8.6.2 直线与平面垂直（第1课时　直线与平面垂直的判定及直线和平面所成的角）课件- 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的判定及线面角，通过联系线面平行等旧知，以定义中“任意”的辨析、判定定理“两相交直线”的关键条件、线面角的作证求步骤为支架，构建立体几何知识脉络。 其亮点在于“名师点睛”精准突破易混点，如“任意”与“无数”的区别，结合正方体、三棱锥等模型培养几何直观，规律方法总结强化推理意识。学生能深化空间观念，教师可高效开展概念教学与能力训练。

第八章　立体几何初步 8.6.2　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定及直线和平面所成的角 【课标要求】 1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性. 2.理解并掌握直线与平面垂直的判定定理,并能运用其解决线面垂直的相关问题. 3.了解直线和平面所成角的含义,并知道其求法. 基础落实•必备知识全过关 知识点一　直线与平面垂直的定义 定义 一般地,如果直线l与平面α内的　　　　直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的　　　　,平面α叫做直线l的　　　　.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做　　　　  图示   画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 定义可表示为∀a⊂α,l⊥a⇔l⊥α  任意一条 垂线 垂面　 垂足 名师点睛 1.定义中的“任意一条直线”与“任何直线”“所有直线”意义相同,但与“无数条直线”不同,即定义是说这条直线和平面内所有直线都垂直. 2.直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α.(　　) (2)若直线l垂直于平面α,则l垂直于平面α内的任意一条直线.(　　) × √ 2.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC, 若PA=PB=PC,则点O是△ABC的(　　) A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心 B　 解析 因为PO⊥α,PA=PB=PC,可由射影定理得OA=OB=OC,即点O是△ABC的外心. 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条　　　　直线垂直,那么该直线与此平面垂直  图形 语言   符号 语言 l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,　　　　⇒l⊥α  作用 判断直线与平面　　　  相交 a∩b=P 垂直 名师点睛 1.“两条相交直线”是关键词语,是不可忽视的条件. 2.要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的. 3.定理体现了转化的数学思想,即由要证线面垂直转化为证线线垂直. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)如果一条直线垂直于三角形的两边,那么这条直线就垂直于三角形所在的平面.(　　) (2)若一条直线垂直于圆的两条直径,则这条直线就垂直于圆所在的平面.(　　) √ √ 2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　　) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC C 知识点三　直线与平面所成的角 一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 名师点睛 1.斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. 2.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.特别地,当θ=90°时,直线与平面垂直. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直线l垂直于平面α,则l与平面α内的任意一条直线所成的角均为90°.(　　) (2)如果直线l与平面α所成的角为0°,那么l∥α.(　　) (3)直线和平面所成角的范围是[0,).(　　) √ × × 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　　;AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　　　;AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　　.  45° 45° 　0° 解析 ∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　证明直线与平面垂直 【例1】 如图,AB⊥BC,△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC的中点为D.求证:SD⊥平面ABC. 证明 ∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC. 在Rt△ABC中,AD=DC=BD, 又SA=SB,∴△SDA≌△SDB. ∴∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB. 又AC∩BD=D,AC⊂平面ABC,BD⊂平面ABC, ∴SD⊥平面ABC. 变式探究在本例条件下,若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 证明 ∵BA=BC,D为AC的中点, ∴BD⊥AC. ∵SD⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴BD⊥SD, ∵AC⊂平面SAC,SD⊂平面SAC,AC∩SD=D, ∴BD⊥平面SAC. 规律方法　直线与平面垂直的判定方法 判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一条直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可. 变式训练1下列条件中,能判定直线l⊥平面α的是(　　) A.l与平面α内的两条直线垂直 B.l与平面α内的无数条直线垂直 C.l与平面α内的任意一条直线垂直 D.l与平面α内的某一条直线垂直 C 解析 l与平面α内的两条直线垂直,如果平面中的两条直线是平行线,则无法判定直线l⊥平面α,故A不正确; l与平面α内的无数条直线垂直,如果平面中的无数条直线是平行线,则无法判定直线l⊥平面α,故B不正确; l与平面α内的任意一条直线垂直,则由直线与平面垂直的定义知直线l⊥平面α,故C正确; l与平面α内的某一条直线垂直,则l可能与平面α相交、平行或直线在平面内,故D不正确. 探究点二　证明两直线垂直 【例2】 如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC. 证明 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC. 又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. ∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC. 变式探究本例中的三棱锥P-ABC中有几个三角形为直角三角形? 解 4个,分别为△PAB,△PAC,△PCB,△ABC. 规律方法　1.直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b. 2.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面. 探究点三　求直线与平面所成角 【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角; (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 解 (1)∵AB⊥平面AA1D1D, ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角, 在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1, ∴∠AA1B=45°,∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图,连接A1C1交B1D1于点O,连接BO. ∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1⊂平面BB1D1D,∴A1O⊥平面BB1D1D,∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为1, 则A1B=,A1O=.又∠A1OB=90°, ∴sin∠A1BO=,又0°≤∠A1BO≤90°, ∴∠A1BO=30°,∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 规律方法　1.求斜线与平面所成的角的步骤 2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口. 变式训练2如图,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影为直线AB,垂足为A,线段AB的长为4,∠MBC=60°,则MC与平面CAB所成角的正弦 值为　　　　　.  解析 由题意知,MA⊥平面ABC, ∴MC在平面CAB内的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. ∵在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°, ∴MC=BMsin∠MBC=5sin 60°=5×. 在Rt△MAB中,MA==3. 在Rt△MAC中,sin∠MCA=. 即MC与平面CAB所成角的正弦值为. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线与平面垂直的定义. (2)直线与平面垂直的判定定理. (3)直线与平面所成的角. 2.方法归纳:化归、数形结合. 3.常见误区: 易忽略直线与平面垂直的判定定理中“两条相交直线”这一关键条件. $