5.2.3勾股定理的逆定理 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理及勾股数，通过古埃及人用3、4、5段绳长构成直角三角形的实例导入，衔接勾股定理，构建从性质到判定的知识学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，通过实际情境观察培养数学眼光，借助定理证明（构造全等三角形）发展推理思维，结合航海、四边形面积等应用题提升数学表达能力。练习题分层设计，小结明确解题步骤，助力学生巩固知识，教师可高效开展教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 5.2.3勾股定理的逆定理 第5章 直角三角形 5.2.3 勾股定理的逆定理 练习题 核心知识点：如果三角形的三边长a、b、c满足$$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角。该定理是判断三角形是否为直角三角形的核心依据，与勾股定理互为逆定理，同时可用于判断勾股数、解决几何证明和实际判定问题。 一、基础填空题 1. 已知三角形三边长为6、8、10，该三角形______（填“是”或“不是”）直角三角形。 2. 一组能够构成直角三角形的正整数边长，称为________。 3. 三角形三边长为5、12、13，则最长边上的角的度数为______°。 二、单项选择题 4. 下列各组线段，不能构成直角三角形的是（） A. 7，24，25 B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 9，12，15 5. 若△ABC三边长满足$$(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$$，则△ABC是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 三、基础解答题 6. 判断三边长分别为1.5、2、2.5的三角形是否为直角三角形。 7. 已知一个三角形三边长为9、40、41，求证：该三角形为直角三角形。 四、综合应用题 8. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，CD=12，AD=13，连接AC，求证：△ACD是直角三角形，并求四边形ABCD的面积。 参考答案与解析 1. 是解析：验证$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，满足勾股定理逆定理，为直角三角形。 2. 勾股数 解析：符合勾股数的定义，正整数、能构成直角三角形三边。 3. 90 解析：$$5^2+12^2=13^2$$，最长边13所对的角为直角。 4. C 解析：$$4^2+5^2=16+25=41 eq36=6^2$$，不满足逆定理，无法构成直角三角形。 5. D 解析：由式子可得$$a=b$$或$$a^2+b^2=c^2$$，三角形为等腰三角形或直角三角形。 6. 解：取最长边2.5，计算得$$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25=2.5^2$$，满足勾股定理逆定理，因此该三角形是直角三角形。 7. 证明：最长边为41，$$9^2+40^2=81+1600=1681$$，$$41^2=1681$$，即$$9^2+40^2=41^2$$，故此三角形为直角三角形。 8. 解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴$$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$$。又∵AC=5，CD=12，AD=13，$$5^2+12^2=13^2$$，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°。四边形面积=$$\frac{1}{2} \times 3 \times 4+\frac{1}{2} \times 5 \times 12=6+30=36$$。答：四边形ABCD面积为36。 练习小结：运用勾股定理逆定理解题，核心步骤为：1. 找出三角形最长边；2. 计算两条短边的平方和与最长边的平方；3. 对比数值，相等即为直角三角形，反之则不是。注意勾股数必须是正整数，小数、分数边长仅可判定直角三角形，不属于勾股数。 学习目标 1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形. 3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题． 学习目标 同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 打 13 个等距的结，把一根绳子分成等长的 12 段，然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 1 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17. 问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ ∵ 32 + 42 = 52，∴满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2 . 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形. 则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2 A C a B b c 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 要点归纳 例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a = 6， b = 8，c = 10； 解：(1) 因为 62 + 82 =100，102=100，所以 62 + 82 =102. 因此这个三角形是直角三角形. (2) a = 12，b = 15，c = 20. (2) 因为122 + 152 = 369，202 =400，所以122 + 152≠202. 因此这个三角形不是直角三角形. 分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 典例精析 【变式题】若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)， ∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2， ∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2. ∴ △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角. 例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长. 解：在 △ABD 中，AB =10，BD = 6，AD = 8， 因为 6² + 8² = 10²，即 BD² + AD² = AB²， 所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB = 90°. 所以∠ADC =180° -∠ADB = 90°. 在Rt△ADC中，DC ² = AC ² -AD²， 所以 DC = = 15. 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 C 2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 3. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是________________________. 等腰三角形或直角三角形 练一练 1 2 勾股定理的逆定理的应用 例3 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号 沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 2 问题1 认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5 = 24 12×1.5 = 18 30 “远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图. 问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航向所成角. 勾股定理的逆定理. 解：根据题意得 PQ = 16×1.5 = 24 (海里)， PR = 12×1.5 = 18 (海里)， QR = 30 海里. ∵242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1 = 45°， ∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解. （1）证明：∵CD = 1，BC＝ ，BD = 2， ∴ CD2 + BD2 = BC2. ∴ △BDC 是直角三角形. （2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1. 在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2， ∴ x2 = (x - 1)2 + 22， 解得 用到了方程的思想 例4 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的 一点，CD = 1，BC = ，BD = 2． （1）求证：△BCD 是直角三角形； （2）求 △ABC 的面积． 返回 C 考试考法 18 2.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________． 11，60，61 考试考法 返回 3. 当满足下列条件时， 不是直角三角形的是( ) C A. B. C. D. ,, 考试考法 20 4. 如图，在由 小正方形组成的 网格中，每个小正 方形的顶点称为格点.点，，， ， ，均在格点上，其中点，，， 能与点， 构成一个直角三角形的是 ( ) D A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 考试考法 21 5.如图，在中，，，， 为直 线上一动点，连接，则线段 的最小值是___. 考试考法 22 【点拨】由题意知当时,线段 的长最 小.因为，， ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 . 返回 考试考法 23 6.如图，在四边形中， ， ，，,则 的 度数为______. 考试考法 24 【点拨】如图，连接 ，因为 ， ，所以 是 所以 . 等边三角形，所以， . 因为 ， ，所以 ，所以 ， 返回 考试考法 考试考法 26 8.如图，把一块 土地划出一个 后，测得米，米， 米， 米，其中 . 考试考法 27 （1）判断 的形状，并说明理由； 【解】 是直角三角形.理由：因为 ，米， 米， 所以 （米）.因为 米，米，所以 ，所以 ， 是直角三角形. 考试考法 28 （2）求图中阴影部分土地的面积. 图中阴影部分土地的面积 （平方米）. 返回 考试考法 29 9. [全国初中数学联赛]已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 考试考法 30 勾股定理 的逆定理 内容 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 应用 航海问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 课堂小结 1．下列各组数构成勾股数的是(　　) A．0.6，0.8，1.0 B．1，， C．5，12，13 D.，， 7．如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足．若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为________． $