假期作业2 直线和圆的方程-【创新大课堂·暑假作业】2025-2026学年高二数学快乐假期讲练测

高二数学每日一练·练出好成绩 假期作业二直线和圆的方程 …0练基础题0… 知识点三直线与圆、圆与圆的位置关系 5.（多选)已知直线l1:2x一y-3=0,l2:x-2y十 知识点一直线的方程 3=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=2,若圆C与 1.已知直线n:5x十y十2=0，点A(1,0)关于直 直线1,2都相切，则下列选项一定正确的 线x十y十3=0的对称点为B,直线m经过 是 点B,且m∥n,则直线m的方程为( A.l1与l2关于直线y=x对称 A.5x+y+19=0 B.若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为 B.x-5y-17=0 3或9 C.5.x+y-5=0 C.圆C的圆心在直线x十y一6=0或直线 D.5.x+y+10=0 x-y=0上 2.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k十 D.与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个 1)x十y十=0(k∈R),则下列结论错误 6.动直线1：mx-y=1被圆C:x2十y2-2x-8=0 的是 ) 截得的最短弦长的值为 ,此时实数 A.存在，使得2的倾斜角为号 B.对任意的k,l1与l2都有公共点 …0 练高考题0… C.对任意的k,l1与l2都不重合 7.(2023·新课标I卷)过点(0，一2)与圆x2+ D.对任意的k,l1与2都不垂直 y2一4x一1=0相切的两条直线的夹角为a, 知识点二圆的方程 则sina= ( 3.已知圆C:x2+(y-3)2=9,过原点O作圆C的 弦OP,则OP的中点Q的轨迹方程为( ) A.1 B.5 4 C.10 4 D⑥ 4 号≠0) 8.(2023·全国乙卷·文)已知实数x,y满足 x2+y2-4x一2y-4=0,则x-y的最大值 B-2+= 是 ( A.1+3 2 B.4 C.1+3√2 D.72 9.(2023·新课标Ⅱ卷)己知直线x一my十 4.已知圆O1:(x-2)2+(y-1)2=9和直线1： 1=0与⊙C:(x-1)2十y2=4交于A,B两 x-y=0.若圆O2与圆O1关于直线1对称， 则圆O2的方程为 点，写出满足“△ABC面积为多”的m的一 A.(x+1)2+(y+2)2=9 个值 B.(x-1)2+(y-2)2=9 10.(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)， C.(x+2)2+(y+1)2=9 (一1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程 D.(x-1)2+(y十2)2=9 为 第一部分假期作业二 直线和圆的方程 即圆C的方程为x2十y2-4x-6y+4=0, …0 练综合题o… ∴.圆C的标准方程为(x一2)2十(y 11.已知直线1过点P(-1,2),且1与x,y轴 3)2=9; 分别交于点A,B,△OAB为等腰直角三 角形 (2)解：由(1)得圆C的圆心C(2,3),半径r (1)求1的方程； 3, (2)设O为坐标原点，点A在x轴负半轴， 设圆C的圆心坐标为C(xo,yo),:圆C与 求过O,A,P三点的圆的一般方程」 圆C关于直线x十2y一2=0对称， fy0-3 x0-2 2 则有 0十2 2 +2x0+3 2 -2=0 x0= 25 解得 9 y0= 5 国C的标准方装为+号- 答案 (1)(x-2)2+(y-3)2=9: 2fe+++)-9 汇思维导引们求圆的方程时，应根据条件 选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方 …0 经典再现o… 程有两种方法： 题点求圆的方程 (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆 例■已知圆C的圆心在直线y=一x十5上， 的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的 且圆C过点(2,6)，(5,3). 三个性质： (1)求圆C的标准方程； ①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)若圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对 ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切 称，求圆C的标准方程。 或外切时，切点与两圆圆心三点共线， 解析(1)设圆C的方程为x2十y2十Dx十 (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数 Ey+F=0, 已知圆C的圆心在直线y=一x十5上，且圆 法求解.大致步骤为： C过点(2,6)，(5,3)， ①根据题意，选择标准方程或一般方程； 40+2D+6E+F=0 ②根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的 D=-4 则 34+5D+3E+F=0,解得 E=一6， 方程组；③解出a、b、r或D、E、F代入标准 F=4 方程或一般方程，高二数学每日 故存在，点M,使得平面PAC和平面MDE夹角 的余弦值为 7 ,此时M为PC中点. 假期作业二 2安+合+80 1.A[设点B(a,b),则 b ks·(-1D=-a2=-1 解得3 子{6=一4即点B-3，一)，因为m/,设直线 m的方程为5.x十y十c=0,将，点B的坐标代入直线 m的方程可得5×(-3)-4十c=0,解得c=19,所 以，直线m的方程为5x十y十19=0.故选A.] 2.C[当k=0时，山的倾斜角为，此时2的方程为 x=0,故A正确；联立方程组)y一1=0 (k+1)x+ky+k=0 得(2k十1).x=0,此方程恒有解，故对任意的k,41与 么部有公关点，B正确：当k=一合时，牛-与 成立，此时l1与L2重合，故C错误；因为1：x一 y一1=0的斜率为1，当k=0时，l1与l2不垂直； 当0时：的钟率生=-1是≠-1，所以 对任意的k,l1与2都不垂直，D正确；故选C.] 3.C[设点Q(x,y),其中y≠0，则点P(2x,2y), 将，点P的坐标代入圆C的方程可得4x2+(2y 3-9,即2+（昌}-号所以，成Q的我 途岁家为+（号）-（≠0.花这C 4.B[圆O:(x-2)2+(y-1)2=9的圆心为(2， 1),半径为3，(2,1)关于直线l:x一y=0的对称点 是(1,2)，所以圆O2的圆心是(1,2)，半径是3，所 以圆O2的方程为(.x-1)2十(y-2)2=9.故选B.] 5.ACD[对于A,设直线l1:2x-y-3=0上任意一 点(x0,2.x0一3)关于直线y=x对称的点为(m,n), 2x0-3-n=-1, x0-1n 则 ,解得m-2n十3=0，所以 m+x0_n+2.x0-3 2 2 点(m,n)在直线l2:x-2y十3=0上，所以☑1与2 关于直线y=x对称，故A正确；对于B,因为圆C 04 练·练出好成绩 ●● 的圆心在x轴上，设圆心为(a,0),因为圆C与直 线1l2都相切，所以r=12a二3=a+3,解 5 5 得a=0或a=6,当a=0时r=3-35,当4 √55 6时一，号=9故B错误：对于C,由圆C(一 a)2十(y-b)2=r2,得圆心为(a,b),半径为r,因为圆 C与直线4,2都相切，所以r=2a-b-3 5 la-2b+3,解得a十b-6=0或a=b,所以圆心 5 (a,b)在直线x十y-6=0或直线x-y=0上，故 C正确；对于D,由圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2, 得圆心为(a,b),半径为r,因为圆C与两坐标轴 都相切，得圆心到x轴的距离为b,到y轴的距 离为a,所以r=a且r=|b,即a=|b,解得 a=b或a=一b,当a=b时，由题意可知 2a--3-1a,解得a=b=-35+1山友 √5 4 4=b=3(5-山，当4=一b时，此时不满足，所 4 以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D 正确.故选ACD. 6.2√7-1[圆x2+y2-2x-8=0可化为(x-1)2+ y2=9,即圆心为(1,0)，半径为3，直线l:m.x-y= 1过定点(0，一1)，则圆心(1,0)到直线mx-y= 1的距离的最大值为√/(0-1)2十(-1-0)2= √2，所以动直线l:mx-y=1被圆C:x2十y2 2x-8=0截得的最短弦长为2√32-(2)2= 27,此时由m-1=厄解得m=一1，故答案 √/m2+1 为：2√7；-1.] 7.B[如图，x2十y2-4x-1=0 得(x一2)2十y2=5,所以圆心坐 标为(2,0)，半径r=√5，所以圆 012 心到点（0，一2)的距离为 √/(2-0)2+(0+2)2=2√2，由于 圆心与，点(0，-2)的连线平分角a,所以sin之 &=√6 5四，所以co名=所以na 2√222 2sin 台m号=2X×-压故选] 444 参考答案上 8.C[将方程x2+y2-4x-2y-4=0化为(x- 2)2十(y-1)2=9,其表示圆心为(2,1)，半径为3 的圆.设之=x一y,数形结合知，只有当直线x一 y一之=0与圆相切时，之才能取到最大值，此时 2-1一=3，解得之=1士3②，故x=x一y的 √2 最大值为1十3√2，故选C.] 9.2[设直线x一my十1=0为直线l,由条件知 ⊙C的圆心C(1,0),半径R=2,C到直线l的距 2 离d= ,|AB|=2WR2-d2= √1+m2 24 4m √1+m √1+m 由S=，得 2 8 √/1+m2 √1+m2 ,整理得2m2一 5m十2=0，解得m=士2或m=士号，故答案 可以为2.] 10.(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5 或(e-+(-)-或(-》+ (y-1)2=169 25 [方法一：圆的一般方程 依题意设圆的方程为x2十y2十Dx+Ey十： F=0, (1)若过(0,0)，(4,0)，（一1,1），则 F=0 F=0 {16+4D+F=0 ,解得D=一4， 1+1-D+E+F=0 E=-6 所以圆的方程为x2十y2一4x一6y=0, 即(x-2)2+(y-3)2=13; (2)若过(0,0)，(4,0)，(4,2)， 「F=0 F=0 则{16+4D+F=0 ,解得D=一4， 16+4+4D+2E+F=0 E=-2 所以圆的方程为x2十y2一4x-2y=0, 即(x-2)2+(y-1)2=5: (3)若过(0,0)，(4,2)，(-1,1)， F=0 [F=0 8 则1+1-D+E+F=0 ,解得 D=- 3, 16+4+4D+2E+F=0 E-、14 3 045 详解 所以圆的方程为x2+y2一8x-4v 3- 3y=0, }+(》 (4)若过(-1,1)，(4,0)，(4,2)，则 F=16 [1+1-D+E+F=0 5 16+4D+F=0 ,解得D=-16,所以 16+4+4D+2E+F=0 LE=-2 国的方程为2十2-兽x-20-号=0，即 5 (}+-w2=-g 故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+ y-12=5或〔e-专)+(-)=每或 (-)'+g-1-器 方法二：[最优解]圆的标准方程（三点中的两条 中垂线的交点为圆心) 设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2) (1)若圆过A、B、C三，点，圆心在直线x=2,设圆 心坐标为(2，a), 则4十a2=9十(a-1)2→a=3,r=√J4+a2 √13，所以圆的方程为(x-2)2十(y-3)2=13; (2)若圆过A、B、D三，点，设圆心坐标为(2，a), 则4十a2=4+(a-2)2→a=1,r=√4+a2=√5， 所以圆的方程为(.x-2)2+(y-1)2=5: (3)若圆过A、C、D三点，则线段AC的中垂线 方程为y=x十1，线段AD的中垂线方程为y -2x十5，联立得x=专y=号→r=,所以 圆的方程为-号)2+(y子2-臣 91 (4)若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线 方程为y=1,线段BC中垂线方程为y=5.x- 7,联立得x=骨y=1→r=9所以圆的方程 为x-g2+0-102- 251 故答案为：(.x-2)2+(y-3)2=13或(.x-2)2+ 1=5〔-}+)- 251 高二数学每日一练·练出好成绩 11.解(1)因为直线1过点P(一1,2)，所以设直线： 故F(-2,0),M(0,1),则FM=(2,1), 为y-2=k(x+1),k≠0， 设A(x0,0),则AM=(-x0,1-yo), 令y=0,得=-是-1.所以A(-名-10】 令x=0,得y=k十2，所以B(0,k十2)， 又因为△OAB为等腰直角三角形，所以OA= M OB, 丹-名-1=+2， 解k=士1或k=一2， 当k=一2时直线过原点，不满足题意， 而FM=3AM,则 12=3(-x0) 故直线L的方程为y一2=（x十1)或y {1=3(1-yo) 2=-(x+1), 2 3 即x-y十3=0或x十y-1=0; 解得 (2)由题意可知直线1的方程为x-y十3=0，即 别A(-台) 0=3 A(-3,0), ! 点A又在椭圆上，左焦点F(一2,0)，右焦点 的方程为x2++Dx+Ev+F0C0士 F(2,0), E2-4F>0), 将O(0,0),A(-3,0),P(-1,2)代入 由2a=AF1+Ar1=(号+2)+（号） F=0 D=3 得9-3D+F=0 ,解得E=-1, 号-2+)-26+①， 1+4-D+2E+F=0 F=0 则a=5十互，椭圆的离心牵= 2 所以所求圆的方程为x2十y2+3.x一y=0. a√5+17 3 假期作业三 1.C[设F1为椭圆的右焦点，连接PF1, 7-5.故选C.] 2 因为M是线段PF的中点，O为FF1的中，点，所3.C[设双曲线C的半焦距为c,直线OM的方程 以OM/PF,OM1=PE, 为y=合，有an∠M0A=合如图 因为OM=是，所以PF=, 因为精国标馆方衣为号+苦-1，片以4=2。 又由椭圆的定义，有|PF|十|PF1|=2a=4,所以 IPF-号，故选C,] 即有sm∠M0A=名os∠M0A,而ne∠AMOA+ cos2∠MOA=1,解得cos∠MOA= √a2+b2 a,在△MOA中，由余弦定理得：|MA|= 2.C[对直线x-2y十2=0，令y=0,解得x= -2,令x=0,解得y=1, √/IOM|2+|OA|2-2OM|OA|cos∠MOA= 46