假期成效检测卷-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高二数学快乐假期讲练测

第三部分假期成效检测卷 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的」 方亭 1.已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y) y=x},则A∩B= ( A.5-1 B5-1 4 A.{0,1} B.{(0,0)(1,1)} C.{1) D.{(1,1)》 C.5+1 D.5+1 2 4 2.已知复数之的共轭复数是之，且满足3之一之= 5.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展 一2十2i,则复数之在复平面内对应的点在 “四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学 参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这 A.第一象限 B.第二象限 4本书中选取1本进行准备，且各自选取的 C.第三象限 D.第四象限 书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本 3.已知梯形ABCD,AB∥CD,设AB=e1,向量 书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则 e2的起点和终点分别是A、B、C、D中的两个 抽到自己准备的书的人数的均值为() 点，若对平面内任意的非零向量a,都可以唯 A B.1 c D.2 一的表示为e1和e2的线性组合，下面几个 选项中，不可以作为2的是 )6.如图，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世 A.AC B.CD C.BC D.BD 界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天 轮.已知其旋转半径为60m,最高点距地面 4.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的 建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对 135m,运行一周大约30min,某游客在最低 边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的 点的位置坐上摩天轮，则第10min时他距地 几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成 面大约为 的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体 积为。自定的体积为V,若号专，台体 的体公式为V=3(S+SS+S),其中S、 S分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭” A.95m B.100m 的上、下底面边长之比为 C.105m D.110m 37 高二数学每日一练·练出好成绩 7.设a=1og43,b=1og4,c=20.01,则a,b,c;11.已知直线1过抛物线C:y2=-2px(p>0) 的大小关系为 ( 的焦点，且与该抛物线交于M,N两点，若 A.b<a<c B.a<b<c 线段MN的长是16，MN的中点到y轴的 C.a<c<b D.b<c<a 距离是6，O是坐标原点，则 () 8.若存在m,使得关于x的方程x十a(2x十2m一 A.抛物线C的方程是y2=一8x 4ex)[ln(x十m)-lnx]=0成立，其中e为自 B.抛物线的准线方程是y=2 然对数的底数，则实数a的取值范围是 C.直线I的方程是x一y十2=0 ( D.△MON的面积是8√2 A.(-∞，0)U[2+∞ 12.函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇 (0 函数，f(x十2)为偶函数，则 A.f(-x-1)=-f(x+1) C.(-∞，0) B.f(4+x)=f(-x) D.c,+∞ C.f(x)为偶函数 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20 D.f(x-3)为偶函数 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，20分. 有选错的得0分 13.(x- ++ 的展开式中x2的 9.如图是正方体的平面展开图，则关于这个正 方体的说法正确的是 系数为 .(用数字作答) 14.直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A,B D M 分别在曲线C1: (=3+cos 0 (0为参数)和 y=4+sin 0 曲线C2:p=1上，则|AB的最小值为 B 15.过点(0，-1)作曲线f(x)=lnx(x>0)的 A.BM与ED平行 切线，则切点坐标为 B.CN与BE是异面直线 16.若：是箱圆C号+芳-1的两个焦 C.CN与BM成60°角 D.DM与BN是异面直线 点，过F1的直线1与椭圆C交于A、B两 点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是 10,已知f)=x则 .(填序号) A.曲线y=f(x)在x=e处的切线平行于 x轴 ①椭圆C的离心率为号：②存在点A使得 B.f(x)的单调递减区间为(0，e) AF1⊥AF2;③若|AF2|+BF2=8,则 C.f(x)的极小值为e AB=12;④△AF1F2面积的最大值为 D.方程f(x)=一1没有实数解 12. 38 第三部分 假期成效检测卷 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写！19.(10分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧 出文字说明、证明过程或演算步骤， 面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O, 17.(10分)已知数列{am}的前n项和为Sm, 且AB=AC1,AB⊥B1C. a1=号2S,=a,-1-4 (1)求{am}的通项公式； -r B (2n-1)am-1 B (2》若6。一a.十1Da1十求数列6.} (1)求证：AO⊥平面BB1CC; 的前n项和为Tn (2)设∠B1BC=∠B1AC=60°，若三棱锥 A一BCC1的体积为1，求点C1到平面 ABB1的距离. 18.(15分)在△ABC中，a,b,c分别为三个内：20.(15分)某从事智能教育技术研发的科技公 角A,B,C的对边，若△ABC的面积为 司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙 33,b=a+1,/3bcos C-esin B=0 两个学校的高一学生中做用户测试，经过 一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生 (1)求c及cosB; 学习的促进情况，该公司随机抽取了200 (2)求sin(2B-C)的值. 名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握 情况进行调查，样本调查结果如下表： 甲校 乙校 使用AI不使用AI使用AI不使用AI 作业 作业 作业 作业 基本掌握 32 28 50 30 没有掌握 8 14 12 26 试用频率估计概率，并假设每位学生是否 掌握“向量数量积”知识点相互独立 (1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计 该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的 概率； (2)完成下面2×2列联表，并分析是否有 99%的把握认为基本掌握“向量数量积”知 识点与使用AI作业有关， 39 高二数学每日一练·练出好成绩 使用AI作业 不使用AI作业 合计 :22.(10分)已知函数f(x)=x2-2,g(x)= 基本掌握 aln x-2(a>0). 没有掌握 ()若方程f(x)=g(x)在区间[日e上恰 合计 有两个不同的实根，求实数a的最大值； 附：K2= n(ad-bc)2 (2)当a=4时，判断函数f(x)与g(x)的图 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n= 象是否存在公切线？若存在，请判断有几条 a+b+c+d. 公切线，并写出其中一条公切线的方程；若 P(K2≥ko)0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001 不存在，请说明理由. ko 2.7063.8415.0246.6357.87910.828 21.(10分)设直线x=m(m>0)与双曲线C: 2-苦-加的两条渐近线分别交于A,B 两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积： 为3 (1)求m的值； (2)与坐标轴不垂直的直线I与C交于M, N两点，点M关于x轴的对称点为M',F 为C的右焦点，若M,F,N三点共线，证 明：直线1经过x轴上的一个定点. 40高二数学每日 当x∈(1，+∞)时，2x-W元-1>0， 所以当xe(0,)U(1)时.f(x)<0, f(x)单调递减， 当x∈(1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以x)的单洞递减这同为(0，)（侵小 单调递增区间为(1，十∞)； er(Vz-a)-e (2)由(1)得f(x)= (x-a)1 ex(2.x-2a(-1) ,x>0且x≠a2, 2a(反-a)2 因为f(x)在(0,1)上单调递减，所以2x-2aW( 1≤0在(0,1)上恒成立， 令g(x）=2x-2aE-1,则 (8(0)≤0 解得 g(1)≤0 a22 。1 第三部分 假期成效检测卷 1.B[解方程组 (y=x2 ,所以 A∩B={(0,0),(1,1)}.故选B.] 2.B[设之=a十bi(a,b∈R),则乏=a-bi,由已知 得3(a+bi)-(a-bi)=-2+2i,即2a+4bi= 一2+2i,由复数相等得a=-1,b=2,因此之 一1十号，故复教之在复平面内对应的点为 (-1,》在第二象限.故选B] 3.B[由基底的定义可知，e1与e2不共线，因为 AB∥CD,AB=e1,向量e2的起点和终点分别是 A、B、C、D中的两个，点，所以AB∥CD,故CD不 可以作为e2.故选B.门 4.A[设“方亭”的上底面边长为a,下底面边长为b, 高为，则V=号a(a2+ab+2,V1=ha(a+ b)= 2h(a2+ab).Vz-V-V1-3h(a2+ab+ )-合A(a2+ab)=吉(-a2-ab+2冰2). 0 7 练·练出好成绩 V2 h(22-a2-ab) 6 :y b h() →a-5-1.故选A] 3 b 2 5.B[记抽到自己准备的书的学生人数为X,则X 的可能取值为0,1,2,4，P(X=0)=CX3=9 A 24 P(X=1)-CIX2_8 A124 X-2)-2-会0--克-时 E(X)=0X +1×+2×+4×1.故 选B.] 6.C[设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间 t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(wt+9)十 B(A>0,w>0,p∈[0,2π)，由题意可知A=60, B=135-60=75,T=2五=30，所以。=无，即 f)=60sim(+5. 又因为f(0)=135-120=15,解得sin9=-1,故 =受，所以f)=60im(++75 -60c0s1+75,所以f10)=-60×c0s π π十 3 75=105.故选C.] 7.B[410=1048576,58=390625,59=1953125, 48=65536,310=59049,.410<59,即4<56， ∴10g54<10g550=0.9:410>58,即4>5=5， log54>10g55=0.8;48>510,即3<4命=4， ∴.log43<log44=0.8;.log54>log43,即a< b.设f(x)=2x-x-1(x<0),则f（x)= 2x1n2-1,当x<0时，2r∈(0,1)，又ln2∈(0， 1),.2r1n2∈(0,1)，∴.f'(x)<0,.f(x)在 (-∞，0)上单调递减，.f(x)>f(0)=0,即当 x<0时，2>x+1,.20.01>-0.01+1= 0.99>0.9,.log54<2-0.01,即b<c.综上所述： a<b<c.故选B.] 8.Aa(2x+2m-4ex)[In(x+m)-In x]=0 0 参考答案与详解 得x十2a(x十m-2ex)ln+m=0,即1十 因为当0<x<1时，f(x)的图象与直线y=-1 有一个交点，所以方程f(x)=一1有一个实数 2a(m-2c)n=0，即设1=”，则 解，故D错误.故选AC.] >0,则条件等价为1+2a(1-2e)1nt=0,即(-11.AD[设M(x1y),N(x2,y2),根据抛物线的 定义可知|MN|=-(x1+x2)+p=16,又MN 2e)ln t=- 有解，设g)=(4-2elht,g()= 的中点到y轴的距离为6，.一1十2=6， 2 lnt+1-2e为增函数，：g'(e)=1ne十1-2e e .x1十x2=一12，.p=4..所求抛物线的方程 1+1-2=0,.当t>e时，g'(t)>0,当0<t<e 为y2=一8.x.故A项正确；抛物线C的准线方 时，g'(t)<0,即当t=e时，函数g(t)取得极小值 程是x=2,故B项错误；设直线L的方程是x 为g(e)=(e-2e)lne=-e,即g(t)≥g(e)= my-2,联立 1y2=-8.x 消去x得y2+8my -e,若(t-2e)lnt=- 品有解，则 ≥e,即 x=my-2 2a (y1+y2=-8 ≤e,则a<0或a≥ 2a 实数a的取值范国是 16=0,则 ,所以x1十x2= (y1·y2=-16 (-∞.0U[2+∞故选A.] 8m2-4=-12,解得m=士1，故直线1的方 程是x-y十2=0或x十y+2=0.故C项错误； 9.CD[把平面展开图还原成几何体，如图： S△MON= M 21OF1·1y-z=号×2， √(y1十y2)2-4y1y2=√64+64=8√2.故D项 正确.故选AD.] :12.BC[由已知，函数f(.x)的定义域为R,且f(x十 C 1)为奇函数，f(x十2)为偶函数，则函数f(x)的图 象关于点(1,0)中心对称，同时关于直线x=2 B 对称；选项A,若f(-x-1)=一f(x十1)成立， A.由正方体的性质可知，BM与ED异面且垂 即f[-(x十1)]=-f(x十1)成立，此时函数 直，故A错误；B.CN与BE平行，故B错误； f(x)为奇函数，由已知可得，该式不一定成立， C.连接BE,则BE∥CN,∠EBM为CN与BM 该选项错误；选项B,函数f(x)关于直线x=2 所成角，连接EM,可知△BEM为正三角形，则 对称，所以f(2十x)=f(2-x),令x=2十x1可 ∠EBM=60°，故C正确；D.由异面直线的定义 知，f(4十x1)=f(一x1),该选项正确；选项C, 可知，DM与BN是异面直线，故D正确.故 函数f(x)图象关于点(1,0)中心对称，同时关 选CD.] 于直线x=2对称，则x=0也是函数f(x)的一 条对称轴，则函数f(x)为偶函数，该选项正确； 10.AC[图为f()=品(x>≥0且x≠1)，得 选项D,函数f(x)图象关于点(1,0)中心对称， f=所以f(0=0e=e,所以 根据选项B可知，f(4十x)=f(一x),根据选项 C可知，函数f(x)为偶函数，则有f(4十x)= 曲线y=f(x)在x=e处的切线平行于x轴，故 f(一x)=f(x),所以函数f(x)的周期为4，则 A正确；令f'(x)>0,得x>e,令f'(.x)<0,得 点（一3,0)也是函数的对称中心，则有f(x一3) 0<x<1或1<x<e,所以f(x)在(e,十∞)上 为奇函数，该选项错误；故选BC.] 单调递增，在(0,1)和(1，e)上单调递减，所以 fx)的极小值为f(c)=c,故B错误，C正确，18.-2 =[x-222+(x+1)]8 073 高二数学每日 的展开式通项公式为T,+1=C8(x2o22)8, (x十1)'，由于求解的是展开式中x2的系数， 故r=8,其中(x十1)8展开式通项公式为 C(x)8-=Cr,k≤8，令4-台=2得： k=4,此时展开式中x2的系数为C×(一1)= -70,令4-令=1得：=6，此时展开式中x2的 系数为C8=28,综上：展开式中x2的系数为 -70十28=-42.故答案为：-42.] 14.3[利用化归思想和数形结合法，把两条曲线 转化为直角坐标系下的方程.曲线C1的方程是 (x-3)2+(y-4)2=1,曲线C2的方程是x2+ y2=1,两圆外离，所以|AB|的最小值为 √32+42-1-1=3.] 15.(W,1)[由f(元)=lnx(x>0),则f(x)= lnx2,x>0,化简得f(x)=2lnx,x>0,则 f(x)=二，设切点为(xo2no),里然(0，-1 不在南线上，则2血0十1-2，得0=6，则切 点坐标为(，1).故答案为：（√，1）.] 16.②④[对①，由题得a=5,b=3,c=4,离心率 为e=后=号，故①错误.对@，设A=(3C0s1, a 5sin),得椭圆的参数方程为=3c0s1 (t为参 (y=5sin t 数)，F1(0,4),F2(0,-4),所以F1A=(3cost 5sint-4),F2A=(3cost,5sint十4).若存在，点 A使AF1⊥AF2,则F1A·F2A=0,即9cos2t+ 25sin21-16=0,得sin1=士7有解，故存在点 4 A使AF1⊥AF2,故②正确.对③，因为|AB|= 12>2a=10,故③错误.对④，当A位于短轴端 点时，此时△AF1F2的面积最大，所以 (5△，R,)mx=合×2X4X3=12,故国正确. 故答案为：②④.门 17.解(1).2Sm=am+1-4①， .当n≥2时，2Sm-1=am-4②， 0 7 练·练出好成绩 ①-②得2an=an+1-an,即&=3， an 又2S1=2a1=a2-4=5,得a2=9, ∴.an=a2g”-2=9X3-2=3”, 又a1= 5不符合am=3” [ .an= 2,n-1 ； 3",n≥2 a1-1 (2)当n=1时，b1=(a1+1)(a2+1) 5一1 3 (2+1j9+1) 70 当n≥2时，bm= (2n-1)3"-1 n (3”+1)(3+1+1)=3”+1 n+1 3m+1+1 2 3 3 n2时T,70十32+133+13 4 2 十…十 34+1 41出=易+ n+1 3"+1+1 17n+1 703+1+1' 又当n=1时，T1=b1= 17 70 n+1 3+1十1 品+ 18.解(1)由题可知，在△ABC中W3 bcos C-csin B=0, ∴.√3 sin Bcos C-sinCsin B=0, sinB≠0， ∴.3cosC-sinC=0,即tanC=W3, C∈(0，x),C=交， 3 ab-3 SAANC= 2 ,解得：ab=6, 又b-a=1, 解得：a=2,b=3, 0 参考答案与详解 由余弦定理可得：c2=a2+b2-2 abcos C=7, 解得：c=√7， 在R△B0中，AB=√B0+A0-5=后， .cosB=Q2+c2-b2=4+7-9_万 2ac 2X2X√7 149 (2)由(1)得sinB=3V2 14 2, 设点C1到平面ABB1的距离为h, sin2B=2 sin Bos B=2×F×3yI_3y3 14 14 14 VC -ABB =VA-BB C =VA-BCC =1, cos 2B=2cos2B-1=2X 得号·52h=号×9雪.A=1, 3 2 .'cos(2B-C)=cos 2Bcos C+sin 2Bsin C= 解得h=21⑤ 5 19.解(1)证明：，四边形BB1C1C是菱形， 即点C1到平面ABB1的距离为2y压 5 .B1C⊥BC1, :20.解(1)在两所学校被调查的200名学生中， ,AB⊥B1C,AB∩BC1=B, 对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有 .B1C⊥平面ABC1, 140人， 又AOC平面ABC1, 所以估计从两校高一学生中随机抽取1人， .B1C⊥AO. 该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率 ,AB=AC1,O是BC1的中点， =0.7: .AO⊥B1C, 为 ,B1C∩BC1=O, (2) .AO⊥平面BB1C1C; 使用AI作业 不使用AI作业 合计 (2)设菱形BB1C1C的 基本掌握 82 58 140 边长为x, 没有掌握 20 40 60 文∠B1BC=60°， 合计 102 98 200 .△BB1C是等边三角 B B K2= 200(82×40-58×20)2 形，则B1C=x. ≈10.7， 102×98×140×60 由(1)知AO⊥B1C,又O是B1C的中点， 因为10.7>6.635，所以有99%的把握认为基 ..AB1=AC, 本掌握“向量数量积”知识点与使用AI作业 又∠B1AC=60°， 有关 △AC是等边三角形，别ACAB=BC=,21,解(1)双商线C:2-苦-n(m>0)的商近线 在R△AC0中，A0=√AC-CO- 2, 方程为y=土√3x, 不妨设点A在x轴上方，则A,B两点的坐标分 .VA-B0C,=- ·x·x· 别为(m√3m）和(m,-√3m), 所以S△0AB=2mX23=V3, 解得x=2. 解得m=1; 在R△AB0中，BO=√BC2-CO= 2 =3 2为C2-号-1，别F的坐标为2,0. 75 高二数学每日一 设L与x轴交于点(p,0),则1的方程为y=! k(x一p)(k≠0)， 设M(x1y1),V(x2y2),则M'(x1,-y1). (y=k(x-p) 联立 得(3-k2)x2+2k2x-(k2p2十3)=0， 由题可知3-k2≠0，所以1十2=39 k2-31x2 =2b2+3 k2-3 因为M,F,N三点共线，所以FM,FN共线，即 -y1(x2-2)=y2(x1-2), 所以-k(x1-p)(x2-2)=k(x2-p)(x1-2). 因为k≠0，所以(x1一p)(x2-2)十(x2-p)(x1一 2)=0, 所以2.x1x2-(p十2)(x1十x2)十4p=0, 所以2.222士3(p+2)·22+4h=0 k2-3 k2-3 所以2k2p2+6-2p2k2-4pk2+4pk2-12p=0! 解得p=立： 所以直线1经过x轴上的定点（合，0月 22.解(1)令h(x)=f(x)-g(x)=x2-alnx, >0,则h(x)在[c上有两个不同的零点. 因为h'(x)=2x- a_2.x2-a 所以易知h(x)只有一个极值点√2： a 要使得A()在[日，上有商个不同的家点，则 1∠ <c,即 2<a<2e2 当x∈ 1.a e'v2 时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 当x∈ 分e时，h'(x)>0,h(x)单调递增， a 所以h(口)在x侣时取得极小位，极小位为 0 76 练·练出好成绩 h(日)alm≥0 所以h(e)=e2-alne≥0 (图=号-ang<o 解得2e<a<e2, 所以实数a的最大值为e2; (2)因为函数f(x)=x2-2,所以f'(x)=2.x. 设切线与函数f(x)的图象相切的切点坐标为 (n,n2-2),则f(n)=2n, 所以切线方程为y-(n2-2)=2n(.x-n),即 y=2n.x-n2-2 当a=4时，g(x)=4lnx-2,所以g'(x)=4 设切线与函数g(x)的图象相切的切点坐标为 (m,4lnm-2),则g'(m)=4 12 所以切线方程为y-(41nm-2)=4(.x-m), 即y=4x十4lnm-6. m 若函数f(x)与g(x)的图象存在公切线， /2n4 则{n ,所以m2(1-lnm)=1 n2+2=6-4lnm 设p(x)=x2(1-lnx)(x>0). p)=2x1-ln0+r:（-)-=2-2hx x=x-2xln x=x(1-2In x) 令9'(x)=0,得x=√E.当x∈(0wN)时，g9(x)>0; 当x∈(W,十o∞)时，o(x)<0, 所以9(x)在(0，W√)上单调递增，在(W,十o∞) 上单调递减，最大值为9)=受 因为>1，e(合)=1+ia2)<1g(3) 9(1-ln3)<1, 所以方程记=1一-n加有2个不同的解， 所以f(x)与g(x)的图象有2条公切线. 可以观察m-1为方程的一个解， 此时n=2,所以其中一条公切线的方程为y= 4x-6.