8.6.2直线与平面垂直（2）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的性质定理及距离问题，通过长方体模型引导学生观察垂直于同一平面的直线位置关系，从直观感知过渡到定理归纳，衔接线面垂直判定知识，搭建学习支架。 其亮点在于以直观感知与逻辑证明结合，借助长方体模型培养几何直观和空间观念，反证法证明提升推理能力。构建线线平行证明方法体系，结合等体积法解决距离问题，发展模型意识和应用意识。帮助学生提升空间思维，教师可高效开展教学。

8.6.2 直线与平面的垂直的性质定理 学习目标 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明. 2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.(重点) 3.会求直线与平面、平面与平面的距离问题.(难点) ① 问题1（1）如图①，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系? b α a ② 互相平行 问题1（2）如右上图②，已知直线a,b和平面α，如果 a⊥α,b⊥α,那么，直线a,b一定平行吗？ 　　分析：直接证明a∥b比较困难，我们考虑采用反证法证明. O 证明：假设直线b不平行于直线a ，且b∩α =O， 过点O作直线∥a，则直线b∩ =O ， 所以直线b与可确定平面，设α∩=c ， 又因为∥a，所以c. 这样在平面内，经过直线c上同一点O 就有两条直线b， 与c垂直. 显然不可能， 因此b∥a. 已知：a⊥α， b⊥α . 求证：a∥b． 一、直线与平面垂直的性质定理 文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言： 符号语言： 若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线． 问题2 目前为止，我们都学习了哪些证明直线与直线平行的方法？ 证明线线平行常用的方法 （1）线线平行定义：证共面且无公共点． （2）利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． （3）基本事实4（平行的传递性）：证两线同时平行于第三条直线. （4）线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． （5）面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． （6）线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (1)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.(　　) (2)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.(　　) 判断: 例1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC，求证：MN//AD1 ∴ . 证明 ∵四边形 为正方形 ∴ . 易知 平面 ， 平面 ∴ ∵ ， ， 平面 ∴ 平面 又∵ 平面 巩固练习 课本P155 3. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点. 求证：DF//平面ABC. D A F B E C M 解： 取AB的中点M，连接FM，CM. ∴DF // 平面ABC. ∴DF//CM. ∴四边形DCMF是平行四边形. 由F是EB的中点可得， EA 2FM. 又EA 2DC， ∴FM DC， 又DF 平面ABC，CM⊂平面ABC， 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1D上 的点，F 是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D 都 垂直相交. 求证：EF∥BD1. 练 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M 是AB上一点，N 是A1C 的中点， MN⊥平面A1DC. 求证：MN∥AD1. 大本99页 大本100页 问题3 直线与平面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”之间的联系与转化．你能将该性质定理中的平面换成直线，或者将垂直关系变为平行关系，得出一些新的结论吗？ （1）观察左下图，在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论? b a 若a⊥α，b α，且b⊥a，则b//α. （2）观察右上图，在的条件下，如果平面与平面平行，你又能得到什么结论? a 若α//β，a⊥α，则a⊥β. 若a⊥α，a⊥β，则 α//β 直线与平面垂直的性质 性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m. 性质2：(直线与平面垂直的性质定理) 性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α. 垂直于同一平面的两条直线平行. 性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β. α β a⊥α b⊥α a//b 性质5：若l⊥α，l⊥β，则. α//β “串串” 证明:过直线l上任意两点,分别作平面α的垂线,,垂足分别为,。 设直线,确定的平面为β,且 由,是直线l上任意的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等。 α β 例3 如图，直线l 平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α 的距离相等。 ， 。 ， 四边形是矩形 通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离. 课本154页 点到面的距离 1.定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离 2.直线与平面、两平行平面之间的距离 可转化为点到平面的距离，再求值. P l α O 方法:直接(垂线)法 方法:等体积法 方法:等体积法 方法:比例转移法 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，点 O 是底面 A1B1C1D1的中心，则点 O 到平面 ABC1D1 的距离是 方法:比例转移法 例5 在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)点P 是平面ABCD内一点，则点P到平面A1B1C1D1的距离为　 　；  (3)点P 是平面BC1D 内一点，则点P 到平面AB1D1 的距离为　　　.  (2)点P 是棱BB1上一点，则点P 到平面AA1C1C 的距离为　　　；  练 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H 分别是所在棱的中点，则平 面EFGH与平面AB1C1D之间的距离为　　　. 大本101页 20 方法:平行转移法， 比例转移法 例6 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=, AB=BC=1,BB1=2, 求直线B1C1到平面A1BC 的距离. 练 在棱长为2的正方体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， 求平面 与平面 间的距离. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,AB=BC=1,BB1=2,求直线B1C1到平面A1BC的距离. 新知应用 由题意得，平面，平面 平面 ， 直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离， 连接 ，易知平面，且 平面 ， 又 ，，，平面 平面 平面 ， 设点 到平面 的距离为 解： 解得 即直线 到平面 的距离为 新知应用 在棱长为2的正方体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， 求平面 与平面 间的距离. 先证平面 平面 （前面已证明过） 平面与平面间的距离等于点到平面的距离 设为 因为， 分别为 的中点 又 易知 得 解得 平面 与平面 间的距离为 O 25 2.直线与平面垂直的判定定理 [练习5]三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°， AE⊥PB于E，AF⊥PC于F. 求证：(1) BC⊥平面PAB； (2) PC⊥平面AEF. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 线线垂直和线面垂直的相互转化 证明：(1)如图，设BD与AC的交点为O，连接EO. ∵四边形ABCD为矩形，∴点O为BD的中点． 又点E为PD的中点，∴EO∥PB. ∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC. 巩固训练2如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1) 求证：PB∥平面AEC； (2) 设AP＝1，AD＝eq \r(3)，三棱锥P­ABD的体积V＝eq \f(\r(3),4)， 求A到平面PBC的距离． AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点， AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. $