精品解析：2026年黑龙江哈尔滨市道外区中考二模数学试题

2025-2026学年度下学期九年级复习调研（二） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进15捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需300元．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，按这样的规律，第个图形中，碳原子的个数为（ ）         A. B. C. D. 8. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数（）的图象经过点P，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终到达点B停止，过点P作，垂足为D，线段的长与点P的运动时间的函数关系图象如图2所示，当点P运动时，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 12. 分解因式：________． 13. 不等式组解集为__________ 14. 中国脑机接口进入“8电极”时代，在医疗健康领域为患者带来了有效的治疗手段，研究表明人脑的神经元数量约为8600000个，数据8600000用科学记数法表示为____________． 15. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为____________（结果保留）． 16. 定义新运算：，当时，；当时，．则____________． 17. 某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同）放进盲盒中，小宁同学若同时抽出两张卡片，卡片上对应的人物为师徒关系的概率为____________． 18. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 19. 已知：在中，点E在射线上，连接，交对角线于点F；若，，则的长为____________． 20. 已知：如图，在中，，点D，H在上，连接，，使得，，平分，过点B作，垂足为M．下列结论： ①；②；③若时，则；④若，时，点P在上，连接，，则的最小值为． 其中一定正确的结论是____________．（请将正确的结论序号填在横线上） 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，以线段为边，作出正方形； （2）在图中，作出线段的垂直平分线，交于点N，交于点M； （3）在图中，在线段上确定点P，使得，连接，直接写出的长． 23. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才，现今已升级为2.0版本．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）求本次参与调查的学生人数； （2）在扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角的度数为______；通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该市有3600名中学生参加本次活动，估计选择C大学的学生有多少名？ 24. 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称这个三角形为“特别三角形” （1）如图1，为“特别三角形”，点D为的中点，，当，时，求的面积； （2）如图2，在矩形中，，，，点P为直线上一点，若为“特别三角形”，请直接写出的长． 25. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 26. 已知：如图，内接于，过点作，垂足为，交点，连接，． （1）求证：； （2）如图，连接并延长，交过点的切线于点，交于点． 求证：； （3）如图，在（）的条件下，点在上，连接，过点作，交于点，连接，若，，．求的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，． （1）求直线的解析式； （2）如图，过点作，交轴于点，点在上，过点作，交于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，点在的延长线上，连接，，交轴于点，点在上，连接，，满足，，，连接，过点作，交的延长线于点，点在的延长线上，连接，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期九年级复习调研（二） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 5. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．已知购进10捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需175元；购进15捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需300元．设购进一捆A种菜苗x元，一捆B种菜苗y元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识．设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，根据“购进10捆种菜苗和5捆种菜苗共需175元；购进15捆种菜苗和10捆种菜苗共需300元”，可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元， 根据题意得：， 故选：B． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据点在反比例函数图象上的性质，将各点横坐标代入解析式求出对应的值，再比较大小得到结果，用到初中反比例函数的基本性质． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 7. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，第个图形中有个碳原子，按这样的规律，第个图形中，碳原子的个数为（ ）         A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据前三个图形可得第11个图形中，碳原子的个数． 【详解】解：第个图形中有个碳原子， 第个图形中有个碳原子， 第个图形中有个碳原子， 按这样的规律， 第个图形中，碳原子的个数为个． 8. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，，即得，得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，一次函数（）的图象经过点P，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于x的不等式的解集为． 10. 如图1，在中，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，最终到达点B停止，过点P作，垂足为D，线段的长与点P的运动时间的函数关系图象如图2所示，当点P运动时，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由P的速度和图2得出和的长，运用勾股定理求出，即可求出，求出P运动6秒距离B的长度利用三角函数得出的值． 【详解】解：由图2可得，，． ， ． 当时，如图所示： 此时． 故， ， ． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即． 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键．先提取公因式，然后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 不等式组解集为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解每个不等式，然后确定不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边除以3得：， 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 14. 中国脑机接口进入“8电极”时代，在医疗健康领域为患者带来了有效的治疗手段，研究表明人脑的神经元数量约为8600000个，数据8600000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，只需确定和的值即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 15. 若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为____________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【详解】解：依题意，，， ∴扇形的弧长． 16. 定义新运算：，当时，；当时，．则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据零指数幂的运算法则计算的值，再比较计算结果和的大小，最后根据新运算的定义得出结果． 【详解】解：∵，当时，， ∴． 17. 某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同）放进盲盒中，小宁同学若同时抽出两张卡片，卡片上对应的人物为师徒关系的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用树状图法求解即可； 【详解】解：四张卡片对应《西游记》师徒四人：是唐僧，分别是孙悟空、猪八戒、沙悟净，只有唐僧和三位徒弟是师徒关系，徒弟之间为师兄弟，不属于师徒关系， 所有可能出现的结果共有种，其中两人恰好是师徒关系的有种， ∴卡片上对应的人物为师徒关系的概率． 18. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 19. 已知：在中，点E在射线上，连接，交对角线于点F；若，，则的长为____________． 【答案】6或 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，分点在线段和点在延长线两种情况，利用相似三角形的判定与性质列比例式求解的长度． 【详解】解：设，由得， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 分两种情况讨论：当点在线段上时， ∵， ， ，即， ， ， 解得， 当点在的延长线上时， ， ， ，即， ， ， 解得． 综上可知，的长为或 20. 已知：如图，在中，，点D，H在上，连接，，使得，，平分，过点B作，垂足为M．下列结论： ①；②；③若时，则；④若，时，点P在上，连接，，则的最小值为． 其中一定正确的结论是____________．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】设，则，利用等边对等角可得，再根据三角形外角的性质、角的和差可得，即可判断①；根据角的和差可得，利用角平分线的定义可得，即，最后利用等角对等边即可判断②；设，则，，利用等角的余角相等可得，再根据正切函数可得，进而判断③；如图：作点B关于的对称点，连接，则；如图：过作交于，垂足为，此时的最小值为，再利用正切函数和勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即②正确； 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴，即． 如图：作点B关于的对称点，连接，则， ∴，即要求需求的最小值， 如图：过作交于，垂足为，此时的最小值为， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴． ∴的最小值为． 综上，正确的为①②③④． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式对分式因式分解，再计算乘法进行约分，然后进行同分母的减法运算化简，最后根据特殊角的三角函数值得到的值并代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，以线段为边，作出正方形； （2）在图中，作出线段的垂直平分线，交于点N，交于点M； （3）在图中，在线段上确定点P，使得，连接，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用网格构造四个直角三角形，通过网格边长关系得到这四个三角形的两组直角边分别相等且夹角为直角，用证明它们全等，得出四边形的四条边相等，判定其为菱形，再通过角的等量代换证明，从而得出四边形是正方形； （2）先利用网格构造两个三角形，根据网格边长和平行关系得到对应角相等、对应边相等，用证明这两个三角形全等，得出是的中点，同理得到是的中点，再结合正方形对边平行且相等的性质，证明四边形是矩形，得到垂直于，结合是中点，即可确定是的垂直平分线； （3）先用勾股定理求出的长度，再根据垂直平分线和正方形的性质，得出、的长度以及四边形是矩形，接着根据正切的定义求出的长度，进而得到的长度和与的比例，然后利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例确定点的位置，最后在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【小问1详解】 解：如图，利用网格构建、、、， 由网格可知，，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：如图，利用网格构建和， 由网格可知，，， ∴，， ∴， ∴，即是中点， ∴， 同理得， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵是中点， ∴是的垂直平分线； 【小问3详解】 解：， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， 如图，利用网格构建和， 由网格可知，，，， ∴，， ∴， ∴， 故点即为所求， 在中，． 23. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才，现今已升级为2.0版本．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）求本次参与调查的学生人数； （2）在扇形统计图中，A所在的扇形的圆心角的度数为______；通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该市有3600名中学生参加本次活动，估计选择C大学的学生有多少名？ 【答案】（1）50人 （2）72； 补全的条形统计图如图所示； （3）1008名 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数； （2）用乘以选择A大学的人数占比即可求出圆心角的度数；用总人数减去其它人数可计算出选择B的人数，将条形统计图补充完整； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生有：（人）； 【小问2详解】 选择A大学的人数为10人，则A所在的扇形的圆心角的度数为：； 其中选择B的学生有：（人）， 补全条形统计图略； 【小问3详解】 解：（名）， 答：该市有3600名中学生参加本次活动，估计选择C大学的学生有1008名． 24. 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称这个三角形为“特别三角形” （1）如图1，为“特别三角形”，点D为的中点，，当，时，求的面积； （2）如图2，在矩形中，，，，点P为直线上一点，若为“特别三角形”，请直接写出的长． 【答案】（1）6 （2）1或或3或 【解析】 【分析】（1）先得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，最后根据三角形面积公式求解即可． （2）设，则，由为“特别三角形”得出为直角三角形，然后分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：为的中点 ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， ∵为“特别三角形”， ∴为直角三角形， 分三种情况： 当时，， 即， 解得：，即， 当时，， 即， 解得，即． 当时，， 即， 解得或， ∴为1或3 综上：的长1或或3或． 25. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 26. 已知：如图，内接于，过点作，垂足为，交点，连接，． （1）求证：； （2）如图，连接并延长，交过点的切线于点，交于点． 求证：； （3）如图，在（）的条件下，点在上，连接，过点作，交于点，连接，若，，．求的长． 【答案】（1）证明：设，则， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， 为切线，为切点，为半径， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（）设，由圆周角关系得，结合垂线算出，利用三角形内角和推导，依据等角对等边证； （）连接圆心与切点、顶点，根据切线性质得，借助证三角形全等推出角平分，等量代换得到，代换后求证两角相加等于； （）设，利用圆的性质、全等与角平分线设参数表示线段，借二倍角正切定边长比例，再结合直径性质求，最后勾股定理算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ∴， 延长交于，过点作交于点，连接， 由（）知， ， ∴ ， ， ∴ ， ，又， ， 设， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ∵弧弧， ∴， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ， 过点作交的延长线于点， ， ， 又 ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，， ， ， ， ， ， ． 27. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，． （1）求直线的解析式； （2）如图，过点作，交轴于点，点在上，过点作，交于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，点在的延长线上，连接，，交轴于点，点在上，连接，，满足，，，连接，过点作，交的延长线于点，点在的延长线上，连接，当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，确定点坐标，代入解析式求出参数，得到直线解析式； （2）先利用垂直与角求出点坐标，待定系数法求直线解析式；结合横坐标表示纵坐标，算出线段长度，再结合等腰直角三角形得到三角形的高，最后用三角形面积公式列出面积关于的二次函数； （3）先通过角度等量代换推导边相等，构造全等三角形转化线段，设参后根据勾股定理得到边长比例，算出正切值与线段长；再作垂线构造等腰直角三角形与新的全等，结合角的等量关系锁定等角正切值，结合直角三角形边长关系分步求出对应线段长度. 【小问1详解】 解：，在轴正半轴， ∴，将代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为 ， ， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：直线的解析式为 ， 令 ， ∴ ∴ ， ， ， ， 设直线解析式为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图：作，则， ∵， ∴， ； 【小问3详解】 解：， ∴令， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 令， ∴， 在中，， ， 即：， 整理得：， ∴， ， ∴， 解得， ， ， ∴， 作，则是等腰直角三角形， ∴ 解得， ∴， ∴， 同理：作， ∴， ∴ ∵， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 作，交的延长线于点， ∴， ∴ ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 且 且， 且， ， 又， ， ， ∴， ， 在中，过点作，过作， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴为等腰直， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $