假期作业4 数列-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高二数学快乐假期讲练测

第一部分 假期作业四 数列 假期作业四 数列 …0练基础题0… 知识点三 等比数列 5.已知数列5,77，，(2n十7)(m为奇数， 1 知识点一 数列的概念 n∈N+),其中奇数项为等差数列，偶数项为 1.在数列{an}中，a1= 40+1=12 an十1，则 等比数列，则该数列偶数项的和为() a2023= ( A.1-2 B.1-2- A.-4 B.- 3 C.1-2-n-1 D.1-2-n+1 , 6.设{an}是等比数列，且a1<a2<a4,下列正 c 确结论的个数为 ( 2.（多选)下列说法正确的是 ①数列{an}具有单调性；②数列{an}有最小 A.任何数列都有通项公式 值为a1;③前n项和S,有最小值；④前n项 B.数列的通项公式形式可能不唯一 和Sm有最大值 C.数列1,3,7,15,31，…的一个通项公式为 A.0 B.1 an=2m-1 C.2 D.3 D.在数列(an}中，a1=1,an=1+-1)” 练高考题0… an-1 7.(2023·新课标Ⅱ卷)记S,m为等比数列{an} a≥2)则a,-号 的前n项和，若S4=一5，S6=21S2,则Sg= 知识点二 等差数列 3.已知等差数列{am}满足a4十a7=0,a5十ag= A.120 B.85 一4，则下列命题：①{an}是递减数列；②使 1 C.-85 D.-120 Sm>0成立的n的最大值是9；③当n=5时， 8.(2023·全国甲卷·文)记Sm为等差数列 Sm取得最大值；④a6=0,其中正确的是（ {an}的前n项和.若a2十a6=10,a4a8=45, A.①② B.①③ 则S5= A.25 B.22 C.①④ D.①②③ C.20 D.15 4.如图所示按照下图所示规律可以得到一系 9.(2023·新课标I卷)设等差数列{an}的公 列图形，将第n个图中的点的个数记为an, 则an= .(答案用n表示) 差为d,且d>1.令b,=n2+,记Sn,Tn分 an ●● 别为数列{an},bn}的前n项和. ●● ●●● ●●●● (1)若3a2=3a1十a3,S3十T3=21,求{am}的 ●●●●● 5 通项公式； 高二数学每日一练·练出好成绩 (2)若{bn}为等差数列，且S99一Tg9=99, 练综合题 求d. 11.教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定 银行开户、存入规定数额资金、用于教育目 的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非 义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存 款亨受免征利息税的政策.若你的父母在 你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账 户存入1000元，并且每年在你生日当天存 入1000元，连续存6年，在你十八岁生日 当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年 利率为10%. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的 10.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知{am}为等差 金额总数为多少？（参考数据：1.17≈1.95） 数列，{bm}是公比为2的等比数列，且a2 (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动 b2=a3-b3=b4-a4. 资金，你可以用你的这笔资金做理财投资， (1)证明：a1=b1； 如果现在有三种投资理财的方案： (2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中 ①方案一：每天回报40元； 元素个数 ②方案二：第一天回报10元，以后每天比 前一天多回报10元： ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的 回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由， 10 第一部分 假期作业四 数列 0 经典再现o… an 题点等差数列通项公式及求和 例■记Sn为数列{am}的前n项和，已知 al a2 an =1…{}是公老为号的等差数列 2-)+侵)+…日】 (1)求{an}的通项公式： -1-nj小2 (2)证明：+1+十1<2. al a2 an 答案(1)a,=nn+1D (2)见解析 解析(1)a1=1,S1=a1=1,S4=1, 汇思维导引] 1. 等差（比）数列的通项公式及前n项和公 又：{}是公差为3的等差数列， a, 式，共涉及五个量a1,an,d(q),n,Sm,知 &Sm=1+3（(n-1D=n十2 其中三个就能求另外两个，体现了用方 an 31 程的思想解决问题. ∴.Sm= (n+2)an 3 2.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 当m≥2时，S。-1=0+1)0,1 差求和，正负相消剩下首尾若干项. 3 (1)常用裂项公式： aw=S。-S。-1=（n+2aun+1Da1 ① 1 3 3 =11 (n+1)nn+1 整理得：(n一1)an=(n十1)am-1, 1 11 1 即am=n十1 ②2m-1)(2m+D-2(2m-12m+1 an-1 n-1' ③ =√n+1-√n an=a1Xa2XaX…X0-lXm √n+√n+1 al a2 an-2 an-1 裂项后可以产生连续相互抵消的项. =1x×2×”2×-》 2 (2)抵消后并不一定只剩下第一项和最 显然对于n=1也成立， 后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩 六{a}的通项公式a,=nn,+1D, 两项。 2 11参考答案与详解 解法二由题意得A1(一2,0)，A2(2,0). 吕解得力=4， 设M(x1,y),N(x2,y2),直线MN的方程为 x=my-4, 所以抛物线C的方程为y2=8x. 利器1即af-疗=16 (2)设A(x1y1),B(x2y2), 因为Q(4,2)是线段AB的中点，所以y1十 如图，连接MA2, y2=4, 1y1=8.x1 ,则(y2-y1)(y2十y1)=8(x2-x1), y2=8x2 所以立线A8的件米一治-器-。 8一2 4 所以直线l的方程为2x一y一6=0，设直线1与 4-16=4①. x轴交于点M,则M(3,0), x7-4 荒1.等r产-64a2 联立/2xy-6=0 ,得y2-4y-24=0,所以 y2=8.x y2=16, y1十y2=4,y1y2=-24, 4(x-2)2+16(x-2)+16-y2=16,4(x-2)2+ 所以|y1-2|=√(y+y2)2-4y1y2=4√7， 16(x-2)-y2=0. S△ABF= ×MX1%n1=×1X47 由x=my-4,得x-2=my-6,my-(x-2)=6, 27 6[my-（x-2)]=1.4(x-2)2+16(x-2)· 假期作业四 日my--20]-=0,4x-22+号(x 1.A[当n=1时，a2=1-2 3 2my-8x-22-y2=0 a1+1=-5 当n=2时，a3=1-2 两边同时除以x一2，得号+8·产 a2+1=~4; 3x-2 当n=3时，a4=1-2，=5 (2)=0 a3十139 1 即(”2-产2=0 当n=4时，a5-1-2 a4十14=a1; 22 当-5时ag-1a异-景-4g 所以数列{am}是一个周期为4的周期数列， 由根与系数的关系得，·，=一号 ②. 则a2023=a505×4+3=a3=一4 故选A.] 由①②可得kMA,=一3kNA,· :2.BCD[不是每个数列都有通项公式的，例如，π lMA,y=kMA,(x+2)=-3kNA,(x+2),lNA. 精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值所构成的 :y=kNA,(x-2). 数列3,3.1,3.14,3.142，…，就没有通项公式，故 y=-3kA,(x+2) 选项A错误；数列通项公式的形式可能不唯一， 由 ,解得x=一1 (y=kNA,(x-2) 例如数列一1,1，一1,1，…的通项公式可以写成 所以点P在定直线x=一1. an=（一1)”，也可以写出an=cosnπ，故选项B 正确；观察发现数列1,3,7,15,31，…的每一项都 1.解1)由定义知PF=p+号-名+号 加1得到2,4,8,16,32，…，其通项公式为bm= 49 高二数学每日一练·练出好成绩 2”,所以原数列的通项公式为an=2”一1，故选项 a1(1-g) =-5 C正确；因为a1=1,an=1十一1)”(m≥2)，所以 1-9 易知q≠1，则 ,化简 an-1 a1(1-q) =21×011-92 a2=1+2=2,a3=1+-1)3= 1-9 1-9 a2 2,a4=1+ g2=4 =3ag=1十-号故楼项D正确 整理得 a4=1:所以S8=11-g）=1× 1-93 a3 1-q3 故选BCD.] (1-44)=-85.故选C.] 3.D[设等差数列{an}的公差为d,故8.C[由a2十a6=10,可得2a4=10,所以a4=5, (a4+a7=2a1+9d=0 解得：1=9 由于 又a4a8=45,所以ag=9.设等差数列{am}的公 (a5+a8=2a1+11d=-4 ld=-2 差为d,则d=a8二44=9一5=1，又44=5，所以 d<0,故{am}是递减数列，①正确；Sm=9n十 8-44 nn-1×(-2)=10n-n2,令Sn=10n-n2> a1=2,所以5=50+54×d=20,故选C.] 2 0,解得：0<n<10,且n∈N*,故使5，>0成立9.解（1)因为3a2=3a1十a3,所以3(a2-a1)= 的n的最大值是9，②正确；am=9十(n-1)X a1+2d, (-2)=-2n+11,当1≤n≤5时，am>0,当n≥ 所以3d=a1+2d,所以a1=d, 6时，am<0,故当n=5时，Sm取得最大值，③正 所以an=nd. 确；a6=-2×6十11=一1，④错误.故选D] 因为b,=n2+n,所以=2十n=n十1， an nd d, 4.1+nn[由图形可得，a1=1,a2=1+2,a3 2 所以S3 3(a1+a3)_3(d+3d=6d,T3=b1+ 2 2 1+2+3,… 所以am=1+2+3十…十n=1+n)n 2 因为S3十T3=21, 故答案为：1+n)n] 2 所以6d+号-21，解得d=3或d=合 5.C[由题意知2n十7为该数列的第2n十3项，故 因为d>1,所以d=3. 偶数项的项教为22=十1，偶数项为等比数 所以{am}的通项公式为an=3n; 2 列，则该数列偶数项的和为号十 (2因为b,=n2十”，且b,}为等差数列， 2 十…十2+ 4 an ]1-2c1 所以2b2=b1十b3,即2X6=2+12 a2 al a3 1- 所以6-1=6 a1+da1a1+2a:所以af-3a1d+ 6.A[由a1<a2<a4,有a1<a1q<a1g3.当a1>0 2d2=0, 时，有1<g<g3,解得q>1,此时数列{an}是每一 解得a1=d或a1=2d. 项都是正数的单调递增数列，所以其前n项和S, ①当a1=d时，an=d,所以b,=心+n=2+ an nd 没有最大值，故④不正确；当a1<0时，有1>q> n十1 g3,解得0<q<1或q<-1.当q<-1时，数列 {am}是摆动数列，不具有单调性，故可知①、②不 S99 99(a1+a99)99(d+99d) 正确.当a1<0,0<q<1时，am<0,故前n项和 2 2 =99×50d, Sn无最小值，故可知③不正确.故选A.] 100 99(b1+b9g) 99×51 7.C[设等比数列{an}的公比为q(g≠0)，由题意 2 d 0 50 参考答案与详解 因为S99-T99=99, am=10+10(n-1)=10n, 所以99×50d-99X51=99, d 则投资累计枚益An=n10十10m）-5m2+5m: 2 即50d2-d-51=0, 方案三：设每天收益b,则{b}成等比数列， 解得d-最惑d=-1合去： bm=0.4×2”-1, ②当a1=2d时，a,=(n十1Dd,所以b,=n2+n 则投资累计收益B,=0.4X12)=0.4× 1-2 an (2-1)； n2+n =” (n+1)dd, 又Sm-Am=35n-5n2=5n(7-n),当n≤6时， 99(a1+a99)_99(2d+100d2=99×51d, Sm>Am；当n=7时，Sm=Am；当n≥8时， S99= 2 2 S<An 1199 又Bn=0.4×(2”-1)<0.4×2”,当n≤9时， T99 99(b1+b99) 99(ad 99×50 Bn<Sn且Bn<Aw;当n≥11时，Bm>An 2 2 所以投资1一6天时，可以考虑选择方案一； 因为S99-T99=99, 投资7天，可以考虑选择方案一或二； 所以99X51d-99X50=99, d 投资8~10天，可以考虑选择方案二； 即51d2-d-50=0, 投资11天以上，可以考虑选择方案三. 解得d= 贺（合）成日=1合去 假期作业五 等上d-副 1.B[f3)-f(2)=f3）二f②2，由图可知：0< 3-2 10.解 (1)设数列{am}的公差为d,所以， f(3)<f3)f2)<f(2,即0<f(3)< 3-2 (a1+d-2b1=a1+2d-4b1 a1+d-2b1=8b1-(a1+3d) ,即可解得b1= f(3)-f(2)<f(2).故选B.] Q1=号，所以原命题得证， 5 4 (②)由1)知，b1=a1=号，所以以=0n+a19 b1X2-1=a1+(m-1)d+a1,即2-1=2m, 亦即m=2-2∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以： 012345 满足等式的解k=2,3,4,,10,故集合kb=2.C[由h= am十a1,1≤m≤500}中的元素个数为10-2+ 3+,求号得：=+2.当1=0 1=9. 时，h'=t6+2to=3,解得to=1(to=-3)(舍去). 11.解(1)1000×(1+0.1)6+1000×(1+0.1)5 故当t=to十1=2时，液体上升高度的瞬时变化 +·+1000×(1+0.1) 率为22+2×2=8cm/s.故选C.] =100×1.1X018-D=100X1.17-1.1D3.D[因为y=2 sincos2=sinx,所以y=cosx 0.1 =8500 故选D.] 所以在十八岁生日当天时，一次性取出的金额4.A[因为f(x)=x2+3xf(2)十e,则f(x)= 总数为8500元. 2x+3f(2)+e,所以f(2)=2×2+3f(2)+ (2)设投资天数为n,则 e2,解得f(2)=-2- e 所以f(x)=x2 方案一：投资累计收益Sm=40n; 方案二：设每天收益an,则{an}成等差数列，故 (6+)+e.则f2)=2-(6+g)×2+ 51