假期作业5 一元函数的导数及其应用-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高二数学快乐假期讲练测

高二数学每日一练·练出好成绩 假期作业五 一元函数的导数及其应用 练基础题 知识点三导数在研究函数中的应用 知识点一 导数的概念及其意义 5(多选已知函数f)=号-君-2-x+ 1.y=f(x)的图象如图，下列数值的排序正确： 1,下列说法正确的是 的是 ( A.y=f(x)有两个极值点 B.y=f(x)的极大值点为-1 5 C.y=f(x)的极小值为一9 2 Dy=)的最大值为9 1 o12345元 6.设函数f(x)=lnx一2mx(m为实数)，若 A.0<f(2)<f(3)<f(3)-f(2) f(x)在[1，+∞)上单调递减，则实数m的取 B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f(2) 值范围是 C.0<f'(3)<f(2)<f(3)-f(2) …0练高考题0… D.0<f(3)-f(2)<f'(3)<f(2) :7.(多选)(2023·新课标I卷)已知函数f(x)的 2.已知某容器的高度为20cm,现在向容器内 定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 注入液体，且容器内液体的高度h(单位： cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h= A.f(0)=0 司+，当(=0时，液体上升商度的瞬时 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 变化率为3cm/s,则当t=to+1时，液体上 D.x=0为f(x)的极小值点 升高度的瞬时变化率为 )1 8.(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)= A.5 cm/s B.6 cm/s C.8 cm/s D.10 cm/s alnx+b取得最大值-2，则f(2)( 知识点二 导数的运算 A.-1 c D.1 3.函数y=2sin受cos受的导数是 ）9.(多选)(2022·新高考全国I卷)已知函数 A.y'=2sin x B.y'=2cos x f(x)=x3-x十1，则 C.y'=sin D.y'=cos x A.f(x)有两个极值点 4.已知函数f(x)的导函数为'(x),且满足关： B.f(x)有三个零点 系式f(x)=x2+3xf(2)+e,则f(2)的值： C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 等于 ( D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 A.-8-2e2 B.8-4e2 、 10.（2022·新高考全国Ⅱ卷)曲线y=lnx过 坐标原点的两条切线的方程为 C.-8+2e2 12 第一部分 假期作业五一元函数的导数及其应用 0 练综合题 0 0 经典再现 1l.已知函数f(x)=xeax一ex. 题点 利用导数研究函数的单调性和零点 (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； 例■ 已知函数f(x)=lnx-a(x-2)(a∈ (2)当x>0时，f(x)<一1，求a的取值 R). 范围； (1)试讨论函数f(x)的单调性； (3)设n∈N*,证明： 1 十…十 √/2+1√22+2 (2)若函数f(x)有两个零点X1,X2(x1< 1>1n(n+1). x2）,求证w1+3r2>3 -a十2. √n2+n 解析 （1)由已知，f(x)的定义域为(0， +∞)，f(x)=1 一a ①当a≤0时，Y∈(0，+∞)，f(x)-是 a>0恒成立， .此时f(x)在区间(0，十∞)上单调递增； ②当a>0时，令f(x)=-a=0,解得 当x（o,)时f)-a>0fx)在 区同0，)上单调诞地. 当x日+ 时，f(x)=1-a<0,f(x) 金区阿（日十上单调递减 综上所述，当a≤0时，f(x)在区间(0，十o∞) 上单调递增； 当a>0时，)在区同0，)上单羽递增， 在区间（日十∞上单调递减 (2)若函数f(x)有两个零点X1,X2(x1< x2）, 则由1)知，a>0,f(x)在区间0，日)上单调 递增，在区问日，十∞上单润递减， 13 高二数学每日一练·练出好成绩 且f日>0.fx)=fx)=0.0<< 侣-<-是 ∠x2' =0 a 当x∈(x1,x2)时，f(x)>0,当x∈(0，x1)U (x2,十∞)时，f(x)<0,(￥) 由()知， 2 一x1∈(x1,x2),∴. -x1< f(2)=ln2>0,.2∈(x1,x2),.x2>2, 又g>日2x>+2, 2,即1十2>2 只需证明1十x2>2,即有1十32> 叉x2> x2>2, a 3+2> 1+3x2>3+2>3 -a十2，原命题得证. a -a+2. a .2 下面证明x1十x2> 答案 (1)当a≤0时，f(x)在区间(0，十∞) a 上单调递增； 设Fx)=)-(8-)=lnx-a-2) 当a>0时，)在区间0，)上单调递增。 (是&- 在区间（日十∞）上单调递减. =nx-2ax-1n名-+2a∈(0,23)月 (2)证明见解析 G(x)=F(x）=-2a+2一，则G（x 思维导引门(1)用导数研究函数的零点， a 一方面用导数判断函数的单调性，借助零 4a.x-4 点存在性定理判断；另一方面，也可将零点 x2(2-ax)2 问题转化为函数图象的交点问题，利用数 形结合来解决.对于函数零点个数问题，可 令G(x)=0,解得x= 利用函数的值域或最值，结合函数的单调 当x0,)时.G)<0.G=r在 性、草图确定其中参数范围.从图象的最高 点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象 区间0，)单调递减， 的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走 当ae2时.Gua,G)- 向趋势，分析函数的单调性、周期性等.但 需注意探求与论证之间区别，论证是充要 关系，要充分利用零点存在定理及函数单 调性严格说明函数零点个数. =0,F(x)=f(x) (2)确定零点是否存在或函数有几个零点， (侣-在区间0，)上单洞递培， 作为客观题常转化为图象交点问题，作为 解答题一般不提倡利用图象求解，而是利 用函数单调性及零点赋值理论 14参考答案与详解 因为S99-T99=99, am=10+10(n-1)=10n, 所以99×50d-99X51=99, d 则投资累计枚益An=n10十10m）-5m2+5m: 2 即50d2-d-51=0, 方案三：设每天收益b,则{b}成等比数列， 解得d-最惑d=-1合去： bm=0.4×2”-1, ②当a1=2d时，a,=(n十1Dd,所以b,=n2+n 则投资累计收益B,=0.4X12)=0.4× 1-2 an (2-1)； n2+n =” (n+1)dd, 又Sm-Am=35n-5n2=5n(7-n),当n≤6时， 99(a1+a99)_99(2d+100d2=99×51d, Sm>Am；当n=7时，Sm=Am；当n≥8时， S99= 2 2 S<An 1199 又Bn=0.4×(2”-1)<0.4×2”,当n≤9时， T99 99(b1+b99) 99(ad 99×50 Bn<Sn且Bn<Aw;当n≥11时，Bm>An 2 2 所以投资1一6天时，可以考虑选择方案一； 因为S99-T99=99, 投资7天，可以考虑选择方案一或二； 所以99X51d-99X50=99, d 投资8~10天，可以考虑选择方案二； 即51d2-d-50=0, 投资11天以上，可以考虑选择方案三. 解得d= 贺（合）成日=1合去 假期作业五 等上d-副 1.B[f3)-f(2)=f3）二f②2，由图可知：0< 3-2 10.解 (1)设数列{am}的公差为d,所以， f(3)<f3)f2)<f(2,即0<f(3)< 3-2 (a1+d-2b1=a1+2d-4b1 a1+d-2b1=8b1-(a1+3d) ,即可解得b1= f(3)-f(2)<f(2).故选B.] Q1=号，所以原命题得证， 5 4 (②)由1)知，b1=a1=号，所以以=0n+a19 b1X2-1=a1+(m-1)d+a1,即2-1=2m, 亦即m=2-2∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以： 012345 满足等式的解k=2,3,4,,10,故集合kb=2.C[由h= am十a1,1≤m≤500}中的元素个数为10-2+ 3+,求号得：=+2.当1=0 1=9. 时，h'=t6+2to=3,解得to=1(to=-3)(舍去). 11.解(1)1000×(1+0.1)6+1000×(1+0.1)5 故当t=to十1=2时，液体上升高度的瞬时变化 +·+1000×(1+0.1) 率为22+2×2=8cm/s.故选C.] =100×1.1X018-D=100X1.17-1.1D3.D[因为y=2 sincos2=sinx,所以y=cosx 0.1 =8500 故选D.] 所以在十八岁生日当天时，一次性取出的金额4.A[因为f(x)=x2+3xf(2)十e,则f(x)= 总数为8500元. 2x+3f(2)+e,所以f(2)=2×2+3f(2)+ (2)设投资天数为n,则 e2,解得f(2)=-2- e 所以f(x)=x2 方案一：投资累计收益Sm=40n; 方案二：设每天收益an,则{an}成等差数列，故 (6+)+e.则f2)=2-(6+g)×2+ 51 高二数学每日一练·练出好成绩 e2=-8-2e2.故选A.] 9.AC[由题，f(x)=3.x2-1,令f(x)>0得x> 5AB[函数f)=宁3-2-3x+1的定义城 为R,求导得f(x)=x2-2.x-3=(x十1)(.x 3),由f(x)>0得：x<-1或x>3,由f(x)< 以)在〔-，-写}-停+)上单润运 0得：-1<x<3,因此函数f(x)在（-o∞，-1)， (3,十∞)上单调递增，在（一1,3）上单调递减，于 增，在（怎，）上单羽递减，所以x=士号是极 是函数f(x)在x=-1处取极大值f(-1)= 8 位应.故A正确：因f(-=1+2>0， 在x=3处取极小值f(3)=一8，C错误；函数 f(.x)有两个极值点-1,3，且一1是f(x)的极大 f得}-1-2>0，f(-2)=-5<0,所以，函 值点，A正确，B正确：显然f(6)=号×63-62- 数f(x)在 -0,得上有一个李点，当≥ 3 3X6+1=19>号，D锈误.故选AB.] 时，f)≥f(得)>0，即f)在 6.[3+e）[fx)=-2m,因为画教f) (停+小上无本点.除上所，函煮于)有- lnx一2x在区间[1，十o∞)上单调递减，所以x∈ 个零，点，故B错误；令h(x)=x3一x,该函数的定 [1,十∞)，-2m≤0恒成立，即x∈[1，+)， 义域为R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3十x= 2m≥()n又y=在[1，十)上单调递减. h(x),则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中 心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x) 所以()=1，放2m≥1.即m≥所以m的 的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中 心，故C正确；令f(x)=3x2-1=2,可得x= 取位范周为[合十入故答案为：[合十）门 士1，又f(1)=f(-1)=1,当切点为(1,1)时，切 7.ABC[取x=y=0,则f(0)=0,故A正确；取 线方程为y=2x-1,当切点为（一1,1）时，切线 x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0, 方程为y=2x十3，故D错误.故选AC.] 故B正骑：取x)二一1，则f1)三f一)十10y一y=已x[方法-：化为分段品数，分段求 e f(-1),所以f(-1)=0,取y=-1,则f(-x)= 分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为 f(x)十x2f(一1)，所以f(一x)=f(x),所以函数 (xo,lnxo),求出函数的导函数，即可求出切线 f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)=0,且函数 的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐 f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴 标原点求出x0,即可求出切线方程，当x<0时 对称，所以x=0可能为函数f(x)的极小值点， 同理可得. 也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函： 数f(x)的极值点，故D不正确.综上，选ABC.] 因为y=lnlx, 当x>0时，y=lnx,设切点为(xo,lnxo),由 8.B[因为函数f(x)定义域为(0，十o∞)，所以依 题可知，f(1)=-2,f'(1)=0,而f'(.x)=4- 所以)所以切线方程为 名，所以6=-20-6=0，即a=-2,0=-2,所 In xo=1(-zo). 以f)=-是+是，国此画数)金01上 又切线过坐标原点，所以-ln0=1(一o, 递增，在(1，十∞)上递减，x=1时取最大值，满 解得x0=e,所以切线方程为y-1=1(x一e), 足题意，即有了(2)=-1十=一合故选B.] 1 即y=。 52 参考答案与详解 当x<0时，y=ln(-x),设切点为（x1, 解得x0=e,所以切线方程为y-1=1(x一e), 1-》,由y-,所以y1-所以 切线方程为y-ln(-x1)=1(x一x1), 当x<0时y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1), 又切线过坐标原点，所以一1n(一)=上（一1）， 由y/=子所以=5=子，所以切线方程为 1 解得1=一6，所以切线方程为y一1=。（十 y-1n(-x1)=1(x-1), e0,即y=一：放答案为：y=y=一 t; 又切线过坐标原，点，所以-1n(一-1)=1(-1)， 1 方法二：根据函数的对称性，数形结合 当x>0时，y=lnx,设切点为(xo,lnxo),由 解得1=一c,所以切线方程为)一1=。（x十 y-是所以y儿所以初线方餐为y 1 e),即y=- e In o=1(x-xo). xO 故答案为：y=1 xy= 又切线疏丝标愿点，所以-a0六一1架0①5=1时=-10，则了) 解得。=e,所以切线方程为y一1=上(x一e), xe, e 当x<0时，f(x)<0,当x>0时，f(x)>0, 即y= e ri 故f(x)的减区间为（一∞，0），增区间为(0，十∞)； 因为y=lnx是偶函数，图象为： (2)设h(x)=xear-ex十1，则h(0)=0, 又h'(x)=(1十a.x)eax-ex,设g(x)=(1十a.x) ear-er, 2 则g'(x)=(2a十a2x)ear-ex, 若a>2则g0)=2a-1>0 因为g(x)为连续不间断函数， 故存在x0∈(0，十∞)，使得Hx∈(0，x0),总有 g'(x)>0, 故g(x)在(0,0)为增函数，故g(x)>g(0)=0, 所以求当x<0时的切线，只需找到y= x关 故h(x)在(0，xo)为增函数，故h(x)>h(0)= e 一1，与题设矛盾。 于y轴的对称直线y=一 x即可 e 方法三： 若0<a≤分，则A(x)=1+ax)-c 因为y=lnx, eaz+In(1+ax)e, 当x>0时，y=lnx,设切点为(x0,lnxo),由 下证：对任意x>0,总有ln(1十x)<x成立， y-士所以y4=所以切线方程为y 证明：设S(x)=ln(1十x)-x, 1nx0=1(x-xo), 故sa)=十1=0 又切线过坐标原点，所以-1n0=上（一0)， 故S(x)在(0，十∞)上为减函数，故S(x)< S(0)=0即ln(1+x)<x成立. 53 高二数学每日一练·练出好成绩 由上述不等式有ear+lh(1+ar)一e'<ear+ax一ex=: 样要求，故也可能为分层抽样，但最后两组数据 e2ax-er≤0， 差距为20，与前面9组数据差值30不同，故不可 故h'(x)≤0总成立，即h(x)在(0，十o∞)上为减！ 能为系统抽样，对于②，可能为简单随机抽样，且 函数， , 满足分层抽样和系统抽样要求，故也可能为分层 所以h(x)<h(0)=0. 抽样或者系统抽样，对于③，可能为简单随机抽 当a≤0时，有h'(x)=eax-e+a.xear<1 样，且满足分层抽样特点，但数据之间不是等间 1+0=0, 距，故不可能是系统抽样，对于④，可能为简单随 所以h(x)在(0，十∞)上为减函数， 机抽样，且满足分层抽样特点，也满足系统抽样 所以h(.x)<h(0)=0. 特点，故也可能为分层抽样或系统抽样.故选B.] 1 综上，a≤2 2.ABC[由号2汗子3行解得=0人，所以联 3)取a=安，则y>0,总有e-e+1<0 4 洲抽到60X2+4十3十=24人，非洲抽到60× 成立， 3 1 令t=ex,则t>1,t2=ex,x=2lnt, 2+4十3十=18人，美洲抽到60×2+4十3十=6 人，欧洲球迷比美洲球迷多18人，故选ABC.] 故21n2-1即21n1-}对任意的>13.B[资这10个数搭分别为：1，，，，% 恒成立 4,x9=5,x10=6,根据题意，1十x2十…十x1 7 所以对任意的n∈N*,有2ln, n十1 n+1 5→x1+x2十…+x7=35, n （1-5)2+(x2-5)2+…十(x1-5)2=2→(x Wn+1' 7 1 5)2+(x2-5)2+…+(x7-5)2-14,所以x= 整理得到：ln(n十l)-lnn< √n2+n x1十x2十…十x10=35十4+5+6=5， 1十…十 10 10 故1一十 1>1n2-ln1+ √12+122+2 √n2+n 2=（1-5)2+(x2-5)2+.+(x10-5)2 10 In 3-In 2+..+In(n+1)-In n=In(n+1), 故不等式成立， 14+(4-5)2+(5-5)2++(6-5)2=16.故 10 假期作业六 选B.] :4.B[对于A,从图中数据变化看，PMI值不低于 1.B[若采用简单随机抽样，根据简单随机抽样的 50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低 特点，1~300之间任意一个号码都有可能出现；： 若采用分层抽样，则1~120号为一年级，121~！ 于50%的频率为是-了，故A错误：对于B,由周 210为二年级，211~300为三年级.且根据分层 可以看出PMI值不低于50%的月份有4个且超 抽样的概念，需要在1~120之间抽取10×120 过不多，PMI值低于50%的月份有8个，其中2 300 月份数据为49.2%，低得比较多，所以PMI值的 1个121~210与211~300之间各抽取10×0 `、 平均值低于50%，故B正确；对于C,12个月的 3001 =3个；若采用系统抽样，根据系统抽样的概念，！ PMI值的众数为49.4%，故C错误；对于D,12 需要在1~30,31~60,61~90,91~120,121~ 个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误.故 150,151~180,181~210,211~240,241~270, 选B.] 271~300之间各抽一个，且抽取完第一个之后，5.ABD[对于A,这组数据的平均数为1+3+牛7+10+卫 6 后面的均应按照相等的距离或间隔抽取样本单！ 位.对于①，可能为简单随机抽样，且满足分层抽： 6故A正确：对于B,这组数据的中位数为4十？= 2 054