多边形的内角和（4大考点，7大易错点，3大题型）-2025-2026学年苏教版四年级下册高频易错期末专项复习讲义（苏教版）

《多边形的内角和》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三角形内角和固定度数 填空、选择、判断基础题，必考 180° 基础应用 四边形内角和推导与计算 填空、计算题高频，由两个三角形推导 360° 多边形内角和通用公式 填空、列式计算重难点，n 边形内角和应用 根据边数求内角和、根据内角和求边数 期末解答大题，正反双向计算 核心考点总结 考点 1 基础固定结论 任意三角形内角和＝180 度。 任意四边形可以分成 2 个三角形，内角和＝180×2＝360 度。 考点 2 多边形内角和通用公式 n 边形内角和＝（n－2）×180 度（n 代表边数，n≥3，n 是大于等于 3 的自然数） 拆分原理：从同一个顶点出发，把多边形分成（n－2）个三角形。 考点 3 常用固定多边形内角 五边形：（5－2）×180＝540 度 六边形：（6－2）×180＝720 度 考点 4 反向求边数 边数 n＝内角和 ÷180＋2 本单元高频易错点汇总 易错 1 四边形内角和记成 180 度 错因：和三角形内角混淆。 纠正：四边形 360 度，分成两个三角形。 易错 2 公式写成 n×180 错因：忘记减 2。 纠正：必须（边数－2）再乘 180。 易错 3 反向求边数用内角和 ÷180 错因：漏掉＋2。 纠正：n＝内角和 ÷180＋2。 易错 4 拆分多边形从多个顶点连线 错因：拆分三角形数量算错。 纠正：固定一个顶点连线分三角形。 易错 5 把 n 取小于 3 的数 错因：n＝2、1 代入公式。 纠正：多边形最少 3 条边。 易错 6 三角形求角乱用多边形公式 错因：三角也套（3－2）×180 虽然得数对，但解题思路错误。 纠正：三角形直接记 180°。 易错 7 单位漏写度 错因：计算结果不带单位。 纠正：内角结果标注 “度”。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 三角形求角 直角三角形一个锐角 32 度，求另一个锐角。 精讲：180－90－32＝58 度 易错提醒：直角固定 90°。 例题 2 四边形内角和 精讲：（4－2）×180＝360 度。 例题 3 求七边形内角和 精讲：（7－2）×180＝900 度 易错提醒：边数先减 2 再相乘。 例题 4 已知内角和 900 度，求几边形 精讲：900÷180＋2＝7，七边形。 例题 5 五边形三个内角各 100 度，剩余两角相等，求单个度数 精讲：五边形 540 度，（540－3×100）÷2＝120 度。 三大题型 题型一 已知边数求内角和计算题 解题妙招：边减 2，得数 ×180。 1．如图，把五边形分割成3个三角形，可以计算出五边形的内角和是（    ）度。 A．540 B．360 C．180 【答案】A 【分析】已知三角形的内角和是180°，从图中可以看到，把五边形分割成了3个三角形，那么五边形的内角和等于3个三角形的内角和之和。 【详解】180°×3＝540° 所以，五边形的内角和是540°。 故答案为：A 2．下面是求五边形内角和的方法，正确的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形内角和的计算方法，需要对每个方法进行分析。 【详解】根据多边形的内角和计算公式（n－2）×180°（n为边数，n≥3且n是整数），当n＝5时，代入公式（5－2）×180°，所以方法一正确； 由方法二的图可知：五边形被分成了5个小三角形，这5个小三角形的内角和是5×180°，但五边形的中间多出了一个周角，所以要减去这个周角，则这个五边形的内角和是5×180°－360°，所以方法二正确； 由方法三的图可知：五边形被分成了一个三角形和一个四边形，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，没有多出的角，则这个五边形的内角和是180°＋360°，所以方法三正确； 由方法四的图可知：∠1＋∠2＋∠3＝180°，2×180°－∠3＋（180°－∠1）＋（180°－∠2）＝2×180°－∠3＋180°－∠1＋180°－∠2＝2×180°＋180°＋180°－∠3－∠2－∠1＝2×180°＋180°＋180°－（∠3＋∠2＋∠1）＝2×180°＋180°＋180°－180°＝2×180°＋180°＝3×180°，所以方法四正确。 故答案为：D。 3．蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 【答案】B 【分析】多边形的内角和＝180°×（边数－2），所以正六边形的内角和＝180°×（6－2），据此即可解答。 【详解】180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 正六边形的内角和是720° 故答案为：B 4．在计算六边形的内角和时，我们可以把它分成4个三角形（如图），它的内角和是180°×4＝720°。计算八边形内角和正确的是（    ）。 A．180°×6＝1080° B．180°×7＝1260° C．180°×8＝1440° 【答案】A 【分析】由题意可知，从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的度数。 在计算八边形时，我们可以把它分成6个三角形，如下所示： 据此进行计算并选出正确选项即可。 【详解】6×180°＝1080° 八边形的内角和是1080°。 故答案为：A 5．一个直角三角形的内角和是( )度。平行四边形的内角和是( )度。 【答案】 180 360 【分析】直角三角形：根据三角形的内角和是180度，直角三角形是三角形的一种进行解答； 平行四边形：连接一条对角线，可以把平行四边形分成两个三角形，再根据三角形的内角和是180度解答即可。 【详解】所有三角形的内角和都是180度，所以直角三角形的内角和是180度； 如下图所示，平行四边形可以分成2个三角形，所以内角和是180度×2＝360度。 6．想一想，填一填，多边形的内角和与它的边数有什么关系？ 多边形 …… 边数 3 4 5 6 … 内角和 180° 360° 180°×（    ） 180°×（    ） … 关系：____________________。 【答案】 3；4；多边形内角和＝180°×（边数－2） 【分析】三角形内角和是180°，由图可知，四边形被分为2个三角形，则四边形的内角和就是两个三角形的内角和；五边形被分为3个三角形，则五边形的内角和就是3个三角形的内角和；六边形被分为4个三角形，则六边形的内角和就是4个三角形的内角和。 【详解】五边形被分为3个三角形，内角和是：180°×3＝540°，即180°×（5－2）＝540°。 六边形被分为4个三角形，内角和是：180°×4＝720°，即180°×（6－2）＝720°。 由此可以发现，多边形的内角和＝180°×（边数－2）。 7． 如上图所示，一个四边形可以分成2个三角形，一个五边形可以分成3个三角形，一个六边形可以分成4个三角形…… (1)一个十边形可以分成( )个三角形，这个十边形的内角和是( )； (2)一个n边形可以分成( )个三角形，这个n边形的内角和是( )。 【答案】(1) 8 1440° (2) n－2 （n－2）×180° 【分析】根据题目可以得出规律，可分成三角形个数＝多边形边数－2；三角形内角和为180°。，多边形内角和＝三角形个数×180° 【详解】（1）10－2＝8（个），所以十边形可以分成8个三角形，十边形内角和为： （2）n边形可分成的三角形个数＝n－2，n边形的内角和＝（n－2）×180°。 8．下面的图形是( )梯形，它的内角和是( )°，如果，那么( )°。 【答案】 直角 360 120 【分析】（1）根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形，叫直角梯形；据此判断即可。 （2）任意一个四边形的内角和都是360°，据此解答即可。 （3）根据题意可知，直角梯形有两个角是90°，∠2＝60°，则∠1等于内角和的度数减去两个直角的度数与∠2的度数之和，据此解答即可。 【详解】（1）图中有2个直角，根据直角梯形的定义可知，该图是直角梯形。 （2）根据任意一个四边形的内角和都是360°可知，直角梯形的内角和也是360°。 （3）360°－（90°＋90°＋60°） ＝360°－240° ＝120° 因此如果，那么∠1＝120°。 9．如图：一副三角板叠放在一起，＝( )°，＝( )°。 【答案】 15 120 【分析】根据对三角板的了解，其中一个三角板的度数分别是60°、30°、90°，另一个三角板的度数分别是45°、45°、90°，∠1是45°和30°角的夹角，用45°－30°即可求出∠1的度数；四边形可以分成两个三角形，三角形内角和为180°，180°×2＝360°，所以四边形的内角和是360°，∠2和60°的角还有两个直角组成一个平行四边形，用360°减去两个90°再减去一个60°，即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60° ＝270°－90°－60° ＝180°－60° ＝120° 如图：一副三角板叠放在一起，∠1＝15°，∠2＝120°。 10．在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成( )个三角形，得出六边形的内角和是( )。 【答案】 4 720° 【分析】从六边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将六边形分成4个三角形，如图，每个三角形的内角和是180°，所以计算六边形的内角和就是计算4个三角形的内角和。据此解答。 【详解】6－2＝4（个） 4×180°＝720° 所以在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成4个三角形，得出六边形的内角和是720°。 题型二 已知内角和反求边数 解题妙招：内角 ÷180，结果再加 2。 11．下面的图形中内角和是360°的是（    ）。 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】C 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形的内角和为180°。求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角和。据此解答。 【详解】A．直角三角形是三角形的一种，它的内角和为180°。不满足题意。 B．等腰三角形是三角形的一种，它的内角和为180°。不满足题意。 C． 由图可知，平行四边形可以分成两个三角形，它的内角和为：180°×2＝360°。满足题意。 D． 由图可知，五边形可以分成三个三角形，它的内角和为：180°×3＝540°。不满足题意。 故答案为：C 12．公园里要用同一种形状的地砖铺一条小路。下面（    ）能单独密铺。 A．圆形地砖 B．正五边形地砖 C．长方形地砖 【答案】C 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能整除360°或被360°整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，据此解答即可。 【详解】A．圆形不能密铺； B．（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷360°＝1……180°，不能单独密铺； C．（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 长方形能单独密铺。 故答案为：C 13．小军利用三角形内角和探究五边形的内角和，他通过画图列出算式：180°×5－360°。根据他列的算式判断小军画的图是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】A．由图可知，从一个顶点出发可以分成的三角形个数：5－2＝3（个）。因为一个三角形内角和是180°，所以这个五边形内角和就是（5－2）×180°； B．由图可知，把这个五边形分成一个三角形和一个四边形，因为一个三角形内角和是180°，一个四边形的内角和是360°，所以这个五边形内角和就是180°＋360°； C．从这个图形看，以中间某点为中心，连接五边形的五个顶点，就形成了5个三角形。这5个三角形内角和就是180°×5，但是中间多算了一个周角360°，因为这5个三角形在中间交汇的部分是一个周角，不属于五边形内角，所以180°×5需要减去这个周角的度数，即这个五边形内角和就是180°×5－360°。 【详解】A．五边形内角和是（5－2）×180°，不符合题意； B．五边形内角和是180°＋360°，不符合题意； C．五边形内角和就是180°×5－360°，符合题意。 故答案为：C 14．学校运动会校徽是一个正多边形，这个正多边形的内角和是1080°。这是一个正（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n－2）×180°（n大于等于3），运算倒推，用内角和除以180°再加上2，据此解答。 【详解】1080°÷180°＋2 ＝6＋2 ＝8 所以n＝8，这是一个正八边形。 故答案为：C 15．一个多边形的内角和是1620°，那么这个多边形是（    ）边形。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】将求多边形的内角和转化成求几个三角形的内角和计算，多边形所分成的三角形的个数总是比边数少2，即多边形内角和＝180°×（边数－2），多边形的内角和是1620°，边数＝多边形的内角和÷180＋2根据内角和计算边数，据此解答。 【详解】1620÷180＋2 ＝9＋2 ＝11 所以这个多边形的边数是11，即这个多边形是11边形。 故答案为：C 16．一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 【答案】C 【分析】计算多边形的内角和度数时，可将多边形分成几个三角形，由于一个三角形的内角和是180°，则这个多边形能被分成几个三角形，它的内角和就是几个180°，一个多边形可被分成（它的边数－2）个三角形，即多边形的内角和度数＝（多边形的边数－2）×180°，因此边数＝内角和度数÷180＋2，依此解答。 【详解】由分析可得： 900÷180＋2 ＝5＋2 ＝7 因此内角和是900°的多边形是7边形。 故答案为：C 17．在下面给出的同一种平面图形中，不能进行密铺的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片； 能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合；长方形、四边形、三角形、正六边形等都具备这一特点，正五边形就不具备这样的特点；n边形的内角和＝（n－2）×180°；据此解答。 【详解】根据分析： A．三角形每个内角是180°÷3＝60°，能整除360°，可以进行密铺； B．四边形每个内角是（4－2）×180°÷4＝2×180°÷4＝360°÷4＝90°，能整除360°，可以进行密铺； C．正五边形每个内角是（5－2）×180°÷5＝3×180°÷5＝540°÷5＝108°，不能整除360°，不能进行密铺； D．正六边形的每个内角是（6－2）×180°÷6＝4×180°÷6＝720°÷6＝120°，能整除360°，可以进行密铺。 故答案为：C 18．一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加( )°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个( )边形。 【答案】 180 11 【分析】三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，根据多边形内角和的计算方法，多边形边数增加1就能多分出一个三角形，内角就增加180°；多边形的内角和与边数之间的关系是边数减2乘180°；据此解答。 【详解】由分析可得： 一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加180°； 1620°÷180°＝9； 多边形的边数为：9＋2＝11； 一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加180°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个11边形。 19．如图所示，将多边形分割成三角形。 (1)图的四边形、五边形、六边形分别可分割出( )个、( )个、( )个三角形。 (2)由此猜测：按上述方式，边形可以分割出( )个三角形，一个三角形的内角和是，边形的内角和是( )° (3)一个多边形的内角和是，这是一个( )边形。 【答案】(1) 2 3 4 (2) n－2 （n－2）×180° (3)12 【分析】（1）根据题意，四边形可分成2个三角形，五边形可分成3个三角形，六边形可分成4个三角形。 （2）n边形可以分割出（n－2）个三角形，每个三角形内角和为180°，所以n边形的内角和为（n－2）×180°。 （3）若多边形的内角和为1800°，则（n－2）×180°＝1800°，解得n－2＝10，所以n＝12，这是一个12边形。 【详解】根据分析可知： （1）图中的四边形、五边形、六边形分别可分割出2个、3个、4个三角形。 （2）由此猜测：按上述方式，n边形可以分割出（n－2）个三角形，一个三角形的内角和是180°，n边形的内角和是（n－2）×180°。　 （3）（n－2）×180°＝1800° n－2＝1800°÷180° n－2＝10 n＝10＋2 n＝12 一个多边形的内角和是1800°，这是一个12边形。 20．一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是( )边形。 【答案】十二 【分析】根据多边形的内角和公式：（n－2）×180°，则用1800°除以180°，再加上2，就能求出这个图形是几边形。 【详解】1800°÷180°＝10 10＋2＝12 这个多边形是十二边形。 题型三 多边形缺角应用题 解题妙招：先用公式算出总内角，全部已知角相加，总和相减得未知角。 21．手工课上，老师让大家用彩色卡纸制作“心愿卡”。小红选了一张三角形的红色卡纸，准备在上面贴窗花图案。她原本想保留三角形形状，但在裁剪时，沿着一条虚线剪下了一个30°的小角，如图所示，剩余图形的内角和是（    ）度。 A．180 B．360 C．720 D．540 【答案】B 【分析】原来的图形是一个三角形，内角和是180°。沿着虚线剪下一个30°的小角后，剩下的图形变成了一个四边形。再根据多边形的内角和＝（多边形边数－2）×180。计算出剩余图形的内角和即可。 【详解】观察可知，剩余图形为四边形，内角和为： （4－2）×180。 ＝2×180。 ＝360。 22．将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 【答案】C 【分析】甲图裁剪方式：从一个顶点向对边上一点裁剪，裁剪后图形边数增加1，变为六边形 乙图裁剪方式：从相邻两条边上非顶点处裁剪，裁剪后图形边数减少1，变为四边形 根据多边形内角和公式：内角和＝（边数-2）×180°，分别计算甲和乙的内角和，再比较大小。 【详解】 甲变为六边形，边数为6， 内角和 乙变为四边形，边数为4， 内角和 ，所以甲的内角和比乙的内角和大360°。 故答案为C。 23．一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意，四边形沿一条直线剪一刀后，新图形的形状取决于切割方式：可能为三角形（内角和180°）、四边形（360°）或五边形（540°），因此内角和各有可能。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 沿对角线切割：四边形被分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°。 切割线从顶点到非顶点的边：分割为一个三角形（内角和180°）和一个四边形（内角和360°）。 切割线穿过两条边且不经过顶点：分割为一个五边形（内角和540°）和一个三角形。 一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是以上都有可能。 故答案为：D 24．已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 【答案】C 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180度，先根据直角三角形的性质，求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1＋∠2的值。以此选择即可。 【详解】根据分析可知： ∠B＝90° ∠A＋∠C＝90° ∠A＋∠C＋∠1＋∠2＝360° ∠1＋∠2＝360°－90°＝270° 已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝270°。 故答案为：C 25．如图，把长方形纸片的一个角折叠起来。 ∠1＋∠2＝( )°，把折起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°。 【答案】 90 540 【分析】 如图，折起来的是一个三角形，长方形的四个角都是直角，∠4＝90°，∠4＝∠3，三角形内角和等于180°，用180°－90°，即可求出∠1＋∠2的度数；将折起来的这个角剪掉，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（边数－2）×180°，即可求出五边形的内角和。 【详解】∠1＋∠2＝180°－90°＝90° 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 因此，∠1＋∠2＝90°，把折起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是540°。 26．（1）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的底是多少厘米？ （2）从这个三角形上截去一个角，求剩下的图形的内角和。 【答案】（1）12厘米 （2）360° 【分析】（1）等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一个等腰三角形的周长是30厘米，那么两条腰的长度加上底的长度等于30厘米。底比腰长3厘米，直接用30厘米减去3厘米先算出腰长的3倍是多少厘米，然后除以3算出一条腰的长度。最后再加上3厘米即可算出等腰三角形的底是多少厘米。 （2）从这个三角形上截去一个角，剩下的图形是一个四边形。四边形可以分成两个三角形，那么四边形内角和就等于两个三角形的内角和。三角形的内角和为180°，直接用180°乘2即可算出四边形的内角和。据此解答。 【详解】（1）（30－3）÷3 ＝27÷3 ＝9（厘米） 9＋3＝12（厘米） 答：它的底是12厘米。 （2） 180°×2＝360° 答：剩下的图形的内角和是360°。 27．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。 【答案】（1）60； （2）360；看剩下部分图形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是剩下部分图形的内角和。（方法不唯一） 【分析】（1）三角形的内角和是180°，直角是90°。根据图示可知，∠B是直角，用180°减去∠C和∠B的度数，即可求出∠A的大小。 （2）根据图示可知，剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形是四边形。从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和；据此解答。 【详解】（1）180°－30°－90° ＝150°－90° ＝60° 所以∠A＝60°； （2）如图，剩下部分图形分成了2个三角形，也就是四边形可以分割成2个三角形，即四边形的内角和是2个三角形内角和的和，180°×2＝360°，所以剩下部分图形的内角和是360°。（方法不唯一） 28．如图，一块正方形的纸片，它的内角和是多少度？撕掉它的一个角后的图形的内角和又是多少度？ 【答案】360度；540度 【分析】根据题意，正方形的四个角都是直角，结合直角为90度即可得到正方形的内角和； 撕掉一个角后的图形是五边形，以五边形任意一个顶点作对角线（如图），然后数出三角形的个数，结合三角形的内角和，即可解答。 【详解】根据分析可得： 90×4＝360（度） 180×3＝540（度） 答：一块正方形的纸片，它的内角和是360度，撕掉它的一个角后的图形的内角和又是540度。 29．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。我是这样想的： （3）还可以怎样剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大。请你在下图中画出一种情况。 【答案】（1）60；（2）360；理由见详解；（3）图见详解 【分析】（1）根据三角形内角和是180°，直角三角形有一个直角是90°，可知另外两个三角形两锐角和是180°－90°＝90°，即∠A＋∠C＝90°，则∠A＝90°－∠C； （2）将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形是一个四边形，连接AE后（如图），可以看出这个四边形是由两个三角形组成的，所以四边形内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2＝360°，据此解答（答案不唯一）。 （3）剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大，只要任意两边上分别找出一点（除去顶点）连接，剪去一个三角形，剩下的是一个四边形即可。（答案不唯一） 【详解】（1）∠A＝90°－∠C＝90°－30°＝60° （2） 剩下部分图形是一个四边形，连接AE后（如图），四边形内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2＝360°，所以剩下部分图形的内角和是360°。 （3） 30．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 【答案】270° 【分析】根据三角形内角和为180°，在三角形ABC中，由于∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°；在四边形ABDE中，根据四边形内角和为360°，∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°，将∠A＋∠B＝90°代入到∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°中，得到∠1＋∠2＝360°－90°＝270°；据此解答即可。 【详解】因为三角形内角和为180°，∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°， 因为∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°， 所以∠1＋∠2＝360°－90°＝270°。 答：图中∠1＋∠2是270°。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《多边形的内角和》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三角形内角和固定度数 填空、选择、判断基础题，必考 180° 基础应用 四边形内角和推导与计算 填空、计算题高频，由两个三角形推导 360° 多边形内角和通用公式 填空、列式计算重难点，n 边形内角和应用 根据边数求内角和、根据内角和求边数 期末解答大题，正反双向计算 核心考点总结 考点 1 基础固定结论 任意三角形内角和＝180 度。 任意四边形可以分成 2 个三角形，内角和＝180×2＝360 度。 考点 2 多边形内角和通用公式 n 边形内角和＝（n－2）×180 度（n 代表边数，n≥3，n 是大于等于 3 的自然数） 拆分原理：从同一个顶点出发，把多边形分成（n－2）个三角形。 考点 3 常用固定多边形内角 五边形：（5－2）×180＝540 度 六边形：（6－2）×180＝720 度 考点 4 反向求边数 边数 n＝内角和 ÷180＋2 本单元高频易错点汇总 易错 1 四边形内角和记成 180 度 错因：和三角形内角混淆。 纠正：四边形 360 度，分成两个三角形。 易错 2 公式写成 n×180 错因：忘记减 2。 纠正：必须（边数－2）再乘 180。 易错 3 反向求边数用内角和 ÷180 错因：漏掉＋2。 纠正：n＝内角和 ÷180＋2。 易错 4 拆分多边形从多个顶点连线 错因：拆分三角形数量算错。 纠正：固定一个顶点连线分三角形。 易错 5 把 n 取小于 3 的数 错因：n＝2、1 代入公式。 纠正：多边形最少 3 条边。 易错 6 三角形求角乱用多边形公式 错因：三角也套（3－2）×180 虽然得数对，但解题思路错误。 纠正：三角形直接记 180°。 易错 7 单位漏写度 错因：计算结果不带单位。 纠正：内角结果标注 “度”。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 三角形求角 直角三角形一个锐角 32 度，求另一个锐角。 精讲：180－90－32＝58 度 易错提醒：直角固定 90°。 例题 2 四边形内角和 精讲：（4－2）×180＝360 度。 例题 3 求七边形内角和 精讲：（7－2）×180＝900 度 易错提醒：边数先减 2 再相乘。 例题 4 已知内角和 900 度，求几边形 精讲：900÷180＋2＝7，七边形。 例题 5 五边形三个内角各 100 度，剩余两角相等，求单个度数 精讲：五边形 540 度，（540－3×100）÷2＝120 度。 三大题型 题型一 已知边数求内角和计算题 解题妙招：边减 2，得数 ×180。 1．如图，把五边形分割成3个三角形，可以计算出五边形的内角和是（    ）度。 A．540 B．360 C．180 2．下面是求五边形内角和的方法，正确的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 4．在计算六边形的内角和时，我们可以把它分成4个三角形（如图），它的内角和是180°×4＝720°。计算八边形内角和正确的是（    ）。 A．180°×6＝1080° B．180°×7＝1260° C．180°×8＝1440° 5．一个直角三角形的内角和是( )度。平行四边形的内角和是( )度。 6．想一想，填一填，多边形的内角和与它的边数有什么关系？ 多边形 …… 边数 3 4 5 6 … 内角和 180° 360° 180°×（    ） 180°×（    ） … 关系：____________________。 7． 如上图所示，一个四边形可以分成2个三角形，一个五边形可以分成3个三角形，一个六边形可以分成4个三角形…… (1)一个十边形可以分成( )个三角形，这个十边形的内角和是( )； (2)一个n边形可以分成( )个三角形，这个n边形的内角和是( )。 8．下面的图形是( )梯形，它的内角和是( )°，如果，那么( )°。 9．如图：一副三角板叠放在一起，＝( )°，＝( )°。 10．在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成( )个三角形，得出六边形的内角和是( )。 题型二 已知内角和反求边数 解题妙招：内角 ÷180，结果再加 2。 11．下面的图形中内角和是360°的是（    ）。 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．五边形 12．公园里要用同一种形状的地砖铺一条小路。下面（    ）能单独密铺。 A．圆形地砖 B．正五边形地砖 C．长方形地砖 13．小军利用三角形内角和探究五边形的内角和，他通过画图列出算式：180°×5－360°。根据他列的算式判断小军画的图是（    ）。 A． B． C． 14．学校运动会校徽是一个正多边形，这个正多边形的内角和是1080°。这是一个正（    ）边形。 A．六 B．七 C．八 D．九 15．一个多边形的内角和是1620°，那么这个多边形是（    ）边形。 A．9 B．10 C．11 D．12 16．一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 17．在下面给出的同一种平面图形中，不能进行密铺的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 18．一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加( )°，一个多边形的内角和是1620°，这是一个( )边形。 19．如图所示，将多边形分割成三角形。 (1)图的四边形、五边形、六边形分别可分割出( )个、( )个、( )个三角形。 (2)由此猜测：按上述方式，边形可以分割出( )个三角形，一个三角形的内角和是，边形的内角和是( )° (3)一个多边形的内角和是，这是一个( )边形。 20．一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是( )边形。 题型三 多边形缺角应用题 解题妙招：先用公式算出总内角，全部已知角相加，总和相减得未知角。 21．手工课上，老师让大家用彩色卡纸制作“心愿卡”。小红选了一张三角形的红色卡纸，准备在上面贴窗花图案。她原本想保留三角形形状，但在裁剪时，沿着一条虚线剪下了一个30°的小角，如图所示，剩余图形的内角和是（    ）度。 A．180 B．360 C．720 D．540 22．将两个完全相同的五边形按照如下图所示的方式各裁去一个角，关于剩下的图形，下面说法正确的是（    ）。 A．甲和乙的内角和相等 B．甲的内角和比乙的内角和大180° C．甲的内角和比乙的内角和大360° 23．一个四边形，沿一条直线剪一刀后得到的新图形的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．以上都有可能 24．已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 25．如图，把长方形纸片的一个角折叠起来。 ∠1＋∠2＝( )°，把折起来的这个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°。 26．（1）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的底是多少厘米？ （2）从这个三角形上截去一个角，求剩下的图形的内角和。 27．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。 28．如图，一块正方形的纸片，它的内角和是多少度？撕掉它的一个角后的图形的内角和又是多少度？ 29．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（    ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（    ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。我是这样想的： （3）还可以怎样剪一刀，使得剩下的图形内角和与上图中剩下图形的内角和一样大。请你在下图中画出一种情况。 30．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $