第1.1讲 直线的斜率与倾斜角（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第01讲 直线的斜率与倾斜角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 倾斜角与斜率概念辨析 题型2 求直线的倾斜角 题型3 斜率与倾斜角的变化关系 题型4 根据斜率或倾斜角求参 题型5 根据直线求倾斜角的范围 题型6 直线与线段相交求斜率范围 题型7 三点共线求参 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 倾斜角与斜率概念辨析 倾斜角范围0度到180度（不含180度）；斜率是倾斜角的正切，但90度时斜率不存在；斜率可正可负可零。易混淆“倾斜角越大斜率越大”只在同象限成立。 2. 求直线的倾斜角 根据两点坐标或直线方程求倾斜角，注意先判断斜率是否存在，再根据斜率符号确定角所在范围（0到90度或90度到180度）。 3. 斜率与倾斜角的变化关系 斜率从0增至正无穷对应倾斜角0度到90度；斜率从负无穷增至0对应倾斜角90度到180度（角增大但斜率负得少）。比较两斜率大小时需分象限。 4. 根据斜率或倾斜角求参 已知倾斜角或斜率范围，求直线方程中的参数。常结合正切函数单调性、斜率公式列不等式组。注意斜率不存在的情况需单独讨论。 5. 根据直线求倾斜角的范围 给定直线方程（含参数），求倾斜角取值范围。常转化为斜率范围，再根据正切函数图像反推角范围，注意分界点90度。 6. 直线与线段相交求斜率范围 线段两端点固定，直线过某定点且与线段相交，求斜率范围。常用方法：计算定点到两端点连线的斜率，根据直线旋转方向确定范围（过端点时取等，注意顺序）。 7. 三点共线求参 已知三点共线，利用任意两点斜率相等（或方向向量共线）列方程求参数。注意检验斜率不存在情况（两点横坐标相等）。 学习重点：掌握倾斜角范围（0°到180°）、斜率定义及与倾斜角的对应关系（特别是90°分界）。能根据两点或方程求倾斜角与斜率，理解斜率随倾斜角的变化规律，会处理三点共线、直线与线段相交等几何条件。 学习难点：正确理解倾斜角越大斜率不一定越大（需分象限）；由斜率范围求倾斜角范围时容易忽略90°分界；直线与线段相交求斜率范围时，旋转方向的判断以及端点处取等易错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 (1)定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. (2)规定：当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是． 二、直线的斜率 (1)定义式：直线的倾斜角为，则斜率. (2)坐标式：，在直线上，且，则的斜率 .　 (2)直线的方向向量：，在直线上，向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量，因此，若直线的方向向量的坐标为则直线斜率 . 即时即练（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【易错提醒】 倾斜角等于90°时，斜率不存在，每条直线都有唯一的倾斜角，但是并不是每条直线都存在斜率。 知识点02 直线与倾斜角的关系 倾斜角 斜率 倾斜角与斜率的变化关系 0 0 直线l与x轴平行或重合 斜率随着增大而增大 斜率不存在 直线l与x轴垂直 斜率随着增大而增大 即时即练（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 倾斜角等于的直线是分界线，这时斜率不存在。 题型1 倾斜角与斜率概念辨析 【例1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【例2】（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【易错警示】 倾斜角等于90°时，斜率不存在，每条直线都有唯一的倾斜角，但是并不是每条直线都存在斜率。 【变式1-1】（多选）（25-26高二上·河南南阳·开学考试）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【变式1-2】（25-26高二·全国·寒假作业）下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 求直线的倾斜角 【例1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【易错警示】 先求斜率，然后根据斜率求倾斜角，注意倾斜角与斜率之间的关系以及倾斜角的取值范围。 【变式2-1】（25-26高二上·江苏·期末）经过两点和的直线的倾斜角是___________. 【变式2-2】（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 题型3 斜率与倾斜角的变化关系 【例1】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（多选）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【易错警示】 讨论斜率变化时，需注意斜率并不是一直在增大的，而是正负两个区域内分别单调递增的。它并不是连续的，要注意斜率不存在的情况。 【变式3-1】（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】（多选）（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型4 根据斜率或倾斜角求参 【例1】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【例2】（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【技巧归纳】 用参数来表示斜率，通过斜率与倾斜角关系得出参数表达式的值，从而求取参数。 【变式4-1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 根据直线求倾斜角的范围 【例1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】 注意斜率与倾斜角之间的对应关系。 【变式5-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型6 直线与线段相交求斜率范围 【例1】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 通过数形结合的思想，分析直线的变化过程，从而得到斜率或者倾斜角的范围。在表示最后的范围时，要注意斜率的变化，这是容易出错的点。 【变式6-1】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型7 三点共线求参 【例1】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 故答案为：. 【例2】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【技巧归纳】 从三点中任选两点，求所在直线的斜率，若斜率存在且相等或斜率都不存在，则三点共线。 注意不要漏掉斜率都不存在的情况。 【变式7-1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则______． 1．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）经过、两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 5．（2027高三·全国·专题练习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 8．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的斜率与倾斜角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 倾斜角与斜率概念辨析 题型2 求直线的倾斜角 题型3 斜率与倾斜角的变化关系 题型4 根据斜率或倾斜角求参 题型5 根据直线求倾斜角的范围 题型6 直线与线段相交求斜率范围 题型7 三点共线求参 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 倾斜角与斜率概念辨析 倾斜角范围0度到180度（不含180度）；斜率是倾斜角的正切，但90度时斜率不存在；斜率可正可负可零。易混淆“倾斜角越大斜率越大”只在同象限成立。 2. 求直线的倾斜角 根据两点坐标或直线方程求倾斜角，注意先判断斜率是否存在，再根据斜率符号确定角所在范围（0到90度或90度到180度）。 3. 斜率与倾斜角的变化关系 斜率从0增至正无穷对应倾斜角0度到90度；斜率从负无穷增至0对应倾斜角90度到180度（角增大但斜率负得少）。比较两斜率大小时需分象限。 4. 根据斜率或倾斜角求参 已知倾斜角或斜率范围，求直线方程中的参数。常结合正切函数单调性、斜率公式列不等式组。注意斜率不存在的情况需单独讨论。 5. 根据直线求倾斜角的范围 给定直线方程（含参数），求倾斜角取值范围。常转化为斜率范围，再根据正切函数图像反推角范围，注意分界点90度。 6. 直线与线段相交求斜率范围 线段两端点固定，直线过某定点且与线段相交，求斜率范围。常用方法：计算定点到两端点连线的斜率，根据直线旋转方向确定范围（过端点时取等，注意顺序）。 7. 三点共线求参 已知三点共线，利用任意两点斜率相等（或方向向量共线）列方程求参数。注意检验斜率不存在情况（两点横坐标相等）。 学习重点：掌握倾斜角范围（0°到180°）、斜率定义及与倾斜角的对应关系（特别是90°分界）。能根据两点或方程求倾斜角与斜率，理解斜率随倾斜角的变化规律，会处理三点共线、直线与线段相交等几何条件。 学习难点：正确理解倾斜角越大斜率不一定越大（需分象限）；由斜率范围求倾斜角范围时容易忽略90°分界；直线与线段相交求斜率范围时，旋转方向的判断以及端点处取等易错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 (1)定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. (2)规定：当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是． 二、直线的斜率 (1)定义式：直线的倾斜角为，则斜率. (2)坐标式：，在直线上，且，则的斜率 .　 (2)直线的方向向量：，在直线上，向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量，因此，若直线的方向向量的坐标为则直线斜率 . 即时即练（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再利用两点的坐标求出斜率，列出方程求出a的值． 【详解】因为过两点的直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，所以，解得． 故选：B． 【易错提醒】 倾斜角等于90°时，斜率不存在，每条直线都有唯一的倾斜角，但是并不是每条直线都存在斜率。 知识点02 直线与倾斜角的关系 倾斜角 斜率 倾斜角与斜率的变化关系 0 0 直线l与x轴平行或重合 斜率随着增大而增大 斜率不存在 直线l与x轴垂直 斜率随着增大而增大 即时即练（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案. 【详解】由，，则. 故选：A 【方法总结】 倾斜角等于的直线是分界线，这时斜率不存在。 题型1 倾斜角与斜率概念辨析 【例1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】选项A：当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故A错误； 选项B：与轴垂直的直线倾斜角为，与轴垂直的直线倾斜角为，所以选项B正确； 选项C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为的直线的斜率不存在，所以选项C错误； 选项D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，故D错误． 故选：B. 【例2】（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 【易错警示】 倾斜角等于90°时，斜率不存在，每条直线都有唯一的倾斜角，但是并不是每条直线都存在斜率。 【变式1-1】（多选）（25-26高二上·河南南阳·开学考试）给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 【变式1-2】（25-26高二·全国·寒假作业）下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据倾斜角和斜率的概念逐项判断即可. 【详解】对于①，根据倾斜角定义知，任何一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对于②，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错误； 对于③，倾斜角为的直线与x轴垂直，有无数条，错误； 对于④，倾斜角为的直线与x轴重合或平行，有无数条，错误； 综上，只有①说法正确. 故选：B 题型2 求直线的倾斜角 【例1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 【例2】（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可； 【详解】由题知直线的斜率为， 因为，所以倾斜角， 故选：D． 【易错警示】 先求斜率，然后根据斜率求倾斜角，注意倾斜角与斜率之间的关系以及倾斜角的取值范围。 【变式2-1】（25-26高二上·江苏·期末）经过两点和的直线的倾斜角是___________. 【答案】 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，从而可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 题型3 斜率与倾斜角的变化关系 【例1】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用举反例来作出既不充分也不必要条件的判断. 【详解】举反例：取，，满足， 但，，此时， 举反例：取（对应），（对应）， 满足，但， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 【例2】（多选）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 【易错警示】 讨论斜率变化时，需注意斜率并不是一直在增大的，而是正负两个区域内分别单调递增的。它并不是连续的，要注意斜率不存在的情况。 【变式3-1】（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式3-2】（多选）（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 题型4 根据斜率或倾斜角求参 【例1】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 【例2】（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 【技巧归纳】 用参数来表示斜率，通过斜率与倾斜角关系得出参数表达式的值，从而求取参数。 【变式4-1】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 【变式4-2】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 题型5 根据直线求倾斜角的范围 【例1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 【例2】（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 【易错警示】 注意斜率与倾斜角之间的对应关系。 【变式5-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率的范围，再利用斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角， 当时，， 直线的斜率，此时倾斜角． 综上所述，直线的倾斜角的范围是． 故选：C． 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 题型6 直线与线段相交求斜率范围 【例1】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 【例2】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 【技巧归纳】 通过数形结合的思想，分析直线的变化过程，从而得到斜率或者倾斜角的范围。在表示最后的范围时，要注意斜率的变化，这是容易出错的点。 【变式6-1】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 题型7 三点共线求参 【例1】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 【例2】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 【技巧归纳】 从三点中任选两点，求所在直线的斜率，若斜率存在且相等或斜率都不存在，则三点共线。 注意不要漏掉斜率都不存在的情况。 【变式7-1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 1．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）经过、两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】设经过、两点的直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：C 2．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐项判断即可. 【详解】对于①，任一条直线都有倾斜角，但当直线的倾斜角为时，此直线的斜率不存在，所以①不正确； 对于②，当直线的倾斜角大于时，它的斜率为负数，而倾斜角为锐角时，其斜率为正数，大于所有负数， 所以不能说直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，所以②不正确； 对于③，平行于轴的直线的倾斜角只能是0，所以③不正确； 对于④，一般地，两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；但如果这两条直线的倾斜角都是， 它们斜率都不存在，也就不能说它们斜率相等，所以④不正确； 对于⑤，直线斜率的范围是，满足定义，所以⑤正确． 故选：A． 4．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 5．（2027高三·全国·专题练习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 6．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 7．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【分析】A选项，利用斜率相等求解即可；B选项，结合图像求出临界情况分析即可；C选项根据方向向量与平行来判断即可；D选项，根据倾斜角与斜率的关系举反例即可. 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误； 故选：AC. 8．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 9．（安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷）已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由得，所以， 又得，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 10．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $