专题01 正弦，余弦，正切，余切（14大题型归纳）（暑假复习讲义）新高二数学沪教版

专题01 正弦，余弦，正切，余切 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.锐角的正弦、余弦、正切、余切 1.多以选择题填空题基础解答题形式呈现 2.特殊角三角函数值为高频考查内容既可单独命题也可作为综合计算的已知条件 3.侧重结合实际几何场景命题考查数学建模与几何运算能力 4.作为三角函数体系入门内容题型常规侧重基础概念与基本运算 考情解码： 1.整体难度较低核心考查概念理解与运算准确度 2.典型易错点混淆直角三角形边角对应关系记错特殊角函数值误用互余角转换规则 3.复习重点夯实核心定义熟练记忆特殊角函数值规范解三角形解题步骤 常考考点 命题风向 2.任意角及其度量 1.以选择题填空题为主要考查题型 2.角度与弧度互化为必考内容常与象限判定结合综合命题 3.弧长扇形面积计算应用频次高可单独设题也可结合平面几何综合考查 4.终边相同角侧重集合书写命题以基础应用为主较少设置复杂变形 考情解码： 1.知识点难度偏低细节考点易出现失误属于基础易错题类型 2.典型易错点角度与弧度符号混用终边相同角集合书写格式不规范扇形计算忽略隐含条件 3.复习重点熟练完成角度与弧度互化熟记扇形相关公式规范数学表达式书写 常考考点 命题风向 3.任意角的正弦、余弦、正切、余切 1.属于三角函数核心主干知识各类检测中考查频次较高 2.三角函数定义象限符号多设置为选择填空基础题 3.同角三角函数关系式常作为中档计算题考点多出现在解答题中 4.三角函数线以识图比较大小类基础题型为主一般不进行深度拓展 5,命题常附加角的范围限制综合考查符号判断能力 考情解码： 1.难度中等是三角恒等变换综合求值的重要工具 2.典型易错点忽略角所在象限造成三角函数符号判断错误利用平方关系开方时遗漏正负讨论 3.复习重点吃透两类定义强化象限符号判断训练掌握知一求二的完整解题流程 常考考点 命题风向 4.诱导公式 1.高频必考知识点选择填空多考查单一公式化简解答题常作为第一问出现 2.命题侧重公式直接应用题型常规极少设计复杂变形技巧 3.常与同角三角函数知识联动命题综合考查代数运算能力 考情解码： 1.难度中等公式数量较多记忆与灵活运用是主要难点 2.典型易错点误判函数名是否改变象限符号判定出错多层化简步骤逻辑混乱 3.复习重点理解口诀内涵分类梳理公式体系强化分步化简的书写规范 常考考点 命题风向 5.已知正弦、余弦或正切值求角 1.常规考查题型以选择题填空题小型解答题为主 2.基础题型考查单一区间内求角中档题型设置大范围条件侧重多解问题考查 3.常结合诱导公式象限知识综合命题是三角方程的入门内容 4.命题聚焦常规区间与特殊角不拓展反三角函数相关内容 考情解码： 1.难度中等角的取值范围是核心考点与主要难点 2.典型易错点忽视题干给定的角范围出现漏解多解问题三角函数周期性运用不当 3.复习重点固化标准解题步骤强化区间意识专项训练多解类题型 知识点一 锐角的正弦、余弦、正切、余切 重点梳理 1直角三角形定义 2特殊角函数值的正弦余弦正切值需精准记忆 3互余角关系 4单调性内正弦正切随角度增大而增大余弦随角度增大而减小 5应用利用三角函数解直角三角形处理坡度仰角俯角等实际问题 【易错提醒】 1.混淆对边与邻边尤其是在非标准直角三角形中导致三角函数定义误用 2.记错特殊角三角函数值如把与搞混 3.忽略的取值范围当时无意义 4.互余角转换时符号或函数名出错如误写 5.实际应用中单位换算错误或忽略直角三角形的边角对应关系 即时即练 1.（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在中，两直角边，，求的各个三角比的值． 【答案】，， 【分析】勾股定理求出三角形的斜边长，再根据直角三角形中三角比的概念代入数值计算. 【详解】在中，，，，得， 所以，，． 2.（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为__________. 【答案】 【分析】利用锐角三角函数的正弦值的定义可求解. 【详解】在中，斜边的长为m，， 所以，所以.    故答案为：. 知识点二 任意角及其度量 重点梳理 1角的分类正角（逆时针旋转）负角（顺时针旋转）零角（未旋转） 2终边相同的角集合表示 3象限角与轴线角明确终边落在各象限或坐标轴上的角的范围 4角度制与弧度制互化弧度牢记换算公式 5弧长公式扇形面积公式 【易错警示】 1.终边相同的角集合书写不规范遗漏或等号 2.角度制与弧度制混用如在同一表达式中同时使用与rad 3.扇形面积计算时误将角度直接代入公式未先转换为弧度 4.象限角判断错误如把的象限与的象限混淆 5.弧长与扇形周长概念混淆计算扇形周长时遗漏两条半径 即时即练 1.（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【详解】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 2.（25-26高一上·上海·期末）若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形的弧长公式与面积公式判断选项即可. 【详解】由题意得，解得，则. 知识点三 任意角的正弦、余弦、正切、余切 重点梳理 1定义终边定义（）单位圆定义（点） 2象限符号口诀一全正二正弦三正切四余弦 3同角三角函数基本关系平方关系商数关系倒数关系 4知一求二已知一个三角函数值结合角的范围求其余同角三角函数值 5三角函数线正弦线余弦线正切线的几何意义与应用 【易错警示】 1.忽略角的范围导致同角三角函数值的符号判断错误 2.利用平方关系开方时未根据角的象限讨论正负号直接取算术根 3.商数关系中未注明的条件忽略正切函数无定义的情况 4.单位圆定义中误将点的坐标记为 5.三角函数线的方向判断错误尤其是在第二三象限中 即时即练 1.（25-26高三下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则_______. 【答案】 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，所以，由三角函数终边上点的定义， 2.（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）已知，且，则______． 【答案】/ 【分析】先判断的符号，然后根据同角的三角函数关系式求出其平方值，进而得到结果. 【详解】因为，所以，所以，而， 所以. 知识点四 诱导公式 重点梳理 1通用规律奇变偶不变符号看象限 2常用公式组的化简规则 3功能将任意角三角函数转化为锐角三角函数实现“大化小负化正” 4综合应用多层诱导公式化简结合同角三角函数关系求值 【易错警示】 1.误判“奇变偶不变”混淆的奇数倍与偶数倍对应的函数名变化 2.“符号看象限”时未将视为锐角导致化简后的符号错误 3.多层诱导公式化简时步骤混乱中间符号或函数名出错 4.混淆诱导公式与同角三角函数关系乱用公式导致化简结果错误 5.化简结果未化为最简形式或未统一为锐角三角函数 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）若，则___________ 【答案】 【详解】， . 2.（2026·上海黄浦·三模）已知，且，则______． 【答案】 / 【分析】先结合α的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求出，再通过诱导公式化简所求式后代入数值计算. 【详解】因为，所以，由同角三角函数的平方关系， 代入可得， . 知识点五 已知正弦、余弦或正切值求角 重点梳理 1解题步骤定象限（由函数值符号判断）→找锐角（求对应的参考角）→写通解（利用周期性写出角的集合） 2特殊角与三角函数值的互推熟记常见特殊角的函数值与对应角度 3限定区间内求角根据给定区间筛选通解中的有效解 4多解问题结合三角函数的周期性与单调性判断解的个数 【易错警示】 1.忽略题目给定的角的范围导致漏解或多解 2.参考角计算错误或未根据象限调整最终角度 3.周期性应用不当写角的集合时遗漏或的取值范围 4.混淆反正弦反余弦反正切的主值区间导致角度判断错误 5.多解问题中未结合函数单调性分析盲目写出所有可能解 即时即练 1.（24-25高一下·上海·期中）已知 是第二象限角，，则 ______． 【答案】 【详解】根据公式 ，可以得到：， 已知 ，代入计算：， 又因为 是第二象限角，在第二象限中余弦值为负，因此：． 2.（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 ，则______ 【答案】或 【分析】由题求出，由特殊角的正切值，结合诱导公式，求得的值. 【详解】由，得. 因为，所以. 当时，； 当时，因为，所以. 故答案为：或. 题型1 特殊角的三角函数值 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是__________.    【答案】 【分析】直接由锐角三角函数即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：. 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余切值（    ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 【答案】D 【分析】利用余切函数定义即可求解. 【详解】设则， 将各边长扩大为原来的两倍，则 故，所以的余切值不变. 故选：D. 【易错警示】 1.容易混淆30度与60度的正弦余弦数值 2.正切函数在90度处无意义容易忽略定义域 3.计算过程中角度制与弧度制混用导致计算错误 4.特殊角三角函数值记忆混淆书写颠倒 【变式训练1-1】（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】∵，∴. 故选：C. 【变式训练1-2】已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为，则， 故选：B. 题型2 终边相同的角 例1．（25-26高一上·上海·期末）与的角终边相同的最小正角为______． 【答案】 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 例2．（25-26高一上·上海徐汇·期末）在与角终边相同的角中，最大的负角为______． 【答案】 【分析】根据终边相同的角的性质进行求解即可. 【详解】因为与角终边相同的角表示为 ， 所以当时，最大的负角为. 故答案为： 【技巧总结】 1.终边相同角统一公式 2.判断两角终边相同只需验证两角差值为360度整数倍 3.已知角度求指定范围内终边相同角只需对整数k取值筛选 4.终边相同的角三角函数值完全相等 【变式训练2-1】（25-26高一上·上海·期末）与45°角的终边在一条直线上的角的集合为_________． 【答案】 【分析】根据终边在同一直线上的角的定义，分终边相同和终边相反两种情况求解，最后合并集合. 【详解】与终边相同角的集合， 与终边相同角的集合， 所以与角的终边在一条直线上的角的集合为： . 故答案为：. 【变式训练2-2】（25-26高一上·上海·期末）已知，若与的终边相同，且，则_____. 【答案】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义求解即得. 【详解】由题意， 又与的终边相同，且， 所以， 故答案为：. 题型3 象限角 例1．（25-26高一下·上海·期中）2026°是第___________象限角 【答案】三 【详解】，所以为第三象限角 例2．下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义， 【详解】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 【技巧总结】 1.先写出角的通式再根据整数k的取值判断终边所在象限 2.熟记四个象限角的区间通式快速判定角度范围 3.轴线角终边落在坐标轴不属于任何象限 4.可通过取特殊k值代入快速验证象限位置 【变式训练3-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 【变式训练3-2】（24-25高一下·上海金山·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 题型4 弧长的计算 例1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 【答案】 【详解】由弧长公式，其中，，得． 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 【答案】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 【技巧总结】 1.弧长公式运算时圆心角必须使用弧度制角度必须提前换算 2.已知半径圆心角直接代公式计算 3.已知弧长半径可反向求解圆心角注意最后还原单位 4.弧长大小与圆心角半径成正比例关系 【变式训练4-1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【答案】 【分析】将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度， 且半径，所以扇形的弧长为 . 故答案为：. 【变式训练4-2】（25-26高一上·上海·期末）如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则_____.    【答案】 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式得到，，列出方程，即可求解. 【详解】由题可得，，， 所以，解得. 故答案为：. 题型5 扇形面积的计算 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 【答案】 16 【详解】扇形的圆心角弧度数，弧长． 根据弧长公式，解得扇形半径． 代入扇形面积公式，可得． 例2．（25-26高一下·上海黄浦·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形面积公式求解. 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则， . 【技巧总结】 1.灵活选用两套面积公式已知弧长用已知圆心角用 2.圆心角必须统一为弧度制再代入运算 3.已知扇形周长需先拆分弧长与半径再构建方程求解 4.扇形最值问题可转化为二次函数求最值求解 【变式训练5-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 【变式训练5-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．    【答案】 【详解】设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，则大圆弧的半径为， 所以解得， 所以扇环的面积为. 题型6 由终边上的点求三角函数值 例1．（25-26高一下·上海宝山·期中）若角的终边经过点，则__________. 【答案】 【详解】已知角的终边经过点，则. 例2．（25-26高一下·上海徐汇·期中）若任意角的终边经过点，则________． 【答案】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】点到坐标原点的距离， 由三角函数的定义可知：. 【技巧总结】 1.已知终边上点先固定步骤求 2.严格按照定义式代入符号运算不随意更改正负 3.三角函数值符号完全由点所在象限决定 4.单位圆上的点可直接用坐标对应正余弦值 【变式训练6-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知角终边过点，则____________. 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边过点， 所以. 故答案为： 【变式训练6-2】（2025·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】设，根据条件求解出的值，再根据，代入数值可求结果. 【详解】设，由题意可知，所以， 所以， 故答案为：. 题型7 由三角函数的值求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 例2．在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 【答案】(1)当时，，当时，， (2)；点的坐标为 【分析】（1）由条件利用三角函数的定义求，再利用三角函数定义求； （2）根据商数关系和平方关系可得，再结合平方关系由求，，即可解出. 【详解】（1）依题意，，解得或， 则当时，， 当时，， （2）， 因为①，两边平方得，即， 所以， 因为角的终边与单位圆交于点，且， 所以， 又，故，故， 所以②， 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 【技巧总结】 1.根据三角函数定义列出含参数方程规范求解 2.结合角的象限或点的位置判断参数正负舍去增根 3.注意分母不为零避开正切无意义的情况 4.多解问题必须结合题意筛选符合条件的参数 【变式训练7-1】已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 【变式训练7-2】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则_______ 【答案】/ 【分析】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为： 题型8 各象限角的三角函数值的符合判断 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】由象限角的三角函数符号可知， ，角的终边在第二或第四象限， ，角的终边在第一或第二象限， 综上可知当时，角的终边所在的象限为第二象限. 例2．（25-26高一下·上海·期中）若，则点在第___________象限. 【答案】二 【详解】由可得， 所以点在第二象限. 【技巧总结】 1.熟记符号口诀一全正二正弦三正切四余弦 2.先判定角所在象限再匹配对应函数符号 3.轴线角函数值为0或无意义单独区分判断 4.复杂角度可先化简为锐角再判断符号 【变式训练8-1】（23-24高二下·上海静安·期中）若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是第一象限角，可得为第一或第三象限角，结合象限角性质逐项判断即可得. 【详解】由是第一象限角，则， 则，为第一或第三象限角； 对A：若为第三象限角，则，故A错误； 对B：若为第三象限角，则，故B错误； 对C：为第一或第三象限角，则，故C正确； 对D：取，则，，， 此时，故D错误. 【变式训练8-2】（25-26高一上·上海静安·期末）“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质，以及必要不充分条件的概念，判断结果即可. 【详解】当时，或， 则为第二象限角或为第三象限角， 当角为第二象限角时，，则； 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件； 故选：B． 题型9 同角三角函数的平方关系 例1．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，且在第一象限，则______． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的基本关系求解即可． 【详解】因为，所以，又，可得，因为在第一象限，，所以． 故答案为：． 例2．（23-24高一下·上海·期末）若，且，则_________． 【答案】/ 【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求. 【详解】因为，所以， 又即， 故由平方和关系得即， 所以即，故， 所以. 故答案为：. 【技巧总结】 1.利用实现正余弦互相转化 2.开方求值必须结合角的范围判定正负号 3.利用恒等式进行式子替换化简 4.可用于构造方程求解正余弦组合值 【变式训练9-1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，且． (1)求实数a的值； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用的范围求出的范围，再利用平方关系求出； （2）求出，可得答案． 【详解】（1）由题意得：，解得：或1 因为，所以，， 解得：， 综上：； （2）由（1）得：，， 故，， 故． 【变式训练9-2】（24-25高一上·上海·课后作业）若，求的值. 【答案】 【分析】计算的展开式，并利用已知条件及进行代换，即可得到答案. 【详解】我们有 ， 所以. 题型10 同角三角函数的和差积计算 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平方关系得出，可得出，于是得出，再利用平方关系可求得的值. 【详解】因为，则，在等式两边平方得， 所以，故，所以， 故，故. 例2．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【答案】（1）；（2），. 【详解】（1）由角的终边经过点，得． 所以． 所以． （2）因为，所以． 又，所以，所以． 由，解得或， 因为是第二象限角，所以，所以， 所以． 【技巧总结】 1.熟练运用完全平方公式 2.实现和差与乘积的双向转化知一求一 3.根据角的范围判断和差式最终正负 4.求值优先整体代换避免单独求解单值 【变式训练10-1】（25-26高一上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知等式两边平方，结合同角的正余弦的平方和为1，可求解. （2）结合（1）求得的值，结合是第四象限角，进而可求解. 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 所以. （2）因为是第四象限角，所以，所以， 又， 所以. 【变式训练10-2】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 题型11 同角三角函数的“齐次化” 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知，则的值为_______； 【答案】/ 【详解】因为，所以. 例2．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解 （2）利用同角三角函数的关系解方程组可得和 , 然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点的坐标. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，，由，解得，所以点的坐标为. 【技巧总结】 1.一次齐次式上下同除转化为正切结构 2.二次齐次式上下同除统一化为正切表达式 3.非齐次式利用补成二次齐次式 4.已知正切值可快速代入齐次式整体求值 【变式训练11-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，_____. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将代数式转化为正切的表达式，再带入计算即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 分子分母同时除以得，原式. 故答案为： 【变式训练11-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）若，那么=________． 【答案】 【分析】先利用平方关系化简，再进行弦化切. 【详解】根据题意，， . 故答案为： 题型12 诱导公式的化简求值 例1．（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 【答案】 3 【详解】由，则 例2．（2026·上海·三模）已知角的终边经过点，则______． 【答案】/ 【详解】因角的终边经过点，则该点到原点的距离， 于是得，所以． 【技巧总结】 1.严格遵循奇变偶不变符号看象限核心法则 2.化简流程统一为负化正大化小最终化为锐角 3.多层诱导公式分步化简单次只处理一组变换 4.化简后必须保证式子最简角度最小 【变式训练12-1】（25-26高一下·上海·期中）化简：______. 【答案】 【详解】. 【变式训练12-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】由诱导公式可得：，， ，， 原式可化简为：， 分子分母同除以得：，代入， 得： 题型13 诱导公式中的“角的配凑” 例1．已知，则__________. 【答案】/0.6 【详解】. 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以. 【技巧总结】 1.观察已知角与目标角的差值构造诱导公式标准角 2.常用配凑方式 3.配凑后利用整体思想代入诱导公式化简 4.不单独拆分角度始终整体处理角的结构 【变式训练13-1】已知，则___________． 【答案】 【详解】． 【变式训练13-2】已知，则________. 【答案】/0.6 【分析】根据诱导公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，所以. 题型14 已知三角函数的值求角 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）分别求出满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； （2）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； （3）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； 【详解】（1）由题意得，或，， ∴或． ∵，∴ （2）由题意得或，， ∴或． ∵，∴． （3）由题意得，， ∴． ∵，∴． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别求满足下列条件的角x的集合. (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1). (2) (3) 【分析】通过解三角函数值，得到取值范围，再与题目所给的范围取交集，得解. 【详解】（1）由题意得或，， ， ， ； （2）由题意得或，， ， ， ； （3）由题意得，， ， ， . 【技巧总结】 1.第一步判断符号由三角函数值正负确定角所在象限 2.第二步求参考角不考虑符号求出对应锐角 3第三步结合象限写出范围内所有符合条件的角 4.第四步利用周期性写出角的全体通解标注 5.题干限定区间时需对通解中整数取值筛选出有效解 6.区分函数主值范围正弦余弦正切对应参考角取值区间不同 7.出现多解时结合函数单调性逐一验证避免漏解或重复解 【变式训练14-1】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别求角x： (1)已知； (2)已知； (3)已知． 【答案】(1)或； (2)或； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，求出内角，再由终边相同的角的表示求得解. 【详解】（1）由，得角是第三、四象限角， 当时，若角是第三象限角，则，若角是第四象限角，则， 所以所求角或. （2）由，得角是第二、三象限角， 当时，若角是第二象限角，则，若角是第三象限角，则， 所以所求角或. （3）由，得角是第二、四象限角， 当时，若角是第二象限角，则，若角是第四象限角，则， 所以所求角或，即. 【变式训练14-2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求角x： (1)，且x是第三象限的角； (2)，； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）已知正切特殊值求对应角，由x是第三象限的角，直接求出角即可； （2）已知余弦特殊值求对应角，由，直接求出角即可； （3）已知正弦特殊值求对应角，在全体实数范围内，写出满足条件的所有角即可； （4）由，可得，则由余弦特殊值求对应角，可得或，解出，即可求得. 【详解】（1）因为，且x是第三象限的角，所以. （2）因为，，所以或. （3）因为，所以或. （4）因为，所以， 所以或， 所以或. 一、单选题 1．（25-26高一上·上海·期末）角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 2．（25-26高一上·上海松江·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”别号．如图是折扇的示意图，其中，，为中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）．    A． B．18000 C．36000 D． 【答案】A 【分析】利用大扇形面积减去小扇形面积去求扇环部分的面积即可. 【详解】    设线段的中点是，由题可知，， 则. 故选：A. 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期中）已知，则______． 【答案】/ 【详解】因为，所以. 4．（25-26高一下·上海奉贤·期中）若，，则________． 【答案】/ 【详解】因为，，所以. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则__________． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义及终边上的点求函数值. 【详解】根据正切函数的定义知：. 故答案为： 6．（25-26高一下·上海·期中）已知扇形半径为1，圆心角为，则面积为________. 【答案】/ 【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案 【详解】因为， 所以扇形的面积为． 7．（25-26高一上·河南周口·期末）已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 【答案】. 【详解】已知扇形的圆心角为，半径为3， 则该扇形的弧长为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·天津·期中）的终边在第______象限． 【答案】三 【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可. 【详解】因为，所以与终边相同， 故的终边在第三象限. 故答案为：三 9．（24-25高一下·上海·期中）用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是__________. 【答案】 【分析】根据终边上角的定义即可求解. 【详解】终边在直线上的所有角组成的集合为， 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则__________. 【答案】60° 【分析】根据特殊角的余切求角即可. 【详解】因为且， 所以. 故答案为：. 11．（25-26高一下·上海·期中）已知为锐角，且，则__________. 【答案】 【分析】先由同角三角函数基本关系求，再诱导公式化简后切化弦求解. 【详解】为锐角，故，由同角三角函数的平方关系得， 所以. 12．（25-26高一下·上海·期中）已知，且为第二象限角，则______. 【答案】 【分析】首先判断的符号，根据与之间的关系，整体法求得的值，进而得解. 【详解】因为为第二象限角，所以，所以. 对两边同时平方得 ，即， 所以，所以. 所以， 所以（负值舍去）. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为_________. 【答案】 【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解. 【详解】因为，可知角与角的终边相同， 且，， 所以角与单位圆的交点坐标为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】利用角速度得出40秒盛水筒旋转角度，结合初始位置即可得最终位置. 【详解】因，则，, 每旋转一周用时120秒，则筒车旋转40秒时共旋转， 则此时点所在角的终边为， 则点的纵坐标为. 故答案为： . 15．（22-23高一上·上海宝山·期末）若扇形的周长为16，问当圆心角为______时，扇形面积最大？ 【答案】2 【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为， 因为扇形的周长为16，所以， 所以， 所以当时最大，此时， 故答案为：2. 16．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知一个扇形的周长为，若该扇形的弧长为 ，则该扇形的圆心角为___________. 【答案】 【分析】根据扇形的弧长公式求圆心角. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则 . 所以扇形的圆心角为. 故答案为： 17．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是__________. ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【答案】②④ 【分析】①③举反例即可；②与的终边关于轴对称即可判断；④分别写出终边在直线上，在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可. 【详解】对于①，与终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确； 对于②，因为与的终边关于轴对称，故②正确； 对于③，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故③不正确； 对于④，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是 ； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是，故④正确. 故选：②④. 18．（25-26高一下·上海·期中）已知点，将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB，则B的坐标是______； 【答案】 【详解】设以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，射线为终边的角为， 射线为终边的角为，则， 由点，得， 则， 又，点，所以点的坐标为. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为_________. 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 20．（25-26高一上·上海·期末）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【详解】设，圆心角为， 则，解得， 故阴影部分的面积为. 三、解答题 21．（24-25高一下·上海·期中）已知角 的终边经过点 (1)求 的值； (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知角 的终边经过点 ，点到原点的距离， 根据三角函数定义： ． （2），， ，， 代入原式： ， 由点 可知： ，所以． 22．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理，结合同角公式的商数关系化简计算即可求解； （2）根据与的关系求出，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】（1）因为为一元二次方程的两个实根， 所以. . （2）由（1）知，， 则， 即，解得； 所以，由，知， 所以， 由，所以， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 正弦，余弦，正切，余切 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.锐角的正弦、余弦、正切、余切 1.多以选择题填空题基础解答题形式呈现 2.特殊角三角函数值为高频考查内容既可单独命题也可作为综合计算的已知条件 3.侧重结合实际几何场景命题考查数学建模与几何运算能力 4.作为三角函数体系入门内容题型常规侧重基础概念与基本运算 考情解码： 1.整体难度较低核心考查概念理解与运算准确度 2.典型易错点混淆直角三角形边角对应关系记错特殊角函数值误用互余角转换规则 3.复习重点夯实核心定义熟练记忆特殊角函数值规范解三角形解题步骤 常考考点 命题风向 2.任意角及其度量 1.以选择题填空题为主要考查题型 2.角度与弧度互化为必考内容常与象限判定结合综合命题 3.弧长扇形面积计算应用频次高可单独设题也可结合平面几何综合考查 4.终边相同角侧重集合书写命题以基础应用为主较少设置复杂变形 考情解码： 1.知识点难度偏低细节考点易出现失误属于基础易错题类型 2.典型易错点角度与弧度符号混用终边相同角集合书写格式不规范扇形计算忽略隐含条件 3.复习重点熟练完成角度与弧度互化熟记扇形相关公式规范数学表达式书写 常考考点 命题风向 3.任意角的正弦、余弦、正切、余切 1.属于三角函数核心主干知识各类检测中考查频次较高 2.三角函数定义象限符号多设置为选择填空基础题 3.同角三角函数关系式常作为中档计算题考点多出现在解答题中 4.三角函数线以识图比较大小类基础题型为主一般不进行深度拓展 5,命题常附加角的范围限制综合考查符号判断能力 考情解码： 1.难度中等是三角恒等变换综合求值的重要工具 2.典型易错点忽略角所在象限造成三角函数符号判断错误利用平方关系开方时遗漏正负讨论 3.复习重点吃透两类定义强化象限符号判断训练掌握知一求二的完整解题流程 常考考点 命题风向 4.诱导公式 1.高频必考知识点选择填空多考查单一公式化简解答题常作为第一问出现 2.命题侧重公式直接应用题型常规极少设计复杂变形技巧 3.常与同角三角函数知识联动命题综合考查代数运算能力 考情解码： 1.难度中等公式数量较多记忆与灵活运用是主要难点 2.典型易错点误判函数名是否改变象限符号判定出错多层化简步骤逻辑混乱 3.复习重点理解口诀内涵分类梳理公式体系强化分步化简的书写规范 常考考点 命题风向 5.已知正弦、余弦或正切值求角 1.常规考查题型以选择题填空题小型解答题为主 2.基础题型考查单一区间内求角中档题型设置大范围条件侧重多解问题考查 3.常结合诱导公式象限知识综合命题是三角方程的入门内容 4.命题聚焦常规区间与特殊角不拓展反三角函数相关内容 考情解码： 1.难度中等角的取值范围是核心考点与主要难点 2.典型易错点忽视题干给定的角范围出现漏解多解问题三角函数周期性运用不当 3.复习重点固化标准解题步骤强化区间意识专项训练多解类题型 知识点一 锐角的正弦、余弦、正切、余切 重点梳理 1直角三角形定义 2特殊角函数值的正弦余弦正切值需精准记忆 3互余角关系 4单调性内正弦正切随角度增大而增大余弦随角度增大而减小 5应用利用三角函数解直角三角形处理坡度仰角俯角等实际问题 【易错提醒】 1.混淆对边与邻边尤其是在非标准直角三角形中导致三角函数定义误用 2.记错特殊角三角函数值如把与搞混 3.忽略的取值范围当时无意义 4.互余角转换时符号或函数名出错如误写 5.实际应用中单位换算错误或忽略直角三角形的边角对应关系 即时即练 1.（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在中，两直角边，，求的各个三角比的值． 2.（24-25高一上·上海·课后作业）在中，斜边的长为m，，则直角边的长为__________. 知识点二 任意角及其度量 重点梳理 1角的分类正角（逆时针旋转）负角（顺时针旋转）零角（未旋转） 2终边相同的角集合表示 3象限角与轴线角明确终边落在各象限或坐标轴上的角的范围 4角度制与弧度制互化弧度牢记换算公式 5弧长公式扇形面积公式 【易错警示】 1.终边相同的角集合书写不规范遗漏或等号 2.角度制与弧度制混用如在同一表达式中同时使用与rad 3.扇形面积计算时误将角度直接代入公式未先转换为弧度 4.象限角判断错误如把的象限与的象限混淆 5.弧长与扇形周长概念混淆计算扇形周长时遗漏两条半径 即时即练 1.（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 2.（25-26高一上·上海·期末）若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（    ）. A． B． C． D． 知识点三 任意角的正弦、余弦、正切、余切 重点梳理 1定义终边定义（）单位圆定义（点） 2象限符号口诀一全正二正弦三正切四余弦 3同角三角函数基本关系平方关系商数关系倒数关系 4知一求二已知一个三角函数值结合角的范围求其余同角三角函数值 5三角函数线正弦线余弦线正切线的几何意义与应用 【易错警示】 1.忽略角的范围导致同角三角函数值的符号判断错误 2.利用平方关系开方时未根据角的象限讨论正负号直接取算术根 3.商数关系中未注明的条件忽略正切函数无定义的情况 4.单位圆定义中误将点的坐标记为 5.三角函数线的方向判断错误尤其是在第二三象限中 即时即练 1.（25-26高三下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则_______. 2.（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）已知，且，则______． 知识点四 诱导公式 重点梳理 1通用规律奇变偶不变符号看象限 2常用公式组的化简规则 3功能将任意角三角函数转化为锐角三角函数实现“大化小负化正” 4综合应用多层诱导公式化简结合同角三角函数关系求值 【易错警示】 1.误判“奇变偶不变”混淆的奇数倍与偶数倍对应的函数名变化 2.“符号看象限”时未将视为锐角导致化简后的符号错误 3.多层诱导公式化简时步骤混乱中间符号或函数名出错 4.混淆诱导公式与同角三角函数关系乱用公式导致化简结果错误 5.化简结果未化为最简形式或未统一为锐角三角函数 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）若，则___________ 2.（2026·上海黄浦·三模）已知，且，则______． 知识点五 已知正弦、余弦或正切值求角 重点梳理 1解题步骤定象限（由函数值符号判断）→找锐角（求对应的参考角）→写通解（利用周期性写出角的集合） 2特殊角与三角函数值的互推熟记常见特殊角的函数值与对应角度 3限定区间内求角根据给定区间筛选通解中的有效解 4多解问题结合三角函数的周期性与单调性判断解的个数 【易错警示】 1.忽略题目给定的角的范围导致漏解或多解 2.参考角计算错误或未根据象限调整最终角度 3.周期性应用不当写角的集合时遗漏或的取值范围 4.混淆反正弦反余弦反正切的主值区间导致角度判断错误 5.多解问题中未结合函数单调性分析盲目写出所有可能解 即时即练 1.（24-25高一下·上海·期中）已知 是第二象限角，，则 ______． 2.（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 ，则______ 题型1 特殊角的三角函数值 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是__________.    例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余切值（    ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 【易错警示】 1.容易混淆30度与60度的正弦余弦数值 2.正切函数在90度处无意义容易忽略定义域 3.计算过程中角度制与弧度制混用导致计算错误 4.特殊角三角函数值记忆混淆书写颠倒 【变式训练1-1】（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练1-2】已知函数，则（   ） A． B． C． D． 题型2 终边相同的角 例1．（25-26高一上·上海·期末）与的角终边相同的最小正角为______． 例2．（25-26高一上·上海徐汇·期末）在与角终边相同的角中，最大的负角为______． 【技巧总结】 1.终边相同角统一公式 2.判断两角终边相同只需验证两角差值为360度整数倍 3.已知角度求指定范围内终边相同角只需对整数k取值筛选 4.终边相同的角三角函数值完全相等 【变式训练2-1】（25-26高一上·上海·期末）与45°角的终边在一条直线上的角的集合为_________． 【变式训练2-2】（25-26高一上·上海·期末）已知，若与的终边相同，且，则_____. 题型3 象限角 例1．（25-26高一下·上海·期中）2026°是第___________象限角 例2．下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【技巧总结】 1.先写出角的通式再根据整数k的取值判断终边所在象限 2.熟记四个象限角的区间通式快速判定角度范围 3.轴线角终边落在坐标轴不属于任何象限 4.可通过取特殊k值代入快速验证象限位置 【变式训练3-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【变式训练3-2】（24-25高一下·上海金山·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 题型4 弧长的计算 例1．（25-26高一下·上海浦东新·期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长是_____________. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 【技巧总结】 1.弧长公式运算时圆心角必须使用弧度制角度必须提前换算 2.已知半径圆心角直接代公式计算 3.已知弧长半径可反向求解圆心角注意最后还原单位 4.弧长大小与圆心角半径成正比例关系 【变式训练4-1】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________. 【变式训练4-2】（25-26高一上·上海·期末）如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则_____.    题型5 扇形面积的计算 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 例2．（25-26高一下·上海黄浦·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【技巧总结】 1.灵活选用两套面积公式已知弧长用已知圆心角用 2.圆心角必须统一为弧度制再代入运算 3.已知扇形周长需先拆分弧长与半径再构建方程求解 4.扇形最值问题可转化为二次函数求最值求解 【变式训练5-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【变式训练5-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）如图，扇环的两条弧和的长分别为36cm，12cm，的长度为8cm，则扇环的面积为______cm2．    题型6 由终边上的点求三角函数值 例1．（25-26高一下·上海宝山·期中）若角的终边经过点，则__________. 例2．（25-26高一下·上海徐汇·期中）若任意角的终边经过点，则________． 【技巧总结】 1.已知终边上点先固定步骤求 2.严格按照定义式代入符号运算不随意更改正负 3.三角函数值符号完全由点所在象限决定 4.单位圆上的点可直接用坐标对应正余弦值 【变式训练6-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知角终边过点，则____________. 【变式训练6-2】（2025·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为_______． 题型7 由三角函数的值求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 例2．在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 【技巧总结】 1.根据三角函数定义列出含参数方程规范求解 2.结合角的象限或点的位置判断参数正负舍去增根 3.注意分母不为零避开正切无意义的情况 4.多解问题必须结合题意筛选符合条件的参数 【变式训练7-1】已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【变式训练7-2】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则_______ 题型8 各象限角的三角函数值的符合判断 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 例2．（25-26高一下·上海·期中）若，则点在第___________象限. 【技巧总结】 1.熟记符号口诀一全正二正弦三正切四余弦 2.先判定角所在象限再匹配对应函数符号 3.轴线角函数值为0或无意义单独区分判断 4.复杂角度可先化简为锐角再判断符号 【变式训练8-1】（23-24高二下·上海静安·期中）若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】（25-26高一上·上海静安·期末）“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型9 同角三角函数的平方关系 例1．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，且在第一象限，则______． 例2．（23-24高一下·上海·期末）若，且，则_________． 【技巧总结】 1.利用实现正余弦互相转化 2.开方求值必须结合角的范围判定正负号 3.利用恒等式进行式子替换化简 4.可用于构造方程求解正余弦组合值 【变式训练9-1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知，，且． (1)求实数a的值； (2)求． 【变式训练9-2】（24-25高一上·上海·课后作业）若，求的值. 题型10 同角三角函数的和差积计算 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知，，则的值为___________． 例2．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【技巧总结】 1.熟练运用完全平方公式 2.实现和差与乘积的双向转化知一求一 3.根据角的范围判断和差式最终正负 4.求值优先整体代换避免单独求解单值 【变式训练10-1】（25-26高一上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 【变式训练10-2】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 题型11 同角三角函数的“齐次化” 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知，则的值为_______； 例2．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 【技巧总结】 1.一次齐次式上下同除转化为正切结构 2.二次齐次式上下同除统一化为正切表达式 3.非齐次式利用补成二次齐次式 4.已知正切值可快速代入齐次式整体求值 【变式训练11-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，_____. 【变式训练11-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）若，那么=________． 题型12 诱导公式的化简求值 例1．（2025·上海·模拟预测）已知，则________． 例2．（2026·上海·三模）已知角的终边经过点，则______． 【技巧总结】 1.严格遵循奇变偶不变符号看象限核心法则 2.化简流程统一为负化正大化小最终化为锐角 3.多层诱导公式分步化简单次只处理一组变换 4.化简后必须保证式子最简角度最小 【变式训练12-1】（25-26高一下·上海·期中）化简：______. 【变式训练12-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则___________． 题型13 诱导公式中的“角的配凑” 例1．已知，则__________. 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.观察已知角与目标角的差值构造诱导公式标准角 2.常用配凑方式 3.配凑后利用整体思想代入诱导公式化简 4.不单独拆分角度始终整体处理角的结构 【变式训练13-1】已知，则___________． 【变式训练13-2】已知，则________. 题型14 已知三角函数的值求角 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）分别求出满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)，； (3)，． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别求满足下列条件的角x的集合. (1)，； (2)，； (3)，. 【技巧总结】 1.第一步判断符号由三角函数值正负确定角所在象限 2.第二步求参考角不考虑符号求出对应锐角 3第三步结合象限写出范围内所有符合条件的角 4.第四步利用周期性写出角的全体通解标注 5.题干限定区间时需对通解中整数取值筛选出有效解 6.区分函数主值范围正弦余弦正切对应参考角取值区间不同 7.出现多解时结合函数单调性逐一验证避免漏解或重复解 【变式训练14-1】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别求角x： (1)已知； (2)已知； (3)已知． 【变式训练14-2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求角x： (1)，且x是第三象限的角； (2)，； (3)； (4)． 一、单选题 1．（25-26高一上·上海·期末）角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 2．（25-26高一上·上海松江·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”别号．如图是折扇的示意图，其中，，为中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）．    A． B．18000 C．36000 D． 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期中）已知，则______． 4．（25-26高一下·上海奉贤·期中）若，，则________． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则__________． 6．（25-26高一下·上海·期中）已知扇形半径为1，圆心角为，则面积为________. 7．（25-26高一上·河南周口·期末）已知一个扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________. 8．（24-25高一下·天津·期中）的终边在第______象限． 9．（24-25高一下·上海·期中）用弧度制表示终边在直线上的所有角组成的集合是__________. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则__________. 11．（25-26高一下·上海·期中）已知为锐角，且，则__________. 12．（25-26高一下·上海·期中）已知，且为第二象限角，则______. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）角与单位圆的交点坐标为_________. 14．（24-25高二下·上海·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为______． 15．（22-23高一上·上海宝山·期末）若扇形的周长为16，问当圆心角为______时，扇形面积最大？ 16．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知一个扇形的周长为，若该扇形的弧长为 ，则该扇形的圆心角为___________. 17．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是__________. ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 18．（25-26高一下·上海·期中）已知点，将OA绕坐标原点顺时针旋转至OB，则B的坐标是______； 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为_________. 20．（25-26高一上·上海·期末）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题 21．（24-25高一下·上海·期中）已知角 的终边经过点 (1)求 的值； (2)求 的值． 22．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $