第六单元 三角形、平行四边形和梯形（4大考点，7大易错点，5大题型）-2025-2026学年苏教版四年级下册高频易错期末专项复习讲义（苏教版）

第六单元《三角形、平行四边形和梯形》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三角形、平行四边形、梯形基础特征与分类 填空、选择、判断题基础必考，侧重边、角特点区分 三角形三边关系、内角和 180 度 填空、计算高频考点，求未知角度热门题型 各类图形高的画法与高的条数 作图、选择常考易错点 图形拼接、组合识图应用题 期末大题，组合图形辨析必考 核心考点总结 考点1 三角形 1. 定义：由三条线段首尾围成的封闭图形，有 3 条边、3 个角、3 个顶点、3 条高。 2. 三边关系：任意两边长度之和大于第三条边。 3. 内角和：固定 180 度。 4. 按角分类：锐角三角形（三个锐角）、直角三角形（1 个直角）、钝角三角形（1 个钝角）。 5. 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（两条边相等，两个底角相等）、等边三角形（三边全相等，三个角都是 60 度，属于特殊等腰）。 考点2 平行四边形 1. 特征：两组对边分别平行且相等，对角相等，有无数条高。 2. 特性：容易变形（不稳定性）。 考点3 梯形 1. 特征：只有一组对边互相平行，平行的两条边叫上底、下底，不平行是腰，有无数条高。 2. 分类：普通梯形、等腰梯形（两腰相等，底角相等）、直角梯形（一条腰垂直底边，有 2 个直角）。 考点4 高的画法 从一条边上一点向对边画垂直线段就是高，高用虚线、标直角符号。 本单元高频易错点汇总 易错1 三角形三边只算一组和 错因：只算两条长边相加。 纠正：任意两边之和＞第三边，三组都要满足。 易错2 内角和算错，直角三角形加 90 以外错算 错因：直角 90，剩余两角和当成 90 以外。 纠正：直角另外两个角相加 = 90 度。 易错3 等边不属于等腰 错因：分开两类。 纠正：等边是特殊等腰三角形。 易错4 平行说成只有一组对边平行 错因和平行四边形、梯形特征弄混。 纠正：平行四边形两组对边平行，梯形只有一组。 易错5 梯形高画在腰上 错因：腰上作垂线。 纠正：高只能在上底、下底之间垂直画线。 易错6 画高不加直角标记 错因：漏标垂足扣分。 纠正：高末尾必须画直角符号。 易错7 拼接题分不清组合图形 错因：两个完全一样三角形胡乱拼。 纠正：两个完全相同三角可拼成平行四边形。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 三边判断：3cm、4cm、8cm 能否围三角 精讲：3+4＜8，不能围成。 易错提醒：任意两边和大于第三边。 例题2 三角形一个角 35 度，直角，求第三个角 精讲：180－90－35=55 度 易错：直角固定 90° 例题3 判断：一组对边平行就是梯形（×） 精讲：平行四边形也有一组平行，必须只有一组。 例题4 等腰梯形特征 精讲：两腰相等，上下底平行，同一侧底角相等。 例题5 两个完全一样直角三角形拼成图形 精讲：可拼长方形、平行四边形、大等腰三角。 五大题型 题型一 概念辨析（判断、选择、填空） 解题妙招：三角内角永远 180；平行两组对边平行，梯形仅限一组；等边属于等腰。 1．两个三角形，都是用6厘米、8厘米、10厘米的小棒首尾相连摆成。这两个三角形（    ）。 A．周长相等，面积相等 B．周长相等，形状不同 C．形状相同，面积不同 2．下面说法错误的是（    ）。 ①由3条线段组成的图形叫做三角形。②2.97保留一位小数大约是3。 ③0.3和0.30大小相等，计数单位不相同。④一个等腰三角形的底角是90度。 A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 3．如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的（    ）知识可以解释原因。 ①三角形任意两边的和大于第三边    ②两点间所有连线中线段最短 ③三角形具有稳定性 A．只有① B．只有② C．只有③ D．①② 4．如图所示，把一张顶角是的等腰三角形纸对折，可以得到两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．25°和50° B．65°和65° C．45°和45° D．25°和65° 5．用一根长M米的铁丝正好围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是（    ）米。 A．3M B．M÷3 C．M＋3 6．用4根硬纸条钉成一个长5cm宽4cm的长方形。用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形。在这个过程中，不变的是（    ）。 A．高 B．周长 C．每一个内角的度数 7．如图，一个长方形少了一块，你认为补上（   ）图形就能使这个长方形完整了。 A．A B．B C．C D．D 8．下面关于图形知识的描述，说法正确的是（    ）。 A．钝角三角形不可能是等腰三角形。 B．两个完全一样的梯形一定能拼成一个平行四边形。 C．同一个平行四边形内的高都相等。 D．平行四边形具有稳定性，而三角形容易变形。 9．把平行四边形拉成长方形，周长( )，电动伸缩门利用的是平行四边形的( )性。 10．电线杆支架是一个等腰三角形，长边长8.6分米，两个短边长5.45分米，这个电线杆支架的周长是( )分米。电线杆支架做成三角形是应用了三角形的( )性。 题型二 三角形的内角和 解题妙招：内角固定 180，直角剩余两角相加等于 90 11．在直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的2倍，则这个三角形最小的角的度数是（    ）。 A．60° B．30° C．15° 12．下列各组分别是同一个三角形中两个内角的度数，其中（    ）是钝角三角形。 A．45°和35° B．40°和51° C．75°和75° 13．下列说法中，正确的是（    ）。 A．5.895省略十分位后面的尾数是6.0 B．雯雯量得一个三角形的内角分别是50°、20°、100° C．算式“（400＋4）×25”与“400＋4×25”，结果相差9600 14．在一个等腰三角形中，一个底角是70°，则它的顶角是( )；一个等腰三角形周长是27厘米，底边长13厘米，它的腰长是( )厘米。 15．填上“大于”“等于”或“小于”。 锐角三角形中任意两个锐角的和都( )90°。 直角三角形中两个锐角的和都( )90°。 钝角三角形中两个锐角的和都( )90°。 16．如图，把一张长方形纸沿对角线折叠，若，则∠2＝( )，∠3＝( )。 17．将长方形纸的一个角折起，如图所示。如果∠2＝50°，那么∠1是( )°。 18．一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是________°；若它的底边长6cm，腰长8cm，周长是________cm。 19．一个等腰三角形的顶角是50度，那么它的一个底角是( )度；如果一个等腰三角形的两条边分别是6cm和12cm，那么这个三角形的周长是( )cm。 20．一个三角形中，已知∠A的度数是38.5°，∠B的度数是∠A的1.4倍，那么∠C是多少度？这是一个什么三角形？ 题型三 三角形三边取舍选择题 解题妙招：短边相加＞最长边即可 21．等腰三角形的两条边是48厘米和96厘米这个三角形的周长是（    ）厘米。 A．144厘米 B．192厘米或240厘米 C．192厘米 D．240厘米 22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”纸鸢又名风筝，是我国的一项非物质文化遗产。李强做了一个等腰三角形的风筝骨架，其中两条边分别用了5分米和10分米长的竹条，做这个风筝骨架一共需要（    ）分米竹条。 A．15 B．20 C．25 D．30 23．李奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中两边长为13米和6米，这个菜地的周长为（    ）。 A．7米 B．19米 C．25米 D．32米 24．一个等腰三角形有两条边分别是7.85cm和3.6cm，它的周长是（    ）。 A．15.05cm B．19.3cm C．15.05cm或者19.3cm 25．有两根长度分别是5厘米和3厘米的小棒，如果再添一根小棒（长度为整厘米数）搭成一个三角形，那这个三角形的周长最短是（    ）。 A．10 B．11 C．13 D．16 26．一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和2厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 27．一根铁丝长，用它首尾相连围成一个平行四边形，其中一条边长，与它相邻的另一条边长( )cm；若用它首尾相连围成一个等腰三角形，一条腰长，则底长( )cm。 28．一个等腰三角形的一条边是5cm，另一条边是2cm，它的周长是( )cm。 29．一个等腰三角形的两条边是2cm和5cm，则它的周长是( )。 30．小明的爷爷是“非物质文化遗产”的传承人，他准备制作一个藤编工艺品，需要从长度分别为3dm，3.5dm，4dm，4.5dm，8dm的5根藤条中任意选择3根围成三角形模型，他最多能围出( )种不同的三角形模型。 题型四 图形拼接实操应用题 解题妙招：完全相同的两个三角形拼成平行四边形；两个一样直角三角拼长方形。 31．两个完全一样的三角形，一定可以拼成一个（    ）。 A．平行四边形 B．正方形 C．长方形 32．两个（    ）的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 A．周长相等 B．周长和面积分别相等 C．等底等高 D．完全相同 33．两个完全相同的等腰直角三角形，拼成一个大三角形，这个大三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．等腰直角 C．钝角 D．等边 34．下列图形不可以密铺的是（    ）。 A．圆形 B．正方形 C．平行四边形 35．两个完全一样的等腰直角三角形不能拼成（    ）。 A．等腰直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 36．两个完全一样的等腰直角三角形，一定不能拼成一个（    ）。 A．平行四边形 B．正方形 C．梯形 D．三角形 37．两个完全一样的三角形一定可以拼出（    ）。 A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 38．两个完全一样的直角三角形拼成一个新的图形后，不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．三角形 39．两个完全一样的直角三角形一定可以拼成( )或( )。 40．如图，两个完全相同的直角三角形拼成一个( )形，则所拼图形的底是( )厘米，高是( )厘米。 题型五 画图题（做高、画三角形、平行四边形、梯形） 41．从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 42．先画出三角形ADE中AD边上的高，再求出∠1的度数。 43．算一算，求出的度数，再画出三角形底边上的高。 44．按要求画一画。 （1）把三角形先向上平移4格，再向左平移3格。 （2）把梯形绕点A顺时针旋转90°。 （3）在方格中画一个与梯形面积相等的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 45．在下面的方格纸上分别画出一个和平行四边形面积相等的三角形和梯形。 46．根据下面每个图形标出的底，分别画出图形的高。 47．分别画出面积是10平方厘米的平行四边形、三角形和梯形。（每个小方格表示1平方厘米） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元《三角形、平行四边形和梯形》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三角形、平行四边形、梯形基础特征与分类 填空、选择、判断题基础必考，侧重边、角特点区分 三角形三边关系、内角和 180 度 填空、计算高频考点，求未知角度热门题型 各类图形高的画法与高的条数 作图、选择常考易错点 图形拼接、组合识图应用题 期末大题，组合图形辨析必考 核心考点总结 考点1 三角形 1. 定义：由三条线段首尾围成的封闭图形，有 3 条边、3 个角、3 个顶点、3 条高。 2. 三边关系：任意两边长度之和大于第三条边。 3. 内角和：固定 180 度。 4. 按角分类：锐角三角形（三个锐角）、直角三角形（1 个直角）、钝角三角形（1 个钝角）。 5. 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（两条边相等，两个底角相等）、等边三角形（三边全相等，三个角都是 60 度，属于特殊等腰）。 考点2 平行四边形 1. 特征：两组对边分别平行且相等，对角相等，有无数条高。 2. 特性：容易变形（不稳定性）。 考点3 梯形 1. 特征：只有一组对边互相平行，平行的两条边叫上底、下底，不平行是腰，有无数条高。 2. 分类：普通梯形、等腰梯形（两腰相等，底角相等）、直角梯形（一条腰垂直底边，有 2 个直角）。 考点4 高的画法 从一条边上一点向对边画垂直线段就是高，高用虚线、标直角符号。 本单元高频易错点汇总 易错1 三角形三边只算一组和 错因：只算两条长边相加。 纠正：任意两边之和＞第三边，三组都要满足。 易错2 内角和算错，直角三角形加 90 以外错算 错因：直角 90，剩余两角和当成 90 以外。 纠正：直角另外两个角相加 = 90 度。 易错3 等边不属于等腰 错因：分开两类。 纠正：等边是特殊等腰三角形。 易错4 平行说成只有一组对边平行 错因和平行四边形、梯形特征弄混。 纠正：平行四边形两组对边平行，梯形只有一组。 易错5 梯形高画在腰上 错因：腰上作垂线。 纠正：高只能在上底、下底之间垂直画线。 易错6 画高不加直角标记 错因：漏标垂足扣分。 纠正：高末尾必须画直角符号。 易错7 拼接题分不清组合图形 错因：两个完全一样三角形胡乱拼。 纠正：两个完全相同三角可拼成平行四边形。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 三边判断：3cm、4cm、8cm 能否围三角 精讲：3+4＜8，不能围成。 易错提醒：任意两边和大于第三边。 例题2 三角形一个角 35 度，直角，求第三个角 精讲：180－90－35=55 度 易错：直角固定 90° 例题3 判断：一组对边平行就是梯形（×） 精讲：平行四边形也有一组平行，必须只有一组。 例题4 等腰梯形特征 精讲：两腰相等，上下底平行，同一侧底角相等。 例题5 两个完全一样直角三角形拼成图形 精讲：可拼长方形、平行四边形、大等腰三角。 五大题型 题型一 概念辨析（判断、选择、填空） 解题妙招：三角内角永远 180；平行两组对边平行，梯形仅限一组；等边属于等腰。 1．两个三角形，都是用6厘米、8厘米、10厘米的小棒首尾相连摆成。这两个三角形（    ）。 A．周长相等，面积相等 B．周长相等，形状不同 C．形状相同，面积不同 【答案】A 【分析】三角形的周长就是将三角形三条边的长度相加；三角形的边确定后，形状也就是确定的了，那么图形的面积也就一样。据此解答。 【详解】这两个三角形的周长均为6＋8＋10＝24（厘米），所以周长相等；三角形的边长一定，形状也一定，所以面积相等。 故答案为：A 2．下面说法错误的是（    ）。 ①由3条线段组成的图形叫做三角形。②2.97保留一位小数大约是3。 ③0.3和0.30大小相等，计数单位不相同。④一个等腰三角形的底角是90度。 A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形； “四舍五入”法取近似值：要看精确到哪一位，就看它的后一位，根据后一位上的数字来进行“四舍五入”； 小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变； 等腰三角形：等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等；据此即可解答。 【详解】①没有强调“不在同一直线上”和“首尾顺次连接”以及“封闭图形”这些条件，所以该说法错误； ②2.97保留一位小数，小数百分位上的数字是7，7＞5，则向十分位进1，9＋1＝10，满十再向个位进1，十分位写0，结果是3.0，而不是3，所以该说法错误； ③根据小数的性质0.3＝0.30。0.3的计数单位是0.1，0.30的计数单位是0.01，它们大小相等，但计数单位不同，所以该说法正确； ④等腰三角形的两个底角相等，如果底角是90°，那么两个底角的和就是90°×2＝180°，而三角形的内角和是180°，这样就不存在顶角了，不符合三角形的定义，所以该说法错误。 所以①②④说法错误。 故答案为：B 3．如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的（    ）知识可以解释原因。 ①三角形任意两边的和大于第三边    ②两点间所有连线中线段最短 ③三角形具有稳定性 A．只有① B．只有② C．只有③ D．①② 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系“三角形任意两边的和大于第三边”，可以解释为什么②号路线比①号路线和③号路线组成的路径更短，所以①号路线和③号路线的组合路径不是最短的，而②号路线是最短的路径，这里运用了“三角形任意两条边的和大于第三边”的知识。 从A地到B地有三条路线，②号路线是连接A地和B地的线段。根据“两点之间所有连线中，线段最短”的性质，可知在所有连接A地和B地的路线中，线段②号路线是最短的，所以沿②号路线可以最快从A地到达B地，这里运用了“两点之间的连线中，线段最短”的知识。 “三角形具有稳定性”是指三角形的形状和大小在边长确定的情况下不会改变，与本题中从A地到B地选择最短路线的问题无关。 所以①②知识能解答为什么沿②号路线可以最快从A地到达B地。 【详解】根据分析可知： 如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的①三角形任意两边的和大于第三边和②两点间所有连线中线段最短的知识可以解释原因。 故答案为：D 4．如图所示，把一张顶角是的等腰三角形纸对折，可以得到两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．25°和50° B．65°和65° C．45°和45° D．25°和65° 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角度数相等，顶角已知是130°，根据三角形内角和是180°，可以计算出底角的度数。将这个等腰三角形的纸对折，得到两个完全相同的直角三角形，其中一个角就是等腰三角形的底角，另一个锐角的度数是等腰三角形顶角度数的一半，据此解答即可。 【详解】（180°－130°）÷2＝50°÷2＝25°，130°÷2＝65°， 把一张顶角是130°的等腰三角形纸对折，可以得到两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是25°和65°。D选项正确。 5．用一根长M米的铁丝正好围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是（    ）米。 A．3M B．M÷3 C．M＋3 【答案】B 【分析】等边三角形的三边相等，用铁丝的长度M除以3即等于等边三角形的边长，据此即可解答。 【详解】用一根长M米的铁丝正好围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是（M÷3）米。B选项正确。 6．用4根硬纸条钉成一个长5cm宽4cm的长方形。用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形。在这个过程中，不变的是（    ）。 A．高 B．周长 C．每一个内角的度数 【答案】B 【分析】用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形，纸条额长度不变，周长不变。长方形拉成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽；长方形的四个角都是直角，又因为长方形是特殊的平行四边形，因此长方形拉成平行四边形每一个内角的度数也发生了变化。据此解答。 【详解】如下图： 用4根硬纸条钉成一个长5cm宽4cm的长方形。用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形。在这个过程中，不变的是高。 故答案为：B 7．如图，一个长方形少了一块，你认为补上（   ）图形就能使这个长方形完整了。 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】仔细观察图片，发现少的是一个直角梯形，所以少了一块的长方形补上图形B就是完整的长方形了。 【详解】 所缺少的部分是一个直角梯形，对应是图形B。 故答案为：B 8．下面关于图形知识的描述，说法正确的是（    ）。 A．钝角三角形不可能是等腰三角形。 B．两个完全一样的梯形一定能拼成一个平行四边形。 C．同一个平行四边形内的高都相等。 D．平行四边形具有稳定性，而三角形容易变形。 【答案】B 【分析】钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形，在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底； 梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的定义：平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形； 作平行四边形的高：从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，平行四边形的每一条边都可以看做是底，所以平行四边形有4条底，有无数条高； 平行四边形具有不稳定性；三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点；逐项分析后进行选择，据此解答。 【详解】根据分析： A. 钝角三角形可以是等腰三角形，例如，原题说法错误； B． 两个完全一样的梯形一定能拼成平行四边形，例如，原题说法正确； C． 平行四边形有无数条高，两组平行线之间作垂线即为平行四边形的高，所以同一个平行四边形内的高不一定都相等，原题说法错误； D． 三角形具有稳定性，平行四边形容易变形，原题说法错误。 故答案为：B 9．把平行四边形拉成长方形，周长( )，电动伸缩门利用的是平行四边形的( )性。 【答案】 不变 不稳定 【分析】周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周长；把平行四边形拉成长方形，四条边的长度不变，也就是周长不变；平行四边形具有不稳定性，据此解答。 【详解】根据分析：把平行四边形拉成长方形，周长不变，电动伸缩门利用的是平行四边形的不稳定性。 10．电线杆支架是一个等腰三角形，长边长8.6分米，两个短边长5.45分米，这个电线杆支架的周长是( )分米。电线杆支架做成三角形是应用了三角形的( )性。 【答案】 19.5 稳定 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，电线杆支架是一个等腰三角形，长边长8.6分米，两个短边长5.45分米，那么直接把三条边的长度全部加起来即可算出这个电线杆支架的周长。计算时，利用加法结合律可使计算简便；三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，电线杆支架做成三角形运用了三角形的这种特性。 【详解】8.6＋5.45＋5.45 ＝8.6＋（5.45＋5.45） ＝8.6＋10.9 ＝19.5（分米） 故这个电线杆支架的周长是19.5分米。电线杆支架做成三角形是应用了三角形的稳定性。 题型二 三角形的内角和 解题妙招：内角固定 180，直角剩余两角相加等于 90 11．在直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的2倍，则这个三角形最小的角的度数是（    ）。 A．60° B．30° C．15° 【答案】B 【分析】 直角三角形中两个锐角和为90°，设较小锐角度数为1份，另一个锐角则为2份，用90°除以总份数（1+2）可求出最小角的度数。 【详解】 （度） 故答案为：B 12．下列各组分别是同一个三角形中两个内角的度数，其中（    ）是钝角三角形。 A．45°和35° B．40°和51° C．75°和75° 【答案】A 【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。有三个角是锐角的三角形是锐角三角形。三角形的内角和是180°，用180°减去已知两个角的度数，算出第三个角是多少度。大于0°小于90°是锐角，直角是90°，大于90°小于180°是钝角。判断第三个角是什么角。再判断是什么三角形。 【详解】A．45°＋35°＝80°，180°－80°＝100°。100°是钝角，所以是钝角三角形。 B．40°＋51°＝91°，180°－91°＝89°，89°、40°、51°都是锐角，这是锐角三角形。 C．75°＋75°＝150°，180°－150°＝30°，75°、75°、30°都是锐角，这是锐角三角形。 故答案为：A 13．下列说法中，正确的是（    ）。 A．5.895省略十分位后面的尾数是6.0 B．雯雯量得一个三角形的内角分别是50°、20°、100° C．算式“（400＋4）×25”与“400＋4×25”，结果相差9600 【答案】C 【分析】省略十分位后面的尾数，也就是保留一位小数，求小数的近似数方法是：保留一位小数时，就把百分位上的数省略（当百分位上的数等于或大于5时，应向十分位上进1后再省略），在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉；三角形的内角和为180°，将50°、20°、100°相加，再观察结果是不是180°；分别计算出两个算式的结果，再计算出这两个结果的差；计算算式（400＋4）×25时，可以运用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；有加有乘，先计算乘法再计算加法；据此解答。 【详解】根据分析： A．5.895≈5.9，所以5.895省略十分位后面的尾数是5.9，所以原题说法错误； B．50°＋20°＋100°＝170°，而三角形的内角和为180°，所以原题说法错误； C．（400＋4）×25 ＝400×25＋4×25 ＝10000＋100 ＝10100 400＋4×25 ＝400＋100 ＝500 10100－500＝9600，所以结果相差9600，原题说法正确。 故答案为：C 14．在一个等腰三角形中，一个底角是70°，则它的顶角是( )；一个等腰三角形周长是27厘米，底边长13厘米，它的腰长是( )厘米。 【答案】 40°/40度 7 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。用三角形的内角和减去两个底角的和，即可求出它的顶角。 等腰三角形的两腰相等，用周长减去底边长等于两条腰的总长度，再除以2就是腰长，据此解答即可。 【详解】180°－（70°＋70°） ＝180°－140° ＝40° （27－13）÷2 ＝14÷2 ＝7（厘米） 在一个等腰三角形中，一个底角是70°，则它的顶角是（40°）；一个等腰三角形周长是27厘米，底边长13厘米，它的腰长是（7）厘米。 15．填上“大于”“等于”或“小于”。 锐角三角形中任意两个锐角的和都( )90°。 直角三角形中两个锐角的和都( )90°。 钝角三角形中两个锐角的和都( )90°。 【答案】 大于 等于 小于 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。大于0°而小于90°的角是锐角，直角等于90°，大于90°而小于180°的角叫作钝角。 （1）锐角三角形的三个角都是锐角。三角形的内角和为180°，那么180°减去一个锐角的度数即可算出其它两个锐角的度数之和。锐角的度数小于90°，180°－90°＝90°，那么其它两个锐角的度数之和大于90°。 （2）直角三角形有一个角是直角，其余两个角是锐角。三角形的内角和为180°，那么180°减去直角的度数即可算出其它两个锐角的度数之和。180°－90°＝90°，那么其它两个锐角的度数之和等于90°。 （3）钝角三角形有一个角是钝角，其余两个角是锐角。三角形的内角和为180°，那么180°减去钝角的度数即可算出其它两个锐角的度数之和。钝角的度数大于90°，180°－90°＝90°，那么其它两个锐角的度数之和小于90°。 【详解】锐角三角形中任意两个锐角的和都大于90°。 直角三角形中两个锐角的和都等于90°。 钝角三角形中两个锐角的和都小于90°。 16．如图，把一张长方形纸沿对角线折叠，若，则∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】 25°/25度 130°/130度 【分析】 如图，根据折叠可知，∠6＝∠7，且∠6＋∠7＝90°－∠1，求出∠7的度数；根据三角形的内角和是180°可知，∠4＝180°－∠1－90°；∠3和∠4形成一个平角，所以∠3＝180°－∠4；∠2＝180°－∠3－∠7；据此解答。 【详解】180°－90°－40°＝50° 180°－50°＝130° 所以∠3＝130°； 90°－40°＝50° 50°÷2＝25° 180°－130°－25°＝25° 所以∠2＝25°。 17．将长方形纸的一个角折起，如图所示。如果∠2＝50°，那么∠1是( )°。 【答案】40 【分析】由题意得，将长方形纸的一个角折起，那么∠1＝∠DAE。在三角形ADE中，∠D＝90°，∠2＝50°。三角形的内角和为180°，那么直接用180°减去∠2和∠D的度数即可算出∠DAE的度数，也就算出了∠1的度数。 【详解】∠1＝∠DAE ∠DAE＝180°－∠D－∠2 ＝180°－90°－50° ＝90°－50° ＝40° 故∠1＝40°。 18．一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是________°；若它的底边长6cm，腰长8cm，周长是________cm。 【答案】 50 22 【分析】三角形内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，所以180°减顶角的度数等于2个底角的度数和，再除以2即等于一个底角的度数；等腰三角形的两腰相等，一条腰长是8cm，另一条腰的长为8cm；底边长是6cm，然后根据三角形的周长等于三边长度之和，求出这个等腰三角形的周长是多少即可。 【详解】（180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 8×2＋6 ＝16＋6 ＝22（cm） 一个等腰三角形的顶角是80°，它的一个底角是50°；若它的底边长6cm，腰长8cm，周长是22cm。 19．一个等腰三角形的顶角是50度，那么它的一个底角是( )度；如果一个等腰三角形的两条边分别是6cm和12cm，那么这个三角形的周长是( )cm。 【答案】 65 30 【分析】等腰三角形的两个底角相等，因此用三角形的内角和减去顶角的度数，求出两底角的和，再除以2，即求出一个底角的度数。 三角形的三边之间的关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边；等腰三角形的两腰相等；三角形的周长为三边之和，那么这个等腰三角形的三边可能有两种情况： 第一种情况：假设6cm是三角形的腰长，那么三边长分别是6cm、6cm和12cm，6cm＋6cm＝12cm，12＝12，所以组成三角形的三边长不可能是6cm、6cm和12cm； 第二种情况：假设12cm是三角形的腰长，那么三边长分别是6cm、12cm和12cm，6cm＋12cm＝18cm，18＞12，所以6cm、2cm和12cm这三边可以组成三角形；再把这三边长度相加，即求出这个等腰三角形的周长；据此解答。 【详解】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 6＋2×12 ＝6＋24 ＝30（cm） 即一个等腰三角形的顶角是50度，那么它的一个底角是65度；如果一个等腰三角形的两条边分别是6cm和12cm，那么这个三角形的周长是30cm。 20．一个三角形中，已知∠A的度数是38.5°，∠B的度数是∠A的1.4倍，那么∠C是多少度？这是一个什么三角形？ 【答案】87.6°；锐角三角形 【分析】已知∠A的度数是38.5°，∠B的度数是∠A的1.4倍，用38.5°×1.4求出∠B的度数，此时已知三角形的三个内角和是180°，三个内角有两个已经知道，要求未知的那一个内角，用180°连续减去两个内角的度数即可。 三角形按角的大小，可分为三种：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。 【详解】180°—38.5°×1.4－38.5° ＝180°—53.9°－38.5° ＝126.1°－38.5° ＝87.6° 三个角都是锐角，这是一个锐角三角形。 答：∠C是87.6°，这是一个锐角三角形。 题型三 三角形三边取舍选择题 解题妙招：短边相加＞最长边即可 21．等腰三角形的两条边是48厘米和96厘米这个三角形的周长是（    ）厘米。 A．144厘米 B．192厘米或240厘米 C．192厘米 D．240厘米 【答案】D 【分析】根据“三角形任意两边的和大于第三边”分析等腰三角形的腰是48厘米还是96厘米。最后把这个三角形的三条边相加就得到它的周长。 【详解】如果长48厘米的边是等腰三角形的腰，则三角形的三边长分别为48厘米、48厘米、96厘米，48＋48＝96（厘米），长48厘米的边不是等腰三角形的腰。 若长96厘米的边是等腰三角形的腰则这个三角形的三边长分别为48厘米、96厘米、96厘米，且48＋96＞96，96＋96＞48，符合“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。 这个三角形的周长：48＋96＋96＝240（厘米） 22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”纸鸢又名风筝，是我国的一项非物质文化遗产。李强做了一个等腰三角形的风筝骨架，其中两条边分别用了5分米和10分米长的竹条，做这个风筝骨架一共需要（    ）分米竹条。 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】等腰三角形两腰长度相等，而三角形三边关系为任意两边之和大于第三边。已知等腰三角形两条边分别为5分米和10分米，需要分情况讨论这两条边哪个是腰，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而求出风筝骨架所需竹条长度。 情况一：当腰长为5分米时：此时三边长度为5分米、5分米、10分米。因为5＋5＝10，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，所以这种情况不能构成三角形。 情况二：当腰长为10分米时：此时三边长度为10分米、10分米、5分米。因为10＋5＞10，10＋10＞5，满足三角形三边关系，可以构成三角形。 那么这个等腰三角形风筝骨架的周长，也就是所需竹条长度列式为：10＋10＋5，计算即可。 【详解】当腰长为5分米时： 5＋5＝10 不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，这种情况不能构成三角形。 当腰长为10分米时： 10＋5＞10 10＋10＞5 满足三角形三边关系，可以构成三角形。 10＋10＋5＝25（分米） 做这个风筝骨架一共需要25分米竹条。 故答案为：C 23．李奶奶家有一块等腰三角形的菜地，其中两边长为13米和6米，这个菜地的周长为（    ）。 A．7米 B．19米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】等腰三角形的两腰相等，三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此确定出这个等腰三角形菜地每条边的长度，再计算出这个等腰三角形菜地三条边的总长度即可。 【详解】假设腰长为6米，6＋6＝12（米）＜13米，腰长只能是13米； 13＋13＋6 ＝26＋6 ＝32（米） 这个菜地的周长为32米。 故答案为：D 24．一个等腰三角形有两条边分别是7.85cm和3.6cm，它的周长是（    ）。 A．15.05cm B．19.3cm C．15.05cm或者19.3cm 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，等腰三角形两边腰长度相等。且根据三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即当腰是3.6cm时，等腰三角形三边长度分别是：7.85cm、3.6cm、3.6cm，但是3.6cm＋3.6cm＝7.2cm，7.2cm＜7.85cm，所以3.6cm不能是该等腰三角形的腰，那么计算当腰是7.85cm时，它的周长是多少，据此解答。 【详解】当腰是3.6cm时，等腰三角形三边长度分别为：7.85cm、3.6cm、3.6cm。 3.6cm＋3.6cm＝7.2cm 因为7.2cm＜7.85cm，所以不能构成一个三角形。 当腰是7.85cm，等腰三角形三边长度分别为：7.85cm、7.85cm、3.6cm。 7.85cm＋3.6cm＞7.85cm，能构成三角形。 等腰三角形周长为：7.85cm＋7.85cm＋3.6cm＝15.7cm＋3.6cm＝19.3cm。 所以，一个等腰三角形中，有两条边分别是7.85cm和3.6cm，它的周长是19.3cm。 故答案为：B 25．有两根长度分别是5厘米和3厘米的小棒，如果再添一根小棒（长度为整厘米数）搭成一个三角形，那这个三角形的周长最短是（    ）。 A．10 B．11 C．13 D．16 【答案】B 【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。据此判断出第三边最短的长度，进而求出周长。 【详解】5＋3＝8（厘米） 5－3＝2（厘米） 所以第三边小于8厘米，大于2厘米，由于长度为整厘米数，所以第三边最短为3厘米。 5＋3＋3 ＝8＋3 ＝11（厘米） 这个三角形的周长最短是11厘米。 故答案为：B 26．一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和2厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】 12 【分析】等腰三角形有两条边相等，已知两条边分别是5厘米和2厘米，需要分两种情况讨论：一种是腰长为5厘米，另一种是腰长为2厘米。然后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”来验证这两种情况是否能组成三角形，最后计算能组成三角形的周长。 【详解】情况1：腰长为2厘米，底边长5厘米。此时2＋2＝4＜5，不满足三边关系，无法围成三角形，排除。 情况2：腰长为5厘米，底边长2厘米。此时5＋2＞5，满足三边关系，可以围成三角形。 计算周长：5＋5＋2 ＝10＋2 ＝12（厘米） 一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和2厘米，这个三角形的周长是12厘米。 27．一根铁丝长，用它首尾相连围成一个平行四边形，其中一条边长，与它相邻的另一条边长( )cm；若用它首尾相连围成一个等腰三角形，一条腰长，则底长( )cm。 【答案】 5 12 【分析】平行四边形的对边相等，周长等于相邻两条边长度之和的2倍。已知铁丝总长（即周长）为30cm，其中一条边长10cm，可以通过周长除以2求出相邻两边之和，再减去已知边长即可求出另一条邻边的长度。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，需验证求出的三条边能否围成三角形。 等腰三角形的两条腰长度相等。已知铁丝总长（即周长）为30cm，一条腰长9cm，则另一条腰长也为9cm。用周长减去两条腰的长度之和即可求出底边。 【详解】平行四边形相邻两边之和：30÷2＝15cm，另一条邻边长：15－10＝5cm； 求等腰三角形的底长：两条腰的长度之和：9×2＝18cm，底边长：30−18＝12cm 验证三角形三边关系：两条腰之和与底边比较：9＋9＝18，因为18＞12，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形。 28．一个等腰三角形的一条边是5cm，另一条边是2cm，它的周长是( )cm。 【答案】12 【分析】等腰三角形的两条腰相等。在三角形中，任意两边之和大于第三边。已知等腰三角形的一条边是5cm，另一条边是2cm，那么它的第三条边长可能是5cm，也可能是2cm。分别根据任意两边之和大于第三边进行验证，确认第三条边的长度。最后把三条边的长度相加即为周长。 【详解】当第三条边是5cm时，2cm＋5cm＝7cm＞5cm，符合任意两边之和大于第三边； 当第三条边是2cm时，2cm＋2cm＝4cm＜5cm，不符合任意两边之和大于第三边； 所以第三条边的长度是5cm，那么等腰三角形的周长是：5＋5＋2＝12（cm） 29．一个等腰三角形的两条边是2cm和5cm，则它的周长是( )。 【答案】12cm 【分析】等腰三角形的特点是两腰相等。三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，当2cm为腰长时，2加2得4，而4小于5，所以2cm不能为腰，5cm为腰长，底边长为2cm，再把三边的长度相加，即可求出周长。 【详解】5＋5＋2 ＝10＋2 ＝12（cm） 一个等腰三角形的两条边是2cm和5cm，则它的周长是12cm。 30．小明的爷爷是“非物质文化遗产”的传承人，他准备制作一个藤编工艺品，需要从长度分别为3dm，3.5dm，4dm，4.5dm，8dm的5根藤条中任意选择3根围成三角形模型，他最多能围出( )种不同的三角形模型。 【答案】5 【分析】5根小棒选出3根，有10种不同组合方式，根据三角形的两边之和大于第三边，选出每种组合里较短的两条边相加之和与第三边对比，判断这10种组合是否能围成三角形。 【详解】3根小棒为：3dm，3.5dm，4dm，3＋3.5＝6.5（dm），6.5dm＞4dm，可以围成三角形； 3根小棒为：3dm，3.5dm，4.5dm，3＋3.5＝6.5（dm），6.5dm＞4.5dm，可以围成三角形； 3根小棒为：3dm，3.5dm，8dm，3＋3.5＝6.5（dm），6.5dm＜8dm，不可以围成三角形； 3根小棒为：3dm， 4dm，4.5dm，3＋4＝7（dm），7dm＞4.5dm，可以围成三角形； 3根小棒为：3dm， 4dm，8dm，3＋4＝7（dm），7dm＜8dm，不可以围成三角形； 3根小棒为：3dm，4.5dm，8dm，3＋4.5＝7.5（dm），7.5dm＜8dm，不可以围成三角形； 3根小棒为：3.5dm，4dm，4.5dm，3.5＋4＝7.5（dm），7.5dm＞4.5dm，可以围成三角形； 3根小棒为：3.5dm，4dm，8dm，3.5＋4＝7.5（dm），7.5dm＜8dm，不可以围成三角形； 3根小棒为：3.5dm，4.5dm，8dm，3.5＋4.5＝8（dm），8dm＝8dm，不可以围成三角形； 3根小棒为：4dm，4.5dm，8dm，4＋4.5＝8.5（dm），8.5dm＞8dm，可以围成三角形。 综上可知，他最多能围出5种不同的三角形模型。 题型四 图形拼接实操应用题 解题妙招：完全相同的两个三角形拼成平行四边形；两个一样直角三角拼长方形。 31．两个完全一样的三角形，一定可以拼成一个（    ）。 A．平行四边形 B．正方形 C．长方形 【答案】A 【分析】两个完全一样的三角形，将它们的相等边重合拼接，可组成一个四边形，且这个四边形的两组对边分别平行（因为三角形的对应边长度相等、方向平行），符合平行四边形的定义。 【详解】A．只要是两个完全一样的三角形就能拼成平行四边形。 B．需要三角形是等腰直角三角形（同时满足直角、两条边相等），并非所有完全一样的三角形都能拼成，所以不是“一定可以拼”。 C．需要三角形是直角三角形，普通三角形无法拼成，也不是“一定可以拼”。 两个完全一样的三角形，一定可以拼成一个平行四边形。 故答案为：A 32．两个（    ）的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 A．周长相等 B．周长和面积分别相等 C．等底等高 D．完全相同 【答案】D 【分析】在拼组平行四边形时，平行四边形两组对边平行且相等，且有公共边，两个完全一样的，也就是形状和大小相同的三角形可以拼成一个平行四边形，面积、周长相等不能保证形状相同，不能拼成一个平行四边形，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，两个完全一样的三角形，一定可以拼成一个平行四边形，如下图， 两个完全一样的三角形，水平翻转，再垂直翻转，平移，刚好和原来的三角形拼成一个平行四边形。 故答案为：D 33．两个完全相同的等腰直角三角形，拼成一个大三角形，这个大三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．等腰直角 C．钝角 D．等边 【答案】B 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，拼成的大三角形有一个角是直角且两个底角的度数相等，所以这个大三角形是一个等腰直角三角形。 故答案为：B 34．下列图形不可以密铺的是（    ）。 A．圆形 B．正方形 C．平行四边形 【答案】A 【分析】密铺是指图形之间无空隙、不重叠地铺满平面。正方形和平行四边形内角能组合成360°，可以密铺；圆形存在空隙，无法密铺。 【详解】A．圆形边缘为曲线，拼接时必然存在空隙，无法密铺。 B．正方形每个内角为90°，4个正方形拼在一起时，顶点处角度总和为90°×4＝360°，可密铺。 C．平行四边形相邻内角互补（和为180°），通过平移和旋转，顶点处角度可组合成360°，可密铺。 故答案为：A 35．两个完全一样的等腰直角三角形不能拼成（    ）。 A．等腰直角三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的特点，通过实际拼接情况来判断能否拼成选项中的图形。 【详解】A．如下图：两个完全一样的等腰直角三角形能拼成一个等腰直角三角形。 B．如下图：两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形。 C．因为等腰梯形的上下底平行且不相等，两腰相等。而两个完全一样的等腰直角三角形无论怎样拼接，都无法得到上下底平行且不相等，两腰相等的等腰梯形，所以不能拼成等腰梯形。 故答案为：C 36．两个完全一样的等腰直角三角形，一定不能拼成一个（    ）。 A．平行四边形 B．正方形 C．梯形 D．三角形 【答案】C 【分析】两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成如下图： 据此可知，两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成平行四边形、正方形和三角形，就是不能拼成梯形。据此解答。 【详解】根据分析可知，两个完全一样的等腰直角三角形不能拼成一个梯形。 故答案为：C 37．两个完全一样的三角形一定可以拼出（    ）。 A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 【答案】B 【分析】平行四边形两组对边分别平行，梯形只有一组对边互相平行，三角形是由三条线段围成的封闭图形； 根据题意，如果是两个完全一样的锐角三角形，可以拼出的图形有（平行四边形）、（普通四边形）； 如果是两个完全一样的直角三角形，可以拼出的图形有（长方形）、（平行四边形）、（三角形）； 如果是两个完全一样的钝角三角形，可以拼出的图形有（普通四边形）、（平行四边形）；据此解答。 【详解】A．两个完全一样的三角形不一定可以拼出三角形； B．两个完全一样的三角形一定可以拼出平行四边形； C．两个完全一样的三角形不可以拼出梯形。 所以，两个完全一样的三角形一定可以拼出平行四边形。 故答案为：B 38．两个完全一样的直角三角形拼成一个新的图形后，不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．三角形 【答案】C 【分析】两个完全一样的三角形可以拼组成一个平行四边形，两个完全一样的直角三角形可以拼组成一个长方形（或正方形），长方形是平行四边形的一种特殊情况，而把两个三角形的直角边对在一起可以拼成一个等腰三角形，如图，据此解答。 【详解】根据解析可知，两个完全一样的直角三角形可以拼成长方形、平行四边形或者三角形，不可能是梯形。 故答案为：C 39．两个完全一样的直角三角形一定可以拼成( )或( )。 【答案】 长方形 平行四边形 【分析】将两个完全一样的直角三角形的斜边对齐重合，两个直角分别位于重合边的两侧，得到的图形四个角均为直角，对边相等，为长方形； 将两个完全一样的直角三角形的一组相等的直角边对齐重合，两个直角分别位于重合边的两侧，得到的图形两组对边分别平行且相等，为平行四边形。 【详解】 两个完全一样的直角三角形一定可以拼成长方形或平行四边形，如图： 40．如图，两个完全相同的直角三角形拼成一个( )形，则所拼图形的底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 平行四边 3 4 【分析】平行四边形对边平行且相等，两个完全相同的直角三角形拼在一起，两组对边互相平行，且对边是两个一样的三角形对应的边长，长度也一定相等，这是一个平行四边形；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，直角三角形其中一条直角边是底角，另一条直角边是高，据此填空即可。 【详解】如图，两个完全相同的直角三角形拼成一个平行四边形，则所拼图形的底是3厘米，高是4厘米。 题型五 画图题（做高、画三角形、平行四边形、梯形） 41．从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 【答案】5小时 从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短 图见详解 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短 【分析】（1）根据题意，从A城到B城再到C城，路程为200＋160＝360（千米），用路程除以时间即可算得去时的速度，然后因为回来时每小时比去多行10千米，那么就用去时的速度加上10，即为回来的速度，再用回来的路程除以回来的速度，即可算得回来至少需要用多少时间； （2）根据题意A、B、C三城围城了一个三角形，B城为三角形的一个顶点，AC城之间的距离为B城所对的一条底边，从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，因为直线外一点到直线的距离，垂线最短，图见详解； 【详解】根据分析可得： （1）200＋160＝360（千米） 360÷6＝60（千米小时） 60＋10＝70（千米小时） 350÷70＝5（小时） 答：返回时至少需要5小时。 （2）从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，见下图 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短。 42．先画出三角形ADE中AD边上的高，再求出∠1的度数。 【答案】作图见详解；88° 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。据此画出三角形ADE中AD边上的高；在三角形ABE中，∠ABE是直角，∠BAE＝44°，求∠2的度数，直接用180°减去已知的两个内角的度数即可解答。同时，∠1、∠2和46°的角组成了一个平角，直接用180°减去46°和∠2的度数即可得到∠1的度数。 【详解】 ∠2＝180°－90°－44° ＝90°－44° ＝46° ∠1＝180°－46°－∠2 ＝180°－46°－46° ＝134°－46° ＝88° 答：∠1的度数为88°。 43．算一算，求出的度数，再画出三角形底边上的高。 【答案】131°；图见详解 【分析】三角形内角和为180°，用180°减去已知两个角的度数，就是∠1的度数；根据三角形的高及画法，把三角板的一条直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】180°－22°－27° ＝158°－27° ＝131° 44．按要求画一画。 （1）把三角形先向上平移4格，再向左平移3格。 （2）把梯形绕点A顺时针旋转90°。 （3）在方格中画一个与梯形面积相等的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【分析】（1）平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动。平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。把三角形先向上平移4格，再向左平移3格，平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同，对应点之间的距离等于平移的距离； （2）旋转是图形上的每一个点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，对应点到旋转中心的距离相等。旋转前、后图形的大小和形状没有改变，旋转中心是唯一不动的点。把这个图形绕A点顺时针旋转90°，A点的位置不动，其余各部分均绕A点按相同的方向旋转相同的角度即可； （3）每个小方格表示1平方厘米，可知小方格为正方形，正方形的边长为1厘米。梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，（3＋5）×2÷2＝8厘米，求出梯形的面积；再根据平行四边形的面积＝底×高，8厘米＝4×2，取平行四形的2条对边为4厘米，平行四形对边平行且相等，在格子图中画平行四边形时，先画平行四边形上下对应的两条边，要注意平行四边形的上下两条边所占的格子数是相同的，再把上下两条边对应的端点连接起来，即可画出梯形面积相等的平行四边形。 【详解】（3＋5）×2÷2 ＝8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 8厘米＝4×2 45．在下面的方格纸上分别画出一个和平行四边形面积相等的三角形和梯形。 【答案】见详解 【分析】由图可知，假设小方格的边长为1，平行四边形的底为4，高为2，根据平行四边形的面积＝底×高，它的面积是4×2＝8，则三角形和梯形的面积也是8。根据三角形的面积＝底×高÷2，如果画三角形的底是4，那么求出高即可画三角形；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，上底是3，下底是5，求出高，即可画梯形。 【详解】根据分析可知： 4×2＝8 三角形的底是4，高是： 8×2÷4 ＝16÷4 ＝4 梯形上底是3，下底是5，高是： 8×2÷（3＋5） ＝16÷8 ＝2 画图如下： （画法不唯一） 46．根据下面每个图形标出的底，分别画出图形的高。 【答案】见详解 【分析】高的定义是从一个顶点向对边（底）作一条垂直的线段，这条线段就是高。画高的核心步骤是“一合二移三画四标”，即三角板的一条直角边与底重合，平移三角板使另一条直角边经过对边的顶点，画出垂线段并标上直角符号。 【详解】1.三角形：从底所对的顶点，向这条底作一条垂直的线段，标上直角符号，这条线段就是三角形的高。 2.平行四边形：从底所对的任意一个顶点，向这条底（或底的延长线）作一条垂直的线段，标上直角符号，这条线段就是平行四边形的高。 3.梯形：从上底的任意一点，向下底作一条垂直的线段，标上直角符号，这条线段就是梯形的高。（说明：画图时，高一般用虚线表示，并标出垂足符号。） 47．分别画出面积是10平方厘米的平行四边形、三角形和梯形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【分析】平行四边形面积＝三角形面积＝梯形面积＝10平方厘米，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；三角形面积公式：面积＝底×高÷2；梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，确定出平行四边形的底和高；三角形面积的底和高；梯形面积的上底、下底和高，据此画出图形。 【详解】平行四边形面积＝10平方厘米；底是5厘米；高是2厘米； 三角形面积＝10平方厘米；底是5厘米，高是4厘米； 梯形面积＝10平方厘米；上底是1厘米，下底是4厘米，高是4厘米；图形如下： （答案不唯一） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $