复习专题02 正弦、余弦、正切、余切（10重点+23题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题02 正弦、余弦、正切、余切 知识点1 角度制与弧度制 在平面几何中，我们把周角的 作为 1 度．用＂度＂作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长为 ，那么 就是角 的弧度（角 的弧度数通常也用 来表示），即 ，零角的弧度数为 0 ．从弧度的定义不难得知，周角为 弧度，即 弧度；平角为 弧度，即 弧度．从而有 注意： （1）用弧度为单位表示角的大小时，＂弧度＂或＂rad＂可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，而用角度为单位表示角的大小时，＂度＂或＂0＂不可以省略． 如 ，而 ． （2）角度为六十进制，弧度与实数一样，为十进制． 某场数学考试时长1.5小时，在此期间分针转过的弧度数为 . 【答案】 【分析】由1.5小时内分针转了1.5周，是顺时针方向，由此求出结果． 【详解】解：考试时长1.5小时，分针转了1.5周，是顺时针方向， 所以分针转过的弧度数为． 故答案为：． 知识点2 弧长与扇形面积公式 扇形的弧长与面积公式的两种表示 类别 角度制 弧度制 弧长公式 面积公式 注意事项 是圆心角的角度数 是圆心角的弧度数 （1）在弧度制下的扇形面积公式 与三角形面积公式 （其中 是三角形长为 的一边上的高）的结构形式非常相似，可类比记忆。 （2）利用公式 ，由 、、、 中的任意两个量可以求出另外的两个量，即＂知二求二＂． 半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为 弧度. 【答案】1 【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可 【详解】半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度， 故答案为：1 （23-24高一上·上海虹口·期末）若扇形的圆心角是，其所在圆的半径是2，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：该扇形的面积为. 故答案为：. 知识点3 任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 对任意角 ，在平面直角坐标系中，设 的终边上任取异于原点的一点 ，设其坐标为 ，并令 ，必有 ． （1）比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ； （2）比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ； （3）比值 叫做 的正切，记作 ，即 ； （4）比值 叫做 的余切，记作 ，即 ． （1） ，其 中 ， ，其中， ． （2）由正弦、余弦、正切、余切的定义可知，对于任意角 、 都有意义． 任意角的正割、余割的定义 （1）角 的正割： （2）角 的余割： 已知角的终边上有一点，则 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数定义可得答案. 【详解】. 故答案为：. 知识点4 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 如图,点的横坐标和纵坐标的符号确定了正弦、余弦、正切及余切值的符号. 若，则点位于第 象限. 【答案】二 【分析】根据给定条件，利用三角函数的符号法则判断作答. 【详解】因，则， 所以点位于第二象限. 故答案为：二 知识点5 单位圆中任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 半径为1个单位的圆称为单位圆 设是一个任意角，，如图,它的终边与单位圆相交于点 ，点 的纵坐标 叫做 的正弦比值，记作 ，即 ；点 的横坐标 叫做 的余弦比值，记作 ，即 ；把点 的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 . 如图，记忆 、、、 的正弦、余弦、正切值． 角与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解. 【详解】因为，可知角与角的终边相同， 且，， 所以角与单位圆的交点坐标为. 故答案为：. 知识点6 同角的正弦、余弦、正切、余切的基本关系式 1．平方关系： ． 2．商数关系： ， . 3．倒数关系： （ 、 都有意义）． 同角正弦、余弦、正切、余切的变形公式 (1) ; . (2) ; (3) ; 已知，，则 . 【答案】 【分析】结合角的范围，用同角的平方关系即可求解. 【详解】，，，， . 故答案为： 知识点7 sinαcosα与sinα±cosα的关系 已知 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代人的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1) ; (2) ; (3) . 已知，则 . 【答案】 【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵，则， 即，故. 故答案为：. 知识点8 正、余弦齐次式的应用 齐次式是一种特殊的多元多项式。 (1)若数域上的元多项式各项的次数都等于,则称该多项式为元次齐次多项式,简称次齐式,亦称个变量的次型 通俗地讲，所谓齐次就是到齐的意思，合并同类项后，各项次数都相同的多项式，如 是一次齐次式；比如说 ，这样二次项全部到齐，所以是二次齐次式．二次以上的齐次多项式也是这样的． （2）已知 ，可以求 或 的值，将分子分母同除以 或 ，化成关于 的式子，从而达到求值的目的． 已知，则_______. 【答案】/ 【分析】根据三角函数的基本关系式，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：. 知识点9 2kπ+α（k∈Z），-α,π±a的诱导公式 角 图示（单位圆） 与终边关系 相同 关于轴 对称 关于原点 对称 关于轴对称 诱导公式 正弦 sin a -sin a -sin a sin a 余弦 cos a cos a -cos a -cos a 正切 tan a -tan a tan a -tan a 余切 cot a -cot a cot a -cot a 口诀 函数名不变,符号看象限(为锐角) 化简： ． 【答案】2 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】原式 故答案为：2 知识点10 ±α的诱导公式 角 图示(单位圆) 对称关系 点 与点 关于直线 对称 点 与点 关于直线 对称，点 与点 关于 轴对称 诱导公式 正弦 cos a cos a 余弦 sin a -sin a 正切 cot a -cot a 余切 tan a -tan a 口诀 函数名改变,符号看象限(为锐角) (1)利用诱导公式进行三角比求值时，一般要将其转化为求锐角三角比值问题，再利用特殊角的三角比值求解. (2)对于非特殊角,由于计算不出其三角比值，因此要从已知角的关系上进行突破.很多题目“加一加”或“减一减”会找到角之间的关系，从而找到突破口. （24-25高一下·上海普陀·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据诱导公式直接进行化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 知识点11 简单三角方程的解集 以角为未知数的方程叫做三角方程.满足三角方程的所有的解的集合叫做三角方程的解集. 已知三角比值求角的结论: 图示 解集 已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦函数及正切函数的函数值，求出所对应的x的值，即集合A，B，再求 【详解】, ， 那么. 故答案为： 考点一．弧度的概念 例1（24-25高一下·上海·期中）“为锐角”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【详解】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 1-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 1-2（24-25高一下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 . 1-3（23-24高一下·上海·阶段练习）2024弧度的角在第 象限. 考点二．用弧度制表示角的集台 例2（24-25高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了 ．（用弧度制表示） 【答案】 【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可. 【详解】因为1小时内分针转过了，所以1小时内秒针转过了. 故答案为： 2-1（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是 . ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 2-2（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 2-3在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 考点三．角度化为弧度 例3（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制. 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 3-1（24-25高一下·上海嘉定·期中）化为弧度是 弧度. 3-2（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 . 3-3（24-25高一下·上海浦东新·期中） 弧度. 考点四．弧度化为角度 例4（24-25高一下·上海长宁·期中）3弧度是第 象限角． 【答案】二 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度，3弧度， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 4-1（24-25高一下·上海·阶段练习）4弧度是第 象限角． 4-2将弧度化为角度：弧度= °． 4-3已知，若与的终边相同，且，则 考点五．弧长的有关计算 例5（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 . 【答案】 【分析】根据弧长公式计算可得. 【详解】因为扇形的半径，圆心角， 所以扇形的弧长. 故答案为：. 5-1（24-25高一下·上海·期中）圆心角为，面积为的扇形的周长是 cm． 5-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为 . 5-3（24-25高一下·上海宝山·期中）已知圆心角为的扇形面积等于 ，则该扇形的弧长为 . 考点六．扇形面积的有关计算 例6（24-25高一下·上海松江·阶段练习）半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据扇形面积公式进行求解，得到答案. 【详解】扇形圆心角为，半径， 由扇形面积公式得. 故答案为： 6-1（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为 . 6-2（24-25高一下·上海·期中）已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的半径为 ． 6-3（24-25高一下·上海·期中）若扇形的面积为，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ． 考点七．扇形弧长公式与面积公式的应用 例7（24-25高一下·上海·期中）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于 . 【答案】 【分析】根据扇形面积与半径及圆心角的大小关系列方程求解即可. 【详解】扇形的半径，它的圆心角为， 所以扇形面积，所以 故它的圆心角等弧度， 故答案为： 7-1（24-25高一下·上海·阶段练习）在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是 . 7-2（23-24高一下·上海·期中）已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 7-3（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 考点八．利用定义求某角的三角函数值 例8（24-25高一下·上海·阶段练习）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)若，求渔网长度； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】(1)； (2)面积最小值为，； (3) 【分析】（1）过点作垂直于，垂足为，解三角形求，由此可得结论； （2）解三角形求，表示，利用基本不等式求其最小值，并确定取最小值条件； （3）解三角形求，表示两个遮阳蓬面积和，结合平方关系，巧用基本不等式求最小值可得结论. 【详解】（1）过点作垂直于，垂足为， 则， 所以， 所以. 则当时，. （2）， 所以， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. （3）因为， 设两遮阳蓬面积和为， 则 当且仅当，即时取等号. 所以两遮阳蓬面积和的最小值为. 8-1（22-23高一下·上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则 ． 8-2（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 8-3（22-23高一下·上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则 考点九．由终边或终边上的点求三角函数值 例9（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故答案为：. 9-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则 . 9-2（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边经过点，则 ． 9-3（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，角的终边上有一点，则 ． 考点十．由三角函数值求终边上的点或参数 例10（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 10-1（23-24高一下·上海·阶段练习）若角的终边经过点，且，则 . 10-2（23-24高一下·上海·阶段练习）已知角α的终边与单位圆交于点P，若，则点P的坐标是 ； 10-3（23-24高一上·上海·期末）已知点在角的终边上，且，则 ． 考点十一．特殊角的三角函数值 例11（24-25高一下·上海青浦·期中）方程，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知，结合对应余弦值，则，即可得. 【详解】由题设，又，则，可得. 故答案为： 11-1（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，.则函数所有零点组成的集合为 . 11-2（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）计算 ． 11-3（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点十二．各象限角三角函数值的符号 例12（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第 象限角． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案为：二 12-1（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 12-2（24-25高一下·上海·阶段练习）已知命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则必定是第一或者第二象限角； ④若是第一或者第二象限角，则． 则上述命题是真命题的个数为 ． 12-3（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则是第 象限的角. 考点十三．已知正(余)弦求余(正)弦 例13（24-25高一下·上海闵行·期中）已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系求解. 【详解】因为为锐角，且， 所以， 所以， 故答案为： 13-1（24-25高一下·上海闵行·期中）若，，则的值为 ． 13-2（24-25高一下·上海长宁·期中）已知是第四象限角，且，则 ． 13-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是第四象限角，，则 . 考点十四．sina 例14（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 14-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 14-2（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知三角形内角满足，则 . 14-3（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 考点十五．已知弦(切)求切(弦) 例15（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角是第四象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】由，利用平方关系求，再由商的关系求. 【详解】因为，角是第四象限角， 所以，又， 所以， 又，所以. 故答案为：. 15-1（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则 . 15-2（24-25高一下·上海·阶段练习）设 是第一象限的角，若 ，则 . 15-3（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点十六．正、余弦齐次式的计算 例16（24-25高一下·上海金山·期中）已知，则 ． 【答案】/0.3 【分析】由平方关系、商数关系即可求解. 【详解】，． 故答案为：. 16-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则 ． 16-2（24-25高一下·上海·期中）若，则 . 16-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则= ． 考点十七．三角函数的化简、求值--同角三角函数基本关系 例17（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由同角的三角函数计算可得. 【详解】. 故答案为：. 17-1（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则 ． 17-2（23-24高一下·上海·阶段练习），则 . 17-3（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 考点十八．诱导公式一 例18（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，则，，或，，则必要性不成立； 综上所述：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 18-1 . 18-2化简： ． 18-3，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 考点十九．诱导公式二、三、四 例19（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 【答案】/ 【分析】由条件结合三角函数定义求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点， 所以点到原点的距离为， 所以， 所以， 故答案为：. 19-1（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 19-2（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则 . 19-3（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有 个真子集． 考点二十．诱导公式五、六 例20（24-25高一下·上海·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】. 故答案为：. 20-1（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则 ． 20-2（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 20-3（24-25高一下·上海·期中）化简 . 考点二十一．三角函数的化简、求值--诱导公式 例21（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角的终边经过点，则   . 【答案】 【分析】利用诱导公式结合三角函数的定义可求得所求代数式的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故答案为：. 21-1（24-25高一下·上海浦东新·期中）若，则 . 21-2（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 21-3（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，是第三象限角，则 ． 考点二十二 正切函数的诱导公式 例22（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】2 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 22-1（22-23高三上·上海静安·期中）已知则 . 22-2（21-22高一下·上海长宁·期中）化简： ． 22-3（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 22-4（24-25高一下·上海·开学考试）已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 考点二十三．已知三角函数值求角 例23（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)若角与角的终边关于轴对称，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式化简求值； （2）根据对称关系得到，再根据两角差的余弦公式计算可得； 23-1（24-25高一下·上海·期中）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 23-2（24-25高一下·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 23-3（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，，则 . 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 7．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角的终边经过点，则   . 8．（2025·上海宝山·三模）已知，则 . 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则 ． 10．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)若角与角的终边关于轴对称，求． 11．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性. (2)若，求角.（用反三角符号表示） 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 13．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 14．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有 个真子集． 16．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    17．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题02 正弦、余弦、正切、余切 知识点1 角度制与弧度制 在平面几何中，我们把周角的 作为 1 度．用＂度＂作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长为 ，那么 就是角 的弧度（角 的弧度数通常也用 来表示），即 ，零角的弧度数为 0 ．从弧度的定义不难得知，周角为 弧度，即 弧度；平角为 弧度，即 弧度．从而有 注意： （1）用弧度为单位表示角的大小时，＂弧度＂或＂rad＂可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，而用角度为单位表示角的大小时，＂度＂或＂0＂不可以省略． 如 ，而 ． （2）角度为六十进制，弧度与实数一样，为十进制． 某场数学考试时长1.5小时，在此期间分针转过的弧度数为 . 【答案】 【分析】由1.5小时内分针转了1.5周，是顺时针方向，由此求出结果． 【详解】解：考试时长1.5小时，分针转了1.5周，是顺时针方向， 所以分针转过的弧度数为． 故答案为：． 知识点2 弧长与扇形面积公式 扇形的弧长与面积公式的两种表示 类别 角度制 弧度制 弧长公式 面积公式 注意事项 是圆心角的角度数 是圆心角的弧度数 （1）在弧度制下的扇形面积公式 与三角形面积公式 （其中 是三角形长为 的一边上的高）的结构形式非常相似，可类比记忆。 （2）利用公式 ，由 、、、 中的任意两个量可以求出另外的两个量，即＂知二求二＂． 半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为 弧度. 【答案】1 【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可 【详解】半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度， 故答案为：1 （23-24高一上·上海虹口·期末）若扇形的圆心角是，其所在圆的半径是2，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：该扇形的面积为. 故答案为：. 知识点3 任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 对任意角 ，在平面直角坐标系中，设 的终边上任取异于原点的一点 ，设其坐标为 ，并令 ，必有 ． （1）比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ； （2）比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ； （3）比值 叫做 的正切，记作 ，即 ； （4）比值 叫做 的余切，记作 ，即 ． （1） ，其 中 ， ，其中， ． （2）由正弦、余弦、正切、余切的定义可知，对于任意角 、 都有意义． 任意角的正割、余割的定义 （1）角 的正割： （2）角 的余割： 已知角的终边上有一点，则 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数定义可得答案. 【详解】. 故答案为：. 知识点4 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 如图,点的横坐标和纵坐标的符号确定了正弦、余弦、正切及余切值的符号. 若，则点位于第 象限. 【答案】二 【分析】根据给定条件，利用三角函数的符号法则判断作答. 【详解】因，则， 所以点位于第二象限. 故答案为：二 知识点5 单位圆中任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 半径为1个单位的圆称为单位圆 设是一个任意角，，如图,它的终边与单位圆相交于点 ，点 的纵坐标 叫做 的正弦比值，记作 ，即 ；点 的横坐标 叫做 的余弦比值，记作 ，即 ；把点 的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 . 如图，记忆 、、、 的正弦、余弦、正切值． 角与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解. 【详解】因为，可知角与角的终边相同， 且，， 所以角与单位圆的交点坐标为. 故答案为：. 知识点6 同角的正弦、余弦、正切、余切的基本关系式 1．平方关系： ． 2．商数关系： ， . 3．倒数关系： （ 、 都有意义）． 同角正弦、余弦、正切、余切的变形公式 (1) ; . (2) ; (3) ; 已知，，则 . 【答案】 【分析】结合角的范围，用同角的平方关系即可求解. 【详解】，，，， . 故答案为： 知识点7 sinαcosα与sinα±cosα的关系 已知 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代人的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1) ; (2) ; (3) . 已知，则 . 【答案】 【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】∵，则， 即，故. 故答案为：. 知识点8 正、余弦齐次式的应用 齐次式是一种特殊的多元多项式。 (1)若数域上的元多项式各项的次数都等于,则称该多项式为元次齐次多项式,简称次齐式,亦称个变量的次型 通俗地讲，所谓齐次就是到齐的意思，合并同类项后，各项次数都相同的多项式，如 是一次齐次式；比如说 ，这样二次项全部到齐，所以是二次齐次式．二次以上的齐次多项式也是这样的． （2）已知 ，可以求 或 的值，将分子分母同除以 或 ，化成关于 的式子，从而达到求值的目的． 已知，则_______. 【答案】/ 【分析】根据三角函数的基本关系式，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：. 知识点9 2kπ+α（k∈Z），-α,π±a的诱导公式 角 图示（单位圆） 与终边关系 相同 关于轴 对称 关于原点 对称 关于轴对称 诱导公式 正弦 sin a -sin a -sin a sin a 余弦 cos a cos a -cos a -cos a 正切 tan a -tan a tan a -tan a 余切 cot a -cot a cot a -cot a 口诀 函数名不变,符号看象限(为锐角) 化简： ． 【答案】2 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】原式 故答案为：2 知识点10 ±α的诱导公式 角 图示(单位圆) 对称关系 点 与点 关于直线 对称 点 与点 关于直线 对称，点 与点 关于 轴对称 诱导公式 正弦 cos a cos a 余弦 sin a -sin a 正切 cot a -cot a 余切 tan a -tan a 口诀 函数名改变,符号看象限(为锐角) (1)利用诱导公式进行三角比求值时，一般要将其转化为求锐角三角比值问题，再利用特殊角的三角比值求解. (2)对于非特殊角,由于计算不出其三角比值，因此要从已知角的关系上进行突破.很多题目“加一加”或“减一减”会找到角之间的关系，从而找到突破口. （24-25高一下·上海普陀·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据诱导公式直接进行化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 知识点11 简单三角方程的解集 以角为未知数的方程叫做三角方程.满足三角方程的所有的解的集合叫做三角方程的解集. 已知三角比值求角的结论: 图示 解集 已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦函数及正切函数的函数值，求出所对应的x的值，即集合A，B，再求 【详解】, ， 那么. 故答案为： 考点一．弧度的概念 例1（24-25高一下·上海·期中）“为锐角”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【详解】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 1-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【分析】由圆心角定义得解. 【详解】根据圆心角定义可知，， 故答案为： 1-2（24-25高一下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 . 【答案】/ 【分析】根据时针旋转一周为小时，转过的角度为计算可得. 【详解】因为时针旋转一周为小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角， 所以经过小时，时针所转过的弧度数为. 故答案为：. 1-3（23-24高一下·上海·阶段练习）2024弧度的角在第 象限. 【答案】一 【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解即可. 【详解】因为， 可知2024弧度的角的终边在第一象限， 所以2024弧度的角在第一象限. 故答案为：一. 考点二．用弧度制表示角的集台 例2（24-25高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了 ．（用弧度制表示） 【答案】 【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可. 【详解】因为1小时内分针转过了，所以1小时内秒针转过了. 故答案为： 2-1（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是 . ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【答案】②④ 【分析】①③举反例即可；②与的终边关于轴对称即可判断；④分别写出终边在直线上，在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可. 【详解】对于①，与终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确； 对于②，因为与的终边关于轴对称，故②正确； 对于③，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故③不正确； 对于④，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是 ； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是，故④正确. 故选：②④. 2-2（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在轴正半轴上的角的集合是 （用弧度表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，直接写出结论即得. 【详解】在内，终边在轴正半轴上的角为， 所以终边在轴正半轴上的角的集合是. 故答案为： 2-3在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中 【答案】图形见详解 【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线. 考点三．角度化为弧度 例3（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制. 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 3-1（24-25高一下·上海嘉定·期中）化为弧度是 弧度. 【答案】/ 【分析】根据条件，利用角度与弧度的转化，即可求解. 【详解】因为， 故答案为：. 3-2（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 . 【答案】/ 【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可. 【详解】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转，即顺时针旋转弧度， 因此，分针转过的弧度数是. 故答案为：. 3-3（24-25高一下·上海浦东新·期中） 弧度. 【答案】/ 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 考点四．弧度化为角度 例4（24-25高一下·上海长宁·期中）3弧度是第 象限角． 【答案】二 【分析】判断角的终边在第几象限即可. 【详解】1弧度，3弧度， 3弧度的角的终边在第二象限，3弧度是第二象限角. 故答案为：二. 4-1（24-25高一下·上海·阶段练习）4弧度是第 象限角． 【答案】三 【分析】利用角度与弧度的互化，转化成角度，进而得出答案． 【详解】，故4弧度角是第三象限角． 故答案为：三 4-2将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【详解】. 故答案为： 4-3已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解. 【详解】因为与的终边相同， 且，即， 所以， 故答案为：或 考点五．弧长的有关计算 例5（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为 . 【答案】 【分析】根据弧长公式计算可得. 【详解】因为扇形的半径，圆心角， 所以扇形的弧长. 故答案为：. 5-1（24-25高一下·上海·期中）圆心角为，面积为的扇形的周长是 cm． 【答案】 【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式得，解出，即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 由题有，解得，所以扇形的周长为， 故答案为：. 5-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为 . 【答案】 【分析】由条件结合弧长公式求半径，再利用扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 由已知，， 由弧长公式可得， 所以，故， 所以该扇形的面积. 故答案为：. 5-3（24-25高一下·上海宝山·期中）已知圆心角为的扇形面积等于 ，则该扇形的弧长为 . 【答案】 【分析】设扇形的半径为,由扇形的面积公式求出，再由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，因为圆心角， 所以扇形面积，解得（负值已舍去）， 所以该扇形的弧长. 故答案为： 考点六．扇形面积的有关计算 例6（24-25高一下·上海松江·阶段练习）半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据扇形面积公式进行求解，得到答案. 【详解】扇形圆心角为，半径， 由扇形面积公式得. 故答案为： 6-1（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的半径为 . 【答案】 【分析】根据扇形面积公式直接可得解. 【详解】由已知扇形圆心角， 则扇形面积， 解得扇形半径， 故答案为：. 6-2（24-25高一下·上海·期中）已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】根据已知圆心角和扇形的面积公式求解半径. 【详解】根据扇形的面积公式, 则. 故答案为：. 6-3（24-25高一下·上海·期中）若扇形的面积为，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】设扇形的弧长为，半径为，则，利用扇形的面积公式可求得的值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则， 故扇形的面积为，解得. 故答案为：. 考点七．扇形弧长公式与面积公式的应用 例7（24-25高一下·上海·期中）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于 . 【答案】 【分析】根据扇形面积与半径及圆心角的大小关系列方程求解即可. 【详解】扇形的半径，它的圆心角为， 所以扇形面积，所以 故它的圆心角等弧度， 故答案为： 7-1（24-25高一下·上海·阶段练习）在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是 . 【答案】方案一 【分析】根据题意，由弦长公式以及扇形面积公式，分别求出两种方案对应的弧长和扇形面积，比较大小，即可得出结果. 【详解】是顶角为，腰长为2的等腰三角形， ，易解得 方案一中扇形的弧长，方案二中扇形的弧长， ，故方案一中扇形的弧长更短，切割时间短； 方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积， 故两个方案中扇形的面积相等. 两种方案利用废料面积相等，方案一所需切割时间更短，故选择方案一. 故答案为：方案一. 7-2（23-24高一下·上海·期中）已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为 弧度. 【答案】2 【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 由题意可得，解得， 所以该扇形的圆心角大小为2弧度. 故答案为：2. 7-3（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 考点八．利用定义求某角的三角函数值 例8（24-25高一下·上海·阶段练习）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. (1)若，求渔网长度； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值； (3)若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】(1)； (2)面积最小值为，； (3) 【分析】（1）过点作垂直于，垂足为，解三角形求，由此可得结论； （2）解三角形求，表示，利用基本不等式求其最小值，并确定取最小值条件； （3）解三角形求，表示两个遮阳蓬面积和，结合平方关系，巧用基本不等式求最小值可得结论. 【详解】（1）过点作垂直于，垂足为， 则， 所以， 所以. 则当时，. （2）， 所以， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. （3）因为， 设两遮阳蓬面积和为， 则 当且仅当，即时取等号. 所以两遮阳蓬面积和的最小值为. 8-1（22-23高一下·上海静安·期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据角的终边上的点的坐标，结合三角函数的定义，列式计算，即得答案. 【详解】由题意得点到原点O的距离为， 故由得，解得， 故答案为： 8-2（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 8-3（22-23高一下·上海青浦·期中）若点是角终边上的一点，则 【答案】/ 【分析】由终边上的点及三角函数的定义求余弦值即可. 【详解】由三角函数定义. 故答案为： 考点九．由终边或终边上的点求三角函数值 例9（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故答案为：. 9-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则 . 【答案】/ 【分析】先利用指数函数定义求出定点坐标，再利用正弦函数定义可得. 【详解】因为函数过定点，由指数函数性质可知点横坐标为3， 代入可得，由正弦函数定义可知. 故答案为：. 9-2（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故答案为： 9-3（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，角的终边上有一点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边上有一点，所以. 故答案为：. 考点十．由三角函数值求终边上的点或参数 例10（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 10-1（23-24高一下·上海·阶段练习）若角的终边经过点，且，则 . 【答案】 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可知， 即，解得. 故答案为：. 10-2（23-24高一下·上海·阶段练习）已知角α的终边与单位圆交于点P，若，则点P的坐标是 ； 【答案】 【分析】根据三角函数的定义即可得解. 【详解】由题意可得点P的坐标是，即. 故答案为：. 10-3（23-24高一上·上海·期末）已知点在角的终边上，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为点在角的终边上，且，则， 且有，解得. 故答案为：. 考点十一．特殊角的三角函数值 例11（24-25高一下·上海青浦·期中）方程，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知，结合对应余弦值，则，即可得. 【详解】由题设，又，则，可得. 故答案为： 11-1（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数，.则函数所有零点组成的集合为 . 【答案】 【分析】求函数的零点，令，在区间内，解出即可. 【详解】令，则， 因为，所以和， 则函数所有零点组成的集合为. 故答案为：. 11-2（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）计算 ． 【答案】/ 【分析】根据特殊角的三角函数可直接写出答案. 【详解】因为. 故答案为： 11-3（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在中，，通过解不等式即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 考点十二．各象限角三角函数值的符号 例12（24-25高一下·上海闵行·期中）已知且，则为第 象限角． 【答案】二 【分析】根据三角函数在各象限符号求解. 【详解】因为时，终边在第一、第二象限或轴正半轴上， 时，终边在第二、第三象限或轴负半轴上， 所以为第二象限角. 故答案为：二 12-1（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再由三角函数值逐个判断可得. 【详解】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 12-2（24-25高一下·上海·阶段练习）已知命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则必定是第一或者第二象限角； ④若是第一或者第二象限角，则． 则上述命题是真命题的个数为 ． 【答案】 【分析】对于①和③，只需举反例说明不成立即可；对于②，应考虑判断该命题的逆否命题为真即得；对于④，利用象限角的特征和三角函数的定义即可判断. 【详解】对于①，若取，显然满足，但是，故①错误； 对于②，若，利用三角函数的定义，必有， 故其逆否命题：“若，则”为真命题，即②正确； 对于③，当时，，但不是象限角，故③错误； 对于④，因第一或者第二象限角的终边上的点的纵坐标为正数， 由三角函数值的定义可知，故④正确. 故答案为：2. 12-3（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则是第 象限的角. 【答案】一或第三 【分析】由已知的 和 必须同号.根据正余弦的符号分类讨论可得. 【详解】当 时， 和 必须同号. 第一象限： 且 ，满足条件. 第三象限： 且 ，乘积仍为正，满足条件. 第二、四象限中， 和 异号，乘积为负，不满足条件. 综上， 是第一或第三象限的角. 故答案为：一或第三 考点十三．已知正(余)弦求余(正)弦 例13（24-25高一下·上海闵行·期中）已知为锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系求解. 【详解】因为为锐角，且， 所以， 所以， 故答案为： 13-1（24-25高一下·上海闵行·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，，则. 故答案为：. 13-2（24-25高一下·上海长宁·期中）已知是第四象限角，且，则 ． 【答案】/-0.8 【分析】根据所在的象限，及平方关系计算即可. 【详解】因为是第四象限角，且， 所以， 故答案为：. 13-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知是第四象限角，，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为是第四象限角，， 所以，则. 故答案为： 考点十四．sina 例14（24-25高一下·上海普陀·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可求得，进而可得，求得的值，可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以， 又，所以，所以，所以， 又， 所以. 14-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 14-2（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知三角形内角满足，则 . 【答案】 【分析】首先将两边平方求出，再根据计算可得. 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 所以. 故答案为： 14-3（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 考点十五．已知弦(切)求切(弦) 例15（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角是第四象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】由，利用平方关系求，再由商的关系求. 【详解】因为，角是第四象限角， 所以，又， 所以， 又，所以. 故答案为：. 15-1（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由正、余弦的齐次式，利用同角间的关系弦化切，即可代入求值. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 15-2（24-25高一下·上海·阶段练习）设 是第一象限的角，若 ，则 . 【答案】/ 【分析】由是第一象限角，，利用平方关系求得，进而可求，根据商数关系即可求得的值. 【详解】∵是第一象限角，， ∴， ∴ 故答案为：. 15-3（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是第三象限角和商数关系结合即可求解. 【详解】因为，所以即， 又因为，所以，解得， 因为是第三象限角，所以. 故选：D. 考点十六．正、余弦齐次式的计算 例16（24-25高一下·上海金山·期中）已知，则 ． 【答案】/0.3 【分析】由平方关系、商数关系即可求解. 【详解】，． 故答案为：. 16-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 16-2（24-25高一下·上海·期中）若，则 . 【答案】2 【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以即可得到答案. 【详解】由，可知，故. 故答案为：2. 16-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，则= ． 【答案】/ 【分析】利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 考点十七．三角函数的化简、求值--同角三角函数基本关系 例17（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由同角的三角函数计算可得. 【详解】. 故答案为：. 17-1（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则 ． 【答案】5 【分析】由题意可得，，从而可求的m的值，举例可得n的值，即可得出答案. 【详解】由为锐角，得，当且仅当时取等号， 同理，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 则， 因此不可能有3个数都大于，即最多2个数大于，例如，； 取，则， 因此三个数均可能小于，则； 所以. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式推导得到是求解的关键. 17-2（23-24高一下·上海·阶段练习），则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的基本关系式，结合，即可求解. 【详解】由三角函数的基本关系式，可得. 其中或取正值，当或时取负值. 故答案为：. 17-3（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （2） 考点十八．诱导公式一 例18（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，则，，或，，则必要性不成立； 综上所述：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 18-1 . 【答案】0 【分析】根据诱导公式直接求值即可. 【详解】. 故答案为：0. 18-2化简： ． 【答案】 【分析】利用诱导公式进行化简即得. 【详解】原式. 故答案为：. 18-3，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 【答案】B 【分析】根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算即得. 【详解】因，则当k是奇数时，， 当k是偶数时，， 所以 故选：B 考点十九．诱导公式二、三、四 例19（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 【答案】/ 【分析】由条件结合三角函数定义求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点， 所以点到原点的距离为， 所以， 所以， 故答案为：. 19-1（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 19-2（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的关系以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 可得，所以； 故答案为： 19-3（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有 个真子集． 【答案】/ 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 考点二十．诱导公式五、六 例20（24-25高一下·上海·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】. 故答案为：. 20-1（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 20-2（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】由，得， . 故答案为：. 20-3（24-25高一下·上海·期中）化简 . 【答案】-1 【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解. 【详解】. 故答案为： 考点二十一．三角函数的化简、求值--诱导公式 例21（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角的终边经过点，则   . 【答案】 【分析】利用诱导公式结合三角函数的定义可求得所求代数式的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故答案为：. 21-1（24-25高一下·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】/ 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】若，得到，则，又，则，则. 故答案为：. 21-2（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据三角诱导公式，得到，再由，即可得到答案. 【详解】由，又由. 故答案为：. 21-3（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，是第三象限角，则 ． 【答案】 【分析】根据所给条件，利用诱导公式及同角间关系公式计算得解. 【详解】由，得，则， 由，又是第三象限角，则， 所以. 故答案为：. 考点二十二 正切函数的诱导公式 例22（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】2 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 22-1（22-23高三上·上海静安·期中）已知则 . 【答案】0 【知识点】正、余弦齐次式的计算、正切函数的诱导公式 【分析】根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由，可得，故. 故答案为：0 22-2（21-22高一下·上海长宁·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、正切函数的诱导公式 【分析】结合诱导公式与同角的商数关系进行化简整理即可. 【详解】 故答案为：. 22-3（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、正切函数的诱导公式 【分析】（1）由商数关系得，再应用诱导公式求函数值； （2）应用齐次式得到关于的表达式，即可求值. 【详解】（1）由，则，得， 所以； （2）. 22-4（24-25高一下·上海·开学考试）已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式、正切函数的诱导公式 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由已知，根据诱导公式和商数关系得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，结合为第三象限的角，即可得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 考点二十三．已知三角函数值求角 例23（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)若角与角的终边关于轴对称，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式化简求值； （2）根据对称关系得到，再根据两角差的余弦公式计算可得； 【详解】（1）因为角的终边过点， 可知角的终边在第一象限，且， 则. （2）因为角和角的终边关于轴对称，且， 所以， 因为角的终边在第一象限，所以的终边在第四象限，所以 23-1（24-25高一下·上海·期中）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 【答案】(1) (2)24， 【分析】（1）由题意可得出，进而求解； （2）由（1）得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）如图，    由图可知， 所以； （2）由（1）得， ， 则 当且仅当时取等号. 此时，所以. 23-2（24-25高一下·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】由充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 23-3（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知，，则 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求出角. 【详解】由，，所以或. 故答案为：或 1．（24-25高一下·上海奉贤·期中）数学上常常用一个仅由角的大小的比值来度量角的大小，比如把周角的规定为度，把弧长与半径的比值为的角规定为弧度.设扇形的半径为，弧长为，周长为，面积为，则下列比值中不能度量角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算 【分析】将各选项中的代数式进行化简，观察代数式中是否含有，即可得出结论. 【详解】对于A选项，，可以度量； 对于B选项，，可以度量； 对于C选项，，无比值，无法度量； 对于D选项，，可以度量， 故选：C. 2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知点 在第二象限，则 是第（   ）象限的角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、诱导公式五、六 【分析】利用第二象限点的特征求出，，再利用诱导公式和象限角的特征求解即可. 【详解】因为点 在第二象限，所以，， 由诱导公式得，， 则 是第三象限的角，故C正确. 故选：C 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再由三角函数值逐个判断可得. 【详解】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数定义求，结合诱导公式求. 【详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义可得，的值，再利用诱导公式进行化简求值. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，， 所以. 故选：C. 6．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】首先确定终边对应的角，再结合三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，点所在终边为角，，，， 顺时针旋转后终边对应的角为，且， 则，， 所以，，所以. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角的终边经过点，则   . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式结合三角函数的定义可求得所求代数式的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故答案为：. 8．（2025·上海宝山·三模）已知，则 . 【答案】/0.75 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式化简即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)若角与角的终边关于轴对称，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知三角函数值求角、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式化简求值； （2）根据对称关系得到，再根据两角差的余弦公式计算可得； 【详解】（1）因为角的终边过点， 可知角的终边在第一象限，且， 则. （2）因为角和角的终边关于轴对称，且， 所以， 因为角的终边在第一象限，所以的终边在第四象限，所以 11．（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性. (2)若，求角.（用反三角符号表示） 【答案】(1)偶函数；证明见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、反三角函数、函数奇偶性的应用 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可判断； （2）可以先化简内解析式，利用反正弦函数可求得角，再由偶函数可求得另一个解. 【详解】（1）为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称，， ，为偶函数. （2），当， ， 是偶函数， 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用条件化简得出，再利用齐次化的思想解决剩余两问. 【详解】（1）若，则不符合题意，故， 则由可得，得； （2）； （3） 13．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】因为 ， 当时，，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 当时，此时； 又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有个元素； 当时，易知 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，则，， 即， 所以 ， 所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：C 14．（24-25高一下·上海杨浦·期中）某小区南门有条长120米、宽6米的道路（如图1所示的矩形），路的一侧划有20个长6米、宽2.5米的停车位（如矩形）.由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，某数学老师向小区物业提供了一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位（如图2所示）.若绿化带被压缩的宽度为3米，停车位相对道路倾斜的角度，其中.按照该老师的设计方案，该路段改造后的停车位比改造前增加的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】表达出各边长，得到，写出对偶式，计算出，，，设改造后停车位数量最大值为，作出辅助线，表达出顶点到线段距离为，得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，，， 故，故， ，， ，， 则， 即①， 设②， 式子得，解得， 当时，，解得， 因为，，不合要求； 当时，， 解得，满足要求，此时， 设改造后停车位数量最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为， 则顶点到线段距离为， 由图及题意可得，， 由（1）可得， 故， ，， 故， 由，解得，故取， 则该路段改造后的停车位比改造前增加个. 故选：B 15．（24-25高一下·上海徐汇·期中）设集合有 个真子集． 【答案】/ 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、诱导公式二、三、四 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得集合的元素个数为1013，继而得到真子集个数. 【详解】由题意，当时，，此时，， 因是奇数，是偶数，且中的任意两组角都不关于对称，所以的取值各不相同， 因此当时，集合中的取值会随着的增大而增大，所以当时，集合中共有个元素； 当时，易知 又因，故， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时，并没有增加集合中的元素个数， 当，易得： ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 故可得集合的元素个数为1013个，故集合的真子集有个. 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）    【答案】 【知识点】弧长的有关计算、利用定义求某角的三角函数值、由单位圆求三角函数值 【分析】由题意依次分析前24秒的运动情况，发现其是周期性地运动，得到规律即可得出答案. 【详解】由题知：第1秒末：珍珍，花花， 第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇， 第3秒末：珍珍，花花， 第4秒末：珍珍，花花， 第5秒末：珍珍，花花， 第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇， 第7秒末：珍珍，花花， 第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇， 第9秒末：珍珍，花花， 第10秒末：珍珍，花花， 第11秒末：珍珍，花花， 第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇， 第13秒末：珍珍，花花， 第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇， 第15秒末：珍珍，花花， 第16秒末：珍珍，花花， 第17秒末：珍珍，花花， 第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇， 第19秒末：珍珍，花花， 第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇， 第21秒末：珍珍，花花， 第22秒末：珍珍，花花， 第23秒末：珍珍，花花， 第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇， 此后二人的走向与最开始一致，由此可知相遇的坐标顺序为，，，， ，，，，，如此循环往复， 而，所以2025次相遇在， 故答案为：. 17．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）已知若存在整数x，使满足或，则称和互为“x级绝配角” (1)已知在中，角所对边分别为，若，若角A与自己本身互为“x级绝配角”，求：x的值； (2)若对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”，求：； (3)是否存在某一三角形，存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角”，若存在，请给出该三角形的三个内角，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)，其中 (3)不存在，理由见解析 【知识点】由条件等式求正、余弦、正弦定理解三角形、特殊角的三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据条件得，再分类讨论论求出，最后利用正弦定理化简即可求出； （2）从特殊值入手，当时求出，再对任意性进行检验； （3）假设其存在性，再讨论满足题意的所有情况，然后再分类讨论并检验. 【详解】（1）因角A与自己本身互为“x级绝配角”，则， 因，则，故，则，则， 在中利用正弦定理，则化简为， 即， 在中，，则， 得，若，则， 则角均为钝角，不满足题意；若，则， 则角均为锐角，满足题意，故. （2）对任意，存在常数，均有和互为“x级绝配角”， 则对，，有或，其中为常数， 若，由的任意性可得， 取，则； 取，则，故，其中为整数； 取，则，故，其中为整数； 故，矛盾； 故， 则当时，，则， 检验：当时，，若，则为任意整数均可；若，则为整数， 故而当时，对任意，均有x满足和互为“x级绝配角”. （3）不存在，理由如下： 假设存在，存在整数使得其角均互为“x级绝配角”， 若互为“x级绝配角”有或①； 若互为“x级绝配角”有或②； 若互为“x级绝配角”有或③， 则角均互为“x级绝配角”时，则角在①②③中各满足1个， 共8种情况，由于三个字符的轮换性，故而只需研究以下两类即可， 即，或, （i）若， 因，则均为正数， 则， 由，则，则， 因函数在上单调递减，则，故均为锐角， 则化简为， 则，则或（舍）， 故， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. （ii）若， 若角为钝角，则由可得，， 则由，得，则角为钝角，不符合题意， 故为锐角三角形且； 又 ， 则，即，则， 将其代入中得， ，， 则为等边三角形， 检验：当时，化简为， 则不存在整数使得其角均互为“x级绝配角”. 综上，不存在三角形，使存在整数使得其所有内角均互为“x级绝配角” 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$