热考专题1 圆锥曲线中的定值，定点，最值、范围问题-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高二数学快乐假期讲练测

第二部分热考专题突破 热考专题一 圆锥曲线中的定值、定点、最值、范围问题 点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A, [热考解读] B.若圆(x一2)2十y2=1与双曲线C的渐近 圆锥曲线中的定值、定点、最值、范围问题 线相切，则下列结论正确的有 个 是高中数学解析几何中的特色问题，也是历年 高考考查的高频考点，主要以解答题形式考 ①a=4; 查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆、： ②PA·IPB|为定值； 双曲线或抛物线为背景，试题难度较大，对代 数的恒等变形能力、计算能力有较高的要求. ③双曲线C的离心率=2 3； ④当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的 [热考热练] 圆心总在直线x=2√3上 1.已知稀制C:需号1的左焦点为rP是 A.1 B.2 C.3 D.4 C上一点，M(3,1),则|PM+|PF|的最大 5.已知椭圆：号+y2=1,直线1与两个坐标 值为 轴分别交于点M,N,且与椭圆E有且只有 A.7 B.8 C.9 D.11 一个公共点，O是坐标原点，则△OMN面积 的最小值是 ) 2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为 1,PQ是过焦点F的一条弦，已知点A(4, A.42 B.4 C.2√2 D.2 3),则 6.已知P为抛物线C:x2=-16y上一点，F为 焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H,若 A.焦点F到准线1的距离为1 B.焦点F(0,1),准线方程为y=-1 △PFH的周长不小于30，则点P的纵坐标 的取值范围是 3 C.IPFTIQFT4 A.(-∞，-5) B.(-∞，-4] D.PA|+|PF|的最小值是5 C.(-∞，-2] D.(-∞，-1] =1(a>0,b>0) B已知椭圆C:名十冷1a≥b>0)的左右 7.(多选)已知椭圆C,十 焦点为F1,F2,点A(一2,2)为椭圆C内 的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2√5，离 点，点Qa,0)在双曲线E:芹誉-1上，若 心率为气，P为椭圆左半边上一点，莲按 椭圆上存在一点P,使得PA|十PF,|=8, PF2交y轴于点N,PF2⊥PF1,其中O为 坐标原点，则下列说法正确的是 () 则a的取值范围是 ( A.椭圆的长轴长为3 A.(√5+1,5] B.[3,5] B.FF2=4ON C.(√5+1,25] D.[3,5] C.若点Q在椭圆C上，则QF1的最大值为 已知双线C号苦-1a>0)的左.右焦 3+√5 点分别为F1,F2,P为双曲线C右支上的动 D点P到：箱的距腐为 33 高二数学每日一练·练出好成绩 一●● 8.(多选)抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是 (2)O为坐标原点，过双曲线C上一动点M 其上一动点，点M(1,1),直线1与抛物线C (M在第一象限)分别作C的两条渐近线的 相交于A,B两点，准线与x轴相交于点D, 平行线为l1,l2,且11，l2与x轴分别交于 下列结论正确的是 ( P,Q,求证：OP|·OQ为定值. A.|PM+|PF|的最小值是2 B.IPM-IPF|的最大值是2 C.存在直线I,使得A,B两点关于直线x+ y-5=0对称 D.若直线l经过点D,且B点在线段AD 上，不存在直线I,使得|AF|+|BF|= 2|DF| 已知双线G:号后=1的左，右顶点分 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 别为A,B,抛物线C2:y2=4x与双曲线C1 交于C,D两点，记直线AC,BD的斜率分别： C号+兰=1o>6>0的离心率。合，左 为k1,k2,则k1k2= 顶点为A(一2,0)，过点A作斜率为k(k≠ 10.如图，已知椭圆号十y2=1.设A,B是椭圆 0)的直线1交椭圆C于点D,交y轴于 点E. 上异于P(0,1)的两点，且点Q0,号)在线 段AB上，直线PA,PB分别交直线y= 2十3于C,D两点，点P到椭圆上点的 距离的最大值为 ;|CD|的最小值 (1)求椭圆C的方程； 为 (2)已知P为AD的中点，是否存在定点 Q,对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存 在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若过O点作直线1的平行线交椭圆C 于点M,求ADAE的最小值， OM 1双曲线C导- =1(a>0,b>0)的一条 渐近线方程为y=3x,且经过点A(2,√3) (1)求C的方程； 34高二数学每日一练·练出好成绩 所以x= 6±√64i =3±4， 3.A[点Qa,b)在双曲线E:-y=1上，所以 4 所以x1=3+4i或之1=3-4i; a2-b2=4.所以椭圆左焦，点F1坐标为（一2,0）. (2)由x2=a十i,可得z2=a-i, 因为|PA+|PF2=8,所以PA+2a-|PF1|=8, 当x1=3+4i时，x3·x2|=|(3+4i)3·(a-i)| .1|PA|-|PF1川=8|8-2a≤|AF1|=2,所以 =125√5， 3≤a≤5. 所以125√a2+1=125√5，解得a=±2， 因为a2-b2=4,所以b2=a2-4.点A(-2,2)为 当a=2时，z2=(2+i)2=3十4i, 箱网C肉一点：所以是十是<1“是十 当a=-2时，z=(-2+十i)2=3-4i. 1,所以a4-12a2+16>0,.a>√5+1或a<5 第二部分 热考专题突破 -1.综上：W5+1<a≤5.故选A.] 热考专题一 : 4.C[由题意，双曲线渐近线方程是2x士ay=0, 热考热练 圆(.x一2)2十y2=1的圆心(2,0)，半径是1，则 1.C[国为器+号<1，所以M3,D在新圆C内 11±0=1，可得a=25(-25舍去)，①错误. W4+a2 邵设椭圆C的右焦点为F',由椭国C。十 设P(0y0,则=1，即6-36=12，浙 124 =1,得F(3,0),由椭圆的定义可得|PF|十 |PF|=2a=8,所以|PM+|PF|=|PM|+8- 近线方程是x士y=0,则1PA=lx0一5ol 2 |PF'|≤8+|MF|=9,当且仅当P是射线MF 与椭圆的交点时取等号.故选C.门 IPBI3x0,IPAI.IPBI3=3 2 4 为常数，②正确；由b=2,所以c=√a2十b2=4,离 心率为e=二=42，，③正确：设△PF,F2 a2√3 O 的内切圆与三边切，点分别为D,E,H,如图， 2.D[由题设知2p=4,p=2,所以焦点F到准线 H 的距离为2，故A错误；由抛物线C的方程知，抛 E FODF 物线焦点在x轴上，故B错误；考虑特殊情形，当 P阳与z曲套直时，得刮丽十Q=名=1， 由圆的切线性质知|F1D|一|F2D|=|F1H|一 故C错误；作PD⊥l,垂足为D,如图， |F2El=|F1P|-|F2P|=2a,所以xD=a,因此 内心I在直线x=a,即直线x=2√3上，④正确； 故选C.] :5.D[若要直线l与两个坐标轴分别交于点M, N,则直线I的斜率存在，故设直线L方程为y= kx十6，代入到描圆方程十y2=1可得(42十 因为|PF|=|PD|,所以|PA+PF|=|PA|+ 1)x2十8kbx十4b2-4=0,根据题意可得△= |PD|≥4十1=5，当且仅当D,P,A三点共线时 64262-4(4k2+1)(42-4)=64k2-1662+16=0, 等号成立，故D正确.故选D.] 所以42十1=b2,根据题意对方程y=kx十b,k卡 66 参考答案与详解 0,b≠0，所以令x=0得y=b,令y=0得x= b k 所以S△oMN=号|OM1·1ON|=21b· |=引1-引出+引 8.ACD[抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线 211+≥1·图=2。 x=一1，过点P作PQ垂直于准线，垂足为Q,过 点M作MN垂直于准线，垂足为N,交抛物线于 当且仅当4= 时取等号，所以△OMN面 点P。,连接MQ,PoF,如图， 积的最小值是2.故选D.] y 6.A[如图，设点P的坐标 为(m,n)(n≤0)，准线y= 4与y轴的交点为A,则 |PF|=|PH|=4-n, |FH=√1AF2+|AHP= √82+m2=√/64-16n=4√4-n,所以△PFH的： IPM+|PFI=|PM+IPQI≥|MQ≥|MN|= 周长为4√4-n+2(4-n).得4√4-n+2(4-n)≥： |PoM+|PoN|=|PoM+|PoF|,当且仅当P与 30(n≤0)，令t=√4-n,则t≥2，有2t2十4t-30≥： P。重合时取等号，因此(|PM|十|PF|)min= 0,即t2十2t-15≥0，解得t≤-5（舍去）或t≥3，： |MN=2,A正确；因为||PM|-|PF||≤ 所以√4-n≥3，由n≤0解得n≤-5.故选A.] |MF|=1,即|PM-|PF|的最大值是1，B不正 确；假设存在直线1，使得A,B两点关于直线x十 7BCD[焦距为26，离心幸为写得a=3b=2, y-5=0对称，则设直线AB:x-y十m=0,由 因为PF2⊥PF1,勾股定理得PF2|=4,PF|=2, (x-y十m=0 消去x得：y2-4y十4m=0,则△= 对于A选项，a=3,所以椭圆的长轴长为2a=6, y2=4.x 故A选项错误；对于B选项，由题意得FF2= 16-16m>0,解得m<1,设A(x1,y1)B(x2, y2),即有y1十y2=4,则有弦AB的中，点(2-m, 25,|OF1|=|OF2|=√5，因为PF2⊥PF1,所 2)在直线上x+y-5=0上，即2-m十2-5=0， PF ON1 以△PF1F2△ONF2,则PF2-1OF2-交' 解得m=一1<1，符合题意，即存在直线l,使得 A,B两点关于直线x十y一5=0对称，C正确；点 故ON=号，Fr=4ON,B选项正：对 D(一1,0)，显然直线（的斜率存在且不为0，设其 于C选项，因为Q在椭圆C上，则|QFImax= 方程为y=(x+1D,由=x+1 y2=4x 消去y得： a十c=3十√5，故C选项正确；对于D选项，设P k2x2+(2k2-4)x+k2=0,△'=4(k2-2)2-4k4 在x轴上的投影为G,则△PF1G∽△F2PG,则 >0,解得-1<k<1且k≠0，设A,B的横坐标分 路-C-子所以G-FG 别为AB,则xA十理=是一2，AF到十BF= 4 |F1G|2+|PG12=|PF112=4,解得|PG|= A十1十B+1=是>4=2DF,所以不存在直 2F1G1=45,则P到x轴的距离为4,5，故D 5 5 线l,使得|AF|十|BF|=2|DF|,D正确.故 选项正确；故选BCD.] 选ACD.] 67 高二数学每日一练·练出好成绩 9.- 2(或-0.5) [由题意A(-2√5,0)，B(25, A在双曲线C上，得号一3 a2 =1解得a2=3, 0),由于双曲线与C2:y2=4x都关于x轴对称， 因此它们的交点C,D关于x轴对称，所以kBD= 双由线C的标格方根为号-号-1： (2)设点M坐标为(x0,yo) -kBC,设C(x0,yo),则 则l1:y-yo=V(x-x0),得p 3xo-yo 0 10,kAC.kBD =-kAc k BC = yo x0+2√5 则OP= 3xo-yo yo 哈 故答案为：-合] 3 同理： 10.12匝65 11 5 [①设点E(x,y)为椭圆上任意一 l2:y-y0=-√3(x-x0),得Q 3x0+y0,0 点，则PE=√x2+(y-1)2=√-11y2-2y十13= 则|OQ √3.x0+y0 √一（叶司+晋因比，当E点的多标为 √5 30-.3x0十0 (+2-引)时，PE取到茶夫位2 则|OP|·|OQ|= 11 5 3x6-y6 ②由题意，设AB直线方程为y=虹十立： 3 A(x1,y1),B(x2,y2)由直线方程与椭圆方程联 又：点M金双商我C上曾-普-1 立得 y=kx+2 ,则(1+12k2)x2+12kx .3.x6-y6=9 x2+12y2=12 则10p1·10Q1=36- 3 ,.得证OP·1OQ 9=0,则x1+x2= -12k -9 1+12k2012-1+1262,设 为定值3. C(xCyC),D(xDyD),由PA与CD的直线方12.解 1)由题意得a=2,后=号，则c=1,则= 4.x1 程联立解得：C=(2+D,,同理解得 √a2-c2=√22-12=√3 D@+i2剥CD1+日lxc-nl= 4x2 则城附C的方花为后+号-1： x2-x1l (2)设过点A作斜率为k(k≠0)的直线L为：y= 25(2+1D2x12-(2k+1)x1+2)+可 k(x+2),D(x2y2),则E(0,2k) 3√5√/16k2+ 23k+1 ,当=-号时，PA∥CD,或 「y=k(x+2) +-o 由 ,整理得(3十4k2).x2十16k2x十 PB∥CD,不符合题意，令3k十1=t,则CD= 3551-16 16k2-12=0, 29t25 十号所以当长=是时，CD 则D (-8k2+612k 6k P -8k2 3+4k2 3十4k2’3+4k2 取得最小值，且最小值为65 3+4k2 ·故答策为： 则koP=4k -3 0l,@ 假设存在定点Q(x00),则km=0一2张 11.解 (1):渐近线为y=3x,则么=3，b= a 剥mw一02处×景=-】恒成 a2 3a21, 则(4x0十6)一3y0=0对任意k(k≠0)恒成立， 68 参考答案与详解 则/3-0 [yo=0 青f(-1)=a-2,里然a-2<a-号，所以a 4 3 解之得 (4.x0+6=0 3.则Q To= 20 2 2=1,所以a=3,故选B.] (3)设过O点作直线l的平行线为y=kx, :3.C[由3[f(x)]2+8f(x)+4=0,可得f(x)= [y=kx 12 -2或f(x)=- 子当0<x≤2时，f0 + 由x2 ,可得x2= =1 3十4k2, ln登尉f)=(h台+以当<君 不妨令M 12 12 、V3+4k2, √3十4k2 时，f(x)<0,函数f(x)单调递减，当兰<x≤2 则OM= 12(1+k2) 时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，所以当0< 3+4k2 又|AD|= 3+2,AE=21+, 12√1+k2 x≤2时，f(x)min= 数f(x)在区间(2n,2n+2](n∈N*)上的图象是 12√1+k2 则AD+AEl_3+42 +2√/1+k2 由f(x)在(2n一2,2n]上的图象先向右平移2个 OM 单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长 12(1+k2) V3+4k2 为原来的2倍得到的，作出函数f(x)在(0,10] 12 上的图象，如图： 3+462+2 2√3 3+4k≥22 4 6 810 12 √3+4k2 W3+4k2 (当且仅当k=±⑤ 2 时等号成立)，则 AD十|AE最小值为22. OM 热考专题二 由图可知，方程f)=-号于)=-2在区间 热考热练 (0,10]上根的个数分别为10,6.故方程3[f(x)]2 1A[将，点1,2)代入南线C:y=sin受x十a2, 十8f(x)十4=0在区间(0,10]上的实根个数为16. 故选C.] 解得a=1,对曲线C1:y=sin受x十ar2求导得：4.A[c= ,9=×-× 2 31g33 y=受0s受x+2x,点(1,2)处的切线1斜率为 设f(x)=sinx- ,x(0,)则有f(x) ,对曲 k1=2,故与1垂直的切线斜率为k=一 cosx-1<0,f(x)单调递减，从而f(x)<f(0) 线C2:y=x3-b.x2+1求导得y=3.x2-2bx,若 0,所以inr<∈(0，战sm<分，即 曲线C2上至多存在一条与L垂直的切线，即3x2- a<c,而b 20x=一号至多一个解，由此可得△=462-6≤0， >=c,故有a<c<b.故 选A.] 解得一≤6≤故选A] !5.B[由题意杯子的底面面积S=16π，则杯中溶 2.B[令f(x)=3.x2-2x=x(3x-2)=0,解得 该上分高定A=_-+日 16π x=0成=，当x(0，)时fx)0,xe ≥0).则方=最2+，当1=4时，M=× (号1)U(-1,0)时)>0又f(号)=a- 16十}×4=4，即当1=48时杯中溶液上升高度 69