8.6.3平面与平面垂直（2）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直的性质定理，通过问题链导入，先探究β内直线与交线的位置关系，再追问特殊垂直情况，结合二面角和线面垂直判定定理推导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接线面垂直等前序知识。 其亮点是以问题驱动探究，通过严谨推理过程培养数学思维，用文字、符号、图形三种语言精确表述定理体现数学语言，例题练习注重垂直关系转化发展数学眼光。课堂小结的转化图帮助构建知识网络，分层练习助力巩固，利于学生空间观念和推理能力提升，为教师提供系统教学资源。

8.6.3 平面与平面垂直的性质定理 学习目标 1、理解与掌握面面垂直的性质定理 2、能用三种语言描述面面垂直的性质定理 3、能够深入理解二面角及面面垂直的本质 a b//a → b//α， b与a相交 → b与α相交 追问 当b⊥a时，b与α有什么位置关系？ b A c 问题1 如图，设α⊥β，α∩β=a. 则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？ b与a平行或相交 设b与平面α的交点为A,过A在α内作直线c⊥a 则直线b,c所成的角就是二面角α-a-β的平面角 ∵ , ∴b⊥c. 又因为b⊥a，a和c是平面α内两条相交直线 ∴b⊥α 1.平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. a b 作用：证明直线与平面垂直. 面面垂直线面垂直 关键点： ①线在平面内. ②线垂直于交线. 问题2 设α⊥β，P∈α，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系? a a β α P β α P 结论：两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内. b b 直线 a 在平面α 内 设α∩β＝c． 过点P在平面α内作直线b⊥c． 由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β． 因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直， 所以直线a与直线b重合 因此a⊂α． 例1 已知：如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB. E P A B C 练1. 如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底 面ABCD.若G为AD的中点， (1)求证:BG⊥PD; (2)求证:AD⊥PB. 练2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，CD＝2AB， E为PC的中点. (1)求证：PA⊥BC； (2)求证：平面PBC⊥平面PCD. 7 练3. 课本P165 复习参考题-T21 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，为线段PB 的中点，F为线段BC上的动点.平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果垂直请证明;如果不垂直，请说明理由. ∴平面AEF⊥平面PBC 解：平面AEF⊥平面PBC.理由如下： ∵PA⊥平面 ABCD，PA⊂平面PAB ∴平面PAB⊥平面ABCD 又平面PAB∩平面ABCD=AB且BC⊥AB ∴BC⊥平面PAB ∴BC⊥AE ∵在PAB中，PA=AB，E为线段PB的中点 ∴AE⊥PB ∵PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B ∴AE⊥平面PBC 又AE⊂平面AEF 思考 若α⊥β，直线l //β， 则l与α的位置关系为_________________. 问题3 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系. 如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论? b//α b a b b γ⊥β a 平行or相交or垂直 证明： 例1 如图，α⊥β，b⊥ β，b α，求证：b // α. c b a 分析：寻找平面α内与b平行的直线. 思考 若α⊥β，直线l //β， 则l与α的位置关系为_________________. 平行or相交or垂直 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1. 面面垂直的性质定理及其应用 2.线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。 面面垂直 判定 性质 线线垂直 线面垂直 判定 性质 性质 巩固练习 课本P161 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. (2) 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β. (3) 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β. × √ √ 2. 若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是( ). (1) 平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线. (2) 平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线. (3) 平面α内的任一条直线必垂直于平面β. (4) 过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β. (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 C 巩固练习 课本P161 B 3. 已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解：a//β. 理由如下： B a A b 4. 已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a//α，a⊥AB，判断直线a与平面β的位置关系，并说明理由. 巩固练习 课本P165 复习参考题-T21 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，为线段PB 的中点，F为线段BC上的动点.平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果垂直请证明;如果不垂直，请说明理由. ∴平面AEF⊥平面PBC 解：平面AEF⊥平面PBC.理由如下： ∵PA⊥平面 ABCD，PA⊂平面PAB ∴平面PAB⊥平面ABCD 又平面PAB∩平面ABCD=AB且BC⊥AB ∴BC⊥平面PAB ∴BC⊥AE ∵在PAB中，PA=AB，E为线段PB的中点 ∴AE⊥PB ∵PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B ∴AE⊥平面PBC 又AE⊂平面AEF 如图所示，已知两个正方形 和 不在同一平面内, 分别为 ， 的中点.若 ，平面 平面 ，则 _ ___. 巩固练习 <m></m> 解：取 的中点 ，连接 ， . ∵四边形 ， 为正方形，且边长为2， ， 分别为 ， 的中点， ∴ ， ， . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， ∴ 平面 ，又 平面 ∴ ， ∴ . 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1. 面面垂直的性质定理及其应用 2.线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。 面面垂直 判定 性质 线线垂直 线面垂直 判定 性质 性质 $