12.1 课时2 三角形的内角和 课件 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“三角形的内角和”，包含内角和180°的证明、直角三角形两锐角互余及逆定理。从小学测量拼接经验切入，通过撕纸拼接观察，引导学生从直观操作过渡到几何证明，搭建具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主，通过撕纸拼接活动培养数学眼光，借助作平行线转化角的证明过程发展推理意识，用规范几何语言表达结论强化数学语言。教学注重转化思想渗透，小结明确知识与方法，助力学生提升逻辑思维，也为教师提供清晰教学路径。

12.1 课时2 三角形的内角和 学习目标 1. 学生能理解三角形的内角和是180°，能用所学的知识证明内角和是189°。 2，掌握直角三角形的两个锐角互余，反过来两个锐角互余的三角形是直角三角形。 2. 会应用三角形内角和的定理解决简单的几何问题. 在小学，我们用测量和拼接的方法验证过“三角形的内角和等于180°”.如何说明这个结论? 验证：三角形的三个内角和是180° 图1 图2 A B C C B A B C A B 观察与发现 探究一 三角形的内角和 任意剪出一个三角形纸片，将三角形的三个角撕下，按下图的方式拼接，会发现三角形的三个内角可以拼成一个平角。 根据拼接过程，你能说明“三角形的内角和等于多少吗？       吗? 探究一 三角形的内角和 交流与思考 (1)怎样证明“三角形的内角和等于180°？ 从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗? 问题：有什么方法可以得到180°？ １.平角的度数是180° 2．两直线平行，同旁内角的和是180° 3. 邻补角的和是180 ° 图1 A B C C B 观察与发现 探究一 三角形的内角和 你能把图1转化为几何图形吗？怎样把∠B和∠C 转化到如图位置？ A B C 1 2 D E 1,任意剪出一个三角形纸片，将三角形的三个角撕下，按图12.1-6 的方式拼接，会发现三角形的三个内角可以拼成一个平角. 观察与发现 思考：如何证明三个内角拼成的角是平角呢？ 观察与发现 观察与发现 方法一 过点A做∠DAB=∠ABC, ∠EAC=∠C. 则，AD//BC.AE//BC ∴ D,A,E 在同一条直线上。 ∴ ∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°。 ∴ ∠B+∠BAC+∠C=180° 观察与发现 观察与发现 方法二 过点A做DE//BC, 则∠DAB=∠B,∠EAC=∠C. ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180° 方法一，由角的关系得到平行的关系，反过来我们也可以通过平行得到角的关系。 思考一下，还有没有其他方法？ 任意剪出一个三角形纸片，将三角形的三个角撕下，按图12.1-6 的方式拼接，会发现三角形的三个内角可以拼成一个平角. 观察与发现： 根据拼接过程，你能说明“三角形的内角和等于180°”吗? 可以构造平行线，借助平行线的性质，说明这个结论. (1) 怎样说明“三角形的内角和等于 180°”? 思考与交流： A B C 1 2 D E 如图，过点 A 画直线 BC 的平行线 DE, 探究一 三角形的内角和 方法一： 根据两直线平行，内错角相等，得 ∠2=∠B ∠1=∠C  ∠1,∠BAC,∠2拼成一个平角, 根据平角的定义，得 ∠1+∠BAC+∠2=180° 即∠B+∠BAC+∠C=180° 三角形的三个内角和是180° 方法一： 探究一 三角形的内角和 A B C 1 2 D E 如图，过点 A 画直线 BC 的平行线 DE, ∵BC∥DE ∴∠2=∠B， ∠1=∠C ∵∠1+∠BAC+∠2=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180° ∴三角形的三个内角和是180° 观察与发现 2,如图12.1-8，在 △ABC 中，若∠C＝90°，∠A 与∠B 有怎样的关系? 若∠A＋∠B＝90°，则 △ABC 是什么三角形? 解：∠A 与∠B 互余， ∵∠A＋∠B+∠C＝180°,∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝90° ∴∠A 与∠B 互余， ∵∠A＋∠B+∠C＝180°,∠A＋∠B＝90° ∴∠C△ABC＝90° ∴△ABC是直角三角形。 观察与发现 观察与发现 概括与表达 三角形的内角和等于 180°. 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的 三角形是直角三角形. 由图 12.1-6可知，过点 A 画直线 BC 的平行线 DE，可以将∠B，∠BAC，∠C 拼成一个平角(图12.1-7). 根据平角的定义，得 ∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°. 根据两直线平行，内错角相等，得 ∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C. 所以 ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°. 由此，可以得到：三角形的内角和等于 180°. (2) 如图12.1-8，在 △ABC 中，若∠C＝90°，∠A 与∠B 有怎样的关系? 若∠A＋∠B＝90°，则 △ABC 是什么三角形? 三角形三个内角的和等于180°。 几何语言： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 2.三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。 探究一 三角形的内角和 思想方法归纳 1.要证明三角形三个内角的和等于180 °一般需转化为：平角或两直线平行同旁内角互补。 例1.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°， 则∠ C =_______; （2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = _______; （3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B， 则∠C = ________. 102° 40° 120° 新知体验 例2.如图12.1-9，在 △ABC 中，D 是边 AB 上的一点，∠A与 ∠ACD 互余，请说明 ∠B 与∠DCB 互余. 典型例题 方法一，∵∠A与 ∠ACD 互余 ∴△ACD是直角三角形。 ∴∠ADC=90°。 ∴∠BDC=180°-∠ADC=90° ∴∠B 与∠DCB 互余 例2 .如图12.1-9，在 △ABC 中，D 是边 AB 上的一点，∠A与 ∠ACD 互余，请说明 ∠B 与∠DCB 互余. 典型例题 方法二，∵∠A＋∠B+∠ACB＝180° ∴∠A＋∠B+∠ACD+∠DCB＝180° ∵∠A与 ∠ACD 互余 ∴ ∠A+∠ACD＝90° ∴ ∠B+∠DCB＝90° ∴∠B 与∠DCB 互余. 因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90，所以∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余.反过来∠A＋∠B＝90°，因为三角形内角和等于180°，所以∠C＝90°，即△ABC 是直角三角形. 三角形的内角和等于 180°. 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形. 练习1.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠A的度数. ∴∠A=40° 解：设：∠A=2x°，则∠B=3x°∠C=4x° 得 2x+3x+4x=180， 解得 x=20 针对练习 探究二 直角三角形的性质与判定 交流与思考 A B C (2) 如图,在△ABC中,若∠C=90°，∠A与∠B 有怎样的关系? ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°, 即∠A 与 ∠B互余。 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余 几何语言：在△ABC中, ∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90° 课堂小结 这节课有什么收获？ 1，三角形的内角和是180°，直角三角形的两锐角互余，两锐角互余的两三角形是直角三角形。 2，作辅助线的一个方法，作平行线。体会转化思想。 三角形的 内角和 三角形三个内角的和等于180°。 几何语言： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 课堂小结 1.三角形的内角和的证明： A B C 1 2 D E A B C 1 2 D E A B C 1 D 2.直角三角形的两个锐角互余； 有两个角互余的三角形是直角三角形。 $