热考专题2 导数在研究函数问题中的应用-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高二数学快乐假期讲练测

参考答案与详解 则/3-0 [yo=0 青f(-1)=a-2,里然a-2<a-号，所以a 4 3 解之得 (4.x0+6=0 3.则Q To= 20 2 2=1,所以a=3,故选B.] (3)设过O点作直线l的平行线为y=kx, :3.C[由3[f(x)]2+8f(x)+4=0,可得f(x)= [y=kx 12 -2或f(x)=- 子当0<x≤2时，f0 + 由x2 ,可得x2= =1 3十4k2, ln登尉f)=(h台+以当<君 不妨令M 12 12 、V3+4k2, √3十4k2 时，f(x)<0,函数f(x)单调递减，当兰<x≤2 则OM= 12(1+k2) 时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，所以当0< 3+4k2 又|AD|= 3+2,AE=21+, 12√1+k2 x≤2时，f(x)min= 数f(x)在区间(2n,2n+2](n∈N*)上的图象是 12√1+k2 则AD+AEl_3+42 +2√/1+k2 由f(x)在(2n一2,2n]上的图象先向右平移2个 OM 单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长 12(1+k2) V3+4k2 为原来的2倍得到的，作出函数f(x)在(0,10] 12 上的图象，如图： 3+462+2 2√3 3+4k≥22 4 6 810 12 √3+4k2 W3+4k2 (当且仅当k=±⑤ 2 时等号成立)，则 AD十|AE最小值为22. OM 热考专题二 由图可知，方程f)=-号于)=-2在区间 热考热练 (0,10]上根的个数分别为10,6.故方程3[f(x)]2 1A[将，点1,2)代入南线C:y=sin受x十a2, 十8f(x)十4=0在区间(0,10]上的实根个数为16. 故选C.] 解得a=1,对曲线C1:y=sin受x十ar2求导得：4.A[c= ,9=×-× 2 31g33 y=受0s受x+2x,点(1,2)处的切线1斜率为 设f(x)=sinx- ,x(0,)则有f(x) ,对曲 k1=2,故与1垂直的切线斜率为k=一 cosx-1<0,f(x)单调递减，从而f(x)<f(0) 线C2:y=x3-b.x2+1求导得y=3.x2-2bx,若 0,所以inr<∈(0，战sm<分，即 曲线C2上至多存在一条与L垂直的切线，即3x2- a<c,而b 20x=一号至多一个解，由此可得△=462-6≤0， >=c,故有a<c<b.故 选A.] 解得一≤6≤故选A] !5.B[由题意杯子的底面面积S=16π，则杯中溶 2.B[令f(x)=3.x2-2x=x(3x-2)=0,解得 该上分高定A=_-+日 16π x=0成=，当x(0，)时fx)0,xe ≥0).则方=最2+，当1=4时，M=× (号1)U(-1,0)时)>0又f(号)=a- 16十}×4=4，即当1=48时杯中溶液上升高度 69 高二数学每日一练·练出好成绩 一●● 的瞬时变化率为4cm/s.故选B.] 调递增，又因为函数f(x)=x·(2x十2x)为奇 6.A[因为f(x)-g'(x-2)=0,即f'(x)= 函数，所以函数f(x)在（一o∞，0）上单调递增，选 g'(x-2),所以f(x)=g(x-2)十b,因为f(-x)- 项B符合；若k为负奇数，函数f(x)=x·(2r十 g(x)=-2,所以g(x)=f(-x)+2,所以f(x)= f(-x十2)十b+2,将x=1代入有：f(1)= 2)=x·(2+2)的定义找为{xx0, f(1)十b十2，解得b=一2，故有f(x)=f(-x+ 不妨取k=-1,则f(x)=2+2 -,当x0 2)①，f(x)=g(x-2)-2,g(x)=f(x+2)+2= f(一x)十2；因为g(x一2)为奇函数，所以g(x一 时)+：当=时（） +号 2)十g(-x-2)=0,即f(-x十2)+f(x十2)= 1 -4②；①+②可得f(x)+f(x+2)=-4③，将 2 x十2代替x代入有f(x+2)+f(x+4)=-4, 32:当x=1时，f1)=22当x=2时，f(2)= 两式相减有f(x)=f(x十4)，故f(x)为周期函： 数，周期为4；将x=0代入②中有f(2)+f(2)= 2日：当=3时，)=2号>f2:当x地向 一4，即f(2)=-2,将x=1代入③中有f(1)+ 于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数 f(3)=4,将x=2代入③中有f(2)+f(4)= 的快，所以f(x)趋向于正无穷；所以(0，+∞)内 一4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-8,根据 f(x)先减后增，故选项A符合.故选ABC.] f(x)周期为4，且2023=4X505+3,所以8.ABC[由画数f(x)=x3+3r2-9x-10,则求 gr)=05U1)+f2)+f8)+r4]+ 导可得f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1), f(2021)+f(2022)+f(2023)=505×(-8)+ 令f'(x)=0,解得x=一3或1，可得下表： f(1)+f(2)+f(3)=505×(-8)-6=-4046. (-0∞， -3 (-3,1) 1 (1,+∞) 故选A.] 一3) 7.ABC[令g(x)-2x+2,则g(-x)=2x+ f'(x) 0 0 2r=g(x),故g(x)=2r十2x为偶函数.当k=0 f(r) 入 极大值 极小值 时，函数f(x)=2十2x为偶函数，且其图象过 则x=1是f(x)的极小值点，故A正确； 点(0,2)，显然四个选项都不满足.当k为偶数且 f(x)极大=f(-3)=(-3)3+3×(-3)2-9× ≠0时，易知函数h(x)=x为偶函数，所以函 （-3)-10=17,f(x)极小=f(1)=13+3×12- 数f(x)=x·(2x+2r)为偶函数，其图象关于 9×1-10=-15,由f(-5)=(-5)3+3× y轴对称，则选项C,D符合；若k为正偶数，因为 f(x)=xk·(2x十2)，则(x)=kx-1(2x十 (-5)2-9×(-5)-10=15,f(3)=33+3× 2-x)+x(2rln2-2-x1ln2),当x>0时，f(x)>0, 32-9×3-10=17,显然函数f(x)在(-5，-3)， 所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，又因为函数！ (-3,1),(1,3)分别存在一个零，点，即函数f(x)存在 f(x)=x·(2r十2)为偶函数，所以函数f(x) 三个零点，故B正确：联立P=x3+32-9x-10 在（一∞，0）上单调递减，选项C符合；若k为负 0y=-12.x-11 消去y可得x3十3.x2+3.x十1=0，化简可得(x+ 偶数，易知函数f()=·(24+2)三·} 1)3=0,则该方程组存在唯一实根x=-1,故C (2十2一x)的定义域为{x|x≠0}，排除D选项. 正确；令g(x)=f(x-1)=(x-1)3十3(.x-1)2 当k为奇数时，易知函数h(x)=x为奇函数，所： -9(x-1)-10=x3-12x+1,g(-x)=-x3+ 以函数f(x)=x·(2r十2x)为奇函数，其图象 12x+1≠-g(x),故D错误.故选ABC.] 标原点对称，则选项AB符合，若为正9（或c)[设曲线y=n王上的切 奇数，因为f(x)=xk·(2x+2x),则f'(x)= kx-1(2x+2x)+x(2xln2-2-x1n2),当x> (x1,lnx1),曲线y=ear上的切点坐标为(x2, 0时，f'(x)>0,所以函数f(x)在(0，十∞)上单： ear2), 0700 参考答案与详解 又y=血x的导函载为y=子y=“的学通数 ②，'x1,x2>0,且a>e 为y'=aea 若2≥2，即x2≥2.x1,取x2=2x1,并令x1= 所以切线斜率k=1=ae,又切点(1lnx1), t(t>0),则x2=2t, 所以=2 In 2 2 (x2,ea)均在切线y=kx上， 号-，解得1=ln2,此时a=n2n2 In z1= 1·1 所以 ,解得x1=e,a.x2=1,所以 故≥品2即实数a的取位范国[品2十) earg=aea:·x2 故答案为：e,+)品2+门 k=上=acl,所以a=之 1 :1.解a)由f)=f()sin-cosx 故答家为过J 得f')=f（3osx+sinx, 10.(e,+o∞) 品+ [①已知函数f(x)= 则f(号）f()os5+sin号 ax2-+1 f(r)-ax-e, 1 =r()+ 若画数f)=ar2-e十1在x=和x 所以f()-: x2两处取到极值，则x=x1和x=x2是函数； (2)由(1)得f(.x)=√3sinx-cosx, f(x)=a.x-ex的两个零，点， - 即是方程ax一e=0,即a=e的两个根， 则()是2=1， 所以f)的图象在点（行f() 处的切线方 所以函数g(x)=二的图象与直线y=a有两个 x 不同的交点且交点的横坐标分别为x1,x2, 程为y一1=(2-音) 由于g'(x)=Cx一e,所以当x<0或0≤x<1! 即5xyπ+1=0. 时，g(x)<0;当x>1时，g(x)>0; 12.解 (1)①由题意可得 故g(x)的减区间有（一∞，0）和(0,1)，增区间 e"(Vz-d)-er 有(1，十)， f(x)= 2反_e(2x-2aE-1 (-a)2 2反(-a)2 且当x=1时，gmin=g（1)=e,作出g(x)的 x>0且x≠a2, 草图： 因为曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线与x轴 平行， =g(x) y=d 所以f1D=92a=0,解得a= 2(1-a)2 @由a=得f(x)=(2x-1 2(-】 因为 >0在定义域内恒成立， 由图可知要满足函数f'(x)=ax一e心有两个零 点，需使a>e, 令2x-√(-1解得(=1，即x=1, 所以实数a的取值范围是(e,十o∞)， 所以当x∈(0,1)时，2x-√元-1<0， 71 高二数学每日一练·练出好成绩 当x∈（1，+o∞)时，2x-W元-1>0， V2 所以当xe(0,)U(时，f()<0. h(a+ab) f(x)单调递减， 当x∈(1，十o∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 1→0-5-1.故选A.] 3 b 2 所以f)的单调道减区间为(0，（合1） :5.B[记抽到自己准备的书的学生人数为X,则X 单调递增区间为(1，十∞)； 的可能取值为0,1,2,4，P(X=0)= C3X39 A 24 ex(vx-a)- (2)由(1)得f'（x) 2√ P(X=1)=ClX2_8 (V元-a)2 A1241 e(2x-2aE-11,x>0且x≠a2, pX---rX-0-克京时 2a(反-a)2 因为f(x)在(0,1)上单调递减，所以2x一2a( E(X)=0× +1×景+2×会+4×-1.做 8 6 1≤0在(0,1)上恒成立， 选B.] 8(0)≤0 6.C [设人在摩天轮上离地面高度（米）与时间 令g(x)=2x-2a-1,则 解得！ g(1)≤0 t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(wt+p)十 1 a2 B(A>0,w>0,9∈[0,2π)，由题意可知A=60, B=135-60=75,T=2石=30，所以w=无即 第三部分 假期成效检测卷 f)=60sin(++5. 1.B[解方程组 ·解得 (x =0 =0或 ,所以 y=1 又因为f(0)=135-120=15,解得sino=-1,故 A∩B={(0,0),(1,1)}.故选B.] 所以f)=60sin(++75 2.B[设之=a十bi(a,b∈R),则z=a-bi,由已知 -60c0s+75,所以f10)=- 60×c0s π十 得3(a+bi)-（a-bi)=-2+2i,即2a+4bi= 3 一2十21，由复数相等得a=一1，b=号，因地：= 75-105.故选C.] 7.B[,410=1048576,58=390625,59=1953125, 一1十号，故复鼓：在复平面内对应的点为 48=65536,310=59049,.410<59,即4<5， (-1,)在第二象限，故选B] ∴1og54<10g550=0.9:410>58,即4>5=5， 3.B[由基底的定义可知，e1与e2不共线，因为； .log54>10g5=0.8;48>510,即3<4命=4， AB∥CD,AB=e1,向量e2的起，点和终点分别是； ∴.log43<log44言=0.8；.log54>log43,即a< A、B、C、D中的两个，点，所以AB∥CD,故CD不： b.设f(x)=2x-x-1(x<0),则f(x)= 可以作为e2.故选B.] 2x1n2-1,当x<0时，2r∈(0,1)，又ln2∈(0， 4.A[设“方亭”的上底面边长为a,下底面边长为b, 1),.2r1n2∈(0,1)，.f'(x)<0,.f(x)在 高为，则V=号(a2+ab+),=2a(a+ (-∞，0)上单调递减，∴.f(x)>f(0)=0,即当 x<0时，2>x+1,.2-0.01>-0.01+1= b)-2h(a2+ab).V2-V-V1-3h(a2+ab+j 0.99>0.9,.log54<2-0.01,即b<c.综上所述： a<b<c.故选B.] B)-号Aa2+ab)=吉h(-a2-ab+2w).8.A[由x十a2x+2m-4ec0n(+m）-1nx]=0 0720第二部分热考专题突破 热考专题二导数在研究函数问题中的应用 :5.已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8cm, [热考解读] 高为20cm,现向杯中注入溶液，已知注入溶 函数与导数一直是高考的重点与难点， 液的体积V(单位：ml)关于时间t(单位：s)的 般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数： 函数为V(t)=πt3+3πt2(t≥0)，不考虑注液 的单调性、极值、最值、零点等问题，还可能与： 过程中溶液的流失，则当t=4s时杯中溶液 三角函数、数列等知识综合考查，重点考查分 上升高度的瞬时变化率为 ( 类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻 A.2 cm/d B.4 cm/d 辑推理等核心素养 C.6 cm/d D.8 cm/d [热考热练] :6.定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别 为f(x)和g'(x),满足f(x)-g'(x-2)=0, 1.已知曲线Cy=sin受x+a2上一点(1,2) f(一x)-g(x)=-2,且g(x-2)为奇函数， 处的切线为1，曲线C2:y=x3一bx2十1上至 则觉f()= ( 多存在一条与1垂直的切线，则实数的取值： A.-4046 B.-4045 范围是 ( C.-4044 D.-4043 √6√6 A.-22 7.已知k∈Z,则函数f(x)=x·(2x十2x)的 图象可能是 66 2’2 C ][+】 - D. 22 2.若函数f(x)=x3-x2十a在[-1,1]上的最 小值是1，则实数a的值是 A.1 B.3 c D.-1 3.已知函数f(x)= 21nz,0<≤2， 则方程 2f(x-2),x>2, 8.已知函数f(x)=x3+3x2-9x一10，下列结 论中正确的是 ( 3[f(x)]2+8f(x)+4=0在区间(0,10]上 A.x=1是f(x)的极小值点 的实根个数为 ( A.8 B.10 B.f(x)有三个零点 C.16 D.18 C.曲线y=f(x)与直线y=-12x-11只有 4.已知a=sin3,b 1 )0.9 3 ,c= 2log279, 个公共点 则 ( D.函数y=f(x一1)为奇函数 A.a<c<b B.a<b<c :9.若直线y=kx与曲线y=lnx和曲线y=eaz C.b<a<c D.c<a<b 都相切，则a= 35 高二数学每日一练·练出好成绩 10.若函数f(x)-ar2-e+1在x=1和12.已知函数f)= 匠-a x=x2 两处取到极值，则实数a的取值范围 (1)已知曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切 是 :若2≥2，则实数a的取值 线与x轴平行. ①求实数a的值； 范围是 ②求函数f(x)的单调区间； 11.已知函数f(x)满足f(x)=f sin x (2)若f(x)在(0,1)上单调递减，求实数a 的取值范围. cos (1)求f(x)在x=处的导数： (2)求x)的图象在点（行·）) 处的切 线方程。 ------0------------------------------------9---9--- 36