第五单元 运算律（5大考点，7大易错点，4大题型）-2025-2026学年苏教版四年级下册高频易错期末专项复习讲义（苏教版）

第五单元《运算律》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 加法交换律、结合律概念与基础简算 填空、选择、口算，侧重定律辨析，基础简便计算必考 乘法交换律、结合律、分配律 脱式计算高频考点，本单元重难点，简算核心 减法、除法的运算性质（连减、连除） 填空、简便计算易混考点，易错高频 混合运算灵活选用简便方法 期末应用题、脱式压轴，综合灵活运用 核心考点总结 考点1 加法运算律 1. 加法交换：a＋b＝b＋ a，交换加数位置，和不变。例 25＋36＝36＋25 2. 加法结合：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，凑整优先结合。例 (48＋52)＋19 考点2 乘法三大运算律 1. 乘法交换：a×b＝b×a，交换乘数积不变 2. 乘法结合：(a×b)×c＝a×(b×c)，凑整优先相乘（常见 25×4、125×8） 3. 乘法分配：(a＋b)×c＝a×c＋b×c；拓展 (a－b)×c＝a×c－b×c（必考重难点） 考点3 减法运算性质 连减：a－b－c＝a－(b＋c)，两个减数相加再一起减 考点4 除法运算性质 连除：a÷b÷c＝a÷(b×c)，除数相乘再除（b、c 不为 0） 考点5 简算思路 凑整优先：看见 25 找 4，看见 125 找 8；同级交换凑整；分配律拆分凑整。 本单元高频易错点汇总 易错1 乘法分配漏乘 错：(20＋4)×5＝20×5＋4 纠正：括号里每一个数都乘同一个数：20×5＋4×5 易错2 混淆结合律和分配律 错：125×(8×4)=125×8＋125×4 纠正：括号中间是乘用结合，是加 / 减才用分配 易错3 连减乱用符号 错：156－56＋44＝156－(56＋44) 纠正：只有连续减两个数才能变减和 易错4 连除随意变号 错：360÷12×3＝360÷(12×3) 纠正：连续除才变乘，中间是乘不能加括号 易错5 拆分数字乱用分配 错：99×36＝100×36＋1 纠正：99＝100－1，算式 100×36－1×3 易错6 同级乱添括号 错：234＋66－34＝234＋(66＋34) 纠正：减号后面添括号，括号内符号变号 易错7 乘法分配反向不会用 错：56×99＋56＝56×(99＋56) 纠正：56＝56×1，原式＝56×（99＋1） 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 加法结合凑整 37＋125＋63＝(37＋63)＋125＝100＋125＝225 易错：优先凑整百数字结合 例题2 乘法结合 125×32×25＝125×8×4×25＝1000×100＝100000 易错：32 拆成 8×4，不拆成 30＋2 例题3 乘法分配正向 （40＋8）×25＝40×25＋8×25＝1000＋200＝1200 易错：括号两个数都乘 25 例题4 分配律反向 78×99＋78＝78×（99＋1）＝7800 易错：单独 78 看成 78×1 例题5 连减简算 278－78－52＝278－（78＋52）＝148 易错：连续减才合并减数 四大题型 题型一：概念辨析（判断、选择、填空｜考查五大运算律区分） 解题妙招：交换换位置，结合凑整加括号，有加减有乘用分配。 1．357－299的简便算法是（    ）。 A．357－300－1 B．357－300＋1 C．357－200＋1 【答案】B 【分析】可以将299看作300进行凑整计算。减去一个接近整百的数，多减了几就要加上几。 【详解】357－299＝357－300＋1＝57＋1＝58 A．357－300－1＝57－1＝56， 与原式结果不相等，此选项错误。 B．357－300＋1＝57＋1＝58，与原式结果相等，此选项正确。 C．357－200＋1＝157＋1＝158，与原式结果不相等，此选项错误。 2．下面选项中，（    ）不表示加法交换律。 A． B． C． 【答案】B 【分析】加法交换律的特点是两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为：a＋b＝b＋a；乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，用字母表示为：a×c＋b×c＝（a＋b）×c。依此即可选择。 【详解】A.a＋b＝b＋a，能表示加法交换律。 B.a×c＋b×c＝（a＋b）×c，不能表示加法交换律，是乘法分配律。 C.a＋b＝b＋a，能表示加法交换律。 3．与48×125结果相等的算式是（    ）。 A．40×125＋8×125 B．48×100＋48×25 C．6×（8×125） D．以上都是 【答案】D 【分析】对48×125中的因数进行拆分，48可以拆分为40＋8或者6×8，125可以拆分为100＋25，再利用乘法分配律和乘法结合律进行计算。 【详解】A．把48拆分为40＋8，48×125＝（40＋8）×125＝40×125＋8×125，结果相等； B．把125拆分为100＋25，48×125＝48×（100＋25）＝48×100＋48×25，结果相等； C．把48拆分为6×8，48×125＝6×8×125＝6×（8×125），结果相等； D．前三个选项都符合要求，选择D选项。 4．在计算2.6＋7.3时，可以把算式改写成（2＋7）＋（0.6＋0.3），这里依据的运算律是（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】计算2.6＋7.3时，把2.6分成2＋0.6，7.3分成7＋0.3，然后应用加法交换律和结合律变成（2＋7）＋（0.6＋0.3）。 【详解】在计算2.6＋7.3时，可以把算式改写成（2＋7）＋（0.6＋0.3），这里依据的运算律是加法交换律和结合律。 5．小米的计算器上数字键“4”坏了，下面（    ）算式也可以算出768÷24的得数。 A．768÷2×12 B．768÷2÷12 C．768÷3×8 D．768÷30－6 【答案】B 【分析】根据除法的性质，连续除以两个数等于除以两个数的乘积。 【详解】A．除以再乘，不是除以，不正确； B．除以再除以，相当于除以，正确； C．除以再乘，不是除以，不正确； D．除以再减去，不是除以，不正确。 768÷2÷12也可以算出768÷24的得数。 6．计算器上的数字键“4”坏了，淘气要计算156×24，他可以将这个算式变成（    ）。 A．156×12＋12 B．156×3×8 C．52×3＋12×2 D．156×30＋156×6 【答案】B 【分析】计算器上的数字键“4”坏了，说明在输入算式时不能出现数字“4”。要计算，需要找到一个与结果相等且不含数字“4”的算式。根据乘法结合律，可以将24分解为两个不含数字“4”的数相乘，从而替换原算式中的24，据此解答即可。 【详解】A．，结果不等于，此选项错误； B．，算式中数字156、3、8均不含数字“4”且结果相等，此选项正确； C．，结果不等于，此选项错误； D．，结果不等于，此选项错误。 7．下列说法错误的是（    ）。 A．乘法结合律用字母表示是（a×b）×c＝a×（b×c） B．被减数＝差＋减数 C．450÷25＝（450×4）÷（25÷4） 【答案】C 【分析】乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。在减法算式中，被减数－减数＝差。商不变的性质是指被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【详解】A．乘法结合律是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘。用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c），此选项正确； B．在减法算式中，被减数－减数＝差，根据加减法之间的关系可知，被减数＝差＋减数，此选项正确； C．将被除数乘4，除数除以4，不符合商不变的性质，商发生了改变，此选项错误。 8．用简便方法计算48×125时，48×125＝6×（8×125）这里运用了( )律，48×125＝40×125＋8×125这里运用了( )律。 【答案】 乘法结合 乘法分配 【分析】把48拆成6×8，将原式改写为6×（8×125），先计算后两个数的乘积，符合乘法结合律：三个数相乘，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。把48拆成40＋8，将原式改写为两个乘积相加，符合乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以先把两个数分别和这个数相乘，再相加，结果不变。 【详解】用简便方法计算48×125时，48×125＝6×（8×125）这里运用了乘法结合律，48×125＝40×125＋8×125这里运用了乘法分配律。 9．蓝蓝在计算25×（a＋8）时，漏写了括号，算成了25×a＋8，这样算出的结果和正确答案相差( )。 【答案】192 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，用字母表示是（a＋b）×c＝a×c＋b×c；根据乘法分配律可以将25×（a＋8）写成25×a＋25×8的形式，再与25×a＋8相减。 【详解】  25×（a＋8）－（25×a＋8） ＝25a＋25×8－25a－8 ＝（25a－25a）＋25×8－8 ＝（25－1）×8 ＝24×8 ＝192 10．下边列式计算时运用了( )律。 【答案】乘法分配 【分析】乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，据此解答。 【详解】看竖式可知35×42，是把42分成了40＋2，然后分别与35相乘，最后把两个积相加，所以计算时运用了乘法分配律。 题型二 加减乘除简便计算 解题妙招：加减简便计算：尾数互补凑整，连减变减两数之和；乘除简便计算：遇 25 找 4，遇 125 找 8；连除变除数相乘 11．用简便方法计算下面各题。 93×28－18×93        327＋65＋173＋35 330÷15÷2        45×98 【答案】930；600； 11；4410 【分析】利用乘法分配律，提取公因数93； 利用加法交换律和结合律，先交换位置，327＋173和65＋35两两结合； 利用除法的性质，先算15×2； 利用乘法分配律，把98看作100－2。 【详解】93×28－18×93 ＝93×（28－18） ＝93×10 ＝930 327＋65＋173＋35 ＝327＋173＋65＋35 ＝（327＋173）＋（65＋35）   ＝500＋100 ＝600 330÷15÷2 ＝330÷（15×2） ＝330÷30 ＝11 45×98 ＝45×（100－2） ＝45×100－45×2 ＝4500－90 ＝4410 12．用简便方法计算下面各题。                   【答案】 789；5800 800；4400 【分析】76＋589＋124运用加法交换律进行凑整； 132×58－58×32运用乘法分配律进行简便计算； 25×32 将32拆成4×8，再运用乘法结合律进行简便计算； 198×22＋44将44拆成22×2，再运用乘法分配律进行简便计算。 【详解】76＋589＋124 ＝76＋124＋589 ＝200＋589 ＝789 132×58－58×32 ＝（132－32）×58 ＝100×58 ＝5800 25×32 ＝25×（4×8） ＝25×4×8 ＝100×8 ＝800 198×22＋44 ＝198×22＋2×22 ＝（198＋2）×22 ＝200×22 ＝4400 13．下面各题，怎样简便就怎样算。 125×17×8    155＋202＋45＋98    101×74 7100÷4÷25    56×99＋56    201×67－67 【答案】 17000；500；7474 71；5600；13400 【分析】125×17×8，利用乘法交换律和乘法结合律进行计算； 155＋202＋45＋98，利用加法交换律和加法结合律进行计算； 101×74，把写成，再利用乘法分配律进行计算； 7100÷4÷25，利用除法的性质进行计算； 56×99＋56，利用乘法分配律逆运算进行计算； 201×67－67，利用乘法分配律逆运算进行计算。 【详解】 14．简便计算。 1900÷4÷25        25×32×125 478－135－65        88×125 【答案】19；100000 278；11000 【分析】1900÷4÷25可以运用除法的运算性质（a÷b÷c＝a÷（b×c）），把算式改写成1900÷（4×25）； 25×32×125可以把32分解成（4×8），然后运用乘法结合律（（a×b）×c＝a×（b×c））分别计算25与4的积、8与125的积，再将两个积相乘； 478－135－65可以运用减法的运算性质（a－b－c＝a－（b＋c）），把算式改写成478－（135＋65）； 88×125可以把88拆成（80＋8），运用乘法分配律（（a＋b）×c＝a×c＋b×c），把算式改写成80×125＋8×125的形式，分别计算80×125和8×125的积，再将两个积相加；据此解答。 【详解】1900÷4÷25 ＝1900÷（4×25） ＝1900÷100 ＝19 25×32×125 ＝25×（4×8）×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 478－135－65 ＝478－（135＋65） ＝478－200 ＝278 88×125 ＝（80＋8）×125 ＝80×125＋8×125 ＝10000＋1000 ＝11000 15．计算下列各题，怎样简便就怎样算。 618＋127＋82＋473         560÷16÷5          196－（96＋4）÷2         24×[（480－145）÷5] 【答案】1300；7； 146；1608 【分析】计算618＋127＋82＋473，利用加法交换律和结合律变式为（618＋82）＋（127＋473）进行简便计算； 计算560÷16÷5，根据除法的性质：将连续除以两个数改为除以这两个数的积，变式为560÷（16×5）进行简便运算； 计算196－（96＋4）÷2，按照运算顺序，先算小括号里的加法，再算除法，最后算减法； 计算24×[（480－145）÷5]，按照运算顺序，先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法。 【详解】618＋127＋82＋473 ＝（618＋82）＋（127＋473） ＝700＋600 ＝1300 560÷16÷5 ＝560÷（16×5） ＝560÷80 ＝7 196−（96＋4）÷2 ＝196−100÷2 ＝196−50 ＝146 24×[（480−145）÷5] ＝24×[335÷5] ＝24×67 ＝1608 16．用简便方法计算。           【答案】8；900； 100；5200 【分析】（1）利用除法的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积。变换算式为：800÷（25×4）。 （2）把36拆成4×9，利用乘法结合律，25和4，相乘得整百简便计算。 （3）利用加法交换律和减法的性质，分组凑整。 （4）逆用乘法分配律提取公因数凑整，变换算式：52×（37＋63）。 【详解】 ＝800÷100 ＝25×（4×9） ＝100×9 ＝200－100    ＝52×100 17．用简便方法计算。 196＋275＋104－75   189×101－189   1200÷25÷8 【答案】500；18900；6 【分析】根据加法交换律交换275与104的位置，再从左到右依次计算即可； 运用乘法分配律的逆运算将算式改写为：189×101－189×1，再提取共同的数189进行简算； 根据除法的性质（一个数连续除以两个数，等于用这个数除以这两个数的积），将算式改为：1200÷（25×8），先算小括号里的乘法，再算括号外的除法。 【详解】196＋275＋104－75 ＝（196＋104）＋275－75 ＝300＋275－75 ＝575－75 ＝500 189×101－189 ＝189×101－189×1 ＝189×（101－1） ＝189×100 ＝18900 1200÷25÷8 ＝1200÷（25×8） ＝1200÷200 ＝6 18．用简便方法计算。 25×36        934－（334＋189）        37×48＋37×52        99×45 【答案】900；411；3700；4455 【分析】（1）乘法结合律（凑整法），把36拆成4×9，25×4＝100凑整。 （2）减法的性质（去括号凑整），减去两个数的和，等于连续减去这两个数。 （3）乘法分配律的逆用。 （4）乘法分配律（凑整拆分），把99看成100－1，再用乘法分配律展开。 【详解】25×36 ＝25×（4×9） ＝（25×4）×9 ＝100×9 ＝900 934－（334＋189） ＝934－334－189 ＝600－189 ＝411 37×48＋37×52 ＝37×（48＋52） ＝37×100 ＝3700 99×45 ＝（100－1）×45 ＝100×45－1×45 ＝4500－45 ＝4455 19．脱式计算，能简算的要合理简算。                   【答案】8800；420； 25200；29 【分析】利用乘法分配律进行简算； 利用减法的性质进行简算； 利用乘法交换律进行简算； 先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算中括号外的除法。 【详解】 20．用简便方法计算。              【答案】 276；100000；8729；4700 【分析】减法的运算性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。本题运用减法的运算性质简算。 把32拆分为8×4，运用乘法结合律简算。 203接近200，把203拆成2003，运用乘法分配律简算。 【详解】 题型三 整数加减乘除的应用题 21．布老虎是潍坊具有浓郁地方特色和文化内涵的传统手工艺品。某团队接了制作布老虎的订单，第一天上午完成了128个，下午完成了216个，第二天上午完成了184个，下午完成了272个，他们两天一共完成了多少个布老虎？ 【答案】800个 【分析】求两天一共完成的数量，就是把第一天上午、下午和第二天上午、下午完成的数量合起来，用加法计算。观察算式中四个加数的特点，128和 272相加能凑成整百数，216和184相加也能凑成整百数.根据加法交换律和加法结合律，交换加数的位置并改变运算顺序，可以使计算简便。 【详解】128＋216＋184＋272 ＝（128＋272）＋（216＋184） ＝400＋400 ＝800（个） 答：他们两天一共完成了800个布老虎。 22．学校食堂买了15袋大米，每袋25千克，每千克4元。买这些大米一共需要多少元？ 【答案】1500元 【分析】根据“总价＝单价×数量”的关系解答。可以先求出15袋大米的总重量，再乘每千克的价格；也可以先求出每袋大米的价格，再乘袋数。根据数据特点，25与4相乘得100，利用乘法结合律先算25×4计算更简便。 【详解】15×25×4 ＝15×（25×4） ＝15×100 ＝1500（元） 或：25×4×15 ＝100×15 ＝1500（元） 答：买这些大米一共需要1500元。 23．学校食堂买来大米和面粉各15袋，大米每袋55千克，面粉每袋45千克。一共买来粮食多少千克？ 【答案】1500千克 【分析】根据题意，大米和面粉的袋数相同，均为15袋。求粮食的总质量，可以先分别计算大米和面粉的质量再相加，列式为55×15＋45×15；可以用乘法分配律简便计算。 【详解】  55×15＋45×15 ＝（55＋45）×15 ＝100×15 ＝1500（千克） 答：一共买来粮食1500千克。 24．“草船借箭”中，假如诸葛亮一共调了16条船在每条船上都安排了125个草垛。等满载而归时，平均每个草垛上有25支箭，那么诸葛亮一共“借”到了多少支箭？（列综合算式，并简便计算） 【答案】50000支 【分析】根据题意，求一共借到多少支箭，需用船的条数乘每条船上草垛的个数，再乘每个草垛上箭的支数。列式为16×125×25 。观察到数据中有125和25，联想到乘法运算律，将16拆分为2与8的积，利用乘法交换律和结合律，让8与125相乘，2与25相乘，从而达到简便计算的目的。 【详解】16×125×25 ＝（8×2）×125×25 ＝8×2×125×25 ＝8×125×2×25 ＝（125×8）×（25×2） ＝1000×50 ＝50000（支） 答：诸葛亮一共“借”到了50000 支箭。 25． (1)芍药和牡丹共多少棵？ (2)芍药比牡丹多多少棵？ (3)芍药和牡丹的面积共多少？ (4)芍药的面积比牡丹多多少？ 【答案】(1)180棵 (2)36棵 (3)200平方米 (4)40平方米 【分析】（1）根据题意，仔细观察图可知，图中有9行，每行有芍药12棵，每行有牡丹8棵；总棵数＝芍药棵数＋牡丹棵数，用12乘9，求出芍药的棵数，用8乘9，求出牡丹的棵数；最后求和。 （2）用芍药的棵数减去牡丹的棵数，列式计算即可。 （3）长方形面积＝长×宽，分别用15乘8，用10×8，求出芍药和牡丹的面积各是多少，最后相加，求出面积和即可。计算时可以根据乘法分配律进行简便计算。 （4）用芍药的面积减去牡丹的面积，就是芍药面积比牡丹多多少，计算时可以根据乘法分配律进行简便计算。 【详解】（1）12×9＋8×9 ＝108＋72 ＝180（棵） 答：芍药和牡丹共180棵。 （2）12×9－8×9 ＝108－72 ＝36（棵） 答：芍药比牡丹多36棵。 （3）15×8＋10×8 ＝（15＋10）×8 ＝25×8 ＝200（平方米） 答：芍药和牡丹的面积共200平方米。 （4）15×8－10×8 ＝（15－10）×8 ＝5×8 ＝40（平方米） 答：芍药面积比牡丹多40平方米。 26．张叔叔承包了4片果园，每片果园种7列果树，每列种25棵。张叔叔承包的这4片果园共种了多少棵果树？ 【答案】 700棵 【分析】已知4片果园，每片果园种7列果树，每列种25棵，求总棵数可以用每片果园的列数乘每列的棵数计算出每片果园的果树，再乘4计算出4片果园果树的数量。观察算式中的数据，和相乘能得到整百数，利用乘法交换律调整运算顺序，可以使计算更加简便。 【详解】7×25×4 ＝4×25×7 ＝100×7 ＝700（棵） 答：张叔叔承包的这片果园共种了棵果树。 27．如图，小云从家到学校要走多少米？ 【答案】 2000米 【分析】要求小云从家到学校的总路程，需要将路线图中每一段路的长度相加。计算时可以运用加法交换律和加法结合律进行简便计算。 【详解】566＋282＋718＋434 ＝566＋434＋282＋718 ＝（566＋434）＋（282＋718） ＝1000＋1000 ＝2000（米） 答：小云从家到学校要走2000米。 28．某商场第二季度卖出甲、乙、丙3种品牌的空调共375台，甲品牌卖了125台，乙品牌卖了75台。丙品牌卖了多少台？（用两种方法解答） 【答案】 175台 【分析】已知三种品牌空调的总销量以及甲、乙两种品牌的销量，求丙品牌的销量。可以根据减法的意义，从总销量里依次减去甲品牌和乙品牌的销量；也可以根据减法的运算性质，先计算甲品牌和乙品牌销量的和，再用总销量减去这个和。 【详解】方法一：375－125－75 ＝250－75 ＝175（台） 方法二：375－（125＋75） ＝375－200 ＝175（台） 答：丙品牌卖了175台。 29．一台打印机每小时打印125张纸，另一台每小时打印75张纸，两台打印机同时工作8小时，一共打印多少张纸？ 【答案】1600张 【分析】根据题意，两台打印机同时工作，工作时间相同。解题依据是数量关系：工作总量＝工作效率和×工作时间。可以先求出两台打印机每小时一共打印多少张纸（即效率和），再乘共同工作的时间；也可以分别求出每台打印机打印的张数，最后相加。对比两种方法，前一种方法是后一种的方法的简便运算。 【详解】（125＋75）×8 ＝200×8 ＝1600（张） 或125×8＋75×8 ＝（125＋75）×8 ＝200×8 ＝1600（张） 答：一共打印1600张纸。 30．果园里种了12行苹果树和18行梨树，每行都是24棵。苹果树比梨树少多少棵？ 【答案】 144棵 【分析】要求苹果树比梨树少的棵数可以先分别求出梨树和苹果树的棵数，再用梨树棵数减去苹果树的棵数。由于每行棵数相同，利用乘法分配律的思想，计算更为简便。 【详解】 = （棵） 答：苹果树比梨树少144棵。 题型四 相遇问题、工程问题 一、相遇问题 口诀：速度和 × 相遇时间＝总路程； 总路程 ÷ 速度和＝相遇时间。 公式：(v甲+v乙)×t=路程 妙招：两人面对面行走，先加速度，再乘时间（乘法分配律简便计算）。 求其中一个速度：总路程 ÷ 时间−另一个速度。 二、简单工程问题（两队干活） 口诀：效率相加乘天数，一共总量轻松算。 公式：甲效率+乙效率×工作天数=工作总量 妙招：两队每天工作量相加，再 × 合作天数，巧用乘法分配律简算。 31．有一份文件由于时间紧急安排，甲乙两人同时录入这份1000字的文件，甲每分录入65个字，乙每分录入60个字，8分钟能完成任务吗？ 【答案】能完成任务 【分析】根据数量关系：工作总量 ＝工作效率×工作时间。先求出甲乙两人每分钟录入字数之和，再乘录入时间8分钟，计算出8分钟实际录入的总字数，最后与文件总字数1000进行比较即可得出结论。 【详解】  （65＋60）×8 ＝125×8 ＝1000（字） 1000＝1000 答：8分钟能完成任务。 32．甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，经过2.4小时相遇。已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？ 【答案】80千米 【分析】本题考查行程问题中的相遇问题。根据行程问题的基本数量关系，两车相对开出直到相遇，它们行驶的路程之和等于两地间的总路程。先利用“速度和＝总路程÷相遇时间”求出甲乙两车的速度之和，再利用“乙车速度＝速度和－甲车速度”求出乙车的速度。 【详解】 （千米） 答：乙车每小时行 80 千米。 33．两个工程队合开一条隧道，分别从隧道的两端同时向中间开凿。第一队每天开凿15米，第二队每天开凿18米，经过8天正好凿通。这条隧道长多少米？ 【答案】264米 【分析】先求出两队每天一共开凿多少米，再乘开凿的天数，即可求出这条隧道的总长度。 【详解】（15＋18）×8 ＝33×8 ＝264（米） 答：这条隧道长264米。 34．某两地相距201千米，王叔叔和李叔叔两人同时骑车出发相向而行，3小时后两人相遇，李叔叔的骑行速度是48千米/时，则王叔叔的速度是多少？ 【答案】 19千米/时 【分析】根据相遇问题的数量关系：速度和＝路程÷相遇时间。已知两地相距201千米，相遇时间为3小时，用201÷3求出两人的速度之和；再用速度之和减去李叔叔的速度，即可得到王叔叔的速度。 【详解】201÷3－48 ＝67－48 ＝19（千米/时） 答：王叔叔的速度是19千米/时。 35．在一个600米长的环形跑道上，兄妹两人同时在同一起点都按顺时针方向跑步，每隔12分钟相遇一次。若两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则每隔4分钟相遇一次。两人跑一圈各要几分钟？ 【答案】6分；12分 【分析】根据题意，兄妹俩按顺时针方向跑步，涉及的是追及问题，哥哥速度快，要比妹妹多跑一圈才能与妹妹相遇，所以他们的路程差就是环形跑道的长，两人的速度差＝路程差÷追及时间； 当哥哥改为逆时针跑时，兄妹两人是相向而行，就变成了相遇问题，那么两人的速度和＝路程÷相遇时间； 已知两兄妹的速度和和两兄妹的速度的差，可以分别求出哥哥的速度和妹妹的速度： 哥哥的速度＝（两兄妹的速度和＋两兄妹的速度的差）÷2； 妹妹的速度＝（两兄妹的速度和－两兄妹的速度的差）÷2； 已知兄妹的速度后，就可以根据路程÷速度求出两人跑一圈各要几分钟。 【详解】兄妹两人速度差：600÷12＝50（米/分） 兄妹两人速度和：600÷4＝150（米/分） 哥哥的速度：（150＋50）÷2＝200÷2＝100（米/分） 妹妹的速度：（150－50）÷2＝100÷2＝50（米/分） 哥哥所需的时间：600÷100＝6（分） 妹妹所需的时间：600÷50＝12（分） 答：哥哥跑一圈要6分钟，妹妹跑一圈要12分钟。 36．智能工厂里，机器人“小闪电”和机器人“铁臂”接到紧急指令：4小时完成3000个精密齿轮的任务。他们能按时完成任务吗？ 【答案】能 【分析】根据图示：已知机器人“小闪电”每小时的工作效率是375个，机器人“铁臂”每小时的工作效率是425个。根据公式工作总量＝工作效率×工作时间，用机器人“小闪电”的工作效率乘4，求出机器人“小闪电”的工作总量；用机器人“铁臂”的工作效率乘4，求出机器人“铁臂”的工作总量。最后把它们的工作总量相加与3000作比较，大于或者等于3000能按时完成任务；小于3000则不能完成任务。计算时可以用乘法分配律进行简便计算。 【详解】375×4＋425×4 ＝（375＋425）×4 ＝800×4 ＝3200（个） 3200＞3000 答：他们能按时完成任务。 37．蕊蕊和琪琪两人相对而行。蕊蕊每分钟走50米，琪琪每分钟走48米。如果她们走了20分钟交错而过，又相距185米，那么她们的出发地相距多少千米？ 【答案】1.775千米 【分析】交错而过说明相遇后又继续往前走，又相距185米。用蕊蕊每分钟走的米数加上琪琪每分钟走的米数，即可求出她们一分钟一共走的米数，再乘20，即可求出她们20分钟一共走的米数，用他们20分钟一共走的米数减去他们20分钟后相距的米数，即可求出她们的出发地相距米数，再根据1千米＝1000米，把单位换成以千米为单位即可。 【详解】（50＋48）×20 ＝98×20 ＝1960（米） 1960－185＝1775（米） 1775米＝1.775千米 答：她们的出发地相距1.775千米。 38．一条环湖路全长2千米，兄弟两人从同一地点同时出发，反向而行。哥哥每分钟行65米，弟弟每分钟行60米。经过15分钟两人能相遇吗？如果不能相遇，两人还相距多少米？ 【答案】不能相遇；两人还相距125米 【分析】根据路程＝速度×时间可知，先用哥哥和弟弟的速度之和乘15分钟，求出哥哥和弟弟跑的总路程。再与2千米比较大小后求差即可。 【详解】2千米＝2000米 （米） （米） 答：经过15分钟两人不能相遇，两人还相距125米。 39．他们游玩过程中突发奇想，挑战数一数一共有多少摊位，他们从美食街的两端出发，全长640米，他们两人8分钟相遇，已知张明每分钟走45米，请你算一算王强每分钟走多少米？ 【答案】 35米/分 【分析】本题属于行程问题中的相遇问题。已知总路程为 640 米，相遇时间为 8 分钟，可以先求出两人的速度和。又已知张明的速度，用速度和减去张明的速度，即可求出王强的速度。 【详解】640÷8－45 ＝80－45 ＝35（米/分） 答：王强每分钟走35米。 40．两个工程队合开一条隧道。分别从隧道的一端同时向中间开凿。第一队每天开凿68米，第二队每天开凿73米，经过7天正好凿通。这条隧道长多少米？ 【答案】987米 【分析】第一队每天开凿的长度×开凿的天数＋第二队每天开凿的长度×开凿的天数＝这条隧道的总长度，依此列式并根据乘法分配律进行简算即可。 【详解】68×7＋73×7 ＝（68＋73）×7 ＝141×7 ＝987（米） 答：这条隧道长987米。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元《运算律》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 加法交换律、结合律概念与基础简算 填空、选择、口算，侧重定律辨析，基础简便计算必考 乘法交换律、结合律、分配律 脱式计算高频考点，本单元重难点，简算核心 减法、除法的运算性质（连减、连除） 填空、简便计算易混考点，易错高频 混合运算灵活选用简便方法 期末应用题、脱式压轴，综合灵活运用 核心考点总结 考点1 加法运算律 1. 加法交换：a＋b＝b＋ a，交换加数位置，和不变。例 25＋36＝36＋25 2. 加法结合：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，凑整优先结合。例 (48＋52)＋19 考点2 乘法三大运算律 1. 乘法交换：a×b＝b×a，交换乘数积不变 2. 乘法结合：(a×b)×c＝a×(b×c)，凑整优先相乘（常见 25×4、125×8） 3. 乘法分配：(a＋b)×c＝a×c＋b×c；拓展 (a－b)×c＝a×c－b×c（必考重难点） 考点3 减法运算性质 连减：a－b－c＝a－(b＋c)，两个减数相加再一起减 考点4 除法运算性质 连除：a÷b÷c＝a÷(b×c)，除数相乘再除（b、c 不为 0） 考点5 简算思路 凑整优先：看见 25 找 4，看见 125 找 8；同级交换凑整；分配律拆分凑整。 本单元高频易错点汇总 易错1 乘法分配漏乘 错：(20＋4)×5＝20×5＋4 纠正：括号里每一个数都乘同一个数：20×5＋4×5 易错2 混淆结合律和分配律 错：125×(8×4)=125×8＋125×4 纠正：括号中间是乘用结合，是加 / 减才用分配 易错3 连减乱用符号 错：156－56＋44＝156－(56＋44) 纠正：只有连续减两个数才能变减和 易错4 连除随意变号 错：360÷12×3＝360÷(12×3) 纠正：连续除才变乘，中间是乘不能加括号 易错5 拆分数字乱用分配 错：99×36＝100×36＋1 纠正：99＝100－1，算式 100×36－1×3 易错6 同级乱添括号 错：234＋66－34＝234＋(66＋34) 纠正：减号后面添括号，括号内符号变号 易错7 乘法分配反向不会用 错：56×99＋56＝56×(99＋56) 纠正：56＝56×1，原式＝56×（99＋1） 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 加法结合凑整 37＋125＋63＝(37＋63)＋125＝100＋125＝225 易错：优先凑整百数字结合 例题2 乘法结合 125×32×25＝125×8×4×25＝1000×100＝100000 易错：32 拆成 8×4，不拆成 30＋2 例题3 乘法分配正向 （40＋8）×25＝40×25＋8×25＝1000＋200＝1200 易错：括号两个数都乘 25 例题4 分配律反向 78×99＋78＝78×（99＋1）＝7800 易错：单独 78 看成 78×1 例题5 连减简算 278－78－52＝278－（78＋52）＝148 易错：连续减才合并减数 四大题型 题型一：概念辨析（判断、选择、填空｜考查五大运算律区分） 解题妙招：交换换位置，结合凑整加括号，有加减有乘用分配。 1．357－299的简便算法是（    ）。 A．357－300－1 B．357－300＋1 C．357－200＋1 2．下面选项中，（    ）不表示加法交换律。 A． B． C． 3．与48×125结果相等的算式是（    ）。 A．40×125＋8×125 B．48×100＋48×25 C．6×（8×125） D．以上都是 4．在计算2.6＋7.3时，可以把算式改写成（2＋7）＋（0.6＋0.3），这里依据的运算律是（    ）。 A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 5．小米的计算器上数字键“4”坏了，下面（    ）算式也可以算出768÷24的得数。 A．768÷2×12 B．768÷2÷12 C．768÷3×8 D．768÷30－6 6．计算器上的数字键“4”坏了，淘气要计算156×24，他可以将这个算式变成（    ）。 A．156×12＋12 B．156×3×8 C．52×3＋12×2 D．156×30＋156×6 7．下列说法错误的是（    ）。 A．乘法结合律用字母表示是（a×b）×c＝a×（b×c） B．被减数＝差＋减数 C．450÷25＝（450×4）÷（25÷4） 8．用简便方法计算48×125时，48×125＝6×（8×125）这里运用了( )律，48×125＝40×125＋8×125这里运用了( )律。 9．蓝蓝在计算25×（a＋8）时，漏写了括号，算成了25×a＋8，这样算出的结果和正确答案相差( )。 10．下边列式计算时运用了( )律。 题型二 加减乘除简便计算 解题妙招：加减简便计算：尾数互补凑整，连减变减两数之和；乘除简便计算：遇 25 找 4，遇 125 找 8；连除变除数相乘 11．用简便方法计算下面各题。 93×28－18×93         327＋65＋173＋35 330÷15÷2         45×98 12．用简便方法计算下面各题。                   13．下面各题，怎样简便就怎样算。 125×17×8     155＋202＋45＋98     101×74 7100÷4÷25     56×99＋56     201×67－67 14．简便计算。 1900÷4÷25         25×32×125 478－135－65         88×125 15．计算下列各题，怎样简便就怎样算。 618＋127＋82＋473          560÷16÷5          196－（96＋4）÷2          24×[（480－145）÷5] 16．用简便方法计算。             17．用简便方法计算。 196＋275＋104－75    189×101－189    1200÷25÷8 18．用简便方法计算。 25×36         934－（334＋189）         37×48＋37×52         99×45 19．脱式计算，能简算的要合理简算。                    20．用简便方法计算。                题型三 整数加减乘除的应用题 21．布老虎是潍坊具有浓郁地方特色和文化内涵的传统手工艺品。某团队接了制作布老虎的订单，第一天上午完成了128个，下午完成了216个，第二天上午完成了184个，下午完成了272个，他们两天一共完成了多少个布老虎？ 22．学校食堂买了15袋大米，每袋25千克，每千克4元。买这些大米一共需要多少元？ 23．学校食堂买来大米和面粉各15袋，大米每袋55千克，面粉每袋45千克。一共买来粮食多少千克？ 24．“草船借箭”中，假如诸葛亮一共调了16条船在每条船上都安排了125个草垛。等满载而归时，平均每个草垛上有25支箭，那么诸葛亮一共“借”到了多少支箭？（列综合算式，并简便计算） 25． (1)芍药和牡丹共多少棵？ (2)芍药比牡丹多多少棵？ (3)芍药和牡丹的面积共多少？ (4)芍药的面积比牡丹多多少？ 26．张叔叔承包了4片果园，每片果园种7列果树，每列种25棵。张叔叔承包的这4片果园共种了多少棵果树？ 27．如图，小云从家到学校要走多少米？ 28．某商场第二季度卖出甲、乙、丙3种品牌的空调共375台，甲品牌卖了125台，乙品牌卖了75台。丙品牌卖了多少台？（用两种方法解答） 29．一台打印机每小时打印125张纸，另一台每小时打印75张纸，两台打印机同时工作8小时，一共打印多少张纸？ 30．果园里种了12行苹果树和18行梨树，每行都是24棵。苹果树比梨树少多少棵？ 题型四 相遇问题、工程问题 一、相遇问题 口诀：速度和 × 相遇时间＝总路程； 总路程 ÷ 速度和＝相遇时间。 公式：(v甲+v乙)×t=路程 妙招：两人面对面行走，先加速度，再乘时间（乘法分配律简便计算）。 求其中一个速度：总路程 ÷ 时间−另一个速度。 二、简单工程问题（两队干活） 口诀：效率相加乘天数，一共总量轻松算。 公式：甲效率+乙效率×工作天数=工作总量 妙招：两队每天工作量相加，再 × 合作天数，巧用乘法分配律简算。 31．有一份文件由于时间紧急安排，甲乙两人同时录入这份1000字的文件，甲每分录入65个字，乙每分录入60个字，8分钟能完成任务吗？ 32．甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，经过2.4小时相遇。已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行多少千米？ 33．两个工程队合开一条隧道，分别从隧道的两端同时向中间开凿。第一队每天开凿15米，第二队每天开凿18米，经过8天正好凿通。这条隧道长多少米？ 34．某两地相距201千米，王叔叔和李叔叔两人同时骑车出发相向而行，3小时后两人相遇，李叔叔的骑行速度是48千米/时，则王叔叔的速度是多少？ 35．在一个600米长的环形跑道上，兄妹两人同时在同一起点都按顺时针方向跑步，每隔12分钟相遇一次。若两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则每隔4分钟相遇一次。两人跑一圈各要几分钟？ 36．智能工厂里，机器人“小闪电”和机器人“铁臂”接到紧急指令：4小时完成3000个精密齿轮的任务。他们能按时完成任务吗？ 37．蕊蕊和琪琪两人相对而行。蕊蕊每分钟走50米，琪琪每分钟走48米。如果她们走了20分钟交错而过，又相距185米，那么她们的出发地相距多少千米？ 38．一条环湖路全长2千米，兄弟两人从同一地点同时出发，反向而行。哥哥每分钟行65米，弟弟每分钟行60米。经过15分钟两人能相遇吗？如果不能相遇，两人还相距多少米？ 39．他们游玩过程中突发奇想，挑战数一数一共有多少摊位，他们从美食街的两端出发，全长640米，他们两人8分钟相遇，已知张明每分钟走45米，请你算一算王强每分钟走多少米？ 40．两个工程队合开一条隧道。分别从隧道的一端同时向中间开凿。第一队每天开凿68米，第二队每天开凿73米，经过7天正好凿通。这条隧道长多少米？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $