假期作业3 圆锥曲线的方程-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高二数学快乐假期讲练测

高二数学每日一练·练出好成绩 假期作业三 圆锥曲线的方程 …0练基础题0… ! 已知双前线 -x2=1的上、下焦点分别为 知识点一 椭圆 F1,F2,点M(1,一2)，则该双曲线的渐近线 1.P是稀圆+苦-1上的一点，F是精圆的 方程为 ;|MF1|-|MF2= 左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF 的中点，且1OM1=是，则PF= 知识点三 抛物线 :6.已知抛物线C:y2=8x,其焦点为F,P是抛 A是 B.2 c. u号 物线C上的动点，若点M(4,2),点Q在以 2.直线x一2v+20经过椭圆 FM为直径的圆上，则|PF|+|PQ|的最小 =1(a 值为 ( b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点，交y A.5-√2B.5+√2C.8 D.9 轴于M点，若FM=3AM,则该椭圆的离心 率为 7,如图是抛物线形拱桥，当水面在1时，水面宽 A.7+5 B.7-5 4m,水面下降2m后，水面宽8m,则桥拱顶 8 4 点O离水面1的距离为 C.7-5 D.17+5 2 9 知识点二 双曲线 -y2 8已知双曲线C:之 62 =1(a>0,b>0)的右 顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2 …0练高考题0… 为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交 点为M,且|MF1|=2MA|,则该双曲线的 8,(2023·全国甲卷·理)已知双曲线C: 离心率为 =1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条 A. B.√2 C.2 D.5+1 渐近线与圆(x一2)2十(y一3)2=1交于A,B 4.(多选)已知E,F,是双曲线： 2 b2 1 两点，则|AB= () (a>0,b>0)的左、右焦点，过F1作倾斜角 A 5 B.2 5 C.36 D.4⑤ 5 5 为否的直线分别交y轴、双曲线右支于点 M、点P,且|MP|=MF1,下列判断正确 8.202·盖高者全国卷吧知椭圆C4争 的是 y2 6 =1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点 A.∠FPP=S B.E的离心率等于23 为F1,F2,腐心率为过F1且垂直于AF2 C.双曲线渐近线的方程为y=士√2， 的直线与C交于D,E两点，|DE|=6,则 D.△PF1F2的内切圆圆心在直线x=a上 △ADE的周长是 6 第一部分 假期作业三 圆锥曲线的方程 10.(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心 练综合题 为坐标原点，左焦点为（一2√5,0），离心率 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 为5. (1)求C的方程； r,点P(合j在抛物线C上，且Pr=号 (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点 (1)求抛物线C的方程； (一4,0)的直线与C的左支交于M,N两 (2)过点Q(4,2)的直线1与抛物线交于A 点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于 B两点，且点Q是线段AB的中点，求 点P,证明：点P在定直线上. △ABF的面积. 高二数学每日一练·练出好成绩 4k2-12k2-1 0 经典再现 0 所以直线MN的斜率为 4k2+1 2k2+1 题点 圆锥曲线中的定点问题 4k 4k 例■ 已知桶周C+ 4k2+12k2+1 =1(a>b>0)有两 1 2k' 个顶点在直线1：x+√2y-√2b=0上，C的中 因此直线MN方程为y- 2k2-1 心到1的距离为 2k2+1 (1)求C的方程； 2k2+1 (2)设11、l2是经过C下顶点的两条直线，l1 与C相交于点M,l2与圆x2+y2=1相交于 化简得y=一 2E+1,于是直线MN经过定 点N,若l1的斜率不等于0，l2斜率等于I1 点(0,1) 斜率的2倍，证明：直线MN经过定点。 解析(1)解：由题设1经过点(a,0),(0,b), 答案 2+y2-1 (1) (2)证明见解析 可得a=√2b, -√2b 汇思维导引们处理定点问题的思路 可得b=1或b=-1(舍 3 √12+（√2）2 (1)确定题目中的核心变量（不失一般性， 去)，从而a=√2 设为k) 因此C的方程为号+y2=1y (2)利用条件找到与过定点的曲线F(x, y)=0的联系，得到有关k与x,y的等式. (2)证明：设1、l2的斜率分别为k、2k,(k≠ 0),由(1)可知B(0,-1), (3)所谓定点，是指存在一个特殊的点(x0, 可得l1:y=k.x-1,l2:y=2kx-1. yo),使得无论的值如何变化，等式恒成 降义=x-1代入之十21可得 立，此时要将关于k与x,y的等式进行变 形，直至易于找到x0,yo.常见的变形方向 (x-1)2=1,解得xM= 2水2或xM=0 如下： (舍去)， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的 所以yM=kxM一1= 4R2 2k2+1 1= 2k2-1 2k2+1 ,所 项归在一组，变形为“k·( )”的形式， 4k2k2-1) 从而xo,y0只需要先让括号内的部分为零 以M 2k2+12k2+1 即可； 将y=2kx-1代入x2十y2=1可得x2十 2k一1P=1,解得xN=成N=0 ②若等式为含的分式，x0,y0的取值 方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分 (舍去)， 母的取值无关；或者考虑让分子分母消去 8k2 所以yN=2kxN-1= ，-1=4k2-1 4k2+1 4k2+1 的式子变成常数（这两方面本质上可以通 过分离常数进行相互转化，但通常选择容 所以N 器》 4k 易观察到的形式) 8高二数学每日一练·练出好成绩 11.解(1)因为直线1过点P(-1,2),所以设直线： 故F(-2,0),M(0,1),则FM=(2,1), 为y-2=k(x+1),k≠0， 设A(x0,0),则AM=(-x0,1-yo), 令y=0,得=-是-1，所以A-是-10) 令x=0,得y=k十2，所以B(0,k十2)， 又因为△OAB为等腰直角三角形，所以|OA|= M OB, 丹-名-1=k+2, 解k=土1或k=一2， 当k=一2时直线过原点，不满足题意， 而FM=3AM,则 12=3(-x0) 故直线L的方程为y一2=(x十1)或y {1=3(1-yo) 2=-(x+1), 2 x0= 3 即x-y十3=0或x十y-1=0; 解得 2 别A(-台) (2)由题意可知直线1的方程为x一y十3=0，即： 0= A(-3,0), 1" 点A又在椭圆上，左焦点F(一2,0)，右焦点 为x2+y2+Dx+Ey+F=0 F(2,0), E2-4F>0), 将O(0,0),A(-3,0),P(-1,2)代入 由2a=AF1+Ar=(号+2+（号）+ F=0 D=3 得9-3D+F=0 ,解得E=-1, 台-2+-6+ 1+4-D+2E+F=0 F=0 则a=5+,精国的离心率e= 2 所以所求圆的方程为x2十y2+3.x一y=0. a√5+17 3 假期作业三 1.C[设F1为椭圆的右焦点，连接PF1, 7-5故选C.] 2 因为M是线段PF的中点，O为FF1的中，点，所3.C[设双曲线C的半焦距为c,直线OM的方程 以OM/PF,OM=PE, 为y=合，有an∠M0A=合如图 因为OM=是，所以PF=, 因为精国标这方衣为号+号-1，片以4=2。 又由椭圆的定义，有|PF|十|PF1|=2a=4,所以 1Prl-号故达C.] 即有sm∠M0A=名cos∠M0A.而P∠MOA十 cos2∠MOA=1,解得cos∠MOA= √a2+b2 2.C[对直线x-2y十2=0，令y=0,解得x= ,在△MOA中，由余弦定理得：|MA|= c -2,令x=0,解得y=1, √TOM2+IOA2-2 OMIOAI cos∠MOA= 46 参考答案与详解 +a2-2a·g=6,因光MA12+1OA2=6.A[由题得点F的坐标为(2,0，因为2生=3， |OM|2,即有∠OAM=90°，而MF=2|MA|, 0+2=1,FM=√4-2)2+(2-0)2=22，所 2 则∠MF1A=30°，又|OM=|OF1=c,于是 ∠MOA=2∠MF1A=60°，所以双曲线的离心率 以圆H的圆心为H(3,1),半径r=√2.因为点P OM 1 1 在抛物线C:y2=8.x上，且抛物线的准线为x= e= a OA cos∠MOA=cos60=2.故 一2，所以PF等于点P到准线的距离.过，点P 选C.] 作准线的垂线，垂足为R.要使|PF|十PQ取到 4.ACD[如图， 最小值，即|PR|+|PQ最小，当R,P,Q三点共 线，且三点连线所在直线RQ过圆心H时， D |PR|+|PQ最小.如图，此时(|PR|+|PQ)mim D M =|HR|-r=3+2-√2=5-√2.故选A. 因为M,O分别是PF1,F1F2的中点，所以在 △PF1F2中，PF2∥MO,所以PF2⊥x轴，A选 项中，因为直线PF的领斜角为若，所以 ∠FPF2=苓，故A正确：B选项中，Rt△PFF27. 3 [如图，建立直角坐标系，直线1交抛物线于 中，F=2Pal=2cPF= A,B两点， 3C, 所以P-PF=2a=2。得e= a √5，故B不正确；C选项中，由c2=a2+b2,即 c2=3a2,即a2+b2=3a2,即么=2，所以双曲线 抛物线方程为x2=-2y,（p>0), 设A(一2，m),水面下降2m后，水面宽8m,对 的渐近线方程为：=士名：=士，放C正确： 应的坐标为（一4，m一2）， D选项中，设△PF1F2内切圆圆心为I,内切圆 则/4=-2pm 力=3 与PF1,F1F2,PF2分别切于点D,E,F,且 16=-2p(m-2 、,解得 2,故拱桥顶 3 IPDI=IPFI,IFDI=FEL,IF2EI=IF2Fl, 点0高水面1的距离为号故答案为：号] 2 IF1E|-|F2E|=|F1D|-|F2F|=|PF1- |PF2|=2a,则E为双曲线的右顶点，所以D正 8.D 确.故选ACD.] [根据双曲线的离心率e=5=名，得c 5.y=士√2x22[由题知，双曲线的焦点在 V5a,即c2=5a2,即a2+b2=5a2,所以b2=4a2, y轴上，b2=1,a2=2c2=b2十a2=3 4,所以双曲线的渐近线方程为y=土2x,易知渐 所以，其上、下焦点分别为F(0,√3)，F2(0,一3)， 近线y=2x与圆相交.则圆心(2,3)到渐近线 所以，该双曲线的渐近线方程为y=土√2x, 2×2-31 因为点M(1,一2)在双曲线的下支上， y=2x的距离d= √22+(-1)2 9片以1AB到 所以，MF1|-|MF2|=2a=2√2. 21-d=2 故答案为：y=土√2x;2√2] 45,故选D.] 47 高二数学每日一练·练出好成绩 9.13 [:椭圆的离心率为e=C= 2a=2c, 所以双南线C的方程为片若-1： 六=a2-c2=32,∴摘圆的方程为 2+3c2=1, (2)解法一设M(x1,y1),N(x2,y2),直线 即3.x2十4y2-12c2=0,不妨设左焦点为F1,右 MN的方程为x=my一4， 焦点为F2,如图， 则x1=my1一4，x2=my2-4. 「x=my-4 联立得z221,得(4m2-1)y2-32my十 (416=1 48=0. 因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两 点，所以4m2-1≠0，且△>0. 32m y1十y2= 4m2- 由根与系数的关系得 ,所以 AF2=a,OF2=c,a 2c,.LAF20= 48 3 y1y2= 4m2-1 △AF1F2为正三角形，，过F1且垂直于AF2 的直线与C交于D,E两点，DE为线段AF2的 y1+y2= 2 3y1y2. 垂直平分线，直线DE的斜奉为斜率斜数 因为A1,A2分别为双曲线C的左、右顶点， 为√5，直线DE的方程：x=√y一(，代入椭圆方 所以A1(-2,0),A2(2,0). 程3.x2十4y2-122=0,整理化简得到：13y2- 6√3cy-9c2=0, 直线的方指为十产2直线M的方 判别式4=(6√3c)2+4×13×9c2=62× 程为2 y x2-2x-2' 16×c2, 1DE=+-%=2X y1 y =2× 所以1十2 x十2 （x2-2)y1=x-2 y2 y 2.得x1+2)y2x十2” 6X4X6=6, x2-2 x-2 c-号得a=x-1只 (my2-6)y1_m1y2-6y1=x-2 （my1-2)y2 my1y2-2y2x+21 ,DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性， 因为my12一6y AD=DF2,AE=EF2,.△ADE的周长等于 my1y2-2y2 △F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE my1y2-6(y1+y2)+6y2 周长为|DF2|+|EF2|+|DE=|DF2|+|EF2|: my1y2-2y2 +DF+EF=IDF+IDF2+EF+ 2m EF2=2a十2a=4a=13.故答案为：13.] my12-6·gy1y2+6y2 myiy2-2y2 0解)设双曲线C的方程为-岁 =1(a> -3my1y2+6y2 0,b>0),c为双曲线C的半焦距， my1y2-2y2 [c=2W5 =-3, 「c=2W5 由题意可得 C=5 ,解得a=2 所以文一2 x+2 =-3,解得x=-1, c2=a2+b2 b=4 所以点P在定直线x=一1上. 48 参考答案与详解 解法二由题意得A1(一2,0)，A2(2,0). 吕解得力=4， 设M(x1,y),N(x2,y2),直线MN的方程为 x=my-4, 所以抛物线C的方程为y2=8x. 利器1即af-疗=16 (2)设A(x1y1),B(x2y2), 因为Q(4,2)是线段AB的中点，所以y1十 如图，连接MA2, y2=4, 1y1=8.x1 ,则(y2-y1)(y2十y1)=8(x2-x1), y2=8x2 所以立线A8的件米一治-器-。 8一2 4 所以直线l的方程为2x一y一6=0，设直线1与 4-16=4①. x轴交于点M,则M(3,0), x7-4 荒1.等r产-64a2 联立/2xy-6=0 ,得y2-4y-24=0,所以 y2=8.x y2=16, y1十y2=4,y1y2=-24, 4(x-2)2+16(x-2)+16-y2=16,4(x-2)2+ 所以|y1-2|=√(y+y2)2-4y1y2=4√7， 16(x-2)-y2=0. S△ABF= ×MX1%n1=×1X47 由x=my-4,得x-2=my-6,my-(x-2)=6, 27 6[my-（x-2)]=1.4(x-2)2+16(x-2)· 假期作业四 日my--20]-=0,4x-22+号(x 1.A[当n=1时，a2=1-2 3 2my-8x-22-y2=0 a1+1=-5 当n=2时，a3=1-2 两边同时除以x一2，得号+8·产 a2+1=~4; 3x-2 当n=3时，a4=1-2，=5 (2)=0 a3十139 1 即(”2-产2=0 当n=4时，a5-1-2 a4十14=a1; 22 当-5时ag-1a异-景-4g 所以数列{am}是一个周期为4的周期数列， 由根与系数的关系得，·，=一号 ②. 则a2023=a505×4+3=a3=一4 故选A.] 由①②可得kMA,=一3kNA,· :2.BCD[不是每个数列都有通项公式的，例如，π lMA,y=kMA,(x+2)=-3kNA,(x+2),lNA. 精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值所构成的 :y=kNA,(x-2). 数列3,3.1,3.14,3.142，…，就没有通项公式，故 y=-3kA,(x+2) 选项A错误；数列通项公式的形式可能不唯一， 由 ,解得x=一1 (y=kNA,(x-2) 例如数列一1,1，一1,1，…的通项公式可以写成 所以点P在定直线x=一1. an=（一1)”，也可以写出an=cosnπ，故选项B 正确；观察发现数列1,3,7,15,31，…的每一项都 1.解1)由定义知PF=p+号-名+号 加1得到2,4,8,16,32，…，其通项公式为bm= 49