2025-2026学年人教版七年级数学下册期末测试卷

**基本信息** 人教版七年级数学下册期末卷，以几何直观、代数推理与实际应用为核心，通过“智慧数”定义、朝代时间数据分析等创新题，考查抽象能力、数据意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行线判定、立方根、坐标系中点运动|结合图形辨析考查空间观念（如第1题）| |填空题|6/18|平移坐标、频数分布、新定义“智慧数”|以“智慧数”定义（第15题）渗透创新意识| |解答题|8/72|二元一次方程组应用（优惠方案）、统计图表分析、不等式组整数解|通过套餐优惠计算（第14题）强化模型观念，统计题（第20题）培养数据意识|

2025-2026学年人教版七年级数学下册期末测试卷 一、单选题(每题3分,共30分) 1．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 2．下列是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 4．如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 5．如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间，下列说法正确的是（    ） A．明朝时间最长 B．隋朝时间最短 C．有4个朝代超过250年 D．若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长 6．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 7．如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在(    )    A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置 8．已知两个非负实数a、b与实数满足，且，则下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(每题3分,共18分) 11．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是______． 12．如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 13．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 14．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 15．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____． 16．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 三、解答题(每题9分,共72分) 17．如图，在方格纸上有一线段和一点C． (1)过点C画出与平行的直线； (2)过点C画出与垂直的直线． 18．计算 (1)； (2)． 19．已知点，解答下列问题： (1)若点N的坐标为，直线轴，求点M的坐标； (2)若M在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 20．某校团委向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为__________________________； (2)图1中的值是____________，并补全条形统计图； (3)根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ 21．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 22．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 23．某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 24．某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版七年级数学下册期末测试卷 一、单选题(每题3分,共30分) 1．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．与是同旁内角，正确，符合题意； B．与是内错角，原表述错误，不符合题意； C．与是同位角，原表述错误，不符合题意； D．与不是内错角，原表述错误，不符合题意； 故选：A． 2．下列是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：一共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，由两个方程组成，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A中，第一个式子不是等式，不是方程，且项的次数为2，不满足定义，故A不符合题意； 选项B中，方程组共含有三个未知数，不满足二元的要求，故B不符合题意； 选项C中，方程组共含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，满足二元一次方程组的定义，故C符合题意； 选项D中，第二个方程是分式方程，不是整式方程，不满足定义，故D不符合题意． 3． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 【答案】A 【详解】先根据算术平方根的意义，求得=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2. 故选A. 4．如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【答案】D 【分析】根据题意，由中点坐标求法得到点的坐标为，即点到轴的距离始终为，在平面直角坐标系中求出三角形的面积即可确定答案． 【详解】解：直线轴，且直线经过点，为直线上的一动点， 点的坐标为， 为的中点， 点的坐标为，即点到轴的距离始终为， 、， ，即三角形的面积不变，面积始终为． 5．如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间，下列说法正确的是（    ） A．明朝时间最长 B．隋朝时间最短 C．有4个朝代超过250年 D．若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长 【答案】D 【分析】根据条形统计图的信息，逐项分析即可． 【详解】解：由图可得：A.唐朝时间最长，故选项不合题意； B.秦朝时间最短，故选项不合题意； C.有3个朝代超过250年，为：唐，明，清，故选项不合题意； D.若西汉，东汉合并为汉，其汉朝时间为四百多年，故选项符合题意. 6．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 7．如图，在数轴上，已知点，分别表示数1，，那么数轴上表示数的点应落在(    )    A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．数轴的任意位置 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；根据不等式的性质，可得点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边． 【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得：-2x+3＞1， 解得x＜1； -x＞-1． -x+2＞-1+2， 解得-x+2＞1． 所以数轴上表示数-x+2的点在A点的右边； 作差，得：-2x+3-（-x+2）=-x+1， 由x＜1，得：-x＞-1， -x+1＞0， -2x+3-（-x+2）＞0， ∴-2x+3＞-x+2， 所以数轴上表示数-x+2的点在B点的左边,点A的右边． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式． 8．已知两个非负实数a、b与实数满足，且，则下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件整理得到各变量间的关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵a，b为非负实数， ∴，， 已知，， 将代入得， 整理得， 即． ，故A错误． ，故B正确． 由得，结合得，故C错误． 由a为非负实数可知，故D错误． 9．若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 10．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 二、填空题(每题3分,共18分) 11．把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是______． 【答案】 【分析】由题意，直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ∴， 又， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】先确定平移方式，再根据平移方式求解即可． 【详解】解：由图可得点的坐标为，点的坐标为， ∵平移后，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的对应点的坐标为，即． 13．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 【答案】 【详解】解：由频数分布直方图可知，仰卧起坐次数在次的频数为，数据总数为30，所以仰卧起坐次数在次的频率为． 14．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 【答案】574 【分析】先设未知数，根据已知条件列二元一次方程组求出手绘团扇和非遗书签的单价，再分别计算两种优惠方案购买指定数量商品的总费用，比较后得到最小成本总和． 【详解】解：设把手绘团扇的价格为元，枚非遗书签的价格为元， 根据题意得： 解得 计算方案一的总费用： 购买把手绘团扇和枚非遗书签，可凑成套把团扇枚书签的套装，剩余把团扇和枚书签按原价购买， 总费用为：（元） 计算方案二的总费用： 原价总费用为（元）， 因为，可享受满减优惠， 总费用为（元） 因为，所以成本总和最少为元． 15．一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____． 【答案】 3 2691 【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差． 【详解】设这两个数分别m、n，设m＞n， 即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）， 又∵mn是非0的自然数， ∴m+n和m﹣n就是两个自然数， 要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差． （k+1）2﹣k2＝2k+1，（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k，每个大于1的奇数与每个大于4且是4的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20…即2个奇数，1个4的倍数，3个一组依次排列下去． 显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k+1＝（k+1）2﹣k2，都是“智慧数”． 因为：4k＝（k+1）2﹣（k﹣1）2，所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x2﹣y2＝（x+y）×（x﹣y）（其中x、y∈N），当x，y奇偶性相同时，（x+y）×（x﹣y）被4整除．当x，y奇偶性相异时，（x+y）*（x﹣y）为奇数，所以形如4k+2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”． 由于2019-1＝3×672+2， 所以4×672＝2688是第2017个“智慧数”,故答案为2691． 【点睛】本题主要考查实数之中数与数的规律，详细读题，理清“智慧数”的含义是关键 16．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出为，，，，，，根据不等式组有个整数解得出关于的不等式组，然后根据题意得到整数为，，，再求其和即可． 【详解】解：解方程组， 由得，代入得：， 解得， 方程组的解为整数， 是的整数约数，即可取，，， 则为，，，，，， 解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解，其整数解为，，，，， ， 解得， 结合的所有可能取值，符合条件的整数为，，，它们的和为 ， 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共72分) 17．如图，在方格纸上有一线段和一点C． (1)过点C画出与平行的直线； (2)过点C画出与垂直的直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图形可知，点A向右移动3格，再向下移动1格到达点B，根据平行线的性质，点C向左移动3格，再向上移动1格得到点D，连接点D与点C并延长，此时； （2）从点C向左移动1格，再向下移动3格得到点E，连接点E与点C并延长，此时，垂足为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 18．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算立方根、算术平方根及绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根及立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．已知点，解答下列问题： (1)若点N的坐标为，直线轴，求点M的坐标； (2)若M在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 【答案】(1)点M的坐标为； (2)点M的坐标为． 【详解】（1）解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； （2）解：由题意得： ， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为． 20．某校团委向全校300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为__________________________； (2)图1中的值是____________，并补全条形统计图； (3)根据样本数据，估计该校本次活动一共捐款多少元？ 【答案】(1)50； (2)32，见解析； (3)估计该校本次活动一共捐款元． 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用． （1）确定总人数：利用条形统计图中已知的“5元捐款4人”和扇形统计图中对应的“5元占”建立等式，求出总人数； （2）求并补全条形图：根据扇形图各部分百分比之和为100%计算；用总人数乘以各百分比得到对应人数，补全条形图中缺失的“10元”部分； （3）估计全校捐款总额：先计算样本数据的平均数（总捐款额 总人数），再用样本平均数乘以全校总人数300进行估算即可． 【详解】（1）解：由条形图知，捐款5元的有4人；由扇形图知，捐款5元的占， 设总人数为，则， 解得（人）， 故答案为：50； （2）解：由扇形统计图可得：， ∴， 捐款10元的人有：人， 补全条形统计图如图： 故答案为：32； （3）解：样本总捐款额为： 元， 样本平均捐款额为：元， 估计全校300名学生捐款总额为：元， 答：估计该校本次活动一共捐款元． 21．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【分析】先用加减消元法，求出x和y，再根据，列出不等式组求解即可． 【详解】解：， 得，解得， 得，解得， ∵， ∴， 解得． 22．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 23．某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 【答案】(1)甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． (2)单独请乙组商店所付费用较少． 【分析】（1）根据甲、乙同时施工和甲先做、乙后做的费用情况，列方程组求解甲、乙单独做1天的费用； （2）先根据工作时间和工作总量的关系列方程组求出甲、乙的工作效率，进而求出各自单独完成工作的时间，再计算单独请的费用并比较． 【详解】（1）解：设甲组单独做1天，商店应付元，乙组单独做1天，商店应付元． 由题意，得 解得 因此，甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． （2）解：设甲组每天的工作效率为，乙组每天的工作效率为． 由题意，得 解得 甲组单独完成装修需（天），乙组单独完成装修需（天）， 单独请甲组需付（元），单独请乙组需付（元）． ， 单独请乙组商店所付费用较少． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，掌握根据费用和工作效率的关系，设未知数列方程组求解，再计算并比较费用是解题的关键． 24．某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 【答案】(1)每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元 (2)商场有三种购进方案：方案一：购进A种商品6件，B种商品28件；方案二：购进A种商品7件，B种商品27件；方案三：购进A种商品8件，B种商品26件 (3)再次购进A、B两种商品总数最多的方案为购进A种商品0件，B种商品35件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及最大利润下的购买方案． （1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元，列方程组求解； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润要求和不等式条件确定购进方案； （3）利用最大利润计算再购进方案，通过比较进价最大化购买件数． 【详解】（1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． 根据题意，得 解得． 答：每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． （2）设购进种商品件，则购进种商品件． 总利润为， 根据利润不低于元，得， 解得． ∵种商品至多购进件，故， ∴ ， ∵为整数， ∴当时，种商品件；当时，种商品件；当时，种商品件． 答：商场有三种购进方案： 方案一：购进种商品件，种商品件； 方案二：购进种商品件，种商品件； 方案三：购进种商品件，种商品件． （3）由（2）知，最大利润对应，利润为元． 每件种商品售价元，利润元，故进价为元； 每件种商品售价元，利润元，故进价为元． 设用元再购进种商品件，种商品件， 根据题意得， 化简得． 总件数，为了使最大化，应尽可能多购进进价低的种商品． 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，； ∴随增大而减小，故最大为，此时，． ∴ 再次购进、两种商品总数最多的方案为购进种商品件，种商品件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $