复习专题03 常用三角公式与解三角形（11重点+24题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题03 常用三角公式与解三角形 知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.两角和与差的正弦公式 （1）公式中的 、 都是任意角． （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即 . （3）注意公式的逆向运用．如： 2.两角和与差的余弦公式 （1） 为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合． （2） 般不成立，但在特殊情况下也可能成立．例如：当 时， ． （3）要注意公式的逆用．如： ． （4）在转化过程中，充分利用诿导公式，构造两角和与差的余较会式的结构形式，然后逆用分式求健。 3.两角和与差的正切公式 在中，，，求的值. 【答案】 【分析】求出，的值，利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则角为钝角，角为锐角， 故，， 因此，. 在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用余弦和角公式展开，代入即可. 【详解】因为在中，，，则，. 故选：D 已知是一元二次方程的两个根，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据，得到，再利用两角差的正切公式求解； （2）利用两角和的正切公式求解. 【详解】（1）解方程得． 因为， 所以， 则． （2）． 因为， 所以， 从而． 知识点2 两角和与差的正切公式的常见变形 知识点3 辅助角公式 1.公式形式 2.推导过程 .由于 ， 若令 ，则 ．其中 的终边所在的象限由点 来确定． （1） ． （其中 ）． （2） ． （其中 ）． （3） ． （其中 ）。 这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦的三角比值与其他常数积的和收缩为一个三角比，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式． 知识点4 二倍角公式 1.正弦公式： 公式： ． 推广 ： ． 2.余弦公式： 公式 推广 （1）二倍角是相对的， $2 a$ 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍，这里䓚含荷换元的思想． （2）在应用二倍角的正切公式时，要注意公式适用的范围，即公式有意义的条件。 3.正切公式： 公式 推广 知识点5 半角公式 （1） , （2） , （3） ， （4）半角正切公式的有理形式： ． 知识点6 积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式： 2.和差化积公式： 知识点7 万能公式 知识点8 三角形的面积公式 三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 推论： ， 其中 为 的外接圆的半径． 三角形常用面积公式 （1） 表示边 上的高）． （2） 是三角形内切圆的半径）． （3） 即海伦公式，其中 c），为 的半周长． 知识点9 正弦定理 1.正弦定理 2.正弦定理的推广及常用变形公式 在 中，若角 、、 所对边的边长分别为 、、 ，其外接圆半径为 ，则 （1） ． （2） ． （3） ． （4） （比例的性质） （5）（可以实现边到角的转化）． （6） （可以实现角到边的转化）． 3.正弦定理的齐次结构 结构特点：每一项中都有边 、、 或正弦角 、、且次数一致，即可实现边和对应正弦角的互化． 结构示例： （1）整式齐次式 边的齐次式： 角的齐次式： （2）分式齐次式： ． 知识点10 余弦定理 1.余弦定理 在 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 ，则有 余弦定理的变形： (1)正弦定理和余弦定理的选择:已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程,即可求出边，比较两种方法，采用余弦定理较简单 (2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件 (3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广 (4)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的! （5）余弦定理不但适用于已知三边和已知两边及夹角的情况，也可以解决已知两边及其中一边对角的三角形求解问题 2.反三角符号的意义 等式 条件的取值范围 满足条件的角 （1）当 时， 表示一个角（弧度制）； ; 是在 内的正弦值为 所对应的角，即 ． （2）当 时， 表示一个角（弧度制）； arc cos ； 是在 内的余弦值为 所对应的角，即 ． （3）当 时， 表示一个角（弧度制）； ； 是在 内的正切值为 所对应的角，即 . 3.用反三角符号表示角 方程 方程的解集 . 知识点11 解三角形在实际问题中的应用 1.实际问题中的常用角 名称 定义 图示 基线 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于 90°) 方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 1测量距离问题的求解策略（1）确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解;若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解;（2）确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 2测量高度问题的求解策略（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;（2）在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错;（3）注意山或塔垂直于地面或海平面把空间问题转化为平面问题. 3测量角度问题的求解策略 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义;（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值;（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 例1（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． 或 D． 或 1-1（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 1-2（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 1-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知锐角满足，，求的值． 题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值 例2（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 2-1（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则 . 2-2（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则 ． 2-3（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 题型三、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 例3（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则 ． 3-1（24-25高一下·北京顺义·阶段练习）的值是 3-2（24-25高一上·上海·课后作业） . 题型四、用和、差角的正弦 公式化简、求值 例4（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 . 4-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 4-2（24-25高一下·上海·期中）已知，，则 ． 4-3（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则 . 题型五、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 例5（24-25高一下·上海宝山·期中）已知都是锐角，，，则 . 5-1（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 . 5-2（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 5-3（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求. 题型六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 例6（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 6-1（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6-2（24-25高一下·上海浦东新·期中）一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为 m. 6-3（23-24高一下·上海·期中）化简： . 题型七、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 例7（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）若、为锐角，，，则角 ． 7-1（21-22高一下·上海嘉定·期末）若，，则 ． 7-2（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值； （2）已知，求的值. 7-3（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型八、用和、差角的正切公式化简、求值 例8（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 8-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角 、 满足 ，命题甲：存在 属于第一象限， 属于第三象限: 命题乙: 存在 属于第二象限， 属于第四象限. 则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲、乙都不是真命题 8-2（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角满足，则 ． 题型九、二倍角的正弦公式 例9（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 . 9-1（24-25高一下·上海长宁·期中）已知函数，的值域为 ． 9-2（24-25高一下·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ． 9-3（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 题型十、二倍角的余弦公式 例10（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）若，，，，则的值等于 ． 10-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则 ． 10-2（24-25高一下·上海宝山·期中）若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为 . 10-3（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 题型十一、二倍角的正切公式 例11（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，且在第二象限，则 ． 11-1（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 11-2（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1). (2)求和的值. 11-3（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 题型十二、半角公式 例12（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，设，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 12-1（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 12-2（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知，且为第三象限角，则 . 12-3（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 12-4（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为 . 题型十三、辅助角公式 例13（24-25高一下·上海宝山·期中）设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 13-1（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为 . 13-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 13-3（24-25高一下·上海青浦·期中）设函数. (1)若.求的值； (2)议在处取得最大值.求； (3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围. 题型十四、三角恒等变换的化简问题 例14（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为 . 14-1（24-25高一下·上海·阶段练习）对于集合（，）及常数，称为集合相对于常数的“余弦方差”，那么集合相对于常数的“余弦方差”的值为 . 14-2（24-25高一下·上海·阶段练习）在锐角三角形中，已知，则的最小值为 . 14-3（23-24高一下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点,则的值是 . 题型十五、给值求值型问题 例15（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若且，求的值． 15-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，求的值. 15-2（23-24高一下·上海·阶段练习）定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与的值 15-3（23-24高一下·上海·假期作业）回答下面两题： (1)已知，，求的值； (2)已知，且，求. 题型十六、给值求角型问题 例16（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 16-1（21-22高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 16-2（23-24高三上·河北廊坊·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． 16-3（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）若，，，，则 . 题型十七、无条件的恒等式证明 例17（24-25高一上·上海奉贤·期末）四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    17-1（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）证明：. 17-2（23-24高一上·福建三明·阶段练习）（1）求证：； （2）当时，求函数的所有零点. 题型十八、正弦定理解三角形 例18（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为 .（填写一个序号即可） 18-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为 . 18-2（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 18-3（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 题型十九、正弦定理判定三角形解的个数 例19（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 19-1（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 19-2（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 19-3（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 题型二十、正弦定理求外接圆半径 例20（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 20-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 20-2（23-24高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 20-3（2025·陕西商洛·三模）已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 题型二十一、正弦定理边角互化的应用 例21（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 21-1（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为 . 21-2（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 21-3（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 题型二十二、三角形面积公式及其应用 例22（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 22-1（24-25高一下·上海长宁·开学考试）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为 ． 22-2（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 22-3（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，已知，，，求b、c和面积S． 22-4（2025·江苏泰州·一模）在，已知，. (1)求B； (2)若为的平分线，的面积为14，求. 题型二十三、余弦定理解三角形 例23（24-25高一下·上海·阶段练习）如图所示，中，，，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交BC于点N，则 . 23-1（24-25高一下·上海·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 . 23-2（24-25高一下·上海·阶段练习）现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上．已知三角形的一边长4cm，另一边长3cm且第三条边上的中线长3cm，则圆形纸片的半径长为 cm．（结果精确到0.1） 23-3（24-25高一下·上海宝山·期末）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； (2)求露营区面积的最大值. 题型二十四、余弦定理边角互化的应用 例24（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 24-1（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 24-2（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 24-3（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 1．（24-25高一下·上海·期中）“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·开学考试）下列是有关的几个命题： ①若，则是直角三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则是锐角三角形； ④若，则是直角三角形. 其中，真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 4．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 6．（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简 . 7．（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则 . 8．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 9．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 10．（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是 ． 11．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 12．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在中，角的对边分别为，若，则角 ． 13．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 14．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 15．（24-25高一下·上海·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 16．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 17．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.    (1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 18．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 19．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. (1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题03 常用三角公式与解三角形 知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.两角和与差的正弦公式 （1）公式中的 、 都是任意角． （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即 . （3）注意公式的逆向运用．如： 2.两角和与差的余弦公式 （1） 为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合． （2） 般不成立，但在特殊情况下也可能成立．例如：当 时， ． （3）要注意公式的逆用．如： ． （4）在转化过程中，充分利用诿导公式，构造两角和与差的余较会式的结构形式，然后逆用分式求健。 3.两角和与差的正切公式 在中，，，求的值. 【答案】 【分析】求出，的值，利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则角为钝角，角为锐角， 故，， 因此，. 在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用余弦和角公式展开，代入即可. 【详解】因为在中，，，则，. 故选：D 已知是一元二次方程的两个根，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据，得到，再利用两角差的正切公式求解； （2）利用两角和的正切公式求解. 【详解】（1）解方程得． 因为， 所以， 则． （2）． 因为， 所以， 从而． 知识点2 两角和与差的正切公式的常见变形 知识点3 辅助角公式 1.公式形式 2.推导过程 .由于 ， 若令 ，则 ．其中 的终边所在的象限由点 来确定． （1） ． （其中 ）． （2） ． （其中 ）． （3） ． （其中 ）。 这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦的三角比值与其他常数积的和收缩为一个三角比，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式． 知识点4 二倍角公式 1.正弦公式： 公式： ． 推广 ： ． 2.余弦公式： 公式 推广 （1）二倍角是相对的， $2 a$ 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍， 是 的二倍，这里䓚含荷换元的思想． （2）在应用二倍角的正切公式时，要注意公式适用的范围，即公式有意义的条件。 3.正切公式： 公式 推广 知识点5 半角公式 （1） , （2） , （3） ， （4）半角正切公式的有理形式： ． 知识点6 积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式： 2.和差化积公式： 知识点7 万能公式 知识点8 三角形的面积公式 三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 推论： ， 其中 为 的外接圆的半径． 三角形常用面积公式 （1） 表示边 上的高）． （2） 是三角形内切圆的半径）． （3） 即海伦公式，其中 c），为 的半周长． 知识点9 正弦定理 1.正弦定理 2.正弦定理的推广及常用变形公式 在 中，若角 、、 所对边的边长分别为 、、 ，其外接圆半径为 ，则 （1） ． （2） ． （3） ． （4） （比例的性质） （5）（可以实现边到角的转化）． （6） （可以实现角到边的转化）． 3.正弦定理的齐次结构 结构特点：每一项中都有边 、、 或正弦角 、、且次数一致，即可实现边和对应正弦角的互化． 结构示例： （1）整式齐次式 边的齐次式： 角的齐次式： （2）分式齐次式： ． 知识点10 余弦定理 1.余弦定理 在 中，设角 、 及 所对边的边长分别为 、 及 ，则有 余弦定理的变形： (1)正弦定理和余弦定理的选择:已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程,即可求出边，比较两种方法，采用余弦定理较简单 (2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件 (3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广 (4)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的! （5）余弦定理不但适用于已知三边和已知两边及夹角的情况，也可以解决已知两边及其中一边对角的三角形求解问题 2.反三角符号的意义 等式 条件的取值范围 满足条件的角 （1）当 时， 表示一个角（弧度制）； ; 是在 内的正弦值为 所对应的角，即 ． （2）当 时， 表示一个角（弧度制）； arc cos ； 是在 内的余弦值为 所对应的角，即 ． （3）当 时， 表示一个角（弧度制）； ； 是在 内的正切值为 所对应的角，即 . 3.用反三角符号表示角 方程 方程的解集 . 知识点11 解三角形在实际问题中的应用 1.实际问题中的常用角 名称 定义 图示 基线 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于 90°) 方位角 从正北的方向线按顺时针方向到目标方向线所转过的水平角 1测量距离问题的求解策略（1）确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解;若有未知量，则把未知量放在另外三角形中求解;（2）确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 2测量高度问题的求解策略（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;（2）在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错;（3）注意山或塔垂直于地面或海平面把空间问题转化为平面问题. 3测量角度问题的求解策略 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义;（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值;（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 例1（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在中，若，则（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】根据A、B、C的范围及题中条件，可求得，的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为在中，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：A 1-1（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则 ． 【答案】 【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得. 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 1-2（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，两边平方再相加，结合同角基本关系式、和角的余弦公式求解. 【详解】根据题意，， 所以， 即， 两式相加，得， 所以. 故答案为： 1-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知锐角满足，，求的值． 【答案】 【分析】先由题设求得的值，再结合利用两角差的余角公式，代入即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为，, 所以， , 所以 . 题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值 例2（24-25高一下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得. 【详解】因为， 解得. 故答案为： 2-1（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足，则 . 【答案】 【分析】首先求出，再由及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 . 故答案为： 2-2（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角和的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以， 则， 故答案为：． 2-3（24-25高一下·上海·期中）已知 . (1)求 的值; (2)求 的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为 ， ，所以 ， 又 ， 所以 ，又 题型三、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 例3（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】运用整体的思想，结合两角和的余弦公式进行求解. 【详解】， 由题意，是锐角，则，则，解得. 故答案为： 3-1（24-25高一下·北京顺义·阶段练习）的值是 【答案】/ 【分析】应用两角差的余弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 3-2（24-25高一上·上海·课后作业） . 【答案】0 【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可. 【详解】 . 故答案为：0. 题型四、用和、差角的正弦 公式化简、求值 例4（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 4-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 4-2（24-25高一下·上海·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】由平方关系求出，利用两角差的公式求出得解. 【详解】，， ， 则，所以. 故答案为：0. 4-3（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足及，则 . 【答案】 【分析】结合角的范围根据同角关系求，，再根据两角差的正弦公式求. 【详解】由已知，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故答案为：. 题型五、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 例5（24-25高一下·上海宝山·期中）已知都是锐角，，，则 . 【答案】 【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可. 【详解】因都是锐角，则，则， 因，则， 因，则， 则 . 故答案为： 5-1（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 . 【答案】 【分析】先根据角的范围，结合平方关系求出的余弦值与的正弦值，从而可求，可得，再利用 的终边与 的终边关于 轴对称可得结果. 【详解】 ， ， . 因为 的终边与 的终边关于 轴对称， 所以， 故答案为： 5-2（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】， 【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求． 【详解】设点的坐标，则， 设为终边上的一点，则，， 则， ， 即，， 故点的坐标为，． 故答案为：，． 5-3（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得的值． （2）根据（1）求出，利用角的范围确定的值. 【详解】（1）因为，所以，， 所以 则； （2）因为所以， 由（1）可得， 故. 题型六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 例6（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【答案】B 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故选：B. 6-1（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 【详解】， ， 因为，所以角的终边在第四象限. 故选：D. 6-2（24-25高一下·上海浦东新·期中）一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为 m. 【答案】 【分析】利用三角函数定义可得，即可得，再利用换元法令，并由函数单调性求得最小值. 【详解】由题意，因为,, 所以, 所以,, 令, 因为， 所以，即，则， 所以， 易知在上单调递增， 则在上单调递减， 所以， 即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为. 故答案为：. 6-3（23-24高一下·上海·期中）化简： . 【答案】/ 【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故答案为： 题型七、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 例7（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）若、为锐角，，，则角 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得，然后利用两角差的正切公式结合条件即得. 【详解】由于为锐角，所以， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 7-1（21-22高一下·上海嘉定·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】由两角差的正切公式计算． 【详解】由已知． 故答案为：． 7-2（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再由两角差的正切公式可得结果； （2）根据与的关系式判断出，即可得结果. 【详解】（1），且，可得 所以 （2）由 两边平方可得：即， 所以，则， 因此 . 7-3（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可； （2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可. 【详解】（1）解：由知， 所以， （2）解：由知； 所以. 题型八、用和、差角的正切公式化简、求值 例8（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（   ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③. 【详解】对于①，由在锐角中，由，可知，则， 根据锐角可知，， 又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确； 对于②，由，其中， 因为在处取得最小值， 所以， 即，则， 所以有函数， 由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：， 再由两角和正切公式得：， 去分母得：， 整理得：，故③正确； 故选：A. 8-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角 、 满足 ，命题甲：存在 属于第一象限， 属于第三象限: 命题乙: 存在 属于第二象限， 属于第四象限. 则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲、乙都不是真命题 【答案】C 【分析】利用构造一元二次方程结合韦达定理思想，通过根的正负研究根与系数的关系，最后通过判断别式的符号来判断存在性，从而问题得以解答. 【详解】设是方程的两个根，则， 由于可得：， 对于命题甲，假设存在属于第一象限角， 属于第一象限角， 即，则，解得， 此时， u，可知，， 方程无解，故假设不成立，所以命题甲错误； 对于命题乙，假设存在属于第二象限角， 属于第四象限角， 即，则，解得， 此时， 当时，一定有，则， 满足方程有两个解，此时假设成立，所以命题乙正确； 故选：C. 【点睛】方法点睛：像这种两正切的乘积与两正切的和的关系，转化为一元二次方程韦达定理思想，得到系数的关系，再通过判别式的符号来确定是否存在即可. 8-2（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角满足，则 ． 【答案】 【分析】利用和角的正切公式计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 题型九、二倍角的正弦公式 例9（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为： 9-1（24-25高一下·上海长宁·期中）已知函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】， 因为，所以，则， 故答案为：． 9-2（24-25高一下·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ． 【答案】 【分析】应用任意角三角函数定义及二倍角正弦公式计算求解. 【详解】因为终边过点， 所以 则． 故答案为：. 9-3（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， 所以. 题型十、二倍角的余弦公式 例10（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）若，，，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，，，， ，， ， . 故答案为：. 10-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 10-2（24-25高一下·上海宝山·期中）若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为 . 【答案】 【分析】通过讨论的解的个数确定的可能值. 【详解】， 由得，设， 记，由于，因此必有两个不等的实根，， 所以中至少有一根属于区间且两根一正一负， （1）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由得， 所以； （2）若，则，的另一根为，即或， 在上，有个解，有个解， 的零点个数为，显然无整数解， 但在上，有个解，有个解， 的零点个数为，由无整数解； （3）若，则由得，不妨记， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然得，此时， 在上，有个根，有个根， 的零点个数为，显然无整数解； （4）若，则，在或上， 有个根，无实数根，的零点个数为， 由得，此时或； （5）若，则，无实数解，在上， 有个根，的零点个数为，由得，， 在上，有个根，的零点个数为， 由得，. 综上，的取值可能为， 故答案为：. 10-3（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求与的值； (2)若角满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出； （2）将表示为展开求解即可. 【详解】（1）由题：， . （2）因为且，所以， 又， 所以 ， 即. 题型十一、二倍角的正切公式 例11（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，且在第二象限，则 ． 【答案】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再求出，然后利用正切的二倍角公式可求得结果. 【详解】因为，且在第二象限， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 11-1（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知为第三象限角，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，及为第三象限角，得的值，由为第三象限角确定的范围，再根据2倍角公式求的值. 【详解】为第三象限角， ，，， ，即， 即， 解得： 为第三象限角， 为第二或第四象限， . 故答案为：. 11-2（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1). (2)求和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解； （2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】（1）由韦达定理得， 所以； （2）由（1）得， ， 因为，， 故，则， 解得，所以， 故. 11-3（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值； （2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【详解】（1）由，，得， ，于是. （2）由，得，又， ， 由得： ． 题型十二、半角公式 例12（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，设，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可得出结论. 【详解】由得 整理得,因为, 所以 所以 所以 又因为,所以,即. 所以为等腰三角形. 故选:C. 12-1（24-25高一下·上海·阶段练习）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 12-2（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知，且为第三象限角，则 . 【答案】 【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出，最后应用半角公式结合诱导公式计算求值. 【详解】. 结合为第三象限角，， 则. 故答案为：. 12-3（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 【答案】 【分析】由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简. 【详解】， 因为，所以， 从而. 故答案为：. 12-4（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为 . 【答案】或. 【分析】设顶角，则其底角的余弦值为，由半角公式求值即可. 【详解】设顶角，则，∴或 则其底角的余弦值为或. 故答案为：或. 题型十三、辅助角公式 例13（24-25高一下·上海宝山·期中）设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（     ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦的差角公式化简等式，由题意建立方程组，求解，可得答案. 【详解】由，则，其中， 可得 ， 由题意可得，若，由①可得，显然③不成立， 故，则，解得，，易知， 当时，显然①③矛盾；故，可得，解得， 所以. 故选：A. 13-1（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式可化为的形式，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 13-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 当时，即时，函数取得最大值， 即， 则 . 故答案为： 13-3（24-25高一下·上海青浦·期中）设函数. (1)若.求的值； (2)议在处取得最大值.求； (3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由得，又即可解出，即可求解； （2）利用辅助角公式有，其中，最后利用二倍角公式即可求解； （3）由得周期为，原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解，又得关于对称，得关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，在即可求解. 【详解】（1）因为. 所以. 又因为.可得：. 解得：或（舍去）. 所以所以.所以 （2），其中. 所以存在.使得为函数在区间上的最大值. 所以，所以.. （3）因为. 所以函数为周期函数.周期为. 所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解. 又由有关于对称， 可知关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解. 当时，， 所以.因为，所以. 因为.所以，解得. 所以的取值范围为. 题型十四、三角恒等变换的化简问题 例14（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解. 【详解】 ， 又函数的图像关于点对称， 即，即， 则， 所以的最大值为，最小值为， 对称轴：令， 当的取值最小时， ，， 且是在轴右侧连续的最值点， 则的最小值为 . 故答案为： 14-1（24-25高一下·上海·阶段练习）对于集合（，）及常数，称为集合相对于常数的“余弦方差”，那么集合相对于常数的“余弦方差”的值为 . 【答案】/0.5 【分析】利用余弦的二倍角公式降幂后，利用两角和差的余弦公式进一步化简计算可得. 【详解】对于集合相对于常数的“余弦方差”，根据题目定义，其值为： , 我们使用三角恒等式对每一项进行展开： ，，. 将这三个展开式相加： , 因此，余弦方差化简为：, 无论取何值，结果都为. 故答案为：. 14-2（24-25高一下·上海·阶段练习）在锐角三角形中，已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用三角形内角和性质，结合两角和正弦公式、两角和正切公式、弦化切思想，可把原式转化为关于的函数，再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】根据三角形内角和可知：，即， 所以， ， 代入得： 当且仅当即时（因为是锐角三角形成立）等号成立. 所以的最小值为：. 故答案为：. 14-3（23-24高一下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两点,则的值是 . 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式和平方关系结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 题型十五、给值求值型问题 例15（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角平方关系及正弦二倍角公式即可求解； （2）由展开求解即可； 【详解】（1）因为，， 由，可得：， 所以； （2）因为，， 由， 所以， 所以 ； 15-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，，求的值. 【答案】 【分析】借助降幂公式与辅助角公式，同角三角函数的基本关系与二倍角公式计算即可得. 【详解】， 即，由，故， 故， 则. 15-2（23-24高一下·上海·阶段练习）定义一个新运算，已知，则，已知，且，求与的值 【答案】 【分析】根据题意结合三角恒等变换整理得，再结合角的范围利用三角恒等变换分别求，注意三角函数值的符号. 【详解】因为， 可得 ， 由可得，解得， 且，则，可得， 所以， 所以， 又因为，解得， 由可知，则，所以. 15-3（23-24高一下·上海·假期作业）回答下面两题： (1)已知，，求的值； (2)已知，且，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先确定的取值范围，再根据同角三角函数求，再利用二倍角公式求和，即可求解； （2）将等式转化为表示的三角函数，即可求解方程. 【详解】（1），， ，， ， （2） ， ∴原式可化为 解得或， 故或， 即或. 题型十六、给值求角型问题 例16（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据角度范围求解，再求解，结合角度范围判断即可. 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 16-1（21-22高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 16-2（23-24高三上·河北廊坊·期中）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换可得答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，则． 故选：B. 16-3（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）若，，，，则 . 【答案】 【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求 【详解】由，，则， ，所以或， ， ，则， 当时，，则， 当时，，则， 又，.故. 故答案为： 题型十七、无条件的恒等式证明 例17（24-25高一上·上海奉贤·期末）四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    【答案】 【分析】作出辅助线，表达出各边长，求出菱形的面积，，，两种方法表示矩形的面积，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意可知，四边形为矩形，四边形为菱形， 过点作⊥于点，故， 因为，所以， 故菱形的面积为， 在Rt中，，，， 故，，， 在Rt中，，，， 故，，， 又，， 故矩形的面积为 ， 又矩形的面积为 ， 故 ， 故.    故答案为： 17-1（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知及平方关系有且，结合二倍角余弦公式列方程求； （2）应用二倍角正余弦公式化简，即可证. 【详解】（1）由，，则且， 由（负值舍）. （2），得证. 17-2（23-24高一上·福建三明·阶段练习）（1）求证：； （2）当时，求函数的所有零点. 【答案】（1）证明见解析；（2）和 【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式等知识进行证明. （2）由列方程，通过解方程来求得正确答案. 【详解】（1）证明：左边 =右边. 所以，原式成立； （2）解：由（1）可得： ， 令，得或， 因为， 所以或. 故当时，函数的零点为和. 题型十八、正弦定理解三角形 例18（24-25高一下·上海奉贤·期中）奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为 .（填写一个序号即可） 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据. 【详解】设， 因为，，所以， 在中，， 由正弦定理可得，可求得的长度， 在中，，， 由正弦定理可得，可求得及， 因为，所以，可求出樱花树的高度， 此过程中未用到数据②，故选②： 同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可. 故答案为：②或④ 18-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为 . 【答案】 【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数的知识可求得结果. 【详解】在中，，， 则， ， 由正弦定理得， 则，解得， 在直角中，， 则. 故答案为：. 18-2（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，已知，，分别根据下列条件求： (1)； (2)； 【答案】(1)无解 (2)或 【分析】（1）由正弦定理进行求解； （2）由正弦定理进行求解． 【详解】（1）由正弦定理得，，得， 故无解． （2）由正弦定理得，，得， 因为，所以或． 18-3（24-25高一下·上海闵行·期中）2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． (1)若，求的长；（本题结果精确到米，，） (2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)米 (2)当时，为最大值，最大值为. 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. （2）设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 题型十九、正弦定理判定三角形解的个数 例19（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 19-1（24-25高一下·上海·期中）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，由及正弦定理可得：. ∵有两解，，即. 故答案为：. 19-2（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【详解】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 19-3（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，，，，求这个三角形其他各边，各角. 【答案】当的时，；当的时，. 【分析】由于给的条件是边边角，又因为，则该三角形具有两解，先根据正弦定理求出的大小，再利用内角和可求解，最后利用正弦定理分别求出两个边 【详解】因为，则该三角形具有两解， 由正弦定理可得：， 解得，则或， 当时，， 又因为， 由正弦定理可得， 当时，，， 同上可得， 则可得， 综上，当的时，； 当的时，. 题型二十、正弦定理求外接圆半径 例20（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 20-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知的内角所对边的长度分别为． (1)若，求和外接圆半径的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； （2）因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 20-2（23-24高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C，. (1)若，求的外接圆的半径； (2)若，且，求; (3)若，求的周长. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由正弦定理求解即可； （2）由求出，然后由向量的数量积求解即可； （3）由求出，，分类讨论求出，然后由正弦定理求出各边长求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径为. （2）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以，由于， 所以，即，所以，. （3）因为，所以， 又，所以， 即，， 所以，所以， 若为钝角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 若为锐角，则，， 所以， 由正弦定理得， 所以，， 故的周长为； 故的周长为或. 20-3（2025·陕西商洛·三模）已知、、分别为三个内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，求外接圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. （2）设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 题型二十一、正弦定理边角互化的应用 例21（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知及正弦定理得，化简即可得，由，则有，即可得出答案. 【详解】由题干条件和正弦定理可得， 又因为在中，，所以， 所以上述等式可化为， 即，又，即， 所以，故为直角三角形. 故选：B. 21-1（24-25高一下·上海·期中）在中，若，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状. 【详解】在中，及正弦定理，得， 所以为直角三角形. 故答案为：直角三角形 21-2（24-25高一下·上海宝山·期中）已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 【答案】/ 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 21-3（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 题型二十二、三角形面积公式及其应用 例22（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 . 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 22-1（24-25高一下·上海长宁·开学考试）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意首先确定面积最大时点的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，由圆的性质可知当为弧的中点时，到的距离最大， 此时阴影部分的面积取最大值， 此时， 面积的最大值为 . 故答案为：. 22-2（24-25高一下·上海·期中）在中，角所对的边分别为，已知，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. （2）解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 22-3（24-25高一下·上海·阶段练习）在中，已知，，，求b、c和面积S． 【答案】 【分析】根据三角形内角和、两角和正弦公式和正弦定理可相继求得，再利用三角形面积公式可求得. 【详解】在中，，，∴ 因为 所以由正弦定理得 ， 面积. 22-4（2025·江苏泰州·一模）在，已知，. (1)求B； (2)若为的平分线，的面积为14，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式结合即可求解. （2）由（1）的结论以及三角形中求出角C的正弦，再利用正弦定理与 三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解. 【详解】（1）在中，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 所以， 所以， 又因为，所以. （2）由，所以， 所以. 记中角A、B、C所对的边为a、b、c， 由正弦定理可得，所以， 所以， 解得（负值舍去），所以. 又由，得， 所以由，得， 所以，解得. 题型二十三、余弦定理解三角形 例23（24-25高一下·上海·阶段练习）如图所示，中，，，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交BC于点N，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面向量基本定理，三点共线，求出基地表示的目标向量，根据向量的数量积公式求出向量模长. 【详解】设,因为点M为线段AB中点，P为线段CM的中点,所以, 因为三点共线,所以,解得, 则, 在中，，，,所以, 所以, 所以. 故答案为:. 23-1（24-25高一下·上海·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理和可得， 又，所以， 故, 故答案为： 23-2（24-25高一下·上海·阶段练习）现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上．已知三角形的一边长4cm，另一边长3cm且第三条边上的中线长3cm，则圆形纸片的半径长为 cm．（结果精确到0.1） 【答案】2.1 【分析】先利用余弦定理和得到，，由余弦定理得到，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到外接圆半径. 【详解】设三角形三边为，第三边为，对应中线长， 在中，， 在中，， 其中， 即，又， 所以，解得， 故cm， 由余弦定理得， 则， 由正弦定理得，圆形纸片的半径cm. 故答案为：2.1 23-3（24-25高一下·上海宝山·期末）上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    (1)安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； (2)求露营区面积的最大值. 【答案】(1)①；②千米； (2). 【分析】（1）①应用正弦定理求角的大小；②应用余弦定理求边长； （2）由余弦定理及基本不等式得，再由三角形面积公式求最大面积. 【详解】（1）①由题设，， 而，即，故； ②由上可知，而，则， 所以千米. （2）由题设， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即露营区面积的最大值. 题型二十四、余弦定理边角互化的应用 例24（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以，则的最大值为． 故选：B． 24-1（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 24-2（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 24-3（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出 的面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积； （2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值； （3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，在 中，且 ， 则 ， 又由余弦定理，得 ， 解得 ， 又在 中，， 得 ， 所以 ， 所以 的面积为 ， 所以花卉布展区域的总面积为 （2）在 中，因为 ，所以 ， 在 中，，由余弦定理，得 ， 所以 ，则 ， 得 ，所以 为一个定值1. （3）因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c， 因为 ， 所以 ，则， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 则 ， 则 ， 故 所以的取值范围为. 1．（24-25高一下·上海·期中）“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用二倍角公式化简即可说明充分性，再利用特殊值判断必要性. 【详解】因为， 所以“”推得出“”故充分性成立； 由，当，即，则，， 此时，，则，此时无意义，故必要性不成立； 所以“”是“”成立的充分不必要. 故选：A 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，化简的结果为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角角公式和辅助角公式即可求解. 【详解】由， ， 故选：B. 3．（24-25高一下·上海·开学考试）下列是有关的几个命题： ①若，则是直角三角形； ②若，则是等腰三角形； ③若，则是锐角三角形； ④若，则是直角三角形. 其中，真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】由三角形的内角和为，即可得到，从而判断①，由条件可得或，从而判断②，由正切函数的和差角公式即可判断③，由诱导公式即可判断④ 【详解】对于①，在中，，则， 又，则，即，解得， 则是直角三角形，①正确； 对于②，，或，解得或， 是等腰三角形或直角三角形，②错误； 对于③，， 在中，， ， ，，为锐角，故是锐角三角形，③正确； 对于④，， ，或， 解得或，故不一定是直角三角形，④错误， 故选：B. 4．（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 5．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦公式和正弦边角互化，结合三角形内角性质可得，即可判断形状. 【详解】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 6．（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海·期中）若方程的两根为与，则 . 【答案】/ 【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可. 【详解】由题设，，， 所以. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据正弦的和差角公式即可求解. 【详解】，，， , 由于，所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可得，利用锐角三角形可求得，可求范围. 【详解】 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在中，角的对边分别为，若，则角 ． 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以为锐角，则， 所以， 故答案为：． 13．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径为. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 14．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，已知，，. (1)求； (2)求的面积S及外接圆半径R. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果，再由正弦定理即可得到外接圆的半径. 【详解】（1）由余弦定理可得. （2）由（1）可知，且，则， 则， 由正弦定理可得，即，则. 15．（24-25高一下·上海·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，利用余弦定理得到的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接， 因为在圆内接四边形中，，，，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，， ，即， 解得或（舍去），则， 所以圆内接四边形的面积. 故答案为：. 16．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，利用开口向上，在顶点处取得最小值，可得不等关系，进而转化为不等式恒成立问题处理是关键. 17．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.    (1)如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长； (2)在中，若是钝角，求证：； (3)给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理计算作答. （2）由三角形的边角关系，结合余弦定理推理作答. （3）按与的大小关系分类讨论，结合三角恒等变换、余弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，，，由正弦定理得， 所以 . （2）因为是钝角，则不过圆心，于是， 由余弦定理知，即， 所以. （3）当或时，所求的不存在； 当且时，直径所对的圆周角是直角，因此，所求的只存在一个，且； 当且时，，且都是锐角，由， 确定，所求的只存在一个，且； 当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，则所求的存在两个， 由，得当时，，， ， 因此， 当时，，， 所以. 【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形. 18．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数. (1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）； (2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由； (3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：. 【答案】(1)（取法不唯一） (2)是，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义得到对任意的，均有，取即可，不妨让； （2）只需判断对任意的，不等式是否恒成立即可，通过不断分析得到了只需判断时，不等式是否恒成立即可，通过换元和奇偶性将问题转换为了不等式是否恒成立即可，利用结论即可得证. （3）通过周期性，奇偶性、对称性分析得知当且仅当时，恒成立即可，进一步分析有，，恒成立，其中，结合辅助角公式即可得证. 【详解】（1）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有，注意到恒成立， 故只需让即可，从而只需， 所以取（取法不唯一）即可满足题意； （2）函数“三角优于”函数， 当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 因为， 所以恒成立，即当时，恒成立， 故我们只需考虑当且时，不等式是否恒成立即可， 即只需考虑时，不等式是否恒成立即可， 设，此时，从而 问题转换成了不等式是否恒成立即可； 显然都是偶函数， 且时，满足， 故我们只需考虑不等式是否恒成立即可； 由三角函数线可知恒成立， 从而恒成立， 综上所述，对任意的，均有，即函数“三角优于”函数； （3）若函数“三角优于”函数， 则当且仅当对任意的，均有， 显然都是周期为的函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， 显然都是偶函数， 所以当且仅当时，不等式恒成立， （i）当时，恒成立，这就要求； （ii）当时，恒成立，这就要求； 从而首先有， 其次时，不等式恒成立， 设，则 ， 所以在上的图象关于直线对称，在上的图象关于点对称， 当，若， 这就要求， 从而时，不等式恒成立， 当且仅当时，不等式恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 而时，不等式恒成立， 当且仅当时，恒成立， 若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的， 当时，， 要使得当时，恒成立，这就要求，从而， 设，； 所以，，时，不等式恒成立等价于 不等式恒成立，其中， 即当时，不等式恒成立， 由辅助角公式可知使得， 而，这就要求 ，即. 19．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. (1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； (3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3) 【分析】（1）根据题意，由“相关”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由“相关”的定义以及正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由“相关”的定义以及辅助角公式代入计算，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】（1）由题意可得，即，即， 且，故或. （2）由题意可得，整理可得， 即，故或， 且，因此或. （3）由题，， 整理可得， 转化为， 即， 由正弦函数的值域可得， 即， 化简可得， 即，且， 解得， 所以b的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题以及三角恒等变换的应用，难度较大，解答本题的关键在于理解“f相关”的定义，然后结合三角恒等变换的知识解答. 试卷第1页，共3页 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $$