精品解析：江苏扬州市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性教学质量检测高二数学

扬州市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性教学质量检测 高二数学 2026.3 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 8 B. C. D. 14 2. 已知向量共面，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 不存在 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知在三棱锥中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图在棱长为2正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ） A B. C. D. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9. 已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11. 已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（ ） A. 的单调减区间是 B. 极小值是﹣6 C. 过点只能作一条直线与的图象相切 D. 有且只有一个零点 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分． 12 已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 13. 已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求向量与夹角． 16. （1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 17. 已知函数，在时取得极小值10. （1）求函数的解析式; （2）求函数在区间上的最值. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2025-2026学年第二学期阶段性教学质量检测 高二数学 2026.3 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 8 B. C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积为零，即可求得答案. 【详解】因为，所以，即，解得：. 故选：B. 2. 已知向量共面，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可. 【详解】因为共面，所以存在，使得， 整理得，解得. 故选：C. 3. 函数极小值为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 5. 如图所示，已知在三棱锥中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求得答案. 【详解】依题意， . 故选：D. 6. 如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值． 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示； ，0，，，0，，，0，，，2，，，0，； ，0，，，2，，， ，； 所以，； 所以异面直线和所成角的余弦值为． 故选：A 【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用的两种方法： 方法一：（几何法）找（观察）作（平移法）证（定义）指求（解三角形）； 方法二：（向量法）利用向量里异面直线所成的角的公式求解. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，先由函数的取值情况判断，再由导数判断函数的极值即可得答案 【详解】因为， 所以当时，， 可知C，D选项错误； 又， 当时，. 当时，， 故当时，取得极小值，故选项B正确. 故选：B. 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，则， 依题意在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 则的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9. 已知直线方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量判断直线、平面间的位置关系. 【详解】若，则，故A正确； 若，则或在内，故B错； 若，则，故C错； 若，则，故D正确. 故选：AD 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 D. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断. 【详解】A：在上的投影向量为，对； B：在中，故P，A，B，C四点共面，对； C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错； D：由，即，故，对. 故选：ABD 11. 已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（ ） A. 的单调减区间是 B. 的极小值是﹣6 C. 过点只能作一条直线与的图象相切 D. 有且只有一个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假． 【详解】因为，令，得或， 则在，上单调递增； 令，得，则在上单调递减． 所以极小值为，极大值为，而， 故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确； 设过点的直线与的图象相切，切点为， 因为，， 所以切线方程为． 将代入，得． 令，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 因为，，， 所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确． 故选：BCD． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. 13. 已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据得到在上单调递增，然后根据和的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 令，则在上单调递增，且． 当时，由，可得，即，所以，无解； 当时，由，可得，即，所以，则． 综上，不等式的解集为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【小问1详解】 ∵， ， . 【小问2详解】 ， ， 则. 【小问3详解】 ， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 16. （1）已知空间直角坐标系中，，若，求向量； （2）在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，，求的长． 【答案】（1）或（2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的基本定理及向量模长的坐标运算求向量； （2）由，应用向量数量积的定义及运算律求的长. 【详解】（1）由题可得， 由得：且， 则，解得， 即或； （2）由题意得，， ， ， 又， 所以， 所以． 17. 已知函数，在时取得极小值10. （1）求函数的解析式; （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据函数在处有极小值10，列出方程组求解即可，注意需要验证； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值. 【小问1详解】 由，得， 因为函数 在 时取得极小值10， 所以，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以为函数的极小值点，所以符合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以， 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行； 【小问1详解】 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； 【小问2详解】 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因平面，所以平面． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $