab=3. 故答案为：A. 2．（24-25七年级下·抚州·期末）若，，则的值为　 　． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式，进行变形后，把题目所给条件整体代入即可求出答案． 【详解】解：， 把，，代入得 ， 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·德阳·期末）已知，则　 　. 【答案】17 【分析】根据完全平方公式和题干得到：即进而即可求解. 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：17. 4．（24-25七年级下·鄞州·期末） 若n满足，则等于　 　． 【答案】0 【分析】利用完全平方公式变形，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·青阳·期末）完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 请尝试解决： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意结合完全平方公式代入求值即可； （2）根据，即可得到，进而即可求出ab。 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 解得． 题型十四 乘法公式的综合应用（共4小题） 1．（24-25七年级下·沈阳·期末）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（　　） A．31 B．41 C．16 D．54 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式在新定义类计算中的简单应用．根据数字的特点，分别将31、41和16写成两个正整数的平方差的形式，但54不能写成两个正整数数的平方差的形式，据此可选出选项． 【详解】解：∵ 54不能表示成两个正整数的平方差． ∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”． 故答案为：D． 2．（24-25七年级下·江北·期末）若 ， 则 的末位数字是 ( ) A．6 B．7 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先根据平方差公式把A计算出来，再计算2n的个位数字规律，得出：每4个个位数字每4个一次循环，得出232的个位数字为6，故232+1的个位数字为7. 【详解】解： =… ∵ 由此可知：个位数字每4个一次循环 ∴32÷4=8 故232的个位数字为6，因此232+1的个位数字为7. 故选：A. 3．（24-25七年级下·康平·期末）观察下列各式： ． 则的结果为　 　． 【答案】22025﹣1 【分析】观察结果，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1，得出第n个的结果，进而求出即可. 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·港南·期末）如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：。设，．若，则图中阴影部分的周长为（　　） A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】D 【分析】根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，然后可求阴影部分的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ； ， ， 即， ， 或（舍去） ∵四边形ABCD是正方形， ， ∴阴影部分的周长是， 故答案为：D． 题型十五 平行线与相交线的相关概念（共3小题） 1．（24-25七年级下·市南·期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列选项，错误的是（　　） A．∠3+∠1＝180° B．∠3﹣∠2＝90° C．∠3+∠2＝270°﹣2∠1 D．∠1+∠2＝180° 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义可判断A选项和D选项，将∠2和∠3用∠1表示出来代入B选项和C选项中计算即可判断B选项和C选项。 【详解】解：A、∵∠1与∠3互为补角， ∴∠3+∠1=180°，A不符合题意； B、∵∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角， ∴∠3=180°-∠1，∠2=90°-∠1， ∴∠3-∠2=（180°-∠1）-（90°-∠1）=90°，B不符合题意； C、∵∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角， ∴∠3=180°-∠1，∠2=90°-∠1， ∴∠3+∠2=（180°-∠1）+（90°-∠1）=270°-2∠1，C不符合题意； D、∵∠1与∠2互为余角， ∴∠1+∠2=90°，D符合题意． 故答案为：D． 2．（24-25七年级下·永吉·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有公共顶点的两个角且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，像这样的两个角是对顶角，据此判断即可. 【详解】解：根据对顶角的定义： A中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； B中∠1和∠2是对顶角； C中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； D中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； 故答案为：B． 3．（24-25七年级下·晋安·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：A、平板弹墨线，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； B、建筑工人砌墙，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯河道改直，用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、测量跳远成绩，用基本事实“垂线段最短”来解释，符合题意； 故选：D． 题型十六 简单的角度计算（共4小题） 1．（24-25七年级下·遵义·期末）下面是小红根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程． 条件及问题 思路方法 解答过程 知识要素 如图，直线相交于点， 的角平分线， ，求的度数． 因为， 所以　 　， 因为， 所以　 　， 又因为平分， 所以　 　　 　　 　 因为， 所以， 则　 　　 　　 　 垂直的定义 角平分线的定义 互为余角的定义 对顶角的性质 【答案】；；；；；；； 【分析】由垂直的定义可得 90°，从而求出∠EOF=∠EOC-COF=52°，由角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF=52°，利用角的计算求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等即可求解. 【详解】解：∵， ∴ 90°， ∵ ∴∠EOF=∠EOC-COF=90°-38°=52°， ∵平分， ∴∠AOF=∠EOF=52°， ∵， ∴， ∴∠BOD=∠AOC=14°. 故答案为： 90°，52°，AOF，EOF，52°，BOD，AOC，14°. 2．（24-25七年级下·永川·期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O． （1）若∠EOD＝32°，求∠COB的度数； （2）若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数． 【答案】（1）122°；（2）50°． 【分析】（1）根据垂直定义求出∠EOB，即可求出∠DOB的度数，再根据邻补角的定义即可求出答案； （2）设∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°，根据邻补角互补得出2x+7x＝180，求出x，即可求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，根据垂直定义求出∠EOB，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∵∠EOD＝32°， ∴∠BOD＝90°﹣32°＝58°， ∴∠COB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣58°＝122°； （2）∵∠AOC：∠COB＝2：7， ∴设∠AOC＝2x°，∠COB＝7x°， ∵∠AOC+∠COB＝180°，∴2x+7x＝180， 解得x＝20， ∴∠AOC＝40°， ∴∠BOD＝∠AOC＝40°， ∵∠EOB＝90°， ∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°． 3．如图（1）所示，∠AOB、∠COD都是直角． ​ （1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等，互余，还是互补的关系．请你用推理的方法说明你的猜想是合理的． （2）当∠COD绕着点O旋转到图（2）所示位置时，你在（1）中的猜想还成立吗？请你证明你的结论． ​ 【答案】（1）∠AOD与∠COB互补．（2）成立． 【分析】（1）根据直角的定义可得∠AOB=∠COD=90°，然后用∠AOD和∠COB表示出∠BOD，列出方程整理即可得解； （2）根据周角等于360°列式整理即可得解． 【详解】（1）解： ∠AOD与∠COB互补． 理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角， ∴∠AOB=∠COD=90°， ∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=∠AOD﹣90°， ∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB， ∴∠AOD﹣90°=90°﹣∠COB， ∴∠AOD+∠COB=180°， ∴∠AOD与∠COB互补 （2）解： 成立． 理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角， ∴∠AOB=∠COD=90°， ∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°， ∴∠AOD+∠COB=180°， ∴∠AOD与∠COB互补． 4．（24-25七年级下·津南·期末）如图，直线，相交于点，． （1）若，，则　 　； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求和的度数． 【答案】（1）（2）（3），． 【分析】（1）由垂直的定义可得∠AOM=∠1+∠AOC=90°，利用等量代换可得∠CON=∠1+∠AOC=90°，利用邻补角的定义可得∠DON=180°-∠CON=90°； （2） ．理由：同（1）方法证明即可； （3）由垂直的定义可得， 由=，可求出∠1=30°，从而得出∠AOC=60°，由对顶角相等可得， 利用角的和差即可求解. 【详解】（1） （2）解：． 理由： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 题型十七 动态背景下的角度计算（共2小题） 1．（24-25七年级下·嵊州·期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处． （1）如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 　　　°； （2）如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由； （3）将三角形DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠AOE＝5∠COD，求∠BOD的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据∠COE＝∠DOE﹣∠BOC即可作答； （2）由∠BOC＝60°，得∠AOC＝180°﹣60°＝120°，根据OE恰好平分∠AOC，有∠EOC＝120°÷2＝60°，即可得∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°，即可得∠BOD＝∠COD，问题得解； （3）由∠AOE＝5∠COD，设∠COD＝x，则∠AOE＝5x，分两种情况：第一种OD在∠AOC内，第二种OD在∠BOC内，列出方程，即可作答． 【详解】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝30°， 故答案为：30°； （2）OD平分∠BOC，理由如下： ∵直线AB上一点O， ∴∠AOB＝180°， ∵∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵OE恰好平分∠AOC， ∴∠EOC＝120°÷2＝60°， ∵∠EOD＝90°， ∴∠COD＝∠EOD﹣∠EOC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠BOD＝∠COD， ∴OD平分∠BOC； （3）∵∠AOE＝5∠COD， ∴设∠COD＝x，则∠AOE＝5x． 分两种情况： ①如图，OD在∠AOC内， ∵∠AOB＝∠AOE+∠EOD+∠COD+∠BOC＝180°， ∴5x+90°+x+60°＝180°， ∴6x＝30°， ∴x＝5， ∴∠COD＝5°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝60°+5°＝65°； ②如图，OD在∠BOC内， ∵∠AOE+∠BOD＝∠AOB﹣∠EOD＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOE+∠BOC﹣∠COD＝90°， ∴5x+60°﹣x＝90°， 解得x＝7.5°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝60°﹣7.5°＝52.5°； 综上∠BOD＝65°或52.5°． 2．（24-25七年级下·桥西·期末）如图1所示，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，三角形MON的一条边OM在射线OB上且∠MON＝90°． （1）如图1，∠BOC的度数为 　　　　°，∠CON的度数为 　　　　°； （2）如图2，三角形MON绕点O逆时针旋转，当边OM恰好平分∠BOC时，求∠AON的度数； （3）三角形MON由图1位置绕点O逆时针旋转120°的过程中，请直接写出∠COM与∠AON的数量关系． 【答案】（1）120，150； （2）∠AON＝150°； （3）∠AON+∠COM＝210°或∠AON﹣∠COM＝150°． 【分析】（1）根据邻补角的定义以及和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可； （3）根据旋转角度分两种情况进行解答，画出相应的图形，根据图形中角的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠AOC＝60°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+（180°﹣90°）＝150°， 故答案为：120，150； （2）∵OM平分∠BOC， ∴∠BOM＝∠COM∠BOC＝60°， ∴∠AON＝∠COM+∠MON＝60°+90°＝150°； （3）∠AON+∠COM＝210°或∠AON﹣∠COM＝150°，理由如下： 当旋转角0°＜α≤90°时，如图2﹣1， ∵∠AOC+∠AON+∠MON+∠COM＝360°，即60°+∠AON+90°+∠COM＝360°， ∴∠AON+∠COM＝210°； 当旋转角90°＜α≤120°时，如图2﹣2， ∵∠AON＝∠AOC+∠COM+∠MON，即∠AON＝60°+∠COM+90°， ∴∠AON﹣∠COM＝150°． 题型十八 平行线的判定（共6小题） 1．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据“同位角相等，两直线平行 ”可得答案。 【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故答案为：D． 2．（24-25七年级下·仪征·期末）如图，给出下列条件，其中不能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1+∠5＝180° D．∠2+∠4＝180° 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵∠1＝∠4， ∴a∥b， 故A不符合题意； 由∠2＝∠3，不能判定a∥b， 故B符合题意； ∵∠1+∠5＝180°，∠4+∠5＝180°， ∴∠1＝∠4， ∴a∥b， 故C不符合题意； ∵∠2+∠4＝180°， ∴a∥b， 故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·江都·期末）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠B+∠BAD＝180°；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．⑤∠1＝∠2，其中能判定AB∥CD的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：①∠B+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故①符合题意； ②∠B+∠BAD＝180°，判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，故②不符合题意； ③∠3＝∠4，由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，故③符合题意； ④∠B＝∠5，由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，故④符合题意． ⑤∠1＝∠2，判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，故⑤不符合题意， ∴其中能判定AB∥CD的个数是3个． 故选：B． 4．（24-25七年级下·顺德·期末）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，请说明其中的道理　 　． 【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】由折叠性质可得∠ACF=∠EFC=90°，从而根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DE. 【详解】解：如图， 由折叠的∠ACF=90°，∠EFC=90°， ∴∠ACF=∠EFC， ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）. 故答案为：内错角相等，两直线平行. 5．（24-25七年级下·兴庆·期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用∠COD＝90°，结合已知求得∠D＝∠BOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴，， ∴， ∴OC⊥OD； （2）证明：∵∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOD＝90°， ∵∠D与∠1互余， ∴∠1+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BOD， ∴ED∥AB． 6．（24-25七年级下·南昌·期末）已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC．垂足分别为D，G．且∠ADE＝∠CFG． 求证：DE∥AC． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用垂直的定义得出∠C+∠CFG＝90°，∠BDE+∠ADE＝90°，进而得出∠BDE＝∠C，再利用平行线的判定方法得出即可． 【详解】证明：∵AD⊥BC，FG⊥BC且∠ADE＝∠CFG， ∴∠C+∠CFG＝90°，∠BDE+∠ADE＝90°， ∴∠BDE＝∠C， ∴DE∥AC． 题型十九 平行线的性质（共5小题） 1．（24-25七年级下·碑林·期末）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质可得∠D＝∠BAF＝60°，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵DE∥AB， ∴∠D＝∠BAF＝60°， ∵∠CAB＝45°， ∴∠1＝180°﹣∠BAF﹣∠CAB＝75°， 故选：C． 2．（24-25七年级下·通辽·期末）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角尺中的角求出∠1，再利用平行线的性质，求出，再根据平角的意义求出∠2的度数． 【详解】解：如图， ∵将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴， ∵， ∴，解得. 故选：C． 3．（24-25七年级下·伊川·期末）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知BC∥DE，AB∥CD，当∠ABD＝70°，∠CBD＝44°时，∠CDE的度数为 　 °　． 【答案】66°． 【分析】先利用平行线的性质求出∠BDC和∠BDE的度数，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD＝70°， ∵BC∥DE， ∴∠BDE＝180°﹣∠DBC＝136°， ∴∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝66°， 故答案为：66°． 4．（24-25七年级下·庐江·期末） 如图，，，垂足为A，交于点，点在射线上． ①若平分，则　 　． ②若，在直线上取一点，连接，过点作，交直线于点，若，则　 　． 【答案】；或 【分析】①根据题意求出∠ABP=∠BAM=90°，再根据平行线的性质求出∠ACD+∠CDB=180°，最后计算求解即可； ②分类讨论，先作图，再根据平行线的性质计算求解即可。 【详解】解：①如图所示： ∵PQ//MN，l⊥MN， ∴∠ABP=∠BAM=90°， ∴∠PBC=∠PBA=45°， ∵PQ//MN， ∴∠PBC+∠BCM=180°， ∴∠BCM=135°； 故答案为：135°； ②分两种情况， 1)如图所示： ∵∠BDE=30°，CD⊥DE， ∴∠CDB=60°， ∵PQ//MN， ∴∠ACD+∠CDB=180°， ∴∠ACD=180°-60°=120°； 2)如图所示： ∵∠BDE=30°，CD⊥DE， ∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=120°， ∵PQ//MN， ∴∠BDC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=60°， 综上所述：∠ACD=60°或120°， 故答案为：60°或120°。 5．（24-25七年级下·德阳·期末）已知：如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（2）． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得推出∠1=∠E，进而得到∠2=∠E，根据平行线的判定即可证明； （2）根据内角和定理可得求出∠1，根据平行线的性质可得∠D=∠DCE=∠B=∠1，即可求得. 【详解】（1）证明：， ， =∠3=∠ACD， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 即，解得， ， ， ， ， ． 题型二十 平行线的判定和性质的综合运用（共4小题） 1．（24-25七年级下·云梦·期末）如图所示，平分，，． （1）求证：； （2）若，试求的度数． 【答案】（2） 【分析】（1）首先根据， 可得出AB∥EF，再根据EF∥CD，即可得出AB∥CD； （2）首先根据平行线的性质，由， 可得出∠BAC=100°，再根据角平分线的定义，可得出∠BAE=50°，进而得出∠AEF=130°。 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：由可知：， ， ， 平分， ， ， ． 2．（24-25七年级下·汕尾·期末）如图，在中，点在上，且于点，于点，与相交于点． （1）若，求的度数； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 【分析】（1）根据垂直的定义得，从而根据平行线的判定得FG∥BD，根据平行线的性质得，即可求解∠FHD的度数； （2）根据角平分线的定义得∠2=∠BAD，由（1）得FG∥BD，根据平行线的性质得∠1=∠ABD，从而求出∠1=∠2. 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）证明：平分， ， 由知，， ， ． 3．（24-25七年级下·衡阳·期末）图1是一辆滑轮摄影轨道车，图为其侧面示意图固定在底座于点是轨道车的“手臂”，可通过改变的度数调节车的高度在调节过程中，放摄像机的杆始终平行于． （1）如图，调节轨道车的“手臂”，使，此时，求的度数． （2）若图，求的度数之和． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）通过过拐点C作已知直线的平行线，进而利用平行线的性质将逐一求角往目标角靠拢求解即可； （2）同理过拐点作平行线联系已知条件角与问题角的关系，此时需推理角度关系，不熟练的情况可以通过设元进行表示角度关系更为直观理解. 【详解】（1）解：如图，过点作，且点在的下方． ，， ． ， ， ， ． ，， ， ． （2）解：如图，过点作，且点在的下方． ， ． 由可得， ． ， ， ． 4．（24-25七年级下·定南·期末）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． （1）【建立模型】如图①②已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，请分别写出∠AEC与∠BAE、∠DCE之间的关系，并对图②中的结论进行证明． （2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE＝45°始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，求∠BAO的度数． （3）【拓展应用】如图（4），已知AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E﹣∠F＝75°，求∠CDE的度数． 【答案】（1）∠A+∠C＝∠AEC；（2）135°；（3）50° 【分析】（1）过E作直线EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，再利用平行线的性质可得结论； （2）延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD，可得MN∥AF∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°，由AB∥CE可得∠DCE＝∠Q＝45°，利用垂线的定义，结合角的和差即可求解； （3）由（1）的结论可得∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F，根据平行线的定义，结合2∠E﹣∠F＝75°，即可求出∠CDE的度数． 【详解】（1）解：如图①，过E作直线EF∥AB， 而AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， ∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°； 如图②，过E作直线EF∥AB， 而AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC； （2）解：如图③，延长DC，AB交于点Q，过A作AF∥CD， 而MN∥CD， ∴MN∥AF∥CD， ∴∠FAB＝∠Q，∠FAO+∠AOM＝180°， ∵∠DCE＝45°，AB∥CE， ∴∠DCE＝∠Q＝45°， ∴∠BAF＝45°， ∵AO⊥MN， ∴∠AOM＝90°， ∴∠FAO＝90°， ∴∠BAO＝45°+90°＝135°； （3）解：如图④， 由（1）的结论可得：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠A B F+∠C D F， ∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE， ∵2∠E﹣∠F＝75°， ∴2∠ABE+2∠CDE﹣∠ABF﹣∠CDF＝75°， ∴， ∴∠CDE＝50°； 题型二十一 事件的分类（共3小题） 1．（24-25七年级下·合川·期末）下列事件中是随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．掷一次骰子，向上一面的点数是7 D．在平面内任意画一个三角形，其内角和360° 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：根据然事件、不可能事件、随机事件的概念判断如下： A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故A错误，不符合题意； B、随意翻数学书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故B正确，符合题意； C、掷一次骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故C错误，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，故D错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·柳州·期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上，是随机事件，不符合题意； B、投掷飞镖一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C、从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球，是必然事件，符合题意； D、玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·宝应·期末）将5个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：∵不透明的袋子中有5个红球和x个白球， ∴当x＝1时，事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件， 故选：A． 题型二十二 利用频率的稳定性估计概率（共4小题） 1．（24-25七年级下·成都·期末）在一个不透明盒子中放有若干张质地和大小完全相同的卡片，其中5张分别印有“新”“都”“在”“这”“里”字样，小明随机抽取一张卡片并放回，多次试验后发现抽到印有字样的卡片的频率稳定在0.25，则盒子中卡片的张数很可能是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据简单地概率计算公式，列式计算即可． 【详解】解：多次试验后发现抽到印有字样的卡片的频率稳定在0.25，设一共有x张卡片， 根据题意，得， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的根， 故选：C． 2．（24-25七年级下·丽水·期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：B． 3．（24-25七年级下·金平·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个． （1）先从袋子中取出n个红球（n＞1），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．若事件A为必然事件，则n的值为 　　； （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】（1）4； （2）m＝2． 【分析】（1）事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）先从袋子中取出n个红球（n＞1），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．若事件A为必然事件，则n的值为4， 故答案为：4； （2）由题意得：， 解得：m＝2． 4．（24-25七年级下·宝应·期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a＝ 　　　　，b＝ 　　　　； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是 　　　　（精确到0.1）； （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数． 【详解】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116． 故答案为：0.59，116 （2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6 （3）12÷0.6﹣12＝8（个）． 答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球； 题型二十三 计算等可能事件的概率（共4小题） 1．（24-25七年级下·通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 　　　　． 【答案】． 【分析】根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·西湖·期末）一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的箱子里有有7个白球，2个红球，1个黑球， ∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江阴·期末）小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 　　　　． 【答案】． 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值解答即可． 【详解】解：∵图中共有9块方砖，黑色的有5块， ∴它最终停留在黑色方砖上的概率是， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·响水·期末）某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 【答案】． 【分析】先根据四个区域的圆心角度数之和为360°求出B区域所对圆心角度数，再除以周角度数即可得出答案． 【详解】解：由图知，字母“B”所在的区域的圆心角度数为360°﹣（60°+135°+90°）＝75°， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“B”所在区域内的概率是，即中奖的概率是． 题型二十四 三角形的边和角（共5小题） 1．（24-25七年级下·榆树·期末）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是　 　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，由学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形，即三角形的稳定性，即可得到答案． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 2．（24-25七年级下·拱墅·期末）木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为7cm和14cm，第三根木条的长度可以是（　　） A．5cm B．18cm C．21cm D．23cm 【答案】B 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、7+5＜14，不能构成三角形，故A不符合题意； B、7+14＞18，能构成三角形，故B符合题意； C、7+14＝21，不能构成三角形，故C不符合题意； D、7+14＜23，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·衡阳·期末）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和列出算式求出∠BAC的度数即可. 【详解】解：根据题意，得：， ∴； 故答案为：A． 4．（24-25七年级下·新兴·期末）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】由题意设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x，根据三角形内角和定理，进而可解决此题． 【详解】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+7x＝180°． ∴x＝（）°． ∴7x＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 5．（24-25七年级下·东莞·期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数． 【答案】130°． 【分析】利用三角形内角和定理分别求出∠A和∠ABE的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°． ∵BE和CD是△ABC的两条高线， ∴∠AEB＝∠BDO＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°． 题型二十五 三角形的三线（共4小题） 1．（24-25七年级下·薛城·期末）学习了三角形的“中线、高线、角平分线”后，老师给同学们布置了一项作业：作的边上的高．下面是四位同学的作业，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高的作法，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此定义，进行解答，即可求解． 【详解】解：边上的高，应该从点向作垂线产生. 故选：A. 2．（24-25七年级下·中原·期末）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中线与面积的关系可得，即可求出答案. 【详解】解：∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ ∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ 故答案为：A 3．（24-25七年级下·黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点是线段上的动点，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，AM⊥BC时，AM最小，此时，AM就是BC边上的高，再根据三角形的面积公式求解。 【详解】解：当AM⊥BC时，AM最小，此时，AM就是BC边上的高， ∵， ∴， 故答案为：A。 4．（24-25七年级下·南山·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线． （1）若，，求的度数； （2）如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（1）能，． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合，求出即可； （2）设，则，先求出，再利用角的运算求出即可。 【详解】（1）解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴； （2）解：能，设，则， ∴． ∵平分， ∴． 在，， ∴， 故如果只知道，也能得到． 题型二十六 全等三角形的性质和判定（共7小题） 1．（24-25七年级下·深圳·期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4　 　 【答案】180° 【分析】借助方格纸的特点、全等三角形的对应角相等及直角三角形的量锐角互余可得∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而将两个等式相加即可. 【详解】解：∵∠1与∠4所在的两个三角形全等， ∴∠1+∠4=90°， ∵∠2与∠3所在的两个三角形全等， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°. 故答案为：180°. 2．（24-25七年级下·宝安·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等的定义，利用格点先判断已知△ABC的特点，逐一分析三角形的边角是否对应相等即可. 【详解】解：根据题意可得：AB为2×2格点形成的直角三角形斜边，AC为1×1格点形成的直角三角形斜边，∠BAC=90°， A．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与不全等． B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． D．两条直角边与已知条件吻合，图中的三角形（阴影部分）与全等． 故答案为：D． 3．（24-25七年级下·深圳·期末）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，根据题意，利用，证得，得出，，结合的值，即可得到点到的距离，即可得出答案. 【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故选：D． 4．（24-25七年级下·南明·期末）如图所示，已知AE=AC，∠C=∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是(　　) A．∠B=∠D B．BC=DE C．∠1=∠2 D．AB=AD 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定结合题意证明即可求解。 【详解】解：A、添加，由“”可证，A不符合题意； B、添加，由“”可证，B不符合题意； C、添加，由“”可证，C不符合题意； D、添加，不能证明，D符合题意； 故答案为：D 5．（24-25七年级下·南宁·期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画　 　个. ​​ 【答案】6 【分析】由题意可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，然后可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形全等的性质以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等，而以AC为公共边不可以作出全等三角形，所以共可以作出六个全等三角形. 故答案为：6. 6．（24-25七年级下·西岗·期末）如图，B、C、F、E在同一条直线上，AC∥FD，AB∥DE，BC＝EF． 求证：AB＝DE． 【答案】证明见解答过程． 【分析】根据平行线的性质、等角的补角相等求出∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，利用ASA证明△ABC和≌△DEF，再根据“全等三角形的对应边相等”即可得证． 【详解】证明：∵AC∥FD，AB∥DE， ∴∠ACF＝∠DFC，∠B＝∠E， ∴180°﹣∠ACF＝180°﹣∠DFC， 即∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC和≌△DEF（ASA）， ∴AB＝DE． 7．（2023七下·梅州期末）（24-25七年级下··期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E、F，使BF=DE，连接AE，CF． （1）若，试说明； （2）在（1）的条件下，请连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解； （2）. 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABD=∠BDC，∠AEB=∠DFC，又根据等式性质，可得BE=DF；最后根据AAS即可得△ABE≌△CDF； （2）根据全等三角形的性质，可得AB＝CD；根据SAS可得△ABF≌△CDE ，从而得到AF=CE. 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 故， ； （2）解：，理由如下： 证明：连接、， 由（1）可知 ， 在和中 . 题型二十七 全等三角形的常见模型（共5小题） 1．（24-25七年级下·江汉·期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上一点，连接BM并延长交AC于N，∠AMN＝∠MAN，若BM＝6，AN＝3.7，则CN的长度是　　　　　　． 【答案】2.3． 【分析】延长AD至点E，使得AD＝DE，再连接BE，证明△BDE≌△CDA，得到∠E＝∠MAN，BE＝AC，结合∠AMN＝∠MAN，∠AMN＝∠BME，可得∠E＝∠BME，推出BE＝BM＝AC＝6，即可求解． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使得AD＝DE，再连接BE， ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴∠E＝∠MAN，BE＝AC， ∵∠AMN＝∠MAN， ∴∠E＝∠AMN， ∵∠AMN＝∠BME， ∴∠E＝∠BME， ∴BE＝BM＝AC＝6， ∴CN＝AC﹣AN＝6﹣3.7＝2.3， 故答案为：2.3． 2．（24-25七年级下·龙华·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解. 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·吉州·期末）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以，为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接，和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③是的中线；④.其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】点GGQ⊥AM于Q，过点E作EP⊥HA延长线于P，根据正方形的性质准备条件，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设BG、CE相交于点N，由可得∠ACE=∠AGB，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等可得∠ABH=∠EAP，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故答案为：D． 4．（24-25七年级下·长春·期末）如图 如图，，，，直线、交于点． （1）求证：； 请补全下面证明过程： 证明：在与中， ， ≌， ▲ ， ▲ ， ， ， ． （2）将图中的绕点顺时针旋转到图的位置时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）成立。 【分析】（1）利用全等三角形的性质，角的运算和等量代换求解即可； （2）先利用“SAS”证出≌，可得，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到. 【详解】（1）证明：在与中， ， ≌， ， ， ， ， ． 故答案为：，． （2）解：如图，（1）中的结论依然成立，理由如下： ， ， ， ，， ≌， ， ， ， ． 5．（24-25七年级下·青原·期末）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，． （1）求证：． （2）求证：平分． 【答案】见详解 【分析】（1）延长到，使，连接，先用SAS证明，由全等三角形的性质得AG=AF，∠1=∠2，然后结合已知条件推出∠GAE=∠EAF，从而由SAS判断出，由全等三角形的对应边相等得EG=EF，从而根据线段和差及等量代换可得结论； （2）由全等三角形的对应角相等可得，，即可得出，即可得证． （1）证明：延长到，使，连接． ，， ． ，． ． ． 又， ． ． ． ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接． ，， ． ，． ． ． 又， ． ． ． ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． 题型二十八 尺规作图（共3小题） 1．（24-25七年级下·小店·期末）利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（　　） A．已知两边及其中一边的对角 B．已知三边 C．已知两边及其夹角 D．已知两角及其夹边 【答案】A 【分析】根据作图-三角形对选项逐一判断即可求解。 【详解】解：由题意得已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形， 故答案为：A 2．（24-25七年级下·毕节·期末）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP. 由作法得△OCP≌△ODP的根据是　 　. 【答案】SSS 【分析】利用作图可知OC=OD，CP=DP，利用SSS可证得△OCP≌△ODP。 【详解】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD.以点C，D为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP.在△OCP和△ODP中，∵OC=OD，OP=OP，CP=DP，∴△OCP≌△ODP（SSS）.故答案为SSS. 3．（24-25七年级下·深圳·期末）嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点，交AC于点． （2）以点为圆心，以MN长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线AP. （3）以点A为圆心，先以AB长为半径画弧，与边AC交于点，再以AC长为半径画弧，与射线AP交于点，连接DE． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可得AD=AB，∠CAB=∠EAD，AC=AE，再利用“SAS”证明△ADE≌△ABC即可. 【详解】解：根据作图痕迹可得： ， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， 故答案为：B. 题型二十九 全等三角形在实际中的应用（共5小题） 1．（24-25七年级下·茂名·期末）如图，这是一个平分角的仪器，，将点A放在一个角的顶点，使AB、AD分别与这个角的两边重合，可证，从而得到AC就是这个角的平分线．其中证明的数学依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】A 【分析】由题意，用边边边可证△ABC≌△ADC． 【详解】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）． 故答案为：A． 2．（24-25七年级下·罗湖·期末）如上图，公园里有一座假山，要测量假山两端 A、B 的距离，先在平地上取一个可以直接到达 A、B 的点 C，分别延长 AC、BC 到 D、E，使 ，，连接 DE，这样就可以利用三角形全等，通过测量 DE 的长得到假山两端 A、B 的距离，则判定这两个三角形全等的依据是　 　. 【答案】SAS 【分析】识别两个三角形中对应的边和角，、是两组对应边，与是对顶角（相等 ），符合（边角边 ）全等判定条件. 【详解】解：在和中，，（对顶角相等 ），，满足两边及其夹角相等，所以依据是 . 故答案为： . 3．（24-25七年级下·中山·期末）如图，小强用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝8cm，EF＝10cm，则该容器壁的厚度为 　　　　cm． 【答案】1． 【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题． 【详解】解：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， ∴AB＝CD＝8cm， ∵EF＝10cm， ∴圆柱形容器的壁厚是×（10﹣8）＝1（cm）， 故答案为：1． 4．（24-25七年级下·歙县·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走50米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走50米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走27米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，这时测得AB的距离为　　　　． 【答案】27米． 【分析】利用ASA定理证明△ABC≌△EDC，根据全等三角形的对应边相等解答即可． 【详解】解：由题意得：CB＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE＝27米， 故答案为：27米． 5．（24-25七年级下·钢城·期末）某数学兴趣小组设计方案测量河两岸A、B两点间的距离．如图所示，在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且CD＝BC，在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°，测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°，DE的长度为30米．请你根据以上数据求出A、B两点间的距离，并说明理由． 【答案】A、B两点间的距离为30米． 【分析】根据AAS证明△ACD≌△ECB得出AC＝CE，即可推出结果． 【详解】解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°， ∴∠CAD＝15°， ∴∠CAD＝∠BEC， 在△ACD与△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（AAS）， ∴AC＝CE， 又∵CB＝CD， ∴AB＝DE＝30米， 答：A、B两点间的距离为30米． 题型三十 生活中的轴对称图形（共3小题） 1．（24-25七年级下·巢湖·期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是不轴对称图形； 故选：C． 2．（24-25七年级下·盐城·期末）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A．山 B．河 C．无 D．恙 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字； A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字； 故选：A． 3．如图手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、找不到一条直线使直线两旁部分对折完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、找不到一条直线使直线两旁部分对折完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、找不到一条直线使直线两旁部分对折完全重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、能找到一条直线使直线两旁部分对折完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 题型三十一 轴对称图形的性质（共3小题） 1．（24-25七年级下·裕华·期末）如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．无法确定 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质得出∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB，即可求解． 【详解】解：连接OM，如图所示， ∵点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2， ∴∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB， ∴∠M1OA+∠M2OB＝∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝40°， ∴∠M1OM2＝∠M1OA+∠M2OB+∠AOB＝40°+40°＝80°， 故选：A． 2．（24-25七年级下·东莞·期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：A、小睿的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴CD＝C′D， ∴AD是线段CC′的中线，原说法错误，不符合题意； B、小轩的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴∠CAD＝∠C′AD， ∴AD是∠BAC的平分线，正确，符合题意； C、小涵的图， ∵AC折叠后点C与点B重合， ∴AD是BC边的中线，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·朝阳·期末）如图，在6×6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A，B，C为顶点画△ABC，请你在图中以选取的格点为顶点再画出一个△ABP，使△ABP与△ABC成轴对称．这样的P点有 　 　个？（填P点的个数） 【答案】2． 【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的△ABP有2个， 故答案为2． 题型三十二 常见的轴对称图形及其性质（共7小题） 1．（24-25七年级下·贵阳·期末）如图， 在 中， 为边 上的中线， 则下列结论错误的是（ ） A． B．AD BC C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质可得出 ， ， AD BC 。故而得出答案。 【详解】解：∵AB=AC，AD 为边 上的中线， ∴ ， ， AD BC 根据题中所给条件，不能得出 。 故答案为：D。 2．（24-25七年级下·井冈山·期末）在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为　 　． 【答案】108°或72°或36° 【分析】分三种情况：、、，分别计算后得出结论． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 当时，． 综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°． 故答案为：108°或72°或36°． 3．（24-25七年级下·南明·期末）如图所示，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P. （1）试说明：BF=CE； （2）求∠BPC的度数. 【答案】（1）见详解；（2）120°. 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠EBC，AB=BC，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABF≌△BCE(SAS)得到BF=CE； （2）先根据三角形全等的性质得到∠ABF=∠BCE，进而等量代换得到∠BCE+∠FBC=60°，再根据三角形内角和定理进行角的运算即可求解。 【详解】（1）解：因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠EBC，AB=BC. 在△ABF和△BCE中，因为AF=BE，∠A=∠EBC，AB=BC， 所以△ABF≌△BCE(SAS).所以BF=CE. （2）解：因为△ABF≌△BCE，所以∠ABF=∠BCE. 因为∠ABF+∠FBC=60°，所以∠BCE+∠FBC=60°. 所以∠BPC=180°-(∠BCE+∠FBC)=180°-60°=120°. 4．（24-25七年级下·长沙·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AE＝BE，得到△ACE的周长＝BC+AC＝12，即可求出BC的长． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴△ACE的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝12， ∵AC＝5， ∴BC＝7． 故选：A． 5．（24-25七年级下·长沙·期末）如图，是的角平分线，P为上任意一点，，垂足为点D，且，则点P到射线的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】C 【分析】过P点作于E点，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE=PD=3． 【详解】如图，过P点作于E点， ∵是的角平分线，P为上任意一点，，， ， ， ， ∴点P到射线的距离是3， 故选：C． 6．（24-25七年级下·涪城·期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，则与的度数和为　 　． 【答案】310 【分析】根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理可得，，由平行线的性质可得，，两角相加即可求解． 【详解】解：∵OB、OC是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·宿迁·期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【答案】（1）∠PAQ＝20°；（2）PQ＝2． 【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论； （2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长． 【详解】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2）∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 题型三十三 将军饮马模型（共4小题） 1．（24-25七年级下·盐湖·期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可. 【详解】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小， 故答案为：C. 2．（24-25七年级下·宣汉·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接AD，由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=2，再根据三角形的面积公式求出AD的长，由题意易得点C关于直线EF的对称点为点A，根据轴对称性质可得AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴当A、M、D三点在同一直线上时，CM+MD最小，其最小值为AD的长 ∴周长的最小值为． 故答案为：C． 3．（24-25七年级下·开江·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　） A．110° B．112° C．114° D．116° 【答案】D 【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求.用四边形的内角和等于360°可求得∠ADC的度数，由轴对称的性质可得，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，由三角形内角和定理可求得∠P+∠Q的度数，则∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q，然后根据角的构成∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）可求解. 【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求. ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°， ∴∠ADC＝180°﹣32°， 由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣32°） ＝32°， ∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°， ∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′） ＝180°﹣32°-32° ＝116°. 故答案为：D. 4．（24-25七年级下·光明·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，当三点共线并垂直时，最小．即求BN得长，最后根据题意的三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， 故当且仅当B、E、M共线并垂直底边AC时，此时BE+EF最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选B． 题型三十四 常量与变量（共3小题） 1.（24-25七年级下·南海·期末）你知道为什么冬天电瓶车电池不耐用？因为电瓶车通常使用铅酸电池和锂电池，这两种电池的最佳使用温度都是25摄氏度左右．随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是（　　） A．化学物质 B．温度 C．电池 D．电瓶车 【答案】B 【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，据此进行判断即可． 【详解】解：随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，从而导致电池不耐用．在这个变化过程中，自变量是温度， 故选：B． 2．（24-25七年级下·扬州·期末）徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价 【答案】D 【分析】根据常量的定义即可作答． 【详解】解：单价是常量． 故选：D． 3.（24-25七年级下·榆林·期末）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间t（h）与蚊香长度s（cm）的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间t/h 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度s/cm 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当蚊香的燃烧时间为3h时，蚊香长度为多少？ 【答案】（1）自变量是蚊香燃烧的时间，因变量是蚊香长度；（2）75cm． 【分析】（1）根据自变量、因变量定义解答即可； （2）根据表格数据求出解析式，将t＝3h代入解析式计算出s即可． 【详解】解：（1）自变量是蚊香燃烧的时间，因变量是蚊香长度； （2）根据题意和表格数据可得：s＝﹣10t+105， 当t＝3h时，s＝﹣10×3+105＝75（cm）． 题型三十五 用表格表示变量之间的关系（共3小题） 1．（24-25七年级下·榆次·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（℃） … 11 13 15 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为112次，则该地当时的气温约为（　　） A．17℃ B．18℃ C．19℃ D．21℃ 【答案】C 【分析】由表格数据可知，温度每升高2℃，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次，据此即可求解； 【详解】解：在温度为11℃，蟋蟀每分钟鸣叫56次的基础上可得： 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为112次，则该地当时的气温约为： ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·庐阳·期末）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L XL 2XL … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制5XL，则他的衣长是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 【答案】A 【分析】根据题意，当尺码增加1，则衣长增加2cm，据此即可求解． 【详解】解：当2XL变化到5XL时，增加了3个尺码， ∴75+2×3＝81（cm）， ∴他的衣长是81cm， 故选：A． 3.（24-25七年级下·内乡·期末）某地区用电量与应缴电费之间的关系如表：则下列叙述错误的是（　　） 用电量（千瓦时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元 B．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 C．若应缴电费为2.75元，则用电量为5千瓦时 D．若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多1.1千瓦时 【答案】D 【分析】根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可． 【详解】解：A、若用电量每增加1千瓦时，则电费增加0.55元，故本选项叙述正确，不符合题意； B、若用电量为8千瓦时，则应缴电费＝8×0.55＝4.4元，故本选项叙述正确，不符合题意； C、若应缴电费为2.75元，则用电量＝2.75÷0.55＝5千瓦时，故本选项叙述正确，不符合题意； D、若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦时，故本选项叙述错误，符合题意． 故选：D． 题型三十六 根据文字表述列关系式（共5小题） 1.（24-25七年级下·西安·期末）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A．y＝24x B．y＝24x+2 C．y＝24x+20 D．y＝24x+22 【答案】C 【分析】先求出打8折优惠的钱数，然后根据应付款＝100+打8折优惠的钱数列出函数式． 【详解】解：由题意得：打8折优惠的钱数为（30x﹣100）元， ∴应付款y与商品件数x的关系式为： y＝100+0.8（30x﹣100）， y＝100+24x﹣80， y＝24x+20， 故选：C． 2.（24-25七年级下·奉贤·期末）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米（0＜x＜10），则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 　　 　　 　　． 【答案】y＝﹣x2+20x． 【分析】根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：y＝102﹣（10﹣x）2＝﹣x2+20x， ∴y关于x的函数解析式是y＝﹣x2+20x． 故答案为：y＝﹣x2+20x． 3.（24-25七年级下·无锡·期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 　　 　　 　　 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据挂重后弹簧的长度＝不挂物体时弹簧的长度+弹簧伸长的长度列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，y＝0.5x+7， 故答案为：y＝0.5x+7． 4.（24-25七年级下·凤翔·期末）自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收入﹣800）×20%；…如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预缴税款（2000﹣800）×20%＝240（元）． （1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x（元）之间的关系式； （2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？ （3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？ 【答案】（1）y＝0.2x﹣160； （2）540； （3）3800． 【分析】（1）根据每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收入﹣800）×20%即可得到答案； （2）将x＝3500代入（1）中得到的函数解析式即可； （3）把y＝600代入（1）中得到的解析式，求出x即可． 【详解】解：（1）y＝0.2x﹣160； （2）由题意得：预扣预缴税款y＝0.2×3500﹣160＝540； （3）当800＜x≤4000时，由题意得：0.2x﹣160＝600，求得x＝3800． 故此人这次取得的劳务报酬是3800元． 5.（24-25七年级下·定陶·期末）某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费． （1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； （2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ （3）该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印制厂印制宣传材料能多一些？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据两个印刷厂不同的优惠办法得出函数关系式即可； （2）把x＝800时，求出y甲、y乙，比较得出答案； （3）将y＝3000元，代入两个关系求出相应的印刷的份数x即可． 【详解】解：（1）由甲印刷厂的优惠方法可得，y甲＝x+1500， 由乙印刷厂的优惠方法可得，y乙＝2.5x； （2）当x＝800时， y甲＝800+1500＝2300（元）， y乙＝2.5×800＝2000（元）， ∵2300＞2000， ∴印制800份宣传材料时，选择乙印刷厂比较合算； （3）当y＝3000时， 甲印刷厂份数为3000﹣1500＝1500（份）， 乙印刷厂份数为3000÷2.5＝1200（份）， ∵1500＞1200， ∴甲印刷厂印刷的份数较多． 题型三十七 根据图形规律或表格规律列关系式（共4小题） 1．（24-25七年级下·云岩·期末）如图（单位cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为y cm，则y与x满足的关系式是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x+4 C．y＝x+2 D．y＝x+3 【答案】C 【分析】根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设解析式为y＝kx+b， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 2.（24-25七年级下·榆次·期末）亮亮在帮妈妈收拾碗筷的时候，发现同款盘子摞在一起的高度y（cm）与盘子的数量x（只）之间的几组对应值如下表，则y与x之间的关系式为　　 　　 　　 　　． 盘子数量（只） 1 2 3 5 盘子高度（cm） 3 4.5 6 9 【答案】y＝1.5x+1.5． 【分析】根据表格数据分析得出每增加1只盘子，增加盘子高度为1.5cm，结合1只盘子数量时盘子的高度，写出y与x之间的关系式即可． 【详解】解：每增加1只盘子，增加盘子高度为1.5cm， ∵3﹣1.5＝1.5， ∴y与x之间的关系式为y＝1.5x+1.5， 故答案为：y＝1.5x+1.5． 3.（24-25七年级下·苏州·期末）一支原长为20cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如表： 烧烧时间/分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10cm时，这支蜡烛燃烧了 　　 　　分钟． 【答案】100． 【分析】先确定剩余长度与燃烧时间间的函数关系式，再代入求解． 【详解】解：设燃烧x分钟时该蜡烛的剩余长度为y cm， 由题意得该蜡烛每燃烧10分钟剩余长度减少1cm， ∴yx+20， ∴当y＝10时， x+20＝10， 解得x＝100， 故答案为：100． 4.（24-25七年级下·让胡路·期末）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 则蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式　　 　　 　　 　　 　　 　　． 【答案】ht+30（0≤t≤60）． 【分析】设蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式为h＝kt+b，利用待定系数法求解即可； 【详解】解：设蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式为h＝kt+b， 根据题意可得 ， 解得 ， ∴蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式为ht+30（0≤t≤60）； 故答案为：ht+30（0≤t≤60）． 题型三十八 用图象法表示变量之间的关系（共4小题） 1.（24-25七年级下·成华·期末）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分成3段分析可得答案． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：C． 2．（24-25七年级下·浦江·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（　　） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 【答案】B 【分析】先求出跑步速度，再求出跑步返回家中所用的时间，根据两次休息时间相同且跑步速度始终不变，即可求解． 【详解】解：由题意，小明跑步速度为（米/分钟）， 跑步返回家中所用的时间为15（分钟）， ∴小明每次休息的时间为（50﹣15×2）＝10（分钟）， 故选：B． 3.（24-25七年级下·市中·期末）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： ①体育场离该同学家2.5千米； ②该同学在体育场锻炼了15分钟； ③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确的说法是　　 　　 　　． （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④． 【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解． 【详解】解：①体育场离该同学家2.5千米，故①是正确的； ②该同学在体育场锻炼的时间为：30﹣15＝15分钟，故②是正确的； ③该同学跑步的平均速度：步行平均速度＝（65﹣30）÷15＞2，故③是错误的； ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍， ∴a÷（103﹣88）＝1.5． ∴a＝3.75，故④是正确的； 综上，正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 4.（24-25七年级下·浦东·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 　　 　　 　　； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　　 　　分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　　 　　米/分； （4）图中a表示的数是 　 　；b表示的数是 　　 　　； （5）图中点A表示的实际意义是 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　． 【答案】（1）时间（或t）； （2）5； （3）25； （4）2，15；（5）第6分钟时，无人机飞行的高度是50米． 【分析】（1）根据图象信息得出自变量； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间12﹣7＝5分钟即可； （3）根据“速度＝路程÷时间”计算即可； （4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可； （5）根据点的实际意义解答即可． 【详解】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是高度（或h）； 故答案为：时间（或t）； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是12﹣7＝5（分钟）； 故答案为：5； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度＝25（米/分）； 故答案为：25； （4）图中a表示的数是（分钟）；b表示的数是（分钟）； 故答案为：2，15； （5）图中点A表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米； 故答案为：在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米． 1.如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE． （1）试说明：DF∥BC； （2）若∠1＝70°，DF平分∠ADE，求∠B的度数． 【答案】（1）见详解；（2）70° 【分析】（1）由∠AFD＝∠1，AC∥DE，根据平行线的性质可得到∠AFD＝∠C，即可根据平行线的判定定理得出DF∥BC； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可求出∠B的度数． 【详解】解：（1）∵AC∥DE， ∴∠C＝∠1， 又∵∠AFD＝∠1， ∴∠C＝∠AFD， ∴DF∥BC． （2）∵∠1＝70°，DF∥BC， ∴∠EDF＝∠1＝70°， 又∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠EDF＝70°， ∵DF∥BC， ∴∠B＝∠ADF＝70°． 故∠B的度数为70°． 2.周末，小明骑自行车到太白湖公园游玩，他从家出发0.8小时后达到新华书店，逗留一段时间后继续骑自行车到太白湖公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往太白湖公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）在上述变化过程中，自变量是　 　 ，因变量是　 　 ； （2）小明家到太白湖公园的路程为　 　 ； （3）小明爸爸驾车的平均速度为　 　 ； （4）爸爸驾车追上小明时离太白湖公园还有多远？ 【答案】（1）时间，路程；（2）30km；（3）30km/h；（4）10km. 【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量； （2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程； （3）根据图象即可得到爸爸驾车出发的时间； （4）根据（3）的结论可得爸爸驾车追上小明的时间，再根据追击问题关系式即可解答． 【详解】解：（1）自变量是时间，因变量是路程； 故答案为：时间，路程； （2）小明家到太白湖公园的路程为30km； 故答案为：30km； （3）小明出发2.5小时后爸爸驾车出发 小明爸爸驾车的平均速度为：； 故答案为：30km/h； （4）小明从新华书店出来骑自行车的速度为：km/h， 爸爸驾车经过追上小明； ∴爸爸追上小明时离太白湖公园km． 3.（1）如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为90°，转动转盘，当转盘停止时，求指针落在蓝色区域的概率； （2）请在图2中设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】用蓝色区域的圆心角度数除以360°即可； （2）分别求出各区域的圆心角即可． 【详解】解：（1）∵转盘被分为红色区域和蓝色区域两部分，其中红色区域对应的圆心角度数为90°， ∴P（指针落在蓝色区域）； ∵当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，落在黄色区域的概率为， ∴， ， ， 如图， ． 4.对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 5.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． （1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝　 　 ； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数。 【答案】（1）11；（2）20° 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，则AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝11； （2）先由三角形内角和定理得到∠B+∠C＝80°，再由等边对等角得到∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，则∠DAB+∠EAC＝80°，据此可得∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°； （3）如图，连接OA，OB，OC，由线段垂直平分线的性质证明OB＝OC，即可证明点O在BC的垂直平分线上． 【详解】解：（1）∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴DB＝DA，EA＝EC． ∵BC＝15，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝15﹣4＝11， 故答案为：11； （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°． ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°， ∴∠DAE的度数为20° 6.情境观察：（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D，E，CD与AE交于点F．直接写出线段AF与线段CE的数量关系是　 　 ； 问题探究：（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，AD与BC交于点E．直接写出线段AE与线段CD的数量关系　 　 ； 拓展延伸：（3）如图③，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝BC，点D在AC上，，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．探究线段DF与线段CE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AF＝2CE；（2）AE＝2CD；（3）DF＝2CE 【分析】情境观察：（1）由全等三角形的性质即可得出结论； 问题探究：（2）延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD＝GD，即CG＝2CD，证出∠BAE＝∠BCG，由ASA证明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可； 拓展延伸：（3）作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF＝CG即可． 【详解】解：情境观察：（1）AF＝2CE；理由如下： ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴； ∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°， ∴△ACD为等腰直角三角形， ∴AD＝CD， ∵∠ADC＝∠AEB＝∠BDC＝90°， ∴∠B+∠BCD＝∠B+∠BAE＝90°， ∴∠BCD＝∠BAE， ∴△ADF≌△CDB（ASA）； ∴AF＝BC， ∵， ∴AF＝2CE， 故答案为：AF＝2CE； 问题探究：（2）AE＝2CD；理由如下： 延长AB、CD交于点G，如图②： ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠GAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中， ， ∴△ADC≌△ADG（ASA）， ∴CD＝GD，即CG＝2CD， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBG＝90°， ∴∠G+∠BCG＝90°， ∵∠G+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG＝2CD．即AE＝2CD， 故答案为：AE＝2CD； 拓展延伸：（3）DF＝2CE；理由如下： 作DG⊥BC交CE的延长线于G，交BC于点H，如图③： ∵△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠DHC＝∠ABC＝90°， ∴AB∥DG， ∴∠CDH＝∠BAC＝45°， ∵， ∴， ∴∠CDE＝∠GDE， 在△CED和△GED中， ， ∴△CED≌△GED（ASA）， ∴CE＝GE， ∴CG＝2CE， ∵∠DHC＝90°，∠CDH＝45°， ∴△DHC为等腰直角三角形， ∴DH＝CH， ∵∠G+∠GCH＝∠G+∠HDF＝90°， ∴∠GCH＝∠HDF， ∵∠DHF＝∠CHG＝90°， ∴△DHF≌△CHG（ASA）， ∴DF＝CG， ∴DF＝2CE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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