江苏扬州市扬州大学附属中学2025-2026学年高二下学期阶段练习2数学试题

2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习2 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合要求) 1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则() y。 O相关系数为主O相关系数为，主O相关系数为 相关系数为文 A.r1<234 B.r213Y4 C.n1243 D.r2<r143 2、若U,m是两条直线，a,B是两个平面，且1cB,x∩B=m.设p:l∥a,q:l∥m,则p是9的() A、充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.1-2C+4C2-8C3+16C4-32C=() A.35 B.-35 C.1 D.-1 4.某弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间（单位：s)之间的关系是y=12cos 2 41 2 则t=8s时，弹簧振子的瞬时速度为() A.-3πmm/sB.0mm/s C.3πmm/s D.12mm/s 5.在棱长均相等的平行六面体ABCD-AB,C,D,中，∠AAB=∠AAD=∠DAB=6Q°，则向量AC1在 向量AA上的投影向量为（) A.2BBy B.丽 C.3BB D.2BB 6.已知函数f(x)=(x-1)(x+5)在区间(a-8,a)内存在最小值，则实数a的取值范围是() A.(1,9) B.[1,9) C.[3,9) D.(3,9] 7.某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、工4名学生站成一排合影留念，在教师不 站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为() A吉 B.io c D &已知6条试题中有2条选择题，甲无放回地依次从中抽取3条题，乙有放圆地依次从中抽取3 条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的3条题中选择题的条数分别为5,52,5,52的期望分 别为E(5),E(52),方差分别为D(5),D(52),则() A.E(5)<E(52),D(5)>D(52) B.E(5)=E(52),D(5)>D(52) C.E(5)<E(52),D(5)<D(52) D.E(5)=E(52),D(5)<D(52) 第1页共4页 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩X与高二男生的成绩Y均 服从正态分布，且XW(150,202),XN(160,162),则下列选项正确的是（) A.E(0=150 B.X的分布比Y的分布更集中 .P(Y160)>P(X160) D.P(X≤130)+P(X≤170)=1 10.若f(x)=(x+2)=a+a(1-2x)+a2(1-2x)2+…+a,(1-2x)',则下列结论正确的是() A. B.f(5)被8除所得余数是1 C.a-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a,=2187 D.a+2a2+3a3+…+7a=-224 11.已知三棱柱ABC-AB,C的侧棱与底面垂直，AA=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别为 CC,BC的中点，点P在直线AB上，且A,P=24,B(0<1<1),下列说法中正确的有() A.直线MN与A4所成角的大小为好 B.AM⊥PN C.若P为48中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为22 1 D.点W到平面AMP距离的最大值为V30 10 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若a=(2,m,0,b=(1,2,-1),aWb,则= 1B.已知随机变量Xr满足7=2X+3,且X~BA号)， 则D()= e- 14.已知函数f(x)=-2el血x+3x+,8()=24x2-12me*+e2+3,对任意的∈4，总存 在x2∈[1，e],使g(x)≤f(x2),则实数m的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知(3x-2)”xa+ax+ax2+…+a,,且n=10. (1)求(3x-2)”展开式的所有二项式系数之和； (2)求号+学+…+导的值 第2页共4页 16.(本小题满分15分) 为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x分钟/侮天)和他们的数学成绩(y分)的关系， 某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）· 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）； (参考数据： 25y=22820,2y=435,2=3899,107.4≈11540，￥的方差为20)； (2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习经过一学期的实施后，抽样调查了220 位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表（表 二)·依据表中数据及小概率值=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成 绩进步”是否有关。 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：82=之(- 2(x-0%-列 男-两 相关系数： r 2-到20-列位2-2-列) 2(:-0-列 回归方程>=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6= 26 a=可-x,X= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第3页共4页 17.(本小题满分15分) 如图1所示，在等腰梯形ABCD,BCAD,CE⊥AD,垂足为E,AD=3BC=3,EC-1, 将△DEC沿EC折起到△D1EC的位置，如图2所示，平面D1EC⊥平面ABCE. (I)求证：平面BCD,⊥平面CDE; (2)求直线CD1与平面ABD,所成角的正弦值； (3)在棱AD,(不包括端点)上是否存在点G,使平面ABD,与平面GC的夹角的余弦值为， 若存在，求出46的值，若不存在，请说明理由。 AD 图1 图2 18.(（本小题满分17分) 甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、 乙将在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另 有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p, 且各次测试相互独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y. (1)若n=子，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望， (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过 测试，则考核“优秀” ()当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； ()已知p=p时，两位运动员考核“达标”的概率相等，p=P2时，两位运动员考核“优 秀”的概率相等。求证：B<子<n 19.(本小题满分17分) 已知函数f()=x+与(a-x,其中aeR. (1)当a=1时，求函数f(x)在1，f)处的切线方程； (2)若函数f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； （8)若f问在02上存在两个极值点化<，来证：)f北日 2025-2026学年度第二学期高二年级阶段练习2 数学参考答案 一、单选题 1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则() 0相关系数为主0相关系数为主0相关系数为产0相关系数为主 A.T1<r2<T3<r4 B.T2<r1<r3<T4 C.r1<r2<T4<r3 D.r2<T1<r4<r3 【答案】A 【解答过程】由图知，T1,r2对应的y与x负相关，且r1对应的相关性更强，即r1<r2<0;T3,r4对应的y 与x正相关，且r4对应的相关性更强，即0<r3<T4,所以r1<T2<0<r3<T4故选：A. 2.若LZ,m是两条直线，aB是两个平面，且lcB,x∩B=m.设p:l∥，q:l∥m,则p是9的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 3.1-2C+4C2-8C3+16Cg-32C5=() A.3 B.-35 C.1 D.-1 【答案】D 【详解】因为 1-2C+4C号-8C3+16Cg-32C =Cg×1×(-2)°+Cg×14×(-2)}+C×13x(-2)}2+Cx1P×(-2)°+Cg×1×(-2)+Cgx1°x(-2)i =(1-2=-1 4.某弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间（单位：s)之间的关系是y=I2cos 4-1 则1=8s时，弹簧振子的瞬时速度为( A.-3πmm/s B.0mm/s C.3πmm/s D.12 mm/s 【答案】C 【详解】由图可得位移y是关于时间的函数。，且满足)y=0)=12ca子-引}-12c如子，则 y=12x7cos元t=3πcos死t,则该弹簧振子在1=8s时的瞬时速度是y'l=3玩cos2m-3r.故选：C 4 5.在棱长均相等的平行六面体ABCD-AB,CD,中，∠AAB=∠A,AD=∠DAB=60°，则向量AC在向 量AA1上的投影向量为( A.2BB B B.2 C.3BB D.2BB 【答案】D 【详解】设平行六面体ABCD-AB,CD棱长为a,~AC=AC+CC=AB+AD+AA, 且AA=Q2,∠4AB=∠AAD=∠DAB=60, AA·AC=AA(AB+AD+AA)=AA·AB+AA·AD+AA=a×a×cos60°+axaxcose60°+ad2=2a, ∴.AC在AA上的投影向量为 4AC4=2AA=2B丽 AA 故选：D 6.已知函数f(x)=(x-1)2(x+5)在区间(a-8,a)内存在最小值，则实数a的取值范围是（) A.(L,9) B.[19) C.[3,9) D.(3,9] 【答案】C 【详解】f(x)在(-3,1)上单调递减，在(-∞，-3)，(1，+o)上单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值 a-8≥-5 0,要想在区间(a-8,a)上存在最小值，需满足 a-8<1<a'解得ae[3,9). 故选：C 7.某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在 两端的条件下，甲、乙相邻的概率为( ) A吉 B. 3 C. D. 10 3 2-5 【答案】C 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A,“教师不站在两端”为事件B,则教师不站在两端且甲乙相邻”为事 件AB,因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以n(B)=C3·A4=3×24=72; 将甲乙看作1个整体，内部排列有A?=2种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师)， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： n(AB)=C2·A3·A2=2×6×2=24, 根据条件概率公式：P(418)=”(4_24=」 n(B)723 8.已知6条试题中有2条选择题，甲无放回地依次从中抽取3条题，乙有放回地依次从中抽取3条题， 甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的3条题中选择题的条数分别为5,52,51,52的期望分别为 E(5),E(52),方差分别为D(5),D(52),则( A.E(5)<E(52),D(5)>D(52) B.E(5)=E(52),D(5)>D(52) C.E(5)<E(52),D(5)<D(52) D.E(5)=E(52),D(5)<D(52) 【答案】D 【解析】由题意可知，5的可能取值为0,12,5的可能取值为0,1,23， 定面6=0-学需%--.4 所以P(5=0)=A=24-1 A81205 所以(6)=0x1w号+2x5-1,D(5)-0-×1-×号2-×g号 5 5 乙每次抽到选拆题的福率为，由条件可得5一A写 根据二项分布的均值方差公式得：B(5)=3x写1，D()=3×兮×号-号 1、2_2 E(5)=E(52),D(5)<D(5): 故选：D 二、多选题 9.某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩X与高二男生的成绩Y均服从正 态分布，且X~W(150,202),Y~N(160,162),则下列选项正确的是( A.E(X)=150 B.X的分布比Y的分布更集中 C.PY≤160)>P(X≤160) D.P(X≤130)+P(X≤170)=1 【答案】AD 【解答过程】由X~W(150,202)可知E(X)=150,故A正确； 因为202>162，所以X的分布比Y的分布更分散，故B不正确； 由X~N(150,202),Y~N(160,162)可知，P(Y≤160)=0.5<P(&≤160)=P(X≤150)+P(150< X≤160)=0.5+P(150<X≤160)，故C不正确， 由X~N(150,202)可知P(X≤130)=P(X≥170)， 所以P(X≤130)+P(X≤170)=P(X≥170)+P(X≤170)=1，故D正确. 故选：AD, 10.若f(x)=(x+2)7=a。+a(1-2x)+a21-2x)2+…+a,(1-2x)',则下列结论正确的是（) A.az=-1e B.f(5)被8除所得余数是1 C.a-a+a2-4+a4-4+46-a,=2187 D.41+2a2+3a3+…+7a=-224 置答案】ACD 【详解11=1-2，则x-号，所（+--a+a*a++a, 所以展开式的造项公式为。-c()(=c[)(女，共中7=-07。 所以4，=c(=记8故A正确： f⑤)=77=(8-1)？被8除所得余数是-1+8=7，故B错误； 令1=-1，则a-a+a2-a+a4-4+a6-a,=32=2187,故C正确； (任=a+a+a++4两边对求号得： =a1+2a2t+…+7a,t, 令1-184+2a+7%=一引8=-24，放D正确 11.已知三棱柱ABC-AB,C的侧棱与底面垂直，AA=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别为CC,BC 的中点，点P在直线AB上，且AP=2AB(0<1<1),下列说法中正确的有（ A.直线W与4所成角的大小为牙 B.AM⊥PN C.若P为A8中点，则平面MP与平面4BC所成角的余弦值为2 21 D.点N到平面AMP距离的最大值为yS 【答案】BCD 【解析】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则0ao4@a@4b20PaaD, 所以五-a,-(2》孤-丽合对 显然直线MN与A4所成角不为于，A选项错误， 又孤历-0时引日号小-0+}0，放w上Pm,B逃项正确， 由-Q1,亚=2,0，D,若=ky到为平面MP的一个法向量。 1 m·AM=y+二z=0 则 ，令z=21,则m=(-2,-,22), m·AP=x+z=0 由平面48c的一个法向量为瓢=@80，分，所以瓜=(2D, 设平面AMP与平面ABC所成的角为日， 则os6、 m.AA 1 2W21 |m‖44 x2+)+ 21,C选项正确： 易知-2 则点N到平面AMP的距离为 m.AN 2+2 2+元 d 2W4+522W5(2+2)2-20(元+2)+24 ，又0<九<1，上式分子分母同时除以1+2， d= 可得 2420 V(+2)2+21 6 =30 D选项正确 10 故选：BCD. 三、填空题 12.若a=(2,m,n),b=(1,2,-1),a/b,则= 【答案】26 【解答过程】因为a=(2,m,n),b=(1,2,-1),a/b, 所以d=,即(2，m,n)=2(1,2,-1),有2=1，m=21=4,n=-1=-2, 可知d=(2,4,-2),=√22+42+(-2)z=2V6. 故答案为：2V6 13. 已知随机变量XY满足7=2X+3,且X-®5号引，则D凹= 【答案】0 【详解】因为X~号引，所以D)-5号-号引号 又因为Y=2x+3,所以D(K)=4D(x)=4×10=40 99 故答案为： 49 e 14.已知函数f(x)=-2elnx+3x+9,g(x)=24x2-12me+e2+3,对任意的为∈[1,4，总存在 2∈[1，e],使g(:)≤f(x2),则实数m的取值范围是 【】[ 四、解答题 15.已知(（3x-2)=46+ax+a2x2+…+anx”，且n=10. (1)求(3x-2)”展开式的所有二项式系数之和； ②求号+学++学的值 【答案】(1)1024 (2)-1023 1 【详解】(1)(3x-2)°展开式的所有二项式系数之和为2°=1024. 3 (2)令x=0,得4=(-2)°=1024； 令x-2=4+号+导+…+0，因此号+导+…+器-1-1-1024=-1023 、10 16.为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x分钟侮天)和他们的数学成绩(y分)的关系，某实 3 验小组做了调查，得到一些数据（表一）. C 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 (1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）； (参考数据： 2y=2820,2y=435,27=3899,1074≈1540，￥的方差为200 = (②)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习，经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生按 照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表（表二），依据表中数据及 小概率值a=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：方差：2=12(x-x 2(x-0y-列 之xy- 相关系数：三 2-到20-列2-m-列 回归方程)=x+a中斜率和藏距的最小二乘估计公式分别为6 2(x-0y- -，a=-旅， 2(-对 n(ad-be)2 x"-7a+b)(c+d)(a+e)(b+d) a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】(1)x=30+40+50+60+70=50,少=435=87， 5 又￥(=12,3，…，5)的方差为∑(-}=200， 20%-列=(65-87+(78-87+(35-87+09-87+08-87=44+31+4+14+41-154， 2(s-0%-列 2s-到20-列 x-5河 = 22820-5×50×87≈1070 ≈0.996 1074 -列2-列 10W11540 1o0x20,-列 (2)零假设H。:周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： n(ad-bc)2 220×(25×130-35×30)2110 x"-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ≈12.22， 165×55×60×160 因为12.22>10.828，所以依据x=0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关 17.如图1所示，在等腰梯形ABCD,BCIIAD,CE⊥AD,垂足为E,AD=3BC=3,EC=1, 将△DEC沿EC折起到△D1EC的位置，如图2所示，平面D1EC⊥平面ABCE. (1)求证：平面BCD,⊥平面CDE; (2)求直线CD1与平面ABD1所成角的正弦值； (3)在棱AD1(不包括端点)上是否存在点G,使平面ABD1 与平面GBC的夹角的余弦值为，若存在，求出把的值， 若不存在，请说明理由、 图1 图2 【答案】识（间存在，此时恕=号 【解答过程】(2)由DE⊥EC→DE⊥EC, 平面D1EC⊥平面ABCE,平面D1ECn平面ABCE=EC,D1E⊥EC,D1EC平面D1EC, ·D1E⊥平面ABCE,又AE,CEC平面ABCE, ·D1E⊥AE,D1E⊥CE.因此，EA,EC,ED1两两互相垂直， 以E为坐标原点，EA,EC,ED1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系E-xyz. 在等腰梯形ABCD中，AD=3BC=3,EC=1,CE⊥AD, 因此易证得CB=1,EA=2,ED1=1,故 A(2,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), D 则AB=(-1,1,0),AD1=(-2,0,1),CD1=(0,-1,1) G 设平面A8D1的法向量为沉=化，动，则正：元=0 AD1·元=0 即2+2=0取x=1,购=12=2脑=112) 设直线CD1与平面ABD1所成角为a, 则sma=1os<而>=原离-高=号 (3)EC=(0,1,0),设AG=1AD=(-2λ，0，)，0<1<1， 则EG=EA+AG=(2,0,0)+（-22,0,)=(2-21,0,). 设平面GEC的法向量为m2=(x2,y2,22),则有} EC,2=0 EG.=0 y2=0 即{2-222+，=0，取=元。则22=21-2，即元=a0,21-2). 由题(2)可知，平面ABD1的法向量为n=(1,1,2). 设平面ABD1与平面GBC的夹角为9，则co0=哥离=G示 151-4 61 整理得52-81+3=0，解得1=或1=1（舍去）. 因此，棱AD,上存在点G,使平面ABD,与平面GBC的夹角的余弦值为，此时恕-是 AD1 18.甲、乙两名运动员将参加体育考核.考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将 在这3个项目中分别进行测试.已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是 甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为P,且各次测试相互 独立.在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y. (0若P-子，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期腿： (②)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核达标”，若3个项目全部通过测试，则考 核优秀”. ()当运动员甲考核“达标时，求运动员甲考核优秀”的概率； (i)已知p=P时，两位运动员考核“达标”的概率相等，p=P2时，两位运动员考核“优秀”的概率 相等.求证：<子<A 【解析】(1)甲可能通过项目数X∈1,2,3}，服从超几何分布，则X的概率分布： Px-答x-等-P-等号 C5 X的数学期望E(X)=1x+2x2+3×=2. 3 5 5 乙通过项目数符合二项卧布，即83号引， e{0,12,3},则Y的概率分布： e=o-c周7Pw-=c-号 Pw=-c号-e=c旧多 y的数学期望E()=3x号-2。 P(X=3) (2)(①因为P(X=3K≥2列Px=2+PX=)0.84 0.21 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是子。 (i)甲考核达标概率P(X≥2)=0.8，记乙考核“达标概率为f(p), 则f(p)=P(Y22)=C3p2(1-p)+p3=-2p3+3p2, 可知f"(p)=6p2+6p=-6p(p-1), 当p∈[0，]时，f'(p)>0,f(p)在[0,1上单调递增， 又)-2)+3)-别<08=fo.所以n号 甲考核“优秀概率P(X=3)=0.2,记乙考核“优秀”概率为g(p), 则g(p)=P(Y=3)=p在[0,1上单调递增， 又)=务>02=&.所以号 19.已知函数f)=lx+e-水，其中a6R。 (1)当a=1时，求函数f(x)在1，f)处的切线方程； (2)若函数f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围： 包诺fe)在Q,2)上存在两个极值点x(么≤)，求证/(3)-f(小< 【答案】()x-y-1=0(②)a≤2 【详解】(1)当a=1时，f()=lx+-x,定义域为(0，+0)，所以f()=子--)， 所以k='(1)=1,又f()=0, 所以函数f(x)在（山f)处的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0. (2)f(x)的定义域是(0，+∞)， f)-I+ip-@+jd.f()-Itx-a-8-@tI 函数f()在定义域上单调递增，则f(20对x>0恒成立，即x2-ax+1≥0，aSx+上， 因为x之22，当且仅当：=1时等号限立， 所以a≤2时，f()≥0恒成立，即f(x)在(0，+∞)上单调递增. (3)f(x)在(0,2)上有两个极值点x,x2, 则f()=0,即x2-x+1=0在(0,2)上有两个不等实数根，￥2， 4-2a+1>0 公=4>0解得2<a<务，且马+=a,4= 02 此a时f)=+a-=+号，f)=+a-}=l+号， 闲+慕到 令1=克0<1<，则/6)-f)=0=w+分 2t1 0-片子京-亡空兰，乡a系a0在)上率隆质 212 由<x2可知0<t<1,即0<F<1。 √x2 联立g,质好，且0-04得片2<号 所V)-f号